2018年考研数学二真题

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

1.若()212

0lim 1→++=x x x e ax bx ，则A.1,12=

=-a b B.1,12=-=-a b C.1,12=

=a b D.1,12=-=a b 2.下列函数中，在0=x 处不可导的是

A.()sin f x x x

= B.(

)sin f x x =C.()cos f x x

= D.(

)f x =3.设函数()()2,11,0,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨

⎨≥⎩⎪-≥⎩-若()()f x g x +在R 上连续，则

A.3,1

==a b B.3,2

==a b C.3,1=-=a b D.3,2

=-=a b 4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且

()100,f x dx =⎰则A.当()0'

f B.当()0''f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭

f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<

⎪⎝⎭f 5.设(

)(22

22222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x x M dx N dx K dx x e 则A.>>M N K

B.>>M K N

C.>>K M N

D.>>K N M 6.

()()2202121011x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰A.5

3 B.5

6

——印校园考研

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．

指定位置上.

C.7

3 D.7

6

7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

相似的为A.111011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

B.101011001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

C.111010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

D.101010001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则

A.()().

r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().T T

r A B r A B =二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．

指定位置上.9.2

lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.11.25143

dx x x +∞

=-+⎰________________________.12.曲线33cos sin x t y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩

，在4t π=对应点处的曲率为______________.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z e xy -+=确定，则1(2,)2

z x ∂=∂____________.14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．

指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

求不定积分2arctan ⎰x e .

16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足200

()()x x f t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰.（I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。

17.（本题满分10分）

设平面区域D 由曲线sin (02)1cos x t t t y t

π=-⎧≤≤⎨=-⎩与x 轴围成，计算二重积分(2)D x y dxdy ⎰⎰+.18.（本题满分10分）

已知常数ln 21k ≥-，证明：2(1)(ln 2ln 1)0

x x x k x --+-≥19.（本题满分10分）

将长为2m 的铁丝分成三段，依次围城圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。

20.（本题满分11分）

已知曲线L ：24(0)9

y x x =≥，点(0,0)O ，点(0,1)A ，设P 是L 上的动点，S 是直线OA 与直线AP 及曲线L 所围成图形的面积，若P 运动到点(3,4)时沿x 轴正向的速度是4，求此时S 关于时间t 的变化率。

21.（本题满分11分）

设数列{}n x 满足：10x >，11(1,2,...)n n x x n x e

e n +=-=，证明{}n x 收敛，并求lim n n x →∞

。22.（本题满分11分）

设实二次型2221231232313(,,)()()()f x x x x x x x x x ax =-+++++，其中a 是参数。

（1）求123(,,)0f x x x =的解

（2）求123(,,)f x x x 的规范形

23.（本题满分11分）已知a 是常数，且矩阵1213027a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭可经初等列变换化为矩阵12011111a B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭

（1）求a

（2）求满足AP B =的可逆矩阵P