经典功率谱和Burg法的功率谱估计
利用经典谱估计法估计信号的功率谱(随机信号)
随机信号利用经典谱估计法估计信号的功率谱作业综述：给出一段信号“asd.wav”,利用经典谱估计法的原理，通过不同的谱估计方法，求出信号的功率谱密度函数。
采用MATLAB语言，利用MATLAB语言强大的数据处理和数据可视化能力，通过GUI的对话框模板，使操作更为简便！在一个GUI界面中，同时呈现出不同方法产生出的功率谱。
这里给出了几种不同的方法：BT法，周期图法，平均法以及Welch法。
把几种不同方法所得到的功率谱都呈现在一个界面中，便于对几种不同方法得到的功率谱作对比。
一．题目要求给出一段信号及采样率，利用经典谱估计法估计出信号的功率谱。
二．基本原理及方法经典谱估计的方法，实质上依赖于传统的傅里叶变换法。
它是将数据工作区外的未知数据假设为零，相当于数据加窗，主要方法有BT法，周期图法，平均法以及Welch法。
1. BT法(Blackman-Tukey)● 理论基础：(1)随机序列的维纳-辛钦定理由于随机序列{X(n)}的自相关函数Rx(m)=E[X(n)X(n+m)]定义在离散点m 上，设取样间隔为，则可将随机序列的自相关函数用连续时间函数表示为等式两边取傅里叶变换，则随机序列的功率谱密度(2)谱估计BT法是先估计自相关函数Rx(m)(|m|=0,1,2…,N-1),然后再经过离散傅里叶变换求的功率谱密度的估值。
即其中可有式得到。
2. 周期图法● 理论基础：周期图法是根据各态历经随机过程功率谱的定义来进行谱估计的。
在前面我们已知，各态历经的连续随机过程的功率谱密度满足式中是连续随机过程第i个样本的截取函数的频谱。
对应在随机序列中则有由于随机序列中观测数据仅在的点上存在，则的N点离散傅里叶变换为：因此有随机信号的观测数据的功率谱估计值（称“周期图”）如下：由于上式中的离散傅里叶变换可以用快速傅里叶变换计算，因此就可以估计出功率谱。
3.平均法：● 理论基础：平均法可视为周期图法的改进。
周期图经过平均后会使它的方差减少，达到一致估计的目的，有一个定理：如果是不相关的随机变量，且都有个均值及其方差，则可以证明它们的算术平均的均值为。
功率谱计算[解说]
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功率谱计算功率谱估计在现代信号处理中是一个很重要的课题，涉及的问题很多。
在这里，结合matlab，我做一个粗略介绍。
功率谱估计可以分为经典谱估计方法与现代谱估计方法。
经典谱估计中最简单的就是周期图法，又分为直接法与间接法。
直接法先取N点数据的傅里叶变换（即频谱），然后取频谱与其共轭的乘积，就得到功率谱的估计；间接法先计算N点样本数据的自相关函数，然后取自相关函数的傅里叶变换，即得到功率谱的估计.都可以编程实现，很简单。
在matlab中，周期图法可以用函数periodogram实现。
但是周期图法估计出的功率谱不够精细，分辨率比较低。
因此需要对周期图法进行修正，可以将信号序列x(n)分为n个不相重叠的小段，分别用周期图法进行谱估计，然后将这n段数据估计的结果的平均值作为整段数据功率谱估计的结果。
还可以将信号序列x(n)重叠分段，分别计算功率谱，再计算平均值作为整段数据的功率谱估计。
这2种称为分段平均周期图法，一般后者比前者效果好。
加窗平均周期图法是对分段平均周期图法的改进，即在数据分段后，对每段数据加一个非矩形窗进行预处理，然后在按分段平均周期图法估计功率谱。
相对于分段平均周期图法，加窗平均周期图法可以减小频率泄漏，增加频峰的宽度。
welch法就是利用改进的平均周期图法估计估计随机信号的功率谱，它采用信号分段重叠，加窗，FFT等技术来计算功率谱。
与周期图法比较，welch法可以改善估计谱曲线的光滑性，大大提高谱估计的分辨率。
matlab中，welch法用函数psd实现。
调用格式如下：[Pxx,F] = PSD(X,NFFT,Fs,WINDOW,NOVERLAP)X：输入样本数据NFFT：FFT点数Fs:采样率WINDOW：窗类型NOVERLAP，重叠长度现代谱估计主要针对经典谱估计分辨率低和方差性不好提出的，可以极大的提高估计的分辨率和平滑性。
可以分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计。
参数模型谱估计有AR模型，MA模型，ARMA模型等；非参数模型谱估计有最小方差法和MUSIC法等。
功率谱和功率谱密度计算公式
功率谱和功率谱密度计算公式
功率谱（Power Spectrum）
是描述随机信号或时间序列在不同频率下功率分布情况的工具。
对于离散信号，功率谱的计算通常涉及到傅里叶变换（Fourier Transform）或者更一般的傅里叶分析方法。
假设有一个离散信号(x(n))（其中(n)表示时间或样本序号），其功率谱(P(f))可以通过以下步骤计算：
傅里叶变换：首先，对信号(x(n))进行傅里叶变换，得到其频谱(X(f))：
(X(f) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j2\pi fn})
计算功率谱：然后，计算频谱的模的平方，即得到功率谱(P(f))：
(P(f) = |X(f)|^2)
功率谱密度（Power Spectral Density, PSD）
是单位频率范围内的平均功率，通常用于描述连续信号的功率分布。
对于连续信号(x(t))（其中(t)表示时间），其功率谱密度(S_{xx}(f))可以通过自相关函数和傅里叶变换得到：
自相关函数：首先，计算信号(x(t))的自相关函数(R_{xx}(\tau))：
(R{xx}(\tau) = \int{-\infty}^{\infty} x(t) x(t+\tau) dt)
傅里叶变换：然后，对自相关函数(R{xx}(\tau))进行傅里叶变换，得到功率谱密度(S{xx}(f))：(S{xx}(f) = \int{-\infty}^{\infty} R_{xx}(\tau) e^{-j2\pi f\tau} d\tau)。
经典功率谱估计
雷达和声呐系统
目标检测
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计常被用于目标检测。通过对接收到的信号进行功率 谱分析，可以判断是否存在目标以及目标的位置和速度等信息。
距离和速度测量
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于距离和速度测量。通过对接收到的信号 进行功率谱分析，可以估计出目标与系统之间的距离和相对速度。
信号分类
在雷达和声呐系统中，经典功率谱估计还可以用于信号分类。通过对接收到的信号进行功 率谱分析，可以判断目标的类型，例如区分飞机、船舶或车辆等不同类型目标。
05 经典功率谱估计的改进方 法
基于小波变换的功率谱估计
1
小波变换能够将信号分解成不同频率和时间尺度 的分量，从而更好地揭示信号的内在结构和特征。
然而，这些方法通常需要较长 的数据长度和较为复杂的计算 过程，对于短数据和实时处理 的应用场景具有一定的局限性 。
研究展望
01
随着信号处理技术的发展，经典功率谱估计方法仍有进一步优化的空 间。
02
针对短数据和实时处理的应用场景，研究更为快速、准确的功率谱估 计方法具有重要的实际意义。
03
结合机器学习和人工智能技术，探索基于数据驱动的功率谱估计方法 是一个值得关注的方向。
优点
能够提供较高的频率分辨率和较低的估计误差。
原理
格莱姆-梅尔谱估计利用了信号的模型参数，通过 构造一个模型函数来描述信号的频率响应特性， 并求解该函数的极值问题得到信号的功率谱。
缺点
需要预先设定模型函数的形式和参数，且计算复 杂度较高。
03 经典功率谱估计的优缺点
优点
01
02
03
算法成熟
经典功率谱估计方法经过 多年的研究和发展，已经 相当成熟，具有较高的稳 定性和可靠性。
基于Burg算法的AR模型功率谱估计简介
基于Burg 算法的AR 模型功率谱估计简介摘要：在对随机信号的分析中，功率谱估计是一类重要的参数研究，功率谱估计的方法分为经典谱法和参数模型方法。
参数模型方法是利用型号的先验知识，确定信号的模型，然后估计出模型的参数，以实现对信号的功率谱估计。
根据wold 定理,AR 模型是比较常用的模型，根据Burg 算法等多种方法可以确定其参数。
关键词：功率谱估计；AR 模型；Burg 算法随机信号的功率谱反映它的频率成分以及各成分的相对强弱, 能从频域上揭示信号的节律, 是随机信号的重要特征。
因此, 用数字信号处理手段来估计随机信号的功率谱也是统计信号处理的基本手段之一。
在信号处理的许多应用中, 常常需要进行谱估计的测量。
例如, 在雷达系统中, 为了得到目标速度的信息需要进行谱测量; 在声纳系统中, 为了寻找水面舰艇或潜艇也要对混有噪声的信号进行分析。
总之, 在许多应用领域中, 例如, 雷达、声纳、通讯声学、语言等领域, 都需要对信号的基本参数进行分析和估计, 以得到有用的信息, 其中, 谱分析就是一类最重要的参数研究。
1 功率谱估计简介一个宽平稳随机过程的功率谱是其自相关序列的傅里叶变换，因此功率谱估计就等效于自相关估计。
对于自相关各态遍历的过程，应有：)()()(121lim *k r n x k n x N N x N N n =⎭⎬⎫⎩⎨⎧++∞→∑-= 如果所有的)(n x 都是已知的，理论上功率谱估计就很简单了，只需要对其自相关序列取傅里叶变换就可以了。
但是，这种方法有两个个很大的问题：一是不是所有的信号都是平稳信号，而且有用的数据量可能只有很少的一部分；二是数据中通常都会有噪声或群其它干扰信号。
因此，谱估计就是用有限个含有噪声的观测值来估计)(jw x e P 。
谱估计的方法一般分为两类。
第一类称为经典方法或参数方法，它首先由给定的数据估计自相关序列)(k r x ，然后对估计出的)(ˆk rx 进行傅里叶变换获得功率谱估计。
功率谱估计Levinson 递推法和 Burg 法
数字信号处理实验报告姓名： 学号： 日期：2015.12.141. 实验任务信号为两个正弦信号加高斯白噪声，各正弦信号的信噪比均为10dB ，长度为N ，信号频率分别为1f 和2f ，初始相位021==ϕϕ，取2.01=s f f ，s f f 1取不同的数值：0.3，0.25。
s f 为采样率。
（1）分别用 Levinson 递推法和 Burg 法进行功率谱估计，并分析改变数据长度、模型阶数对谱估计结果的影响。
（2）当正弦信号相位、频率、信噪比改变后，上述谱估计的结果有何变化？并作分析说明。
2. 原理分析2.1 现代谱估计中的参数建模根据参数模型来描述随机信号的方法，我们可以知道，如果能确定信号()x n 的信号模型，根据信号观测数据求出模型参数，系统函数用()z H 表示，模型输入白噪声，其方差为2w σ，信号的功率谱用下式求出：()()22iww jw xx e H e P σ=按照这种求功率谱的思路，功率谱估计可分为三个步骤： （1）选择合适的信号模型；（2）根据()n x 有限的观测数据，或者它的有限个自相关函数的估计值，估计模型的参数；（3）计算墨香的输出功率谱。
其中以（1）、（2）两步最为关键。
按照模型的不同，谱估计的方法有许多种，它们共同的特点是对信号观测区以外的数据不假设为0，而先根据信号观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
下面分析AR 谱估计的两种方法：自相关法——列文森（Levenson ）递推法和伯格（Burg ）递推法。
这两种方法均为已知信号观测数据，估计功率谱，两者共同特点是由信号观测数据求模型系数时采用信号预测误差最小的原则。
对于长记录数据，这些方法的估计质量是相似的，但对于短记录数据，不同方法之间存在差别。
2.2 自相关法——列文森（Levenson ）递推法自相关法的出发点是选择AR 模型参数使预测误差功率最小，预测误差功率为()()()21211∑∑∑∞-∞==∞-∞=-+==n pi pi n i n x a n x Nn e Nρ假设信号()x n 的数据区在01n N ≤≤-范围，有P 个预测系数，N 个数据经过冲激响应为()0,1,pi a i p =的滤波器，输出预测误差()e n 的长度为N p +，因此应用下式计算：()()()210121011∑∑∑-+==-+=-+==P N n pi pi P N n i n x a n x Nn e Nρ()e n 的长度长于数据的长度，上式中数据()x n 的两端需补充零点，相当于对无穷长的信号加窗处理，得到长度为N 的数据。
功率谱估计
W(n)为零均值方差为1的AWGN，n=1,2,3……,128
1.1周期图法：
我们知道随机信号的功率谱和自相关函数是一对傅式变换对：
而自相关函数定义为：
对于平稳随机过程，并由功率谱的偶函数特性得：
实际得到的随机信号只能是它的一个样本的片断，因此只能用有限长的样本序列来估计功率谱，这相当于用一个有限宽度（N）的窗函数 去乘样本序列，于是有（用离散频率K代替ω）：
title('周期图法');
xlabel('Hz');
ylabel('dB/Hz');
window1=hamming(128);
noverlap=20; %数据20%的重叠
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,'onesided');
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
仿真结果：
2.现代功率谱估计
现代功率谱估计即参数谱估计方法是通过观测数据估计参数模型再按照求参数模型输出功率的方法估计信号功率谱。主要是针对经典谱估计的分辨率低和方差性能不好等问题提出的。主要方法有最大熵谱分析法（AR模型法）、Pisarenko谐波分解法、Prony提取计点法、Prony谱分解法以及Carpon最大似然法。其中AR模型应用较多，具有代表性。常用的模型有ARMA模型、AR模型、MA模型。
这就是用样本序列片断的DFT来估计功率谱的式子。由于加了矩形窗，使得这种直接的周期图估计平滑性、一致性和分辨率不能满足实际要求，因此有必要对上式作一些修改，这些修改主要有两种方法：
1.分段平均：即将长度为N的数据分成L段（允许有重叠），分别求出每一段的功率谱，然后即以平均。这样L个平均的方插笔每个随机变量的单独方差小L倍。
功率谱和经典谱估计的应用：
1、功率谱的应用： 功率谱反映了随机信号各频率成分功率能量的分布情况，
可以揭示信号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用的信息， 应用及其广泛。例如，在语音信号识别、雷达杂波分析、地震 勘测信号处理、水声信号处理、系统辨识中非线性系统识别、 物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、太阳黑子活动周 期研究等许多领域，发挥了重要作用。
涡街流量计的信号频率与流体速度成线性比例关系，工 程应用中一般测量该信号的频率，然后根据仪表系数转换算成 实际的流量。因为噪声的原因，数字信号处理必须实现准确的 功率—频率计算。对涡街信号处理的第一步就是直接做功率谱 估计，计算功率谱能量最大的谱线对应的信号频率就是涡街信 号的频率。用这个频率来确定涡街信号的区间范围方便后续进 一步处理。
2、经典谱估计的应用：
经典谱估计法由于假定信号的自相关函数在数据观测区以外等于 零，因此估计出来的功率谱很难与信号的真实功率谱相匹配，是一种低 分辨率的谱估计方法，而现在已有很多质量更好的谱估计方法，所以经 典谱现在主要用于一些要求不高的场合，做一些基础的工作。
（1）涡街流量计
在基于经典谱估计改进方法的涡街流量计中通过经典谱估计的FFT 算法来计算信号频率的区间范围，以待后续进一步的处理。
(2）汽轮机振动信号 当汽轮机产生故障时，其振动信号的频谱能量分布情况会有 所改变，因此对振动信号进行频谱分析是当前常用的汽轮机故障 特征提取方法。周期图法
burg法实现功率谱估计
用burg 法实现功率谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。
Burg 算法不是直接估计AR 模型的参数，而是先估计反射系数Km,再利用Levinson 关系式求得AR 模型的参数。
Burg 算法采用的数据加窗方法是协方差法，不含有对已知数据段之外的数据做人为的假设。
1.其原理如下：Burg 算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km 的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。
计算m 阶预测误差的递推表示公式如下：x(n)(n)(n)(n)1)-(n (n)1)-(n (n)(n)0f 0f 1-m m 1-b m 1-m f 1-m m e e e e ==+=+=e k e e k e b b m b m f求取反射系数的公式如下：}1)]-(n [(n)]{[1)]-(n (n)[2-2b 1-m 2f 1-m b 1-m f 1-m m e e e e +=E E k 对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成：[][][][]{}p ,2,1,1)-(n (n)1)-(n (n)2-1-21-21-1-mn 1-1-，⋯=+=∑∑==m N m n b m f m N b m f m m e e e e k 这样便可求得AR 模型的反射系数。
将m 阶AR 模型的反射系数和m-1阶AR 模型的系数代入到Levinson 关系式中，可以求得AR 模型其他的p-1个参数。
Levinson 关系式如下：1-m 1,2,i i),-(m (i)(i)1-m 1-m m ，⋯=+=a k a a mm 阶AR 模型的第m+1个参数G ，ρm 2G =,其中ρm 是预测误差功率，可由递推公式)-(12m 1-m m k ρρ= 求得。
易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR 模型误差功率ρ0 ρ0=[](0)(n)E x 2R x = 可知该式由给定序列易于求得。
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
burg法实现功率谱估计
用burg 法实现功率谱估计参数模型法是现代谱估计中的主要内容，AR 模型参数的求解有三种方法：自相关法、Burg 递推算法和改进协方差法。
Burg 算法不是直接估计AR 模型的参数，而是先估计反射系数Km,再利用Levinson 关系式求得AR 模型的参数。
Burg 算法采用的数据加窗方法是协方差法，不含有对已知数据段之外的数据做人为的假设。
1.其原理如下：Burg 算法是使前向预测误差和后向预测误差均方误差之和最小来求取Km 的，它不对已知数据段之外的数据做认为假设。
计算m 阶预测误差的递推表示公式如下：x(n)(n)(n)(n)1)-(n (n)1)-(n (n)(n)0f 0f 1-m m 1-b m 1-m f 1-m m e e e e ==+=+=e k e e k e b b m b m f求取反射系数的公式如下：}1)]-(n [(n)]{[1)]-(n (n)[2-2b 1-m 2f 1-m b 1-m f 1-m m e e e e +=E E k 对于平稳随机过程，可以用时间平均代替集合平均，因此上式可写成：[][][][]{}p ,2,1,1)-(n (n)1)-(n (n)2-1-21-21-1-mn 1-1-，⋯=+=∑∑==m N m n b m f m N b m f m m e e e e k 这样便可求得AR 模型的反射系数。
将m 阶AR 模型的反射系数和m-1阶AR 模型的系数代入到Levinson 关系式中，可以求得AR 模型其他的p-1个参数。
Levinson 关系式如下：1-m 1,2,i i),-(m (i)(i)1-m 1-m m ，⋯=+=a k a a mm 阶AR 模型的第m+1个参数G ，ρm 2G =,其中ρm 是预测误差功率，可由递推公式)-(12m 1-m m k ρρ= 求得。
易知为进行该式的递推，必须知道0阶AR 模型误差功率ρ0 ρ0=[](0)(n)E x 2R x = 可知该式由给定序列易于求得。
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析
对功率谱估计常用方法的探讨及应用分析功率谱估计是信号处理中常用的一种方法，它可以将信号的频率特性展示出来，对于信号的分析和处理具有重要意义。
常用的功率谱估计方法包括周期图法、解析法、Welch方法、Bartlett方法和Burg方法等。
本文将对这些方法进行探讨并分析其应用。
周期图法是一种基本的功率谱估计方法，它基于傅里叶变换的思想，通过将信号分解为不同频率的正弦波分量，然后计算每个分量的功率，从而得到信号的频谱特性。
该方法的优点是计算简单，但对于非平稳信号或信号中存在窗函数时会引入谱漏，导致估计结果不准确。
解析法是一种使用解析信号估计功率谱的方法。
解析信号是通过原始信号与希尔伯特变换得到的，它具有正频谱和负频谱的特点。
该方法的优点是可以避免频谱漏失的问题，但计算量较大。
应用方面，解析法常用于振动信号的分析和故障诊断中。
Welch方法是一种常用的频谱估计方法，它通过对信号进行分段处理，然后对每个片段进行傅里叶变换，最后将各个片段的功率谱进行平均得到最终的估计结果。
这样做的好处是可以减小谱漏的影响，并且可以根据需要进行频谱分辨率和频率平滑的调整。
Welch方法在信号处理中应用广泛，如语音和音频处理、通信系统等。
Bartlett方法是Welch方法的特例，它将信号分成互不重叠的窗函数片段，然后进行傅里叶变换并对功率谱进行平均。
这种方法的优点是计算简单，但对于非平稳信号可能会引入谱漏现象，导致估计结果不准确。
Bartlett方法在多传感器信号处理和谱估计的实时应用中常用。
Burg方法是一种利用自回归(AR)模型估计功率谱的方法。
AR模型假设信号的当前值与过去若干个值相关，通过建立AR模型并对其参数进行估计，可以得到信号的频谱特性。
该方法的优点是可以很好地处理非平稳信号，并且对信号中的噪声具有较好的抑制效果。
Burg方法在信号处理中广泛应用于信号的谱分析和预测等领域。
综上所述，功率谱估计方法在信号处理中具有重要的应用价值。
功率谱估计的经典方法
∞
=
Ryy (m) =
p =−∞
∑R
k = −∞ ∞
∑ h( k ) R
xx
∞
xx
( m − k ) = Rxx (m) ∗ h( m)
(m − p) Rhh ( p) = Rxx (m) ∗ Rhh (m)
或
= Rxx (m) ∗ h(m) ∗ h(−m) = Rxy (m) ∗ h(−m)
S yy (e jω ) = S xy (e jω ) H (e− jω )
jω
jω
jω
2
离散随机信号通过线性非移变系统
（4）输入随机过程与输出随机过程的互相关序列Rxy(m)
∞ Rxy ( m) = E [x ( n) y ( n + m) ] = E x ( n) ∑ h( k ) x ( n + m − k ) k = −∞
=
k = −∞
∑ h(k ) E[x(n) x(n + m − k )]
ˆ B =α − E [ α ]
无偏估计， 无偏估计 有偏估计，当观测数据为无穷时B = 0，则称其为渐 渐 B = 0时无偏估计 B ≠ 0 有偏估计 进无偏估计。无偏估计和渐进无偏估计又称为是好估计 进无偏估计 好估计。 好估计
均值 均方值
E[xn ] = mxn = ∫ xpxn ( x, n)dx
∞ −∞
E x = ∫ x 2 pxn ( x, n)dx
2 n −∞
[ ]
2
∞
方差
E xn − mxn
[(
) ]= σ
2 xn
=∫
∞ −∞
(x − m )
xn
功率谱分析
功率谱分析1.原理：经典算法FFT：，先用FFT求出随机离散信号N点的DFT，再计算幅频特性的模平方，然后除以N，即得出该随机信号得功率谱估计。
由于这种估计方法在把R(r)离散化的同时，使其功率谱周期化，故称之为“周期图法”，也称为经典谱估计方法。
AR模型正则方程与参数计算：由式()=可知，是白噪声的功率谱（已知），要求功率谱S，只需求出H(z)的能量谱。
Yule-Walker方程：p阶AR模型系统函数为H(z)=只需求出和G（有时令G=1）。
由p+1个自相关函数（(0)到(p)）组成的矩阵可以解出。
Levison-Durbin快速递推法：由R(0)和p个反射系数(到)通过公式求出。
Burg算法：由预测误差递推公式:以及=-，m=1,2,,p可得多信号分类法（MUSIC法）：求出自相关矩阵后进行特征分解，根据特征值判断信号源个数，通过=式 4.4.14,可观察出信号频率。
2.过程：已知函数x(i) = 10*sin(2*pi*0.2*i)+20*sin(2*pi*0.3*i)+w(n)其中w(n)为零均值方差为1的AWGN，采样点n=128，取p=64阶，用MATLAB 分别通过4种方法估计功率谱，观察功率谱估计出并与已知函数比较。
3.结果：FFTYule-Walker方程Levison-Durbin快速递推Burg算法MUSIC算法4.分析：FFT：经典法进行谱估计，是有偏估计，由于卷积的运算过程会导致功率谱真实值的尖峰附近产生泄漏，相对地平滑了尖峰值，因此造成谱估计的失真。
经典谱的主要缺点是频率分辨率低。
这是由于周期图法在计算中把观测到的有限长的N个数据以外的数据认为是零，这显然与事实不符。
解Yule-Walker方程与Levison-Durbin快速递推方法所得结果完全一致（因为是同一种算法）：，结果很理想。
直接解Yule-Walker方程较简单, 但谱分辨率相对较差。
使用Levinson- Durbin 递推可快速的求解AR 系数。
功率谱估计的经典方法
功率谱估计的经典方法周期图法是最早被提出的功率谱估计方法之一、它基于信号的周期性，将信号分解成一系列频率分量，然后计算每个频率分量的功率谱密度。
周期图法主要分为周期自相关法和周期平均法两种。
周期自相关法通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
周期平均法则是通过对多个信号周期进行平均得到功率谱估计结果。
平均法是功率谱估计的另一种常用方法。
它通过对信号进行多次采样，然后计算采样信号的傅里叶变换得到频谱，再对多个频谱进行平均得到功率谱估计结果。
平均法的优点是抗噪声能力强，可以提高功率谱估计的准确性。
自相关法是一种基于信号自身特性的功率谱估计方法。
它通过计算信号的自相关函数，然后进行傅里叶变换得到功率谱估计结果。
自相关法的优点是计算简单，但是对信号的平稳性要求较高。
递归方法是一种实时性较好的功率谱估计方法。
它通过对信号进行递推计算，每次计算结果作为下一次计算的输入，以此来估计信号的功率谱。
递归方法通常会使用窗函数来平滑信号，减小频谱分辨率。
递归方法的优点是计算效率高，可以用于实时信号处理。
除了这些经典方法，还有一些其他的功率谱估计方法，如Yule-Walker方法、Burg方法、最大熵方法等。
每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法需要根据具体需求和信号特性进行判断。
在实际应用中，功率谱估计可以用于信号处理、通信系统设计、频谱分析等领域。
它可以帮助我们了解信号的频谱分布特性，对信号进行分析和处理，从而实现更好的信号传输和处理效果。
无论是音频信号、图像信号还是通信信号，功率谱估计都具有重要的意义。
因此，掌握功率谱估计的经典方法是进行信号处理和频谱分析的基础。
经典功率谱估计与现代功率谱估计的对比
结论
经典功率谱估计方法在信号处理领域具有广泛的应用价值。本次演示详细介 绍了经典功率谱估计的基本原理、误差分析和仿真实现方法。通过仿真实验，我 们验证了这些方法的性能表现，并得出了在不同条件下的优劣比较。尽管经典功 率谱估计方法存在一定的局限性，但它们在很多情况下仍具有很好的适用性。
未来研究方向可以包括研究更为精确和高效的功率谱估计方法，以适应不断 变化的应用需求和提高信号处理的精度。加强经典功率谱估计在实际问题中的应 用研究，将有助于推动其在各领域的广泛应用和发展。
现代功率谱估计方法则更加注重信号的特性和模型化，能够更好地处理非平 稳信号和复杂场景。其中，基于信号模型的功率谱估计方法可以针对特定场景选 择合适的模型，提高估计精度；而基于深度学习的功率谱估计方法则可以通过训 练神经网络自动提取和学习信号特征，具有很强的适应性。
然而，现代功率谱估计方法也存在着实现难度较大、需要大量数据来训练模 型等问题。同时，这些方法的效果还受到模型复杂度、网络参数等因素的影响。
感谢观看
总之，通过本次演示的讨论和实验，我们深入理解了经典功率谱估计的基本 原理和实现方法，并成功地使用MATLAB实现了功率谱估计。尽管存在一些不足之 处，但经典功率谱估计在许多场景下仍然是一种简单有效的工具。在未来的研究 中，我们可以考虑探索更高级的算法和优化实现细节，以提高功率谱估计的性能 和准确性。
仿真实现
为了验证经典功率谱估计方法的有效性和精度，我们可以利用仿真工具进行 实验。具体步骤包括：
1、生成信号：根据实际需求，我们可以生成不同类型的信号，如周期信号、 随机信号和实际应用中的信号等。
2、加入噪声：在实际应用中，信号往往会受到噪声的干扰，因此，我们需 要在仿真实验中加入噪声，以模拟真实情况。
基于AR模型的Burg算法功率谱估计
三种功率谱估计方法性能研究1.前言:我们已经知道一个随机信号本身的傅里叶变换并不存在,因此无法像确定性信号一样用数字表达式来精确表达它,而只能用各种统计平均量来表征它. 其中,自相关函数最能完整地表它他的统计平均量值.而一个随机信号的功率谱密度正是自相关函数的傅里叶变换,可以用功率谱密度来表征它的统计平均谱密度(PSD). 跟据维纳辛钦定理,广义平稳随机过程的功率谱是自相关函数的傅里叶变换,它取决于无数多个自相关函数值. 但对于许多实际应用中,可资利用的观测数据往往是有限的,所以要准确计算功率谱通常是不可能的.比较合理的目标是设法得到功率谱的一个好的估值,这就是功率谱估计. 也就是说,功率谱估计是根据平稳随机过程的有限个观测值,来估计该随机过程的功率谱密度.功率谱估计的评价指标包括客观度量和统计度量. 在客观度量中,谱分析特性是一个主要指标.谱分析是指估计普对真实谱中两个靠的很近的谱峰的分辨能力.统计度量是指估计的偏差,方差,均方误差,一致性等评价指标.但需要注意的是,对统计特性的分析方法只适用于长数据记录.所以,利用统计度量对不同的谱估计方法进行比较是不妥当的,只能用来对某种谱估计方法进行描述,并且一般只用来描述古典谱估计方法,因为现代谱估计方法往往用于短数据情况.功率谱估计可以分为经典谱估计(非参数估计)和现代谱估计(参数估计)。
通常将傅里叶变换为理论基础的谱估计方法叫做古典谱估计或经典谱估计;把不同于傅里叶分析的新的谱估计方法叫做现代谱估计或近代谱估计.前者主要有周期图法,自相关法及其改进方法. 现代功率谱估计方法主要有基于参数模型的自相关法、Burg 算法、改进的协方差方法等，基于非参数模型的MUSIC 算法、特征向量方法等。
本文选取比较有代表性周期图法, Burg 算法、Yule-Wallker 法（自相关法）算法进行计算机仿真，通过仿真发现了这些算法各自的优缺点，并进行归纳总结。
2三种算法的基本理论2.1 周期图法周期图法又称直接法,其具体步骤如下:第一步: 由获得的N 点数据构成的有限长序列()x Nn 直接求傅里叶变换,得频谱()x i N e ω,即()()-1-=0x =N i i N Nn ex n eωω∑ (1)第二步: 取频谱幅度的平方,并除以N,以此作为对()x n 的真实功率谱()i x S eω的估计,即()()21ˆ=i i xN S e X eNωω(2)综上所述，先用FFT 求出宿疾随机离散信号N 点的DFT ，再计算幅频特性的平方，然后除以N ，即得出该随机信号得功率谱估计。
功率谱估计浅谈讲解
功率谱估计浅谈摘要：介绍了几种常用的经典功率谱估计与现代功率谱估计的方法原理，并利用Matlab对随机信号进行功率谱估计，对两种方法做出比较，分别给出其优缺点。
关键词：功率谱；功率谱估计；经典功率谱估计；现代功率谱估计前言功率谱估计是从频率分析随机信号的一种方法,一般分成两大类:一类是经典谱估计;另一类是现代谱估计。
由于经典谱估计中将数据工作区以外的未知数据假设为零，这相当于数据加窗，导致分辨率降低和谱估计不稳定。
现代谱估计则不再简单地将观察区外的未知数据假设为零，而是先将信号的观测数据估计模型参数，按照求模型输出功率的方法估计信号功率谱，回避了数据观测区以外的数据假设问题。
周期图、自相关法及其改进方法(Welch)为经典(非参数)谱估计方法, 其以相关和傅里叶变换为基础,对于长数据记录较适用,但无法根本解决频率分辨率低和谱估计稳定性的问题,特别是在数据记录很短的情况下,这一问题尤其突出。
以随机过程的参数模型为基础的现代参数法功率谱估计具有更高的频率分辨率和更好的适应性,可实现信号检测或信噪分离,对语音、声纳雷达、电磁波及地震波等信号处理具有重要意义,并广泛应用于通信、自动控制、地球物理等领域。
在现代参数法功率谱估计方法中,比较有效且实用的是AR模型法，Burg谱估计法,现代谱估计避免了计算相关,对短数据具有更强的适应性,从而弥补了经典谱估计法的不足,但其也有一些自身的缺陷。
下面就给出这两类谱估计的简单原理介绍与方法实现。
经典谱估计法经典法是基于传统的傅里叶变换。
本文主要介绍一种方法：周期图法。
周期图法由于对信号做功率谱估计，需要用计算机实现，如果是连续信号，则需要变换为离散信号。
下面讨论离散随机信号序列的功率谱问题。
连续时间随机信号的功率谱密度与自相关函数是一对傅里叶变换对，即：()()j x x S R e d +∞-Ω-∞Ω=⎰τττ若()x R m 是()x R Ω的抽样序列，由序列的傅里叶变化的关系，可得()()j j n x x m S e R m e ωω∞-=-∞=∑即()j x S e ω与()x R m 也是一对傅里叶变换对。
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现代信号处理作业
实验题目：
设信号)()8.0cos(25.0)47.0cos()35.0cos()(321n v n n n n x ++++++=θπθπθπ，其中321,,θθθ是[]ππ,-内的独立随机变量，v(n)是单位高斯白噪声。
1.利用周期图法对序列进行功率谱估计。
数据窗采用汉明窗。
2.利用BT 法对序列进行功率谱估计，自相关函数的最大相关长度为M=64,128,256,512采用BARTLETT 窗。
3.利用Welch 法对序列进行功率谱估计，50%重叠，采用汉明窗，L=256,128,64。
4.利用Burg 法对序列进行AR 模型功率谱估计，阶数分别为10，13.
要求每个实验都取1024个点，fft 作为谱估计，取50个样本序列的算术平均，画出平均的功率谱图。
实验原理：
1）。
周期图法：
又称间接法，它把随机信号的N 个观察值x N (n)直接进行傅里叶变换，得到X N (e jw ),然后取其幅值的平方，再除以N ，作为对x （n ）真实功率谱的估计。
2^
)(1)(jw e X N
w P N per =
， 其中∑-=-=1
)()(N n jwn N jw
N e n x e X 2）。
BT 法：
对于N 个观察值x(0),x(1),。
,x(N-1),令x N (n)=a(n)x(n)。
计算r x （m ）为
∑--=-≤+=
m
N n N N
x N m m n x n x
N m r 10
1),()(1
)(,计算其傅里叶变换
∑-=--≤=
M
M
m jwm x
BT N M e m r
m v w P 1 ,)()()(^
^
，作为观察值的功率谱的估计。
其中v(m)是平滑窗。
3)。
Welch 法：
假定观察数据是x(n),n=0,1,2...,N-1，现将其分段，每段长度为M,段与段之间的重叠为M-K,第i 个数据段经加窗后可表示为 1,...,1,0 )()()(-=+=M i iK n x n a n x i M
其中K 为一整数，L 为分段数，该数据段的周期图为
2)(1)(^w X MU w P i M i
per =，其中∑-=-=1
0)()(M n j w n i
M i M e n x w X 。
由此得到平均周期图为
∑-==10
^_
)(1)(L i i
per w P L w P 。
其中归一化U 取∑-==
10
2
)(1M n n a
M U 。
4）。
Burg 法：
在约束条件下，使得)(2
1^^^
b
f ρρρ+=极小化，其中，约束条件是它所得到的
各阶模型解要求满足Levison 递归关系。
仿真结果：
1.周期图法
2.1）BT 法，平滑窗采用BARTLETT窗，长度为64；
2.3）BT 法，平滑窗采用BARTLETT窗，长度为256；
3.1 L=256
3.2 L=128
3.1 L=64
4.1。
Burg 法，阶数为10；
4.1。
Burg 法，阶数为13；
仿真分析：
1. 周期图法得到的功率谱，特点是离散性大，曲线粗糙，方差较大，但是分辨率较高；
2. 从图中可以看出间接法估计的偏差大于周期图法。
这是因为BT 法在)(^
m r x 上施加了一个较短的平滑窗v(m)。
但是BT 法得到的功率谱的方差，从图中可以看出，要小于周期图法得到的方差，所以
其分辨率要比周期图法差。
从理论上，BT 法和周期图法的方差之比为∑-==
ΛM
M
n n v
N
)(1
2
，一般
来说，v(m)是以m=0对称递减的，又M<<N,所以Λ<1。
验证了实验所得。
BT 法中对于延迟窗取不同的长度，从图中可以看出，长度越长，方差越大，分辨率越高。
因为BT 法的方差和∑-=M
M
n n v
)(2
成正比关系，当
长度越长时，
∑-=M
M
n n v
)(2
越大，所以得到的功率谱的方差越大。
（BT 法中要求平滑窗的长度为2M+1，即为奇数，关于m=0处对称。
本实验中，给出的平滑窗为偶数，与自相关函数关于m=0对称，且r （0）最大这一特性是否十分吻合，值得商榷）。
3. Welch 法是将N 点观察值分为L 个数据段，用以改善功率谱图的方差特性。
从图中看出，对比周期图法，Welch 法作出的功率谱图的方差特性的确得到大大的改善。
但是在给每段序列用适当的窗口函数加权后，在得到平滑的估计结果同时，使得功率谱额主瓣变宽，因此分辨率有所下降。
从图中可以看出，Welch 法中，随着分的段数增加，得到的功率谱的方差变得更好，这是因为Welch 法中方差与分的段数大约成反比关系。
而分辨率则随着段数增加而下降。
4. burg 法从图中可以看出，随着阶数的增高，分辨率提升。
本实验中，由于阶数比较小，得到的功率谱图并不理想。
现代谱估计的一些隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的
长度, 不象经典谱估计那样受窗函数的影响。
因而现代谱的分别率比较高, 而且现代谱线要平滑得多。