功率谱估计讲解

先根据样本数据估计自相关函数r̂ xx(m)，再利用FFT 变换，得到功率谱的估计PBT(w)。
rˆxx (m)

1 N
N |m|1
x(n)x(n
n0

m)
m
PˆBT (w) rˆxx (m) e jwm m
自相关法
由于在估计x的自相关函数时，数据的长度为N， 因此估计的自相关函数r̂ xx(m)的长度为2N-1点：
30
20
10
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
40
30
20
10
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
数据长度N对周期图法的影响
同时，若N增加，三角窗的主瓣宽度变小，则提 高了估计谱的频谱分辨率，即估计谱能够分辨 真实谱中两个靠的很近的谱峰。
x(n) 5sin(nw1 1) 5sin(nw2 2 ) v(n)
自相关法和周期图法的关系
将周期图法的估计式展开：
Pˆxx (w)

1 N
|
N 1
x(n)e jwn
n0
|2
1
N
N
x(k )e jwk
x* (n)e jwn
N k0
n0
1
x(k )x* (n)e jw(kn)
Nk n
令m=k-n，则k=m+n
自相关法和周期图法的关系
rˆxx (m) 0rˆxx (m)
| m | N 1 else
这样，功率谱估计为：
mN 1
PˆBT (w)
rˆxx (m) e jwm
m N 1
周期图法
相关法是利用样本数据对自相关函数进行估计， 进而估计功率谱密度，而周期图法则根据功率 谱密度的另一定义：
Pˆxx (w) PˆBT (w)
实际上由于周期图法需要傅立叶变换，在快速 傅立叶变换出现之前，自相关法比较多的应用 于谱估计。
周期图法估计功率谱的性能分析
偏移量 方差 一致性
周期图法的偏移量
与相关法等价，因此功率谱估计为：
N 1
Pˆxx (w)
rˆxx (m)e jwm
N增加，表示三角窗的时域长度增加，则其频域的主 瓣宽度4π/N 减小，那么三角窗的平滑效果减小，则 估计的谱的波动性增加。
x(n) 5sin(nw1 ) v(n)
其中θ是在[0 2 π ]范围内均匀分布的随机变量，v(n) 是均值0、方差1的白噪声，数据长度分别为64、512
数据长度N对周期图法的影响
功率谱估计
--非参数估计方法
功率谱估计
经典功率谱估计（非参数法）
自相关法 周期图法
参数谱估计（参数法）
AR、MA、ARMA模型
经典谱估计法-自相关法
自相关法-BT(Blackman-Tukey提出)
随机信号的一个样本数据为[x(0),x(1),…,x(N-1)]，长 度为N。
m( N 1)
其均值为：
N 1
E[Pˆxx (w)]
E[rˆxx (m)]e jwm
m( N 1)
周期图法的偏移量
自相关函数为有偏估计：
E[Pˆxx (w)]

N 1 m( N 1)
N
| N
m
|
rxx (m)e
jwm

v(m)rxx (m)e jwm m
Pˆxx (w)

N 1 [ 1 N m( N 1)
N 1m n0
x* (n)x(n m)]e jwm
N 1

rˆxx (m)e jwm
m( N 1)
这里的自相关函数估计实际上就是有偏估计的 自相关函数。
自相关法和周期图法的关系
因此，利用有偏估计得到的自相关函数，再计 算功率谱，与周期图法估计的功率谱密度是等 价的：
6
7
N=64
数据长度N对周期图法的影响
50
0
-50
-100
0
1
2
3
4
5
6
7
30
20
10
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
N=128
周期图法的改进
周期图法的不足
N太大，谱曲线起伏加剧 N太小，谱的分辨率又太小
周期图法的改进
平均周期图法 窗函数法 修正的周期图求平均法
平均周期图法
Pxx (w)

lim
N
E[ 1 N
|
N 1
x(n)e jwn
n0
|2 ]
周期图法
由于只有一个样本函数，因此忽略期望运算， 得到周期图法的功率谱估计：
Pˆxx (w)

1 N
|
N 1
x(n)e jwn
n0
|2
周期图法
x(n) FFT
取模的平方
Pˆxx (w)
1/ N
其中v(m)为三角窗函数：
N|m|
v(m)


N
0
| m | N else
周期图法的偏移量
这样，功率谱的均值为：
E[Pˆxx (w)] Pxx (w) V (w)
估计的功率谱密度的均值是真实功率谱和三角 窗函数幅度谱的卷积，是有偏估计。
同时随着N→∞，三角窗函数的谱接近于冲激相 应，这样估计的功率谱的均值趋向于真实谱， 因此周期图法是渐进无偏估计。
周期图法的方差
这里为了分析简单，假设随机序列是N(0,σx2) 的白噪声信号，其周期图估计的功率谱表示为 IN(w)，则方差为：
var[ I N
(w)]
Hale Waihona Puke E[I2 N
(w)]
|
E[I N
(w)]
|2


x4{1

[
sin(N w) N sin(N w)
]2}
周期图法的方差
这样周期图法的方差和σx4是一个数量级，而信 号的功率是σx2 ，因此周期图法的方差是比较大， 即表示周期图法估计功率谱密度的波动性比较 大
其中θ1、θ2是在[0 2π]范围内均匀分布的随机变 量，v(n)是均值0、方差1的白噪声
数据长度N对周期图法的影响
40
20
0
-20
-40
0
1
2
3
4
5
6
7
30
20
10
0
-10
0
1
2
3
4
5
6
7
N=40
数据长度N对周期图法的影响
40
20
0
-20
-40
-60
0
1
2
3
4
5
6
7
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
同时由于估计方法的一致性取决于估计的均值 和方差，因此周期图法是非一致性估计。
数据长度N对周期图法的影响
周期图法估计功率谱密度的均值为真实谱和三 角窗函数幅度谱的卷积：
E[Pˆxx (w)] Pxx (w) V (w)
则三角窗函数的长度为2N-1。
数据长度N对周期图法的影响
由于是卷积的关系，因此三角窗的长度对真实 谱的影响为：