滤波与功率谱估计

清华大学

《数字信号处理》期末作业

2013 年 1 月

第一题掌握去噪的方法

1.1 题目描述

MATLAB 中的数据文件noisdopp 含有噪声，该数据的抽样频率未知。调出该数据，用你学过的滤波方法和奇异值分解的方法对其去噪。要求：1．尽可能多地去除噪声，而又不损害原信号；

2．给出你去噪的原理与方法；给出说明去噪效果的方法或指标；

3．形成报告时应包含上述内容及必要的图形，并附上原程序。

1.2 信号特性分析

MATLAB所给noisdopp信号极其频域特征如图1.1、图1.2。

图1.1含有噪声的noisdopp信号

图1.2 noisdopp 信号频域特性

其中横坐标f 采用归一化频率，即未知抽样频率Fs 对应2（与滤波器设计时参数一致）。信号基本特性是一个幅值和频率逐渐增加的正弦信号叠加噪声，噪声为均匀的近似白噪声，没有周期等特点。

因为噪声信号能量在全频带均匀分布，滤波器截止频率过低则信号损失大，过高则噪声抑制小，认为频谱中含有毛刺较多的部分即为信噪比较小的部分，滤除这部分可以达到较好的滤波效果。

先给定去噪效果的评定指标。信号开始阶段频率较高（如图1.3，红圈为信号值），一周期内采样点4~5个，即信号归一化频率达到0.4~0.5（Fs=2），难以从频域将这部分信号同噪声分离，滤波后信号损失较大，故对前128点用信噪比考察其滤波效果，定义：

22

()10lg (()())k k x k SNR y k x k =-∑∑

其中，()x k 为原nosidopp 信号，()y k 为滤波后信号。SNR 越大表示滤除部分能力越小，可以反映滤波后信号对原信号的跟踪能力，对前128点主要考察SNR ，越大滤波器性能越好。

对128点以后的点，信号能量集中在低频部分，滤波后效果不仅仅需考察

SNR，同时考察滤波后信号的平滑程度。定义平滑指标[1]

2

2

((1)())

((1)())

k

k

y k y k

r

x k x k

+-

=

+-

∑

∑

r越小表示滤波后信号相比原信号更加平滑，滤波效果更好。

图1.3信号前100点

本文采用整体滤波、分时段滤波和奇异值分解的方法分别对信号进行去噪，并采用信噪比和平滑指数两个指标评定去噪效果。

1.3 滤波器设计

根据信号的频谱，设计IIR滤波器和FIR滤波器对信号去噪，用重叠相加法对信号进行卷积运算（每128点截为16段）。根据信号的频谱，均采用低通滤波方法去噪，将滤波器截止频率设为0.2。

1.3.1 IIR 滤波器滤波

设计巴特沃斯低通滤波器，给定参数

0.17,0.23,0.1,60p s p s R dB R dB ωω====，由buttord 得到阶数7N =。用MATLAB 函数butter 设计滤波器，并得到70点频率响应如图1.4，滤波器冲击响应如图1.5。

图1.4 巴特沃斯低通滤波器幅频特性

图1.5 巴特沃斯低通滤波器冲击响应

采用重叠相加法计算nosidopp信号于巴特沃斯低通滤波器卷积结果。nosidopp信号每128点分为一段，共16段，得到滤波后信号有1093点。由图1.5可以得到，设计得到的巴特沃斯滤波器存在30点的延时，取卷积后信号31点开始的1024点为滤波后信号y。得到滤波后信号如图1.6。与原信号比较如图1.7。

图1.6滤波后信号

图1.7滤波后信号与原信号

直观看滤波后信号去除了大部分噪声，但开始高频部分信号损失较多（如图1.7），后尾部信号频率较低，滤波后噪声含量仍比较多。

图1.8信号起始部分

前128点信噪比SNR为3.429，后896点信号SNR为12.715，全信号平滑指标为0.0642。

本题中设计的IIR滤波器的问题在于①不是线性相位，只能近似得到滤波后信号的延时，滤波后信号难以同原信号“对齐”②冲击响应无限长，有限长序列通过IIR系统得到的输出也是无限长，存在截断误差③分时段设计滤波器时计算较慢。

1.3.2 窗函数法设计FIR滤波器滤波

选择性能较优的汉宁窗设计低通滤波器，截止频率0.2，N取34，得到35点长度的滤波器。得到滤波器幅频响应和冲击响应如图1.9，图1.10

图1.9低通滤波器幅频特性

图1.10低通滤波器冲击响应

该低通滤波器具有很好的线性相位，输出信号存在N/2=17点的延时，得到的滤波后信号如图1.11。与原信号比较如图1.12。

图1.11滤波后信号

图1.12滤波后信号与原信号

直观感觉比巴特沃斯滤波器的滤波结果在信号尾部纹波减小，信号开始部分损失也比较大。得到前128点信噪比SNR为6.448，后896点信号SNR为14.418，全信号平滑指标为0.0643。由计算得到的SNR和平滑指标看，窗函数法得到的滤波器滤波效果比巴特沃斯滤波器要好。

采用矩形窗设计同样阶数的FIR滤波器，得到的滤波效果为：前128点信噪比SNR为10.303，后896点信号SNR为15.738，全信号平滑指标为0.184，如图1.13。

图1.13滤波后信号与原信号

显然，全信号采用同样的滤波器参数滤波，信号高频分量保持较好，则会保留较多的噪声。若在频域对信号直接加窗，相当于N=∞的窗函数滤波器，恢复信号有明显的吉布斯现象，如图1.14。

图1.14滤波后信号的吉布斯现象

1.3.3 一致逼近法设计FIR滤波器滤波

选择性切比雪夫一致逼近法设计低通滤波器，截止频率0.2，N取34，通带、阻带加权均取1，得到35点长度的滤波器。滤波器幅频响应如图1.15。

图1.15低通滤波器幅频特性