经典功率谱估计讲解

由维纳—辛钦定理
称周期图
Pˆx ( )

1 N
DTFT{xN [n]* xN [n]}
用IN()表示

1 N
XN
(e j
)X N
(ej )
1 N
X N (e j ) 2
1、周期图法
周期图法功率谱估计的方法与步骤：
xN [k]
DTFT
X
N
(e j
)
功率谱估计

功率谱估计为：
IN ( )
1 N
X N (e j ) 2
1 N
X
N
(e
j
)
X
* N
(e
j
)
1 (1 ej2 )(1 e j2 ) 2 (1 cos )
3
3
例2：利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计 产生30组N点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪 声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱 估计值，并分析谱估计质量。
方差：
var{
I
N
(
)}


4{1


sin( N ) N sin

2
}
N增加， 方差不减小，不是一致估计！
周期图法的改进
1. 问题的提出 周期图法进行功率谱估计, 方差不随N的增加减小。
如何提高谱估计质量? 即如何减小方差？ 方法: (1) 对自相关函数估计值加窗。 (2) 将N个观测值分段, 计算各段的周期图, 再取平均。
P
x
( )

1 N
X N (e j ) 2
xN [k] DFT
X
N
[m]
功率谱估计

P
x
[m]

1 N
X N [m] 2
其中：
X
N
(e
j
)

DTFT{xN
[k ]}

N 1
xN
[k ]e jk
k 0
N 1
j2π mk
X N [m] DFT{xN [k]} xN [k]e N
w[n] 0
n M
2、平滑周期图(Blackman-Tukey法)
B-T法进行功率谱估计的主要步骤： (1) 利用观测数据估计自相关序列。 (2) 对自相关函数估计值加窗。 (3) 计算加窗后自相关函数的DTFT。
优点：PM()波动比IN ()小，是一致估计
缺点：降低了频率分辨率
3、平均周期图法(Welch-Bartlett法)
分析：利用随机信号产生器产生30组N点平稳高斯白 噪声，由下式：

P x ( )
1
N
X N (e j ) 2
分别计算出30组信号的周期图，再取平均即可 得到功率谱估计值 。
平稳高斯白噪声功率谱估计结果(周期图法)
Power Spectral(dB)
N=64 20
N=128 20
Power Spectral(dB)
结论：
功率谱估计值在0dB附近波动，波动的大小不 随数据长度N的增加而减小，即周期图法谱估计的
方差较大，且不随N的增加而减小。
1、周期图法
2）周期图法功率谱估计的质量
N 1
均值：E{IN ()}
n( N 1)
N n R[n]e j n N
N，E{IN()}= Px()}，渐进无偏估计
第六章 功率谱估计
6.5 经典功率谱估计
•
广州大学物理与电子工程学院
主要内容
1、周期图法 2、平滑周期图法 3、平均周期图法
1、周期图法
1）周期图法功率谱估计
已知：
x[k ] xN [k] 0
k 0,1,, N 1 其他
方法基础——卷积和:
Rˆ x[n]
1 N
xN [n]* xN [n]
分析：
(1) 对每组512点数据按各段数据重叠50%的方式 分成3段256点序列，7段128点序列，15段64
点序列，31段32点序列。
(2) 求出每段数据的周期图：
I
i M
[m]

1 M
X
i M[m]2(3) 再取平均即得各组数据的功率谱估计 ,即：
PMA ( )
1 A
A1
I
i M
(
k 0
例1：用周期图法计算功率谱估计 已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为 x[k]={1, 0，1}，试利用周期图法估计其功率谱。
分析： 利用周期图法计算功率谱估计的关键是： 1)获得随机序列单一样本N个观测值的傅氏变换！
2)再由下式即得功率谱估计：
Pˆx ( ) IN ( )
1 N
X N (e j ) 2
2、平滑周期图法
平滑周期图法进行功率谱估计的主要步骤：
(1) 利用观测数据估计自相关序列； (2) 对自相关函数估计值加窗； (3) 计算加窗后自相关函数的DTFT。
五 、小结
3、平均周期图法
将随机序列X[k]的N个观测值分成A段：
xi [k] x[iM k];i 0,1, A 1; k 0,1, M 1
第i段序列的周期图为：I
i M
( )

1 M
X M (e j ) 2
得到平均周期图：PMA ( )
1 A1 A i0
I
i M
(
)
4、重叠平均周期图法(Welch法)
与平均周期图法的区别：将数据分段时对各段数据 有一定程度的重叠。
1 N
X N (e j ) 2
例1：用周期图法计算功率谱估计 已知实平稳随机序列X[k]单一样本的N个观测值为 x[k]={1, 0，1}，试利用周期图法估计其功率谱。
解： 对x[k]进行离散时间傅里叶变换(DTFT)：
N 1
X N (e j ) x[k]e jk 1 e j2 k0
2、平滑周期图(Blackman-Tukey法)
对自相关函数估计值加窗, 将误差较大的估计值截去：
N 1
PM ( )
w[n]Rˆx[n]e jn
n ( N 1)
窗函数w[n] (M<N)满足下述条件：
0 w[n] w[0] 1

w[n] w[n] n M
结论：
1）随着分段数A的增加，谱估计越来越平滑， 方差明显减小。
2） Welch法的谱估计结果比周期图法的谱估计 结果有显著改善，更接近理论分析(0dB) 。
五 、小结
1、周期图法
Pˆx ( )
1 N
DTFT{xN [n]* xN [n]}

1 N
X N (e j ) X N (ej )
平均周期图法估计质量：
var{PMA ( )}
1 A
var{I
i M
(
)}
A, 方差为零，是一致估计
因为 所以
bia[ I N
( )]
N 1

n( N 1)
n N
R[n]e jn
bia[I
i M
(
)]

bia[I
N
(
)]
平均周期图方差减小的代价之一是偏差增大。
4、重叠平均周期图法(Welch法)
)
i0
平稳高斯白噪声功率谱估计结果(Welch法)
M=256 20
M=128 20
Power Spectral(dB)
Power Spectral(dB)
0
0
-20
-20
-40
-40
0
1
2
3
0
1
2
3
Frequency
Frequency
M=64 20
M=32 20
Power Spectral(dB)
0
0
20
20
40
40
0
1
2
3
0
1
2
3
Frequency
Frequency
N=256 20
N=512 20
Power Spectral(dB)
0
0
20
20
40
40
0
1
2
3
0
1
2
3
Frequency
Frequency
Power Spectral(dB)
例2：利用周期图法进行平稳高斯白噪声的谱估计 产生30组N点均值为零，方差为1的平稳高斯白噪 声，分别计算N=64，128，256，512时的功率谱 估计值，并分析谱估计质量。
Power Spectral(dB)
0
0
-20
-20
-40
-40
0
1
2
3
0
1
2
3
Frequency
Frequency
例2：利用Welch法进行平稳高斯白噪声的谱估计 产生30组512点均值为零，方差为1的平稳高斯 白噪声，利用Welch法按照50%重叠分别将其分 成A=3，7，15，31段，计算功率谱估计值，并 分析谱估计质量。
平均周期图法优点：减小方差 缺点：增加估计的偏差，降低了谱的分辨率
原因：分段即加窗，段越多，窗越短，主瓣宽度越大
解决方法：将各段数据有一定程度的重叠。
i=1
i=3
i=A
M
M
M
0
N-1
M
i=2
例2：利用Welch法进行平稳高斯白噪声的谱估计 产生30组512点均值为零，方差为1的平稳高斯 白噪声，利用Welch法按照50%重叠分别将其分 成A=3，7，15，31段，计算功率谱估计值，并 分析谱估计质量。