数学建模-钢管订购和运输

221案例10 订购和运输一、问题重述和分析要铺设一条1521A A A →→→ 的输送天然气的主管道，如图1所示,经筛选后可以生产这种主管道的钢厂有721,,,S S S . 图中粗线表示铁路，单细线表示公路，双细线表示要铺设的管道（假设沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路），圆圈表示火车站，每段铁路、公路和管道旁的阿拉伯数字表示里程（单位km ）.图1为了方便，1km 主管道称为1单位钢管. 一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产500个单位. 钢厂i S 在指定期限内能生产该钢管的最大生产数量为i s 个单位，钢厂出厂销价为i p 万元，如下表：72221单位钢管的铁路运价如下表：表21000以上每增加1至100运价增加5万元. 公路运输费用为1单位管道每公里0.1万元（不足整公里的按整公里计算）. 管道可由铁路、公路运往铺设地点（不只是运到点1521A A A →→→ ，而是管道全线）.问题1. 制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小，并给出总费用. 问题2. 就（1）的模型进行分析：哪个钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果.二、基本假设1． 在计算运费时，沿管道铺设路线上的公路与其它普通公路相同（1单位钢管每公里0.1万元）；2． 订购的钢管数量刚好等于需要铺设的钢管数量；3． 管道可由铁路、公路、管道全线运往铺设地点（不只是运到点1521,,,A A A ）； 4． 模型只考虑钢管销价费用和钢管从钢管厂运送到铺设点的钢管运费，而不考虑其它费用，如不计换车、转站的时间和费用，不计装卸费用等；5． 不计运输时由于运输工具出现故障等意外事故引起工期延误造成损失； 6． 销售价和运输价不受市场价格变化的影响.三、符号说明i S ： 第i 钢管厂i s ：表示i S 的最大生产能力j A ： 表示需要铺设管道路径上的车站 i j x ：从所有i S 运往j A 的钢管数223c i j ：表示单位钢管从i S 地运往j A 地的最小费用 i p ：从i S 订购钢管的单位价格Q ： 订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费 T ： 当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用Z ：用于订购和运输的总费用j y ： 运到j A 地向左铺设的数目 j z ： 运到j A 地向右铺设的数目d ： 单位钢管1公里的公路运输费用1 ,+j j A ： 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度四、模型的建立与求解问题1.1、 模型的建立钢管的订购和运输方案是直接影响工程费用的主要原因，因此，选取费用最小的路线运送货物，合理的订购计划是决定该工程费用的重要因素，首先利用图论的方法，来确定从钢管生产厂家到施工结点的费用最小路线，然后建立工程费用的优化模型，从中优化出最佳购运方案.对本问题而言，实际上是一个要求制定订购和运输计划，使总费用最小的优化问题. 本模型的总费用包括钢管的销价和运输总的费用. 首先，向某厂订购钢管，然后将在每个厂订购的钢管运往需要铺设的全路段. 欲解决本问题可以按以下方案进行思考：首先，需要确定将货物从i 地运往j 地的最优路线（费用最小）；然后，求出向每个钢管厂的订购计划，并确定出运输计划；最后计算将运往j 地的钢管铺到各个管道上的运输费用，我们不妨假设运往以j 为终点的钢管只铺到与j 点相邻的两段管道上. 因此，本问题可以按以下步骤求解.第一步：确定从i 地到j 地的最优路径，从而确定出单位钢管从i 地运往j 地的最小运费.)7,2,1( =i s i 表示钢管厂)7,2,1( =i S i 的最大生产能力，)15,,2,1( =j A j 表示需要铺设钢管路径上的车站. 假设从i S 运往j A 的钢管用于铺设j A 点左右侧的钢管数为j i x ,单位，单位产品从i S 到j A 地的运费为j i F ,万元，用j i ,c 表示单位钢管从i S 地224 运往j A 地的最小费用，则：j c min ij i F =（1）第二步：建立从i S 厂运送j ,i x 单位钢管到j A 点的运费的模型： 用Q 表示订购的所有钢管全部运到)15,,2,1( =j A j 点的总运费，则：15711Q c i j i j j i x ===∑∑；（2）第三步：将运到j A 处的钢管铺到相邻两段路上的运输费用对于运到j A 的钢管，它向左运输的总量j y ，它向左运输的总费用为：(1)(2)1j j j y d y d y dd ⨯+-⨯+-⨯⨯＝()0.1(12)0.051j j j y y y ⨯+++=+（万元）； 同理它向右运输的总费用为j j z z d2)1(+＝()0.051j j z z +用T 表示当钢管从钢厂i S 运到点j A 后，钢管向j A 的左右两边运输（铺设）管道的运输费用，得()()15j j j 1T 0.051y y 1j j z z =⎡⎤=+++⎣⎦∑（3）j z j y 和之间存在的关系为7i j i 11,1x ;(1,2,,15);(1,2,,14)j j jj j j y z j z y A j =++⎧=+=⎪⎨⎪+==⎩∑ （4）（1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度）第四步：建立订购费用的模型设W 表示订购管道的总费用，则可建立如下模型：225715, 1j 1W i i j i p x ===∑∑（5）又因为一个钢厂如果承担制造钢管任务，至少需要生产500个单位，钢厂i S 在指定期限内最大生产量为i s 个单位，故i j ijs x≤≤∑=152500 或0152=∑=j ij x ， 用Z 表示订购和运输的总费用，由（2）、（3）、（4）、（5），本问题可建立如下的非线性规划模型：目标函数()()71515i 111min W Q T ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=++=+++++⎣⎦∑∑∑约束条件7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14)5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或 （6）其中1 ,+j j A 表示1+j j A A 和之间需要铺设的管道长度.2、模型的求解（1）首先求解 i j c 由于钢管从钢厂i S 运到运输点j A 要通过铁路和公路运输，而铁路运输费用是分段函数，与全程运输总距离有关. 又由于钢厂i S 直接与铁路相连，所以可先求出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最短路径. 依据钢管的铁路运价表，算出钢厂i S 到铁路与公路相交点j b 的最小铁路运输费用，并把费用作为边权赋给从钢厂i S 到j b 的边. 再将与j b 相连的公路、运输点i A 及其与之相连的要铺设管道的线路（也是公路）添加到图上，根据单位钢管在公路上的运价规定，得出每一段公路的运费，并把此费用作为边权赋给相应的边. 这样就转换为以单位钢管的运输费用为权的赋权图，再利用E.W.Dijkstra 的最短路算法计算出一个单位钢管从钢厂运到工地的最少费用系数阵()ij c ，MA TLAB 程序(略).226(2)根据以上结果, 继续求解非线性规划模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑7i j i 11,1151522x ;(1,2,,15);(1,2,,14).5000;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i ij j j ij y z j z y A j s t x s x i x i j =++==⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤≤==⎪⎪≥==⎪⎩∑∑∑或由于不能直接处理约束条件：i j ijs x≤≤∑=152500或0152=∑=j ij x ，我们可先将此条件改为i j ijs x≤∑=152，得到如下模型：()()71515i 111min ()0.0511i i j i j j j j j j j Z p c x y y z z ===⎡⎤=+++++⎣⎦∑∑∑2277i j i 11,1152x ;(1,2,,15);(1,2,,14).;(1,2,,7)0 1,,7,2,,15j j j j j j ij i j ij y z j z y A j s t x s i x i j =++=⎧=+=⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪≤=⎪⎪≥==⎪⎩∑∑用LINGO 求解（程序略）. 分析结果后发现购运方案中钢厂7S 的生产量不足500单位，下面我们采用不让钢厂7S 生产和要求钢厂7S 的产量不小于500个单位两种方法计算：1）不让钢厂7S 生产,程序略.计算结果：1Z =1278632（万元）（此时每个钢厂的产量都满足条件）. 2）要求钢厂7S 的产量不小于500个单位，程序略.计算结果：2Z =1285281（万元） （此时每个钢厂的产量都满足条件）. 比较这两种情况，得最优解为，121min min(,)Z Z Z Z ===1278632（万元）. 所以根据上述的模型，得运输总费用最小为1278632（万元）. 具体的购运计划和铺设方案如表4，表5.228问题2. 针对问题一的求解模型，讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用影响及钢厂钢管产量的上限变化对购运计划和总费用的影响．定义 方案中运往各点i A 的运输量的变化量的绝对值之和称为运输方案变化量． 1、讨论钢厂钢管的销售价格变化对购运计划和总费用的影响当钢厂钢管销售价格变化时，会对购运计划和总费用造成影响. 为了更好地观察每一个钢厂钢管销售价格所造成的影响，采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管的销售价格发生相同的变化，其余钢厂钢管的销售价格不发生变化.我们将各个钢厂单位钢管的销价分别增加1万元和减少1万元，借助LINGO 软件得出相应的总费用、运输方案、订购方案变化情况如表6、表7所示由上述表格观察分析可得： 6S 钢厂销价变化对总费用影响最大，56,S S 钢厂钢管的销价的变化对购运计划影响最大.2、讨论钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响同样采用比较法，即每次只让一个钢厂钢管产量的上限的发生相同的变化，其余钢厂钢管产量的上限不发生变化. 将各个钢厂的产量的上限分别增加100个单位和减少100个单位，分别计算，得到购运计划和总费用变化情况如表8、表9所示.S钢厂钢管的产量的上限的变化对总费用影响最大，由上述表格观察分析可得：1购运计划影响较小.五、模型的评价及改进由于总费用由订购费用和运输费两部分组成，运输费又由一般线路上的运输费和铺设管道上的运输费组成. 利用求网络中最短路径的Dijkstra算法，进行改进得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，得出最小费用路径（最短路径），算出两点之间的最优路径，进而根据非线性规划，借助于Lingo软件求解即可求出相应的结果.1．优点1）本问题中运用了求网络中最短路径的Dijkstra算法的思想，进行改进和修改得到新的算法，可对含多种权重计算方式的网络进行搜索，算出两点之间的最优路径，计算结果准确，从而得出相应的购运单价的矩阵.2）本问题构造出的模型算法较简单，也可以运用相应的其他编程软件来得到比较满意的结果.3）本模型计算步骤清晰，借助于Lingo软件求解，可靠性较高.2．缺点1）由于题意中不考虑铁路公路间转运的中转费用，也不限制转运次数，因此在算法设计中存在着考虑不周全的缺限，如我们考虑是先通过铁路再通过公路到铺设点，但这不一定是最小费用路径，有可能先通过公路，然后经铁路再经公路运到铺设点，费用更少，这里没有理论证明.2292) 问题二要求根据问题一的分析,指出哪家钢厂销价的变化对购运计划和总费用影响最大，哪家钢厂钢管产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大，并给出相应的数字结果. 这个问题属于规划问题的灵敏度分析，一般来说，应该对于销价的变化△p 和产量上限的变化△s求出相应的总费用的变化△w，但要得到△w关于△p和△s的函数关系，几乎是不可能的，只对每个钢厂进行单独讨论.3．模型改进这个数学模型可以应用于西部开发中"天然气东送”问题，当然，西部开发中"天然气东送”问题远比我们的假设还要复杂的多，但无论如何，他们的本质一样，我们可将本问题运用于时间的变化等范围的推广. 本文还可以把问题1归结为网络最小费用流问题，建立了线性和非线性最小费用流模型，并运用相应的解法和分支定界法求解，简洁，层次分明.参考文献：[1] 甘应爱，田丰等等. 运筹学.清华大学出版社,北京,1994.[2] 袁亚湘.孙文瑜著. 最优化理论与方法.科学出版社，北京，1997.[3] 徐俊明著. 图论及其应用.中国科学技术大学出版社，合肥，1997.[4] 赵静，但琦. 数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2003.习题1. 如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络（图2），请就这种更一般的情形给出一种解决办法，制定一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小（给出总费用).230231图217。