正态分布综合测试题(附答案)

正态分布综合测试题（附答案）

选修2-32.4正态分布

一、选择题

1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是()

A．f(x)＝12πe－(x－1)22

B．f(x)＝12π•σe(x－2)22σ2

C．f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2

D．f(x)＝12πe－(x－μ)22π

答案]A

2．已知ξ～N(0,62)，且P(－2≤ξ≤0)＝0.4，则P(ξ>2)等于()

A．0.1B．0.2

C．0.6D．0.8

答案]A

解析]由正态分布曲线的性质知P(0≤ξ≤2)＝0.4，∴P(－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P(ξ>2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A.

3．若随机变量ξ～N(2,100)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于()

A．2B．10

C.2D．可以是任意实数

答案]A

解析]由于ξ的取值落在(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，所以

正态曲线在直线x＝k的左侧和右侧与x轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x＝k对称，即μ＝k，而μ＝2.∴k＝2.

4．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()

A．(90,110]B．(95,125]

C．(100,120]D．(105,115]

答案]C

解析]由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.

因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.

由于一共有60人参加考试，

∴成绩位于上述三个区间的人数分别是：

60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人，

60×0.9974≈60人．

5．(2010•山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N(0，σ2)，P(ξ>2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()

A．0.477B．0.628

C．0.954D．0.977

答案]C

解析]∴P(ξ>2)＝0.023，∴P(ξ故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ>2)－P(ξ6．以φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态

分布(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|A．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)

B．φ(1)－φ(－1)

C．φ1－μσ

D．2φ(μ＋σ)

答案]B

解析]设η＝|ξ－μ|σ，则P(|ξ－μ|＝φ(1)－φ(－1)．

点评]一般正态分布N(μ，σ2)向标准正态分布N(0,1)转化．

7．给出下列函数：①f(x)＝12πσe－(x＋μ)22σ2；②f(x)＝12πe－(x－μ)24；

③f(x)＝12•2πe－x24；④f(x)＝1πe－(x－μ)2，其中μ∴(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有()

A．1B．2

C．3D．4

答案]C

解析]对于①，f(x)＝12πσe－(x＋μ)22σ2.由于μ∴(－∞，＋∞)，所以－μ∴(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f(x)＝12πe－(x－μ)22.若σ＝2，则应为f(x)＝12π•2e－(x－μ)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝2，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．

8．(2008•安徽)设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)

的密度函数图象如图所示，则有()

A．μ1B．μ1σ2

C．μ1>μ2，σ1D．μ1>μ2，σ1>σ2

答案]A

解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.

二、填空题

9．正态变量的概率密度函数f(x)＝12πe－(x－3)22，x∴R的图象关于直线________对称，f(x)的最大值为________．

答案]x＝312π

10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．

答案]1

解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．

∴区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.

11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．

答案]0.8

解析]∴μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．

∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．

12．(2010•福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．

答案](24.94,25.06)

解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题

13．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．

解析]由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π•σ，所以12π•σ＝12π•4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x)＝142πe－x232，x∴(－∞，＋∞)．

14．(2010•邯郸高二检测)设随机变量ξ～N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ分析]由题目可获取以下主要信息：

①ξ～N(2,9)，②P(ξ>c＋1)＝P(ξ解答本题可利用正态曲线的对称性来求解．

解析]由ξ～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，

又P(ξ>c＋1)＝P(ξ故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，