线代复习 概念篇

《线性代数》复习学习目标：1. 对全学期课程作一个框架式总结；2. .概述主要的基本概念、理论要点和算法要求； 学习要求：“融会贯通”“融会”—---设法找到不同知识点之间的内在相通之处； “贯通”—----掌握前后知识点之间的顺承关系。

✧ §1 整体框架：五个模块――“三大工具、两大问题”。

“三大工具”：行列式（运算工具）、矩阵（运算工具）、向量空间（思维工具）； “两大问题”：多元一次问题模块结构图及主要内容关系框图大致如下：✧ §2.两个阶段：第一阶段：行列式（Ch.1）→ 矩阵（一）（运算、初等变换、秩）（Ch.2& Ch.3）→ 向量空间（－）（线性相关性、秩）（Ch.）→ 线性方程组（Ch .3&Ch.4）；解决一次问题；第二阶段：向量空间（二）（空间结构（基，维）、基本度量、正交阵）（Ch.4&Ch.5）→ 矩阵（二（特征值、矩 阵变换、对角化）（Ch.5）→ 二次型（Ch.5）；解决二次问题。

✧ §3 一条主线：矩阵就期末考试而言，应抓住矩阵作为主线，把握主要的概念、理论和算法；空间为体，矩阵为用, 一、 矩阵的基本算法：1. 代数运算：六种代数运算（加法、数乘、乘法、求逆、转置、行列式）必须熟练掌握（可运算的条件、运算法则、运算律、一些须注意之 点）；2. 分块：一些常用分块法、分块形式下的运算；3. 初等变换：一定要学会化行阶梯形、最简形；会用来解方程组；4. 特征值和特征向量，也应熟练掌握其完整的算法二、矩阵的秩：先用“回溯法”把主要概念串起来：矩阵的秩← 向量组的秩← 最大无关组← 线性相关与线性无关← 线性组合与线性表示←向量及其线性运算，这是一条逻辑主线，然后在各部分挂上主要的定理和方法，整个第四章的内容就基本囊括了，且能使众多概念、定理、算法井然有序；三、矩阵变换：第二阶段，在初等变换的基础上再前进一步：1. 相似变换与对角化：主要性质、可对角化的条件、实施过程（算法）、应用（矩阵的高次幂）；2. 合同变换：要求相对低一些，知道概念和性质即可，算法不要求；3. 正交变换：（1）先用回溯法理顺概念：正交变换←正交阵←正交（规范）基← 正交（规范）组←正交、规范← 夹角、范数←内积；（2）再回顾正交阵的主要性质，特别是A−1 = AΤ，便可与相似变换、合同变换挂钩；（3）应用：实对称阵的对角化（→二次型的标准化）。

注意：比较不同变换的条件、性质、变换过程（算法）、应用范畴、相互关系，在比较中把握。

§4 等价描述与联系：（阶段一：矩阵、行列式、向量与方程组）向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。

相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。

向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。

复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。

（1）几个等价描述1.方程组的定义：由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：①、11112211211222221122n nn nm m nm n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b+++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩的两种定义形式，矩阵形式②和向量形式③：②、1112111212222212⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⇔=⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭nnm m mn n na a a x ba a a x bAx ba a a x b（A为m n⨯矩阵，m个方程，n个未知数）③、baxaxaxnn=+⋅⋅⋅++2211，其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⋅⋅=niiiiaaaa21ni⋅⋅⋅=2,1即列向量形式2.秩的定义①矩阵秩的定义：矩阵中最高阶非零子式．．．．．．．的阶数=阶梯型非零行的行数=阶梯型主元列的列数②向量组秩定义：向量组的最大线性无关组．．．．．．．中所含的向量个数=阶梯型主元列的列数=矩阵的秩3.线性方程组与线性表示、相关、无关、最大无关组、秩的联系 ①12,,,s ααα 线性相关⇔存在一组不全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；（定义,向量形式）⇔1212(,,,)0ss x x x ααα⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有非零解，即0Ax =有非零解；(矩阵方程组形式) ⇔12(,,,)s R s ααα< ，系数矩阵的秩小于未知数(向量)的个数；(矩阵形式) ⇔A =0(12(,,,)= s A ααα , 行列式形式)②12,,,s ααα 线性无关⇔当且仅当全为0的数12,,,s k k k ，使得11220s s k k k ααα+++= 成立；(定义,向量形式））⇔1212(,,,)0s s x x x ααα⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭有唯一零解，即0Ax =有唯一零解；(矩阵方程组形式) ⇔12(,,,)=s R s ααα ，系数矩阵的秩等于未知数(向量)的个数；(矩阵形式) ⇔≠A (12(,,,)= s A ααα , 行列式形式)非齐次线性方程与组线性表出的联系向量b 是否可由A 的列向量组n a a a ,,,21 线性表示，即使等式b a a a =+++n n x x x 2211成立的一组数n k k k ,,,21 (定义,向量形式））⇔非齐次线性方程组b Ax =有解。

(矩阵方程组形式)⇔(A,)(A)R b R = (矩阵形式)当 (A,)(A)R b R n =<时,有无穷多个解,线性表出形式不唯一若n a a a ,,,21 线性无关，而b a a a ,,,,21n 线性相关，则向量b 可由向量组n a a a ,,,21 线性表示，且表示方法唯一⇔非齐次线性方程组b Ax =有唯一解。

(矩阵方程组形式)⇔(A,)(A)R b R n == (矩阵形式)⇔0≠A (12(,,,)= sA ααα , 行列式形式)④方阵A 可逆性的判定 方阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 的行阶梯形有n 个非零行，n 个主元列⇔(A)R n =⇔A 的行(列)向量组均线性无关⇔(A)R n =⇔b Ax =可由克莱姆法则判断有唯一解，而0=Ax 仅有零解 ⇔A E （A 与E 等价）⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积⇔A 的特征值全不为0；()A R A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量（2）几个概念的联系线性方程组的解：1） 非齐次线性方程组b Ax =有唯一解则对应齐次方程组0=Ax 仅有零解；2）若b Ax =有无穷多解则0=Ax 有非零解； 3）若b Ax =有两个不同的解则0=Ax 有非零解；4）若A 是n m ⨯矩阵而m r =)(A 则b Ax =一定有解，而且当n m =时有唯一解，当n m <时有无穷多解；5）若n r =)(A 则b Ax =没有解或有唯一解。

矩阵的相似、等价与合同：矩阵A 与矩阵B 等价（A B ）的定义式是B PAQ =，其中P 、Q 为可逆矩阵，此时矩阵A 可通过初等变换化为矩阵B ，并有()()R A R B =注：①向量组A 与B 的等价定义式：A 与B 相互线性表示AX B BX A ⇔==，有解=()()(,)R A R B R A B ⇔=②,r A B 若则A 与B 行向量组等价；C,A B 若则A 与B 列向量组等价 ③矩阵行等价：~rA B PA B ⇔=（左乘，P 可逆）0Ax ⇔=与0Bx =同解④矩阵列等价：~cA B AQ B ⇔=（右乘，Q 可逆）； ⑤若A 与B 行等价，则A 与B 的行秩相等；⑥若A 与B 行等价，则0Ax =与0Bx =同解，且A 与B 的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;⑦若m s s n m n A B C ⨯⨯⨯=，则：C 的列向量组能由A 的列向量组线性表示，B 为系数矩阵； C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示，T A 为系数矩阵；（转置）矩阵相似（B A ≈）的定义式，即有AP P B 1-=，此时满足()()R A R B =、||||B A =、||||A E B E λλ-=-，并且A 、B 有相同的特征值。

迹相等。

矩阵合同的定义是B AP P T=，其中P 为可逆矩阵。

可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若A 与B 合同或相似则A 与B 必等价，反之不成立；合同与相似之间没有必然联系。

§5 5大分支行列式行列式的核心内容是：求行列式，包括具：体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和n 阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行\列展开定理化为上下三角行列式求解。

对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于TA、*A 、1-A等的相关性质：TA A =，11AA--=1n A A-*=，kkA A =，nkA kA =，AB A B =及性质n λλλ 21=A （其中i λ为矩阵A 的特征值）。

要求掌握二阶、三阶行列式的计算的对角线法则，克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件，逆序数的计算；知道四阶及以上行列式不可用对角线法则．．．．．．．．。

行列式的求法法一利用展开定理计算: 在一行（列）造 0，再展开降阶（若能在降阶中找出高阶与低阶的关系，则可进行递推或数学归纳。

）（课本 :P5 -P6例1.3 ,1.4; P17例1.9（n 阶递推）） 法二化为三角型行列式:（课本 :P12例7，8，9）法三直接用性质、定义和常用结果（课本 :P6,例1.5，P19例1.11）；代数余子式的性质：①、ij A 与ij a 的大小无关，只与在行列式中所处的位置有关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A④、代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i ji j ij ijij ij M A A M ++=-=-行列式的重要公式：①主对角行列式：主对角元素的乘积； ②副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -； ③上下三角行列式（ = ◥◣）:主对角元素的乘积 ④ ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；⑤A O A C AB CB OB==;(1)m n C AO A A B B OB C==- ⑥范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；矩阵矩阵部分出题很灵活，频繁考察知识点:包括矩阵运算的运算规律、T A ，*A ，1-A 的性质、1-A 判定条件及求法、矩阵秩的定义、性质及求法、分块矩阵的计算方法（特别是分块对角阵）、求解矩阵方程、初等矩阵的性质等,所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致。