考研数学二历年真题word版

2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．

指定位置上. (1)曲线221

x x y x +=-的渐近线条数 ( )

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

(2) 设函数2()=(1)(2)()x x nx f x e e e n ---L 其中n 为正整数,则'(0)f = ( )

(A) 1

(1)

(1)!n n --- (B) (1)(1)!n n -- (C) 1(1)!n n --

(3) 设1230(1,2,3),

n n n a n S a a a a >==+++L L ，则数列{}n S 有界是数列{}n a 收敛的

( )

(A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要

(4) 设2

sin d (1,2,3),k x k I e x x k π

==⎰则有

( )

(A) 123I I I << (B) 321I I I << (C) 231I I I << (D) 213I I I << (5) 设函数(,f x y ）为可微函数，且对任意的,x y 都有

0,0,x y

∂∂><∂∂（x,y ）（x,y ）

则使不等式1122(,)(,)f x y f x y >成立的一个充分条件是

( )

(A) 1212,x x y y >< (B) 1212,x x y y >> (C) 1212,x x y y << (D) 1212,x x y y <> (6) 设区域D 由曲线sin ,,12

y x x y π

==±

=围成，则5(1)d d D

x y x y -=⎰⎰

( )

(A) π (B) 2 (C) -2 (D) -π

(7) 设1100C α⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪

⎝⎭

，2201C α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,3311C α⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,4411C α-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,1C ，2C ，3C ，4C 均为任意常数,则下列数列组相关的

是

( )

(A) 1α，2α，3α (B) 1α，2α，4α (C) 2α，3α，4α (D) 1α，3α，4α

(8) 设A 为3阶矩阵, P 为3阶可逆矩阵,且1100010002P AP -⎛⎫

⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,若()123,,P ααα=，()1223+,,Q αααα=,则1Q AQ -= ( )

(A) 100020001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 100010002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (C) 200020001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 200020001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

二、填空题：9:14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．

指定位置上. (9) 设()y y x =是由方程2

1y

x y e -+=所确定的隐函数，则202/x d y

d x

== .

(10) 22222111lim 12n n n n n n →∞⎛⎫

+++= ⎪+++⎝⎭L . (11)设1ln ,z f x y ⎛⎫=+

⎪⎝⎭

其中函数()f u 可微，则2z z x y x y ∂∂+=∂∂ . (12) 微分方程()

2d 3d 0y x x y y +-=满足条件1

1x y ==的解为y = .

(13)曲线()2

0y x x x =+<

上曲率为

2

的点的坐标是 . (14)设A 为3阶矩阵，=3A ，*A 为A 伴随矩阵，若交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，则*BA = . 三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(15)(本题满分 10 分)

已知函数()11

sin x f x x x

+=-，记()0lim x a f x →=，

（I ）求a 的值;

（II ）若0x →当时，()f x a -与k

x 是同阶无穷小，求常数k 的值.

(16)(本题满分 10 分)

求函数()222

,x y f x y xe

+-=的极值.

(17)(本题满分12分)

过(0,1)点作曲线:L y lnx =的切线,切点为A ,又L 与x 轴交于B 点,区域D 由L 与直线AB 围城,求区域D

的面积及D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.

(18)(本题满分 10 分)

计算二重积分

d D

xy σ⎰⎰，其中区域D 为曲线()1cos 0r θθπ=+≤≤与极轴围成.

(19)(本题满分 分)

已知函数()f x 满足方程()()2()0f x f x f x '''+-=及()()2x f x f x e ''+=, (I) 求的表达式;

(II) 求曲线220()()d x

y f x f t t =-⎰的拐点(0)f '

(20)(本题满分10分)

证明2

1ln cos 112

x x x x x ++≥+-,(11)x -<<.

(21)(本题满分10 分)

(I)证明方程1x x x ++=L n n-1

+()

1n >的整数，在区间1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

内有且仅有一个实根； （II ）记（I ）中的实根为n x ，证明lim n n x →∞

存在，并求此极限.

(22)(本题满分11 分)

设100010001001a a A a a

⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭，1100β⎛⎫

⎪

⎪ ⎪=- ⎪

⎪ ⎪⎝⎭