2020年考研数学二真题及答案分析(word版)
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，
由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（0）和大家一起交流考研心
路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（1），希望他们在
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
2018年金榜题名。
因为 ，∴A可相似对角化，即
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴ ，但B不相似于C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线 的斜渐近线方程为_______
【答案】
【解析】
(10)设函数 由参数方程 确定，则 ______
（C） （D）
【答案】A
【解析】特征方程为：
故特解为： 选C.
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
【答案】
【解析】
（21）（本题满分11分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点 ，法线与x轴相交于点 ，若 ，求L上点的坐标 满足的方程。
【答案】
【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线 ,令 得 。由 得 ，即 。令 ，则 ，按照齐次微分方程的解法不难解出 ,
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（23）（本题满分11分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
（3）设数列 收敛，则（）
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A错；
取 ，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A） （B）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】从0到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则
，当 时满足，故选C.
（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
,
因此B正确。
（8）设矩阵 ,则（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由 可知A的特征值为2,2,1,
【答案】
【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
（word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1））若函数 在 处连续，则（）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 在 处连续 选A.
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
且 ，使得 ，即
在 至少有两个不同实根。
得证。
（20Hale Waihona Puke Baidu（本题满分11分）已知平面区域 计算二重积分 。
由 ，可得A的属于特征值-3的特征向量为 ；
由 ，可得A的属于特征值6的特征向量为
由 ，可得A的属于特征值0的特征向量为
令 ，则 ，由于 彼此正交，故只需单位化即可： ，
则 ，
如果想要了解更多，广大研友们也可加入2017考研复试交流群（0）和大家一起交流考研心
路历程。也可将自己考研的经验传授给学弟学妹们2018考研交流总群（1），希望他们在
（22）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
证明：
若 ，求方程组 的通解。
【答案】（I）略；（II）通解为
【解析】
（I）证明：由 可得 ，即 线性相关，
因此， ，即A的特征值必有0。
又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0.
且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为
2018年金榜题名。
因为 ，∴A可相似对角化，即
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴ ，但B不相似于C.
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)曲线 的斜渐近线方程为_______
【答案】
【解析】
(10)设函数 由参数方程 确定，则 ______
（C） （D）
【答案】A
【解析】特征方程为：
故特解为： 选C.
（5）设 具有一阶偏导数，且对任意的 ，都有 ，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】 是关于 的单调递增函数，是关于 的单调递减函数，
所以有 ，故答案选D.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 （单位： ），虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为 （单位：s），则（）
【答案】
【解析】
（21）（本题满分11分）设 是区间 内的可导函数，且 ，点 是曲线L: 上任意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点 ，法线与x轴相交于点 ，若 ，求L上点的坐标 满足的方程。
【答案】
【解析】设 的切线为 ，令 得 ，法线 ,令 得 。由 得 ，即 。令 ，则 ，按照齐次微分方程的解法不难解出 ,
∴
（II）由（1） ，知 ，即 的基础解系只有1个解向量，
由 可得 ，则 的基础解系为 ，
又 ，即 ，则 的一个特解为 ，
综上， 的通解为
（23）（本题满分11分）设二次型 在正交变换 下的标准型 ，求 的值及一个正交矩阵 .
【答案】
【解析】
，其中
由于 经正交变换后，得到的标准形为 ，
故 ，
将 代入，满足 ，因此 符合题意，此时 ，则
（2）设二阶可导函数 满足 且 ，则（）
【答案】B
【解析】
为偶函数时满足题设条件，此时 ，排除C,D.
取 满足条件，则 ，选B.
（3）设数列 收敛，则（）
当 时， 当 时，
当 时， 当 时，
【答案】D
【解析】特值法：（A）取 ，有 ，A错；
取 ，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为
（A） （B）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】从0到 这段时间内甲乙的位移分别为 则乙要追上甲，则
，当 时满足，故选C.
（7）设 为三阶矩阵， 为可逆矩阵，使得 ，则 （）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【解析】
,
因此B正确。
（8）设矩阵 ,则（）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】由 可知A的特征值为2,2,1,
【答案】
【解析】
(11) _______
【答案】1
【解析】
(12)设函数 具有一阶连续偏导数，且 ， ，则
【答案】
【解析】 故
，
因此 ，即 ，再由 ，可得
【答案】
【解析】
（13）
【答案】 .
【解析】交换积分次序：
.
（14）设矩阵 的一个特征向量为 ，则
【答案】-1
【解析】设 ，由题设知 ，故
故 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（1）
令 得
对（1）式两边关于x求导得 （2）
将 代入原题给的等式中，得 ，
将 代入（2）得
将 代入（2）得
故 为极大值点， ； 为极小值点，
（19）（本题满分10分）设函数 在区间 上具有2阶导数，且 ，证明：
方程 在区间 内至少存在一个实根；
方程 在区间 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（15）（本题满分10分）求极限
【答案】
【解析】 ，令 ，则有
（16）（本题满分10分）设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（17）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数 由方程 确定，求 的极值
【答案】极大值为 ，极小值为
【解析】
两边求导得：
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
（word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1））若函数 在 处连续，则（）
(A) (B) (C) (D)
【答案】A
【解析】 在 处连续 选A.
（I） 二阶导数，
解：1）由于 ，根据极限的保号性得
有 ，即
进而
又由于 二阶可导，所以 在 上必连续
那么 在 上连续，由 根据零点定理得：
至少存在一点 ，使 ，即得证
（II）由（1）可知 ， ，令 ，则
由罗尔定理 ，则 ，
对 在 分别使用罗尔定理：
且 ，使得 ，即
在 至少有两个不同实根。
得证。
（20Hale Waihona Puke Baidu（本题满分11分）已知平面区域 计算二重积分 。