大一上学期高数期末考试题0001

大一上学期高数期末考试卷

一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( )

(A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导.

设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( )

2. 1 + 兀•

9

9

(A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是

等价无穷小；

(C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的

无穷小.

3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则().

(A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值；

(B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值；

(C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点；

(D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。

4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( )

十竺+ 2

(A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2.

二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分)

5.腳(f ____________________________________

己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)•竽dx =

(・ 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \

lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)=

7. nfg n n n n

i x2arcsinx + l ,

------ / ——dx =

8. 飞__________________________ .

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分)

9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。).

g （x ） = \f （xt ）dt = A 设函数八盯连续，

，且'TO X ,/1为常数.求

F （x ）并讨论/（X ）在X = 0处的连续性. 14.求微分方程xy f

+ 2y = xlnx 满足丿-9的解. 四、解答题（本大题10分）

15. 已知上半平面内一曲线v = y （x ）（x»°）,过点（°」），且曲线上任一点 M （x°,

儿）处切线斜率数值上等于此曲线与x 轴、y 轴、直线x = x°所围成 面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程. 五、解答题（本大题10分） 16. ） 17.

过坐标原点作曲线，= ln*的切线，该切线与曲线y = lnx 及%轴围 成平面图形D.

（1）求D 的面积A; （2）求D 绕直线x=❹旋转一周所得旋转体的体积 六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）

18•设函数/（兀）在［°川上连续且单调递减，证明对任意的？已【°，1】，

解答

一.单项选择题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 仁 D 2. A 3、C 4. C 二、填空题（本大题有4小題，每小题4分，共16分）

10.【

证明：在（°皿）内至少存在两个不同的点奚誌2,使/（血）=/（§2）= °・（提

X

F （x ）=ff （x ）dx

示：设 0

）

/U) = A

xf (x )-^f (uyiu

lim g f (x) = lim ------------- 書 -------- = A-- = — 仃、 2 2 , g(x)在x = 0处连续。 XTO E) *2dy 2 —+ —j = lnx 13. 解:dx 八

-f —dx f f —dx y =e ix

(je ix \nxdx + C)

v(l) = -—,C =0 y = — x\nx ——x

1 z cosx u 兀

n

“6 -( ------- )+C -

- 5. ° . 6. 2 x . 7. 2. & 3

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9.解：方程两边求导

e x ^y (1 + y

f ) + cos(xy)(xy r + y) = 0

+ JCOS(XJ ) x ^y

+ xcos(xy)

十（兀）=-

x = 0』=0 j r (0) = —1

10•解：w = x 7 7x h dx =du

原式£龄心&沽山

=一(In I “ I —2 In I “ +11) + c 7 = -lnlx 7 l--lnll + x 7 l+C 7 7

11.解：£/(*处=JA% +J ：如 -xg =J 3xd(-e~x ) +

J y]l-(x-l)2dx 匸7』

--Ze

12.解：由

知8（°）= °。

L xt=u g(x) = j f(xt)dt =

J f(u)du

X

(2 0)

gV) = ------------- 1 ------------

(心0)

x 2

阳&(令x_l = sin&)

¥9 , 3 9

四、解答题(本大题10分)

14. 解：由已知且"2『皿+ »

将此方程关于丫求导得y n = 2y+y'

特征方程：r2-r-2 = 0解出特征根：八=一1，r i =2-

其通解为y = c^x+C2e2x

c、=—. c、=—

代入初始条件y(0) = y'(0)= 1,得 3 3

y = — e ~x + —e2x

故所求曲线方程为： 3 3

五、解答题(本大题10分)

15. (

j-lnx0 =—(x-x0) U.解：(1)根据题意，先设切点为(x』nx。)，切线方程：必

1

_ y = — x

由于切线过原点，解出从而切线方程为：©

1 1

A = \(e y—ey)dy = -e — 1

则平面图形面积0 2

V.=-^e2

(2)三角形绕直线"二e—周所得圆锥体体积记为K,則3

曲线y = Xnx与*轴及直线X二e所围成的图形绕直线"二e—周所得旋转体体积为K

1

v2)2心

V =V.-V2 =-(5e2-12€ + 3)

D绕直线x二e旋转一周所得旋转体的体积 6

六、证明题(本大题有2小题，每小题4分，共12分)

17. ?

9 lg q 1

\f(x)dx-q\f(x)dx = f f(x) dx-q([ f(x)dx+f f(x)dx)

18.证明：0 0 0 0“

g I

=(1 -g)“(x) dx-c^ fMdx

0 q

= ^(1 - q)f ) - <7(1 - q)f (^2)二0

故有: