导数的应用一等奖

总结与反思
巩固与提高
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
应用与反馈
问题四: 的单调性可 以由定义和图像直接得出， f ( x) x 2 e x 那么更复杂的函数如 呢？ 设计意图：提出疑问，引起认 知冲突，激发学生尝试从导数 的角度来研究函数单调性，也 让学生体会运用导数的必要性.
函数单调性与导数
湖北省鄂州高中 张俊勇
教学目标分析 教学内容解析
教学 设计
教学问题诊断 教学对策分析
教学基本流程 教学过程设计
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
数学课程标准要求学生把导数作为研究变量和函数的重要 方法和手段，了解导数在研究单调性、极值、最值上的重要作 用，体会导数的思想和基本内涵，了解微积分的文化价值。 本节课是导数在函数中应用的起始课，力求让学生从几何 直观探求归纳函数单调性与导数的关系并求单调区间，没有进 行证明，严格证明需要运用拉格朗日定理和极限的保号性，远 远超出了本节课的要求。根据以上分析，确定教学目标如下：
'
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
应用与反馈
总结与反思
设计意图：从常见熟悉函数到一般 曲线、函数层层深入，更进一步 强化学生对导数与函数单调性的 认识，探究并归纳出一般性结论. 让学生分组讨论、自主评价，培 养其自主探究、合作交流、评价 反思的能力.并进一步通过辨析 讨论抓住结论的关键字眼“这个 区间”，了解其内涵与外延.
巩固与提高
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y x 2 4x 3
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
应用与反馈
例一.如图（1）表示跳水运动中高度 随时间变化的函数 h(t) 4.9t 6.5t 10 的图 像,右图(2)表示高台跳水运动员的速 度随时间变化的函数 v(t ) h' (t ) 9.8t 6.5 的图像.
总结与反思
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探究与表达
问题二：请完成下表 区间
y f ( x)
(, a )
( a, b)
(b, )
增 正 >0
增 正 >0
减 负 <0
应用与反馈
切线斜 率
f ' ( x)
总结与反思
巩固与提高
问题三：请总结函数单调性与导数的正负的关系 在某个区间 (a , b) 内，如果 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递增；如果 f ' ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内单调递减． 说明：（1）特别的，如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间内是常函数．
探究与表达
例二：这种情况具有一般性吗？ 观察下面函数的图像，探讨函数 的单调性与其导数正负的关系．
设计意图：引导学生 在同一坐标系中画出 原函数与导函数，通 过熟悉的一次函数、 二次函数、反比例函 数、三次函数来验证 前面总结的结论，探 讨函数的单调性与其 导数正负的关系.
应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
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知识与技能
过程与方法
情感态度 价值观
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使学生从形与数两方面探索 通过对函数单调性与导数关系的 函数单调性与导数的关系，并会 探究，让学生经历从具体到抽象 知识与技能 用导数判断函数单调性和求单调 ，从感性到理性，从特殊到一般 区间. 的认知过程，培养学生观察、分 析、归纳、抽象的能力和语言的 表达能力，领会由特殊到一般， 一般到特殊的数学方法，渗透数 过程与方法 形结合思想和化归的思想. 通过创设情境，激发学生学习 数学的情感，培养其严谨治学的 态度；通过在教学过程中让学生 多动手、细观察、勤思考、善总 结，培养学生的探究精神. 情感态度
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探究与表达
例三：过山车动画
应用与反馈
总结与反思
设置学生感兴趣的生活情景，激发学生的求知欲 和学习热情，调动学生主体参与的积极性.此时 学生兴奋异常，群情激动，跃跃欲试.
巩固与提高
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总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
问题：观察 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 图像的单调区间，并说 明相应区间导函数 v(t ) h' (t ) 9.8t 6.5 的变化情况，完 成空格. 几何画板演示 完成后思考从这个特殊函数可以得到什么结论吗？可 以用什么来判断单调性呢？ (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加 而增加,即 t 0 , a 时， h(t ) 是单调 . 此时, v(t ) h (t ) 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加 而减少,即 t a , b 时， h(t )是单调 . ' 相应地, v(t ) h (t ) 0 .
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
应用与反馈
• 问题三：这个式子有什么 几何含义和代数含义，与 导数有什么关系呢？能否 用导数的方法来研究单调 性呢？
总结与反思
巩固与提高
几何：割线斜率的极限即为 切线斜率 代数：平均变化率的极限即 为导数
价值观
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
第一阶段
第一阶段 是在初中 学习一次 函数、二 次函数、 反比例函 数图象的 基础上对 增减性由 一个初步 的感性认 识.
第二阶段
第二阶段是在高一进一步 学习函数单调性的严格定 义，从数和形两个方面理 解单调性的概念.
探究与表达 • 问题一：请用一条曲线表示轨道，并 在图中标出车子（从左至右且不考虑 车长）瞬时速度的方向. • 几何画板演示（三次）曲线的切线动 态变化
应用与反馈
引导学生从实际生活情景中抽象出数学模型，学会 用数学的眼光来看问题。并用形象生动的演示，引 导学生从“形”的角度探究曲线变化趋势与切线斜 率的关系.
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应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
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设计意图：从熟悉的生活情境进入，从特殊的二次函 数切入，利用几何画板直观动态演示，化静为动，动 静结合，并在特例中渗透概念的要点与思想，引导学 生观察原函数的单调性与导函数的关系.
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1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达 例1. 已知导函数的下列信息: 当 1 x 4 时, f ( x) 0 ; 当 x 4 或 x 1 时, f ( x) 0 ; 当 x 4 或 x 1 时, f ( x) 0 . 试画出函数 y f ( x) 图像的大致形状
探究与表达
• 问题一：导数的定义与几 何意义． 设计意图：复习导数的定义和 几何意义，进一步体会导数的 极限思想，这是微积分的核心 思想和价值，也为后面研究函 数单调性与导数的关系奠定基 础和铺垫。
应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
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• 问题二：怎样利用函数单调性的 定义来讨论其在定义域上的单调 性？它还有其它的表示形式吗？
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
应用与反馈
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达 设计意图：复习单调性的定义及
应用与反馈
其变式，引导学生发现变式的 几何与代数含义，发现它与导 数的密切关系，启发学生产生 用导数去研究函数单调性的猜 想，即为什么要用导数研究函 数单调性（合理性）.
教学中使用了多媒体投影和计算机辅助教学. 采用多媒体课件、视频和几何画板的直观动态演示
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
探究与表达 回顾与思考 应用与反馈
巩固与提高
总结与反思
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
首先，怎样从高 一的单调性的定 义的变式出发发 现其与导数的关 系，从而想到用 导数研究函数的 单调性即理解为 什么想到用导数 研究函数的单调 性对学生来说比 较困难. 其次，怎样由特 殊函数出发发现 一般规律，把从 函数图象的变化 趋势和切线的几 何关系的直观感 性认识上升到函 数的单调性与导 数的代数关系理 性的高度对学生 来说比较困难.
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应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
应用与反馈
总结与反思
设计意图：通过学生自己动手 画图，直观感受函数单调性与 导数的关系，突出重点，分化 难点.在教学中预设学生会画 出凸凹性不同的曲线，甚至折 线段，故需引导学生注意其变 化趋势的本质.
教学难点： 探究并归 纳出函数 单调性与 导数的关 系.
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
本节课是，主要采取教师启发讲授，学生探究 学习的教学方法。运用多媒体动画直观动画演示， 创设问题情境，由特殊到一般，充分暴露思维过 程，引导学生观察、分析、讨论、归纳，在不断 的探究中逐步领悟概念的形成，理解概念的实质， 从而突破难点；通过例题解析、变式训练、拓展 思维，分组讨论，合作交流，从而突出重点，进 一步分化难点.
第三阶段
第三阶段是在 高三利用导数 为工具研究函 数的单调性.
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
从导数角度来讲，导数是微积分的核心概念之一，它 是研究函数增减、变化快慢、最值极值等问题以及诸如运 动速度、利润最大、效率最高、用料最省等实际生活优化 问题的最有力的工具，也为进一步学习函数的其它性质提 供力重要基础和方法依据，也是培养学生逻辑思维能力和 渗透数形结合思想、化归思想的重要素材. 教学重点： 本节课主要是应用导数研究函数的单调性，要求学生体 会导数的作用，并与高一所学单调性的定义比较，体会 导数在研究函数单调性的优越性.根据以上分析，确定教 学重点为探究应用函数单调性与导数的关系求单调区间.