导数的应用一等奖
导数在实际生活中的应用优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3
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例2：圆柱形金属饮料罐容积一定时， 它高与底与半径应怎样选取，才能使 所用材料最省？
解：设圆柱高为h，底半径为R，则表 面积
S=2πRh+2πR2
S
由V=πR2h，得 h
(R)
2
R
V
R2
2
V
R2
R2
，则
2V 2
R
R2
令
S '(R) 2V R2
4 R 0
解得，R 3 V
2
，从而
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V
V
4V
V
h
3
23
R2 ( 3 V )2
2
即 h=2R 因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值
答：当罐高与底直径相等时，所用材料最省
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新课引入:
导数在实际生活中有着广泛应用, 利用导数求最值方法,能够求出实际 生活中一些最值问题.
1.几何方面应用 (面积和体积等最值) 2.物理方面应用. (功和功率等最值) 3.经济学方面应用 (利润方面最值)
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例1：在边长为60 cm正方形铁片四角 切去相等正方形，再把它边缘虚线折 起(如图)，做成一个无盖方底箱子， 箱底边长是多少时，箱底容积最大？ 最大容积是多少？
例3 在如图所表示电路中，已 知电源内阻为r，电动势为ε， 外电阻R为多大时，才能使电功 率最大？最大电功率是多少？
R
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rε
例4.强度分别为a,b两个光源A,B,他们间距 离为d，试问：在连接这两个光源线段AB上， 何处照度最小？试就a=8,b=1,d=3时回答上 述问题（照度与光强度成正比，与光源距 离平方成反比）
2《导数的运算》课时3 一等奖创新教学设计
2《导数的运算》课时3 一等奖创新教学设计《导数的运算》教学设计课时3简单复合函数的导数必备知识学科能力学科素养高考考向基本初等函数的导数学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学运算逻辑推理【考查内容】1.基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的应用2.复合函数导数的求导法则【考查题型】填空题、解答题导数的四则运算法则数学抽象逻辑推理数学运算简单复合函数的导数数学抽象数学运算逻辑推理一、本节内容分析本节的主要知识内容是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则以及复合函数的求导公式,是导数的计算的关键部分,对后面更深刻的研究导数起着至关重要的作用,在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的本质,也给出根据定义求导数的方法.但是,如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往极为复杂和困难,甚至是不可能的.因此,我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则,借助它们来简化导数的运算过程,因此教材直接给出基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决,为以后导数的研究带来方便.同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题,但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透彻,就得继续研究导数.教材层层深入,由易到难,给我们展示了什么是复合函数,同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生.因此,使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.基本初等函数的导数2.导数的四则运算法则3.简单复合函数的导数数学抽象逻辑推理数学运算核心素养二、学情整体分析知识结构:学生已学习导数的概念和几何意义,了解并掌握运用导数的定义去求函数的导数.心理特征:高二的学生已经具备了一定自主学习、分析探究问题的能力,让学生自主学习、恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题.学情补充:______ _________________ _________三、教学活动准备【任务专题设计】1.基本初等函数的导数2.导数的四则运算法则3.简单复合函数的导数【教学目标设计】1.熟练掌握基本初等函数的导数公式.2.掌握导数的四则运算法则3.理解并熟练掌握复合函数的求导法则.【教学策略设计】在导数的概念建立之后,引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要求学生注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想.在推导函数导数的过程中,不仅巩固了导数的概念,而且规范了利用导数定义求导数的具体解题的过程,让学生亲身感受导数的意义.在教学中,不仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,更注重它的思想和价值,注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习.遇到推导过程中学生容易犯错的地方,及时予以纠正,展示部分同学自己推导公式的过程,巩固导数的概念.通过学习复合函数的求导法则,让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用,体会导数在现实社会中的应用价值.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有________【教学重点难点】重点:1.基本初等函数的导数公式.2.导数的四则运算法则.3.复合函数的求导法则.难点:1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.2.正确理解复合函数的复合过程,做到不重不漏,熟练正确.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、___ ________2.其他材料:______ ____四、教学活动设计教学导入师:请同学们回忆一下导数的四则运算法则.生:,.师:前面我们学习了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,掌握了几个函数的和、差、积、商的导数又是怎样求的,这节课我们在背默公式的基础上继续学习复合函数的导数.教学精讲探究1 复合函数的概念【情境设置】探究复合函数的概念如何求函数的导数呢师:我们来分析函数结构特点,该函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的,所以无法用现有的方法求出它的导数.若设,则.从而可以看成是由和经过“复合”得到的,即可以通过中间变量表示为自变量的函数.如果把与的关系记作与的关系记作,那么这个“复合”过程可表示为.【学生动手书写教师的讲解过程,提出问题这样的函数叫什么名字】师:该函数称为复合函数.我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的,例如函数是由哪两个函数经过复合得到的生:由复合而成的.【设情境巧引入】设计问题情境由浅入深,承上启下,步步过渡引出复合函数的概念.【概括理解能力】通过对几个函数的分解,使学生明白复合函数的复合过程,使学生对问题理解深入,触类旁通.【以学论教】新旧知识融会贯通,教师引入新知识自然流畅,学生理解简单易懂,师生互动,增加课题的生动性.【要点知识】复合函数的概念一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.【概括理解能力】通过对复合函数知识的探究,得出复合函数的概念,提高学生对概念的理解能力.师:根据复合函数的概念,我们来看下面例题.【典型例题】复合函数的概念的应用例1:指出下列函数是怎样复合而成的.(1);(2);(3)(其中均为常数);(4).【学生动手写出复合过程,教师予以肯定】生解:(1)函数可以看作函数和的复合函数.(2)函数可以看作函数和的复合函数.(3)函数可以看作函数和的复合函数.(4)函数可以看作函数和及的复合函数.探究2 复合函数的求导法则师:如何求复合函数的导数呢我们来研究的导数,猜想一下,函数的导数一定与函数的导数有关,我们来研究一下这种关系.以.另一方面,.可以发现,【要点知识】复合函数的导数法则一般地,由函数和复合而成的函数,它的导数与函数导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.【活动学习】求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.【意义学习】通过对例题的分析和分解,学生对复合函数求导法则的认识更加明确和清晰,体现意义学习.师:接下来看下道例题.【典型例题】复合函数的导数法则的应用例2:求下列函数的导数.(1);(2;(3).【教师引导,学生板演,其余学生独立做题,教师进行点评和总结】生解:(1)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.(2)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.(3)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.探究3 复合函数求导的基本步骤师:我们把例2的第(1)小题中求导数的步骤进行归纳总结一下.【教师板书,学生记笔记】函数可以看作函数和的复合函数.函数的导数是.生:复合函数求导的基本步骤:分解——求导——相乘——回代.【要点知识】复合函数求导的基本步骤分解——求导——相乘——回代:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式.(2)利用求导法则分层求导.(3)求导完成,各分层导数相乘.(4)最终结果要将中间变量换成自变量.师:从上面的例题中我们总结一下求复合函数的导数的技巧和注意点,看看大家经过自己的动手实践,我们发现哪些问题需要注意,大家畅所欲言,共同总结.【学生分组讨论,小组代表发言,教师予以点拨】【要点知识】求复合函数的导数的技巧和注意点1.对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数,关键仍然在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量,熟用复合函数求导法则,迅速正确地求出导数.2.在复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由表及里逐层求导.3.灵活运用复合函数的求导法则,正确地进行求导运算,树立多角度、换方位思考问题的意识,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.【简单问题解决能力】本节课通过大量的例题巩固所学知识,学生在动手实践的基础上发现问题解决问题,及时总结,起到举一反三的效果.【概括理解能力】利用复合函数的求导法则解决实际应用问题,教师引导学生总结复合函数求导的基本步骤,并提示求导过程中的技巧和注意点,提升概括理解能力.师:请看例题3.【典型例题】复合函数求导的实际应用例3:某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:与时间单位:)之间的关系为.求函数在时的导数,并解释它的实际意义.生解:函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数的求导法则,有.当时,.它表示当时,弹簧振子振动的瞬时速度为.师:同学们本节课学习了哪些知识【学生思考、回答,教师补充】【课堂小结】简单复合函数的导数本节课学习了简单复合函数的导数:(1)复合函数的定义.(2)复合函数的求导法则,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分成比较简单的函数,然后再利用复合函数的求导法则求导.(3)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.【设计意图】通过学习复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程;复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法,和大量的例题与练习巩固这两方面的知识,学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握,提升了学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象的核心素养.教学评价本节内容以前面学习的导数的概念、几何意义及运用导数定义求几个常见函数的导数为基础,给出常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式,说明了为什么要引入导数运算法则,由导数公式及运算法则,就能得到两个基本函数的和、差、积、商的导数,熟练掌握导数公式及运算法则,为后续学习复合函数的导数奠定基础,特别是对研究函数问题掌握了必要的数学工具.【设计意图】引导学生整理本节课所学复合函数导数的知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的解题能力和数学核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.已知是曲线上的两点,(1)分别求过点,点的曲线的切线方程;(2)求与直线平行的曲线的切线方程.解析:根据导数的几何意义和基本初等函数的导数公式求切线的斜率.(1)因为都是曲线上的点.过点的切线的斜率,过点的切线的斜率,过点的切线方程为,即.过点的切线方程为,即.(2)因为,直线的斜率,切线的斜率,所以,所以切点,与平行的切线方程为,即.2.下列导数运算正确的是( )A. B. C. D.解析:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可得正确结论.A..故选项不正确;B.,故选项B不正确;C.,故选项C正确;D.,故选项D不正确.3.求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4.解析:利用导数的四则运算法则和复合函数的求导公式.(1)函数可看作函数和的复合函数,∴.(2)函数可看作函数和的复合函数,∴.(3)函数可看作函数和的复合函数,∴.(4)函数可看作函数和的复合函数,函数可看作函数和的复合函数.【综合问题解决能力】利用求导法则求出导函数是解题关键,结合导数的几何意义解决切线问题,让学生意识到正确求导的重要性.【分析计算能力】利用导数的四则法则和复合函数的求导法则解决相关练习,提升学生的分析计算能力.教学反思本教学案例前部分呈现基本初等函数的导数公式及运算法则,让学生了解并掌握公式和法则,并设计例题,让学生熟悉基本初等函数的导数公式和运算法则的应用,通过对例题的学习,体验数学与生活的联系,体会数学的文化价值,即运用数学知识解决实际问题.由于学生对后半部分的复合函数求导法则和法则的综合应用不熟练,教学中应注重概念的理解和应用,提高计算的准确度,并注重学科思想的渗透和数学素养的训练.【以学定教】启发并引导学生理解基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则,熟练掌握求导法则,结合导数几何意义解决切线的斜率问题,利用复合函数的导数解题,提高综合解决问题的能力.【以学论教】通过对导数的运算的学习,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.3 / 10。
导数在经济学中的应用公开课一等奖课件省赛课获奖课件
例1：设某商品的需求函数Qd=f (P)＝a-bP ； 供应函数Qs=f (P) =-c+dP. 供需平衡时有：Qd ＝a-bP ＝Qs=-c+dP.
则均衡价格为： P a c bd
（3）总成本函数 设Q表达产品的产量，C表达总成本，则称
C= C(Q)为总成本函数，Q＝0时，称C(0)为固定
成本，称 C= C为(Q平)均成本函数。总成本函 数是单调增加的Q，但平均成本函数普通不单调。
故边际利润函数为
L(x) 0.02x 20 0.02(1000 x).
显然，当月产量为1000单位时，边际利润为零。
例2设某产品需求量 x 1000 10 p ，其中 p 为价格，
求边际收益函数以及 x 100,200,500,600 时的边际收益。
解由总收益函数为 R(x) px ，又根据需求函数知
x 养猪数 的函数 R(x) 1 x2 400x. ．问一年养多少头猪 2 总利润最大，最大值是多少？
解 由 C(x) 20000 100x,
得 L(x) R(x) C(x) 1 x2 300x 20000, x [0,400]. 2
由
L(x) x 300 0
得
x 300
从而 R [1 ( p) ]dp [1 ( p) ] p ,
R
p
p
当 ( p) 1.3 时
Q (1.3)( 10 ) 13%,
Q
100
R (1.3)( 10 ) 3%.
R
100
当 ( p) 2.1时，
Q (2.1)( 10 ) 21%,
Q
100
R (1 2.1)( 10 ) 11%.
（3）
y ax+b , Ey Ex
导数的应用市公开课一等奖省优质课获奖课件
∵x≤2时，f′(x)≥0恒成立，
(6分)
∴f(x)在(－∞，2]上是增加，
(8分)
∴x≤2时， f(x)≤f(2)＝0，
(10分)
即x3－6x2＋12x－8≤0，
即x3－6x2≤－12x＋8.
(12分) 返回 第26页
[一点通] 要证实不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))成立， 能够结构函数f(x)＝g(x)－φ(x)，然后再利用导数研究函数f(x) ＝g(x)－φ(x)单调性，依据单调性取得f(x)＞0(或f(x)≥0)，从 而证实了不等式g(x)＞φ(x)(或g(x)≥φ(x))．
返回 第6页
函数在区间(a，b)上单调性与其导函数符号有以 下关系：
导函数正 负
f′(x)＞0
f′(x)＜0
函数在(a，b)上单调性
是增加
是降低
返回 第7页
1．求函数单调区间先求函数定义域，再求导数f′(x)，令 f′(x)>0，得单调增区间，令f′(x)<0得单调减区间．
2．在某个区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间内为增 (减)函数充分条件，而不是必要条件．假如出现个别点使f′(x)＝ 0，不会影响函数f(x)在包含该点某个区间内单调性．比如函数 f(x)＝x3在定义域(－∞，＋∞)上是增加，但由f′(x)＝3x2知，f′(0) ＝0，即并不是在定义域内任意一点处都满足f′(x)>0.
返回 第24页
5．已知函数 f(x)＝2ax－x12，x∈(0,1]．若 f(x)在 x∈(0,1]上是增加 的，求 a 的取值范围. 解：由已知得 f′(x)＝2a＋x23. ∵f(x)在(0,1]上是增加的， ∴f′(x)≥0，即 a≥－x13在 x∈(0,1]上恒成立． 而 g(x)＝－x13在(0,1]上是增加的， ∴g(x)max＝g(1)＝－1. ∴a≥－1，∴a 的取值范围是[－1，＋∞).
导数及其应用 公开课一等奖课件
1 .1 .1 变 化 率 问 题
问题1 气球膨胀率 很多人都吹过气球 .回忆一下吹气球的过程 , 可以发现, 随着气球内空气容量的 增加, 气球 的半径增加得越来越慢 .从数学的角度, 如何 描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V 单位 : L 与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是 V r r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学 院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
导数的应用的市公开课获奖教案省名师优质课赛课一等奖教案
导数的应用的教案一、教学目标1. 理解导数的概念及其意义。
2. 掌握导数的计算方法。
3. 能够应用导数求解实际问题。
二、教学重点1. 导数的概念及其计算方法。
2. 导数在实际问题中的应用。
三、教学难点1. 如何应用导数解决实际问题。
2. 导数在不同问题中的应用方式和计算方法。
四、教学准备1. 教案书写工具。
2. 板书工具。
五、教学过程Step 1：导入导数的概念（5分钟）1. 引导学生回顾函数的导数的概念，即函数在某一点的变化率。
2. 提问学生：导数的主要作用是什么？学生回答：导数可以表示函数的变化趋势和速率。
3. 引导学生思考导数在实际生活中的应用场景。
Step 2：导数的计算方法（15分钟）1. 通过示例给出导数的计算方法，如常见的多项式函数、三角函数和指数函数。
2. 讲解导数的基本性质，如和差、积、商的导数、复合函数的导数等。
3. 引导学生进行练习，巩固导数的计算方法。
Step 3：应用导数求解实际问题（20分钟）1. 分组活动：将学生分为若干小组，每组选择一个实际问题进行研究，要求问题涉及导数的应用。
2. 每个小组按照以下步骤来解决问题：a. 确定问题中的关键信息和变量。
b. 建立数学模型，将问题转化为数学表达式。
c. 求解导数并进行计算。
d. 对结果进行解释和分析。
3. 每个小组展示他们的解决方案，并针对问题进行讨论。
Step 4：实际问题的讨论和总结（15分钟）1. 引导学生进行实际问题的讨论，分享各组的解决方案和结果。
2. 总结导数在实际问题中的应用，提醒学生注意导数的作用及局限性。
六、教学延伸1. 引导学生继续研究导数的其他应用场景，如最值、最优化等。
2. 鼓励学生参与数学建模竞赛，提高应用导数解决实际问题的能力。
七、教学反思本节课通过引导学生思考导数的概念和意义，讲解导数的计算方法，并通过实际问题的应用来巩固学习。
通过小组合作和讨论，学生能够更好地理解导数在实际问题中的应用。
教师在教学过程中注意激发学生的思考和创新能力，提高他们应用数学知识解决实际问题的能力。
第五章 “导数及其应用” 单元一等奖创新教学设计
第五章“导数及其应用”单元一等奖创新教学设计“导数及其应用”单元教学设计一、教材分析及设计意图“导数及其应用”，是学生在学习了函数的平均变化率的基础上，学习导数的概念，了解导数的几何意义，并学习基本初等函数的导数以及求导法则，利用导数研究函数的单调性、极值、最值等。
依照数学知识学习脉络，可以组建如图1所示的“导数及其应用”单元。
以“思想方法”与“核心素养（关键能力）”划分，是进阶的单元主题组建方式。
以思想方法为主线组建单元，通常可以选取数学思想或数学方法相近的学习内容，组成以一类或多类数学思想方法为主线，由表及里、循序渐进的思想单元，使学生在解决类似问题时可以举一反三、触类旁通。
以核心素养为主线组建单元，要整合促进某项核心素养发展的教学内容，把握知识之间的相互关联，在单元教学中渗透、发展一类或多类核心素养。
如“数学建模”单元，可以将方程模型、不等式模型、数列模型等融合到一起，突破课本中章节的限制，贯通知识间的联系，突出其中能力素养的部分，帮助学生建立完整的认知结构。
二、设计内容（一）揭示数学内涵数学内涵是揭示某一数学定理或概念的本质属性，是数学知识的核心内容。
如导数是现代数学的基本概念，蕴含微积分的基本思想，是定量刻画函数的局部变化、研究函数性质的基本工具。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率，其本质是自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。
导数实质上就是一个求极限的过程，是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。
（二）厘清知识体系数学知识内容的本质通常孕育于多学科的知识体系之中，要从现实的框架中深入挖掘才能准确把握其数学本质。
导数最早由法国科学家费马用于导出“折射定律”，得到费马原理（最小光程原理），揭示了数学与物理学的密切关系。
高中阶段导数经常用于“运动中的瞬时速度”“植物的生长状况”等问题情境，展现了数学与物理、生物学等学科的关联。
（三）分析数学思想数学思想是对数学基础知识和方法本质的概括，不同数学知识主线中蕴藏着独特的数学思想。
高二数学导数及其应用3省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
函数的导数教学设计一等奖
函数的导数教学设计一等奖引言：函数的导数是高中数学中一个重要的概念，它在解决实际问题、研究函数的性质以及在其他学科中的应用中都起着重要的作用。
因此，在教学中设计恰当的方法和策略，能够提高学生对函数的导数的理解和应用能力。
本文将介绍一种获得“函数的导数教学设计一等奖”的教学设计，帮助学生深入理解函数的导数概念以及掌握函数求导的方法。
一、教学目标本次教学的目标主要包括：1. 理解函数的导数的概念和意义；2. 掌握常见函数的求导法则；3. 能够应用导数解决实际问题。
二、教学内容与步骤1. 理论讲解首先，通过课堂讲解的方式对函数的导数进行详细解释。
为了使学生能够更好地理解导数概念，可以通过具体的例子引导学生思考。
例如，用一个运动物体的位置函数来解释速度的概念，从而引入导数的概念。
在讲解导数的意义时，可以以函数在某一点的导数为切线斜率来解释导数的几何意义。
2. 基础练习在理论讲解之后，为了巩固学生对导数的理解，可以进行一些基础的导数求解练习。
通过此环节的训练，能够帮助学生掌握常见函数的导数法则，如常数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
可以通过给定函数的例子，让学生按照导数法则进行求解，同时要求学生给出解题过程和结果的合理解释。
3. 综合应用在基础练习之后，引导学生将导数的概念和方法应用到实际问题中。
给学生一些与实际生活相关的应用问题，如曲线的切线问题、最值问题等，让学生分析问题，建立函数模型，并通过求导得到解答。
在此过程中，可以引导学生运用导数的概念和几何意义，对问题进行分析和解决。
4. 拓展讨论在学生掌握导数的基本概念和方法之后，可以引导学生进行一些拓展讨论，培养学生的思维能力和创新意识。
例如，可以引导学生思考导数的连续性和可导性的关系，或者引导学生进行一些错误示范分析和纠正。
三、教学媒体与工具1. 板书在讲解导数概念和方法时，可以使用板书来进行图示和公式的记录，以加深学生对知识的理解和记忆。
2. 计算器与计算机在练习和应用导数的过程中，可以引导学生运用计算器和计算机进行计算和绘图，以便更好地观察函数的变化，并对解答进行验证。
导数在研究函数中的应用02 市赛一等奖
导数在研究函数中的应用02适用年级：高三建议时长：0分钟试卷总分：51.0分一、综合类1. （2015年江苏卷）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.（1）.求a，b的值；（5.0分）（2）.设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度. （9.0分）2. （2014年福建卷）已知函数f（x）=e x﹣ax（a为常数）的图象与y轴交于点A，曲线y=f（x）在点A处的切线斜率为﹣1．（1）.求a的值及函数f（x）的极值；（4.0分）（2）.证明：当x＞0时，x2＜e x；（4.0分）（3）.证明：对任意给定的正数c，总存在，使得当x∈（x0，+∞）时，恒有x＜ce x．（4.0分）二、单选类1.（2013年辽宁卷）设函数f(x)满足，则x＞0时，f(x)()．（5.0分）(单选)A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值也无极小值2.（2013年浙江卷）已知为自然对数的底数，设函数，则( ).（5.0分）(单选)A. 当k=1时，在X=1处取得极小值B. 当k=1时，在处取得极大值C. 当k=2时，在处取得极小值D. 当k=2时，在处取得极大值3.（2013年福建卷）设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论一定正确的是（）（5.0分）(单选)A.B. 是的极小值点C. 是的极小值点D. 是的极小值点4.（ 2014年辽宁卷）当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）（5.0分）(单选)A.B.C.D.5.（2013年安徽卷）已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1，x2.若f(x1)=x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数为()．（5.0分）(单选)A. 3B. 4C. 5D. 6。
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1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
应用与反馈
总结与反思
设计意图：从常见熟悉函数到一般 曲线、函数层层深入，更进一步 强化学生对导数与函数单调性的 认识，探究并归纳出一般性结论. 让学生分组讨论、自主评价，培 养其自主探究、合作交流、评价 反思的能力.并进一步通过辨析 讨论抓住结论的关键字眼“这个 区间”，了解其内涵与外延.
教学中使用了多媒体投影和计算机辅助教学. 采用多媒体课件、视频和几何画板的直观动态演示
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探究与表达 回顾与思考 应用与反馈
巩固与提高
总结与反思
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计 回顾与思考
探究与表达
例二：这种情况具有一般性吗？ 观察下面函数的图像，探讨函数 的单调性与其导数正负的关系．
设计意图：引导学生 在同一坐标系中画出 原函数与导函数，通 过熟悉的一次函数、 二次函数、反比例函 数、三次函数来验证 前面总结的结论，探 讨函数的单调性与其 导数正负的关系.
应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
函数单调性与导数
湖北省鄂州高中 张俊勇
教学目标分析 教学内容解析
教学 设计
教目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计
数学课程标准要求学生把导数作为研究变量和函数的重要 方法和手段，了解导数在研究单调性、极值、最值上的重要作 用，体会导数的思想和基本内涵，了解微积分的文化价值。 本节课是导数在函数中应用的起始课，力求让学生从几何 直观探求归纳函数单调性与导数的关系并求单调区间，没有进 行证明，严格证明需要运用拉格朗日定理和极限的保号性，远 远超出了本节课的要求。根据以上分析，确定教学目标如下：
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
应用与反馈
• 问题三：这个式子有什么 几何含义和代数含义，与 导数有什么关系呢？能否 用导数的方法来研究单调 性呢？
总结与反思
巩固与提高
几何：割线斜率的极限即为 切线斜率 代数：平均变化率的极限即 为导数
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知识与技能
过程与方法
情感态度 价值观
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使学生从形与数两方面探索 通过对函数单调性与导数关系的 函数单调性与导数的关系，并会 探究，让学生经历从具体到抽象 知识与技能 用导数判断函数单调性和求单调 ，从感性到理性，从特殊到一般 区间. 的认知过程，培养学生观察、分 析、归纳、抽象的能力和语言的 表达能力，领会由特殊到一般， 一般到特殊的数学方法，渗透数 过程与方法 形结合思想和化归的思想. 通过创设情境，激发学生学习 数学的情感，培养其严谨治学的 态度；通过在教学过程中让学生 多动手、细观察、勤思考、善总 结，培养学生的探究精神. 情感态度
探究与表达
• 问题二：怎样利用函数单调性的 定义来讨论其在定义域上的单调 性？它还有其它的表示形式吗？
增函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
减函数时有 f ( x1 ) f ( x2 ) y 0也即 0 x1 x2 x
应用与反馈
巩固与提高
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探究与表达 例1. 已知导函数的下列信息: 当 1 x 4 时, f ( x) 0 ; 当 x 4 或 x 1 时, f ( x) 0 ; 当 x 4 或 x 1 时, f ( x) 0 . 试画出函数 y f ( x) 图像的大致形状
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
应用与反馈
问题四: 的单调性可 以由定义和图像直接得出， f ( x) x 2 e x 那么更复杂的函数如 呢？ 设计意图：提出疑问，引起认 知冲突，激发学生尝试从导数 的角度来研究函数单调性，也 让学生体会运用导数的必要性.
探究与表达
• 问题一：导数的定义与几 何意义． 设计意图：复习导数的定义和 几何意义，进一步体会导数的 极限思想，这是微积分的核心 思想和价值，也为后面研究函 数单调性与导数的关系奠定基 础和铺垫。
应用与反馈
总结与反思
巩固与提高
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y x 2 4x 3
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
应用与反馈
例一.如图（1）表示跳水运动中高度 随时间变化的函数 h(t) 4.9t 6.5t 10 的图 像,右图(2)表示高台跳水运动员的速 度随时间变化的函数 v(t ) h' (t ) 9.8t 6.5 的图像.
' ' '
应用与反馈
总结与反思
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总结与反思
设计意图：通过学生自己动手 画图，直观感受函数单调性与 导数的关系，突出重点，分化 难点.在教学中预设学生会画 出凸凹性不同的曲线，甚至折 线段，故需引导学生注意其变 化趋势的本质.
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探究与表达 设计意图：复习单调性的定义及
应用与反馈
其变式，引导学生发现变式的 几何与代数含义，发现它与导 数的密切关系，启发学生产生 用导数去研究函数单调性的猜 想，即为什么要用导数研究函 数单调性（合理性）.
第三阶段
第三阶段是在 高三利用导数 为工具研究函 数的单调性.
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从导数角度来讲，导数是微积分的核心概念之一，它 是研究函数增减、变化快慢、最值极值等问题以及诸如运 动速度、利润最大、效率最高、用料最省等实际生活优化 问题的最有力的工具，也为进一步学习函数的其它性质提 供力重要基础和方法依据，也是培养学生逻辑思维能力和 渗透数形结合思想、化归思想的重要素材. 教学重点： 本节课主要是应用导数研究函数的单调性，要求学生体 会导数的作用，并与高一所学单调性的定义比较，体会 导数在研究函数单调性的优越性.根据以上分析，确定教 学重点为探究应用函数单调性与导数的关系求单调区间.
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探究与表达
例三：过山车动画
应用与反馈
总结与反思
设置学生感兴趣的生活情景，激发学生的求知欲 和学习热情，调动学生主体参与的积极性.此时 学生兴奋异常，群情激动，跃跃欲试.
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探究与表达 • 问题一：请用一条曲线表示轨道，并 在图中标出车子（从左至右且不考虑 车长）瞬时速度的方向. • 几何画板演示（三次）曲线的切线动 态变化
应用与反馈
引导学生从实际生活情景中抽象出数学模型，学会 用数学的眼光来看问题。并用形象生动的演示，引 导学生从“形”的角度探究曲线变化趋势与切线斜 率的关系.
总结与反思
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探究与表达
问题二：请完成下表 区间
y f ( x)
(, a )
( a, b)
(b, )
增 正 >0
增 正 >0
减 负 <0
应用与反馈
切线斜 率
f ' ( x)
2
总结与反思
巩固与提高
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探究与表达
问题：观察 h(t ) 4.9t 2 6.5t 10 图像的单调区间，并说 明相应区间导函数 v(t ) h' (t ) 9.8t 6.5 的变化情况，完 成空格. 几何画板演示 完成后思考从这个特殊函数可以得到什么结论吗？可 以用什么来判断单调性呢？ (1)运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加 而增加,即 t 0 , a 时， h(t ) 是单调 . 此时, v(t ) h (t ) 0 . (2)从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加 而减少,即 t a , b 时， h(t )是单调 . ' 相应地, v(t ) h (t ) 0 .
1.教学目标分析 2.教学内容解析 3.教学问题诊断 4.教学对策分析 5.教学基本流程 6.教学过程设计