数学 一元二次方程的专项 培优易错试卷练习题及答案
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【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：
解得：
当 时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣ ）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝ ，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元）， .
答：该店应按原售价的九折出售.
7．已知：关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
（2）由根与系数的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当k≤ 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.
（2）把 带入得 ，解得 ， .
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
3．某社区决定把一块长 ，宽 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边 为何值时，活动区的面积达到 ?
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．已知关于 的一元二次方程 .
（1）当 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴ 2- -2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵ ，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；
（2）当 时，求方程的解.
【答案】（1）当 且 时，方程有两个不相等的实数根；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根， ，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将 代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得： = ，解得 .
因为 ，即当 且 时，方程有两个不相等的实数根.
【答案】当 时，活动区的面积达到
【解析】
【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)， .
∴当 时，活动区的面积达到
【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
4．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数的关系可得：
代入得： ，
化简得： ，
得 .
由于 的取值范围为 ，
故不存在k使 ．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：
解得：
当 时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣ ）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝ ，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
（1）每千克核桃应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【答案】（1）4元或6元；（2）九折.
【解析】
【详解】
解：（1）设每千克核桃应降价x元.
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+ ×20）=2240，
化简，得x2﹣10x+24=0，解得x1=4，x2=6.
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣ ）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
答：每千克核桃应降价4元或6元.
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元.
∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元.
此时，售价为：60﹣6=54（元）， .
答：该店应按原售价的九折出售.
7．已知：关于x的一元二次方程 .
（1）若此方程有两个实数根，求没 的最小整数值；
（2）若此方程的两个实数根为 ， ，且满足 ，求 的值.
（2）由根与系数的关系得： ， ，
由 得：
∴ ，
解得： 或 ；
∵ ，
∴ .
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，则 ， ．也考查了根的判别式．解题的关键是熟练掌握根与系数的关系和根的判别式.
8．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向B点以1 cm/s的速度移动，点Q从B点沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)当k≤ 时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k，使得x1·x2－x12－x22≥0成立
【解析】
试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决.
（2）把 带入得 ，解得 ， .
【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
3．某社区决定把一块长 ，宽 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形)，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边 为何值时，活动区的面积达到 ?
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根
6．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
【Fra Baidu bibliotek睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．已知关于 的一元二次方程 .
（1）当 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
【解析】
试题分析：（1）直接把x=-1代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；
（2）利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式△与0的关系进行判断．
(1)把x=-1代入得1+m-2=0，解得m=1
∴ 2- -2=0．
∴
∴另一根是2；
(2)∵ ，
∴方程①有两个不相等的实数根．
考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程
【答案】（1）-4；（2）m=3
【解析】
【分析】
（1）利用根的判别式的意义得到△≥0，然后解不等式得到m的范围，再在此范围内找出最小整数值即可；
（2）利用根与系数的关系得到 ， ，然后解关于m的一元二次方程，即可确定m的值．
【详解】
解：（1）∵ 有两个实数根，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
∴m的最小整数值为： ；
（2）当 时，求方程的解.
【答案】（1）当 且 时，方程有两个不相等的实数根；（2） ， .
【解析】
【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根， ，代入求m取值范围即可，注意二次项系数≠0；
（2）将 代入原方程，求解即可.
【详解】
（1）由题意得： = ，解得 .
因为 ，即当 且 时，方程有两个不相等的实数根.
【答案】当 时，活动区的面积达到
【解析】
【分析】
根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.
【详解】
解:设绿化区宽为y，则由题意得
.
即
列方程:
解得 (舍)， .
∴当 时，活动区的面积达到
【点睛】
本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．
4．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．
试题解析：
（1） ，解得
（2）由 ，
由根与系数的关系可得：
代入得： ，
化简得： ，
得 .
由于 的取值范围为 ，
故不存在k使 ．
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣2＝0…①
（1）若x＝﹣1是方程①的一个根，求m的值和方程①的另一根；
（2）对于任意实数m，判断方程①的根的情况，并说明理由．
【答案】（1）方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.