数学的内在美和外在美
浅谈小学数学中的美
浅谈小学数学中的美英国著名哲学家罗素曾说过:“数学不但拥有真理,而且还具有至高无尚的美。
”数学是一门优美的学科,但小学数学对学生的美学教育却常常被忽视。
绝大多数学生都不能把数学与美联系在一起。
其实,数学是潜在美很强的学科,隐含着丰富的美育因素。
数学的美不同于自然美和艺术美,数学美是一种理性的美、抽象的美。
数学教师应该在教学中充分捕捉和挖掘数学中的美,让学生感受、体验以至探索数学美,领会数学的美学价值,更大地激发学生学习数学的兴趣,为能够创造数学美搭建桥梁。
那么,在小学数学阶段我们应该怎样在数学教学中让学生感受到数学的美呢?笔者认为应从以下三个方面进行。
一、感受数学的外在美1.数学的简洁美数学家研究数学的目的之一,就是尽可能地用简单而基本的数学语言去描述世界、解释世界。
用字母表示数,是从算术到代数的飞跃,不论从结构还是形式上,都使我们感到式简意明。
数学中的字符也以极其简洁的语言表达着丰富的含义。
从阿拉伯数字,从四则运算中的“+、-、×、÷”到改变运算顺序的“( )、[ ]”,比较大小的“>、<、=”等等,这些字符都讲究大小适中,它们的书写形式和意义也有着密切的联系,它们是全世界通行的语言。
我们可以在具体的教学情境中抽象出这些字符,让学生感受到数学的简洁美,培养学生的数感、符号感。
数学具有高度统一的特点,许多纷繁复杂的现象,可以归纳为简单的数学公式。
例如,各式各样的三角形的面积可以统一用一个公式表示:S=ah÷2。
又如,在讲三角形的面积公式时的“等底等高”、三角形性质时的“等边对等角”,它们已经简单到了极致,如同古诗般美到了极致。
数学的简洁美还体现在对数学简洁解法的追求中。
例如,小学阶段的简便计算,模仿高斯求等差数列的和等。
2.数学的对称美大自然的结构是用对称语言写成的,动物形体与植物叶脉都呈现着对称规律。
对称美在小学数学中也有着广泛的应用和表现。
在几何形体中,最典型的就是轴对称图形。
数学之美发现数学的美妙和奥秘
数学之美发现数学的美妙和奥秘《数学之美:发现数学的美妙和奥秘》数学,作为一门古老而又深奥的学科,承载着人类智慧的结晶,是人类对世界的认知和思维方式的具体体现。
它不仅能够解决现实生活中的问题,还能揭示自然界规律的奥秘。
本文将为您揭示数学的美妙之处和其背后的奥秘。
一、数学的美妙之处数学作为一种抽象的语言,具有独特的美感和内在的美妙。
它通过符号和公式表达,精确而简洁地描述了世界的运行方式。
数学的美妙之处体现在以下几个方面。
1.1 数学的纯粹性数学是一门纯粹的学科,不受主观感情和外在因素的影响,它的真理是自洽的、不可动摇的。
数学的公理体系和推理方法是严密的,它独立于任何时间和空间的限制。
在数学的世界里,人们能够追求绝对的真理和完美的美感。
1.2 数学的创造性数学不仅是纯粹的,同时也是富有创造力的。
数学家们创造性地提出了许多深奥的概念和理论。
例如,欧几里得几何、微积分、复数等都是数学家们在实践中获得的创造性成果。
这些创新不仅给数学界带来了新的发展,也为其他学科提供了重要的理论基础。
1.3 数学的美学价值在数学的世界里,有着许多美妙的定理和公式。
例如,费马定理、黄金分割、欧拉公式等,它们都蕴含着深刻的美学价值。
数学家们通过推理和证明,发现了这些美丽而有趣的数学规律,为人类带来了认知的愉悦和审美的享受。
二、数学的奥秘和发现数学之所以被赋予如此多的美妙和奥秘,是因为它揭示了自然界和人类思维的规律。
2.1 数学与自然界的关系自然界中充满了许多难以理解的现象和规律。
而数学正是人类解读自然界的有力工具。
事实上,自然界中的许多现象都能够用数学模型来描述和解释。
例如,物理学中的运动规律、天文学中的星体运动、生物学中的遗传规律等,都需要数学来进行分析和研究。
2.2 数学与人类思维的关系数学不仅能解释自然界的规律,也适用于人类的思维方式。
逻辑推理、抽象思维、问题解决等都是数学思维在人类认知中的体现。
通过数学学习和实践,人们能够培养自己的逻辑思维能力和创新思维能力,提高问题解决的能力和效率。
数学美在哪里
数学美在哪里?数学知识的审美教育主要是通过教学使学生感受数学知识的内在美,诸如数字美、符号美、构图美等,培养和提高学生的审美能力,培养学生对数学知识美的热爱,通过学生的"内化",逐步迁移为对数学知识的热爱和追求,从而激发学生对数学的学习兴趣,开发学生的智力,从而达到育人的目的。
小学数学课程中隐含着丰富的美育因素,我们要充分发掘数学教材中的美育因素,让孩子感受到数学的美,进而喜欢数学。
数学教材中隐含的美育因素主要包括以下几个方面:(一)、数学的简洁与抽象美:数学的简洁美,并不是指数学内容本身简单,而是指数学的表达形式、数学的证明方法和数学的理论体系的结构简洁。
公式C=2πR就是其中一例。
几何中完美的图形——圆,内含的周长与半径有着异常简洁和谐的关系,一个传奇的数"π"把它们紧紧相连。
又如,数“1”,小至一个原子、粒子;大至一个太阳、一个宇宙……宇宙万物,均可以用“1”来表示。
几何形体的各种求面积、体积公式,简洁实用,万无一失,只要符合有关条件,计算不出错误,就可以得到正确的结果。
细心的人还可以找到他们之间的内在联系。
再如,许多简便的解法,也是数学简洁美的体现。
简单举例:计算1—+—+—+—+—+—+—+—+—。
面对这个计算题,若贸然用一般的通分的方法来解决,会带来繁杂的计算。
当仔细审视这题的特点,发现每一项的分数的分子皆是1,而分母可分别分拆成两个相连的自然数之积,即1×2,2×3,3×4,4×5,5×6,6×7,7×8,8×9,9×10,于是,立即使我们联想到,把每个分数都分拆成两个分数之差。
这样一来,尽管计算过程中分数的项数增加了一倍,但出现正负相间的两个相同的分数,中间的项对消了,只剩下首末两项,从而很快获得结果,即这一简洁的解法,给人以美的享受。
(二)、数字和符号美。
浅谈数学美的表现形式
浅谈数学美的表现形式数学美的表现形式是多种多样的,从数学内容看,有概念之美、公式之美、体系之美等;从数学的方法及思维看,有简约之美、类比之美、抽象之美、无限之美等;从狭义美学意义上看,有对称之美、和谐之美、奇异之美等。
(一)语言美数学有着自身特有的语言———数学语言,其中包括:1 数的语言——符号语言关于“∏” ,《九章算术》 如斯说:“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”;面对“√2”这一差点被无理的行为淹没的无理数,我们一直难以忘怀那位因发现“边长为1的正方形,其对角线长不能表示成整数之比”这一“数学悖论”而被抛进大海的希帕索斯(公元前五世纪毕达哥拉斯学派成员)。
还有sin∂、∞ 等等,一个又一个数的语言,无不将数的完美与精致表现得淋漓尽致。
2形的语言——视角语言从形的角度来看——对称性(“中心对称”、“轴对称”演绎了多少遥相呼应的缠绵故事);比例性(美丽的“黄金分割法”分出的又岂止身材的绝妙配置?);和谐性(如对数中:对数记号、底数以及真数三者之间的关联与配套实际上是一种怎样的经典的优化组合!);鲜明性(“最大值”、“最小值” 让我们联想起——“山的伟岸”与“水的温柔”,并深切地感悟到:有山有水的地方,为何总是人杰地灵的内在神韵……)和新颖性(一个接一个数学“悖论”的出现,保持了数学乃至所有自然科学的新鲜与活力)等等。
(二)、简洁美爱因期坦说过:“美,本质上终究是简单性。
”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。
朴素,简单,是其外在形式。
只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。
欧拉给出的公式:V -E+F=2,堪称“简单美”的典范。
世间的多面体有多少?没有人能说清楚。
但它们的顶点数V、棱数E、面数F,都必须服从欧拉给出的公式,一个如此简单的公式,概括了无数种多面体的共同特性,能不令人惊叹不已?!在数学中,像欧拉公式这样形式简洁、内容深刻、作用很大的定理还有许多。
数学中体现出的各种“美”在哪儿
数学中体现出的各种“美”在哪儿当你倘佯在音乐的殿堂,聆听优美动听的乐曲时,你会体会到音乐带给你的“美”的享受;当你漫步在文学的天地,欣赏着那“惊天地,泣鬼神”的绝妙语句,一定能够领悟文学带给你的的“美”,美的事物,总是为人们乐意醉心追求的。
其实,“哪里有数学,哪里就有美”,这是古代哲学家对数学美的一个高度评价.数学中同样存在着能够启迪智慧,陶冶情操的“美”。
数学的美,质朴,深沉,令人赏心悦目;数学的妙,鬼斧神工,令人拍案叫绝!数学的趣,醇浓如酒,令人神魂颠倒。
一、对称美所谓对称性,既指组成某一事物或对象的两个部分的对等性,从古希腊的时代起,对称性就被认为是数学美的一个基本内容。
毕达哥拉斯就曾说过:“一切平面图形中最美的是圆,在一切立体图形中最美的是球形。
”这正是基于这两种形体在各个方向上都是对称的。
二、和谐美万物都是和谐统一的,现代也提倡建立社会主义和谐社会,可知,和谐的重要性。
数学中也包含着和谐美。
最著名的和谐美的例子就是黄金分割比了。
黄金分割又称黄金律,是指事物各部分间一定的数学比例关系,即将整体一分为二,较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比,其比值为1∶0.618或1.618∶1,即长段为全段的0.618。
0.618被公认为最具有审美意义的比例数字。
上述比例是最能引起人的美感的比例,因此被称为黄金分割。
有趣的是,这个数字在自然界和人们生活中到处可见:人们的肚脐是人体总长的黄金分割点,人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点。
大多数门窗的宽长之比也是0.618。
黄金分割被认为是建筑和艺术中最理想的比例。
建筑师们对数字0.618特别偏爱,无论是古埃及金字塔,还是巴黎圣母院,或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔,都有与0.618有关的数据。
还有,在古希腊神庙的设计中就用到了黄金分割。
人们还发现,一些名画、雕塑、摄影作品的主题,大多在画面的0.618处。
艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处,能使琴声更加柔和甜美。
数学的美与奥秘从一到无穷大的数学美学
数学的美与奥秘从一到无穷大的数学美学数学,这门看似枯燥的学科,却蕴含着无比的美与奥秘。
从一到无穷大,数学美学贯穿于整个数学的世界,让我们领略到数学的魅力与深邃。
一、数学中的对称美学对称在自然界和人类的艺术作品中都是一种普遍存在的美学。
数学中也不例外,对称应用于数学中的图形和方程,产生了一种精确而完美的美感。
比如,镜像对称、轴对称等都是数学中常见的对称形式。
例如,在几何学中,我们可以通过对图形进行镜像、旋转或平移等操作,来研究它们的对称性质。
这种对称美学不仅令人赏心悦目,更深入展示了数学的内在结构与规律。
二、数学中的黄金比例美学黄金比例是指一条线段分为两部分,较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比。
这种比例被广泛运用于建筑、绘画等艺术领域中,也被广泛认为是最具美感的比例之一。
而这种美感实际上源于数学中的黄金比例,也就是数学中的斐波那契数列。
斐波那契数列是从1开始,后面的每一个数都等于前面两个数之和。
斐波那契数列具有惊人的特性,比如相邻两个数的比例会无限接近黄金比例0.618。
这种数学的美感犹如艺术作品中的完美构图,给人以无尽的想象空间和美好的感受。
三、数学中的无穷大美学数学中的无穷大是一种抽象的概念,但它却展现出了独特的美学之美。
无穷大既包括正无穷大,也包括负无穷大,在数学中起到了重要的作用。
在微积分中,无穷大可以用来描述函数的极限,表达函数在某些点的趋势。
无穷大常常和无穷小相互关联,构成微积分中的重要概念。
无穷大不仅仅是数学上的一个符号,更是数学世界中的探险家,带领我们走向未知的边界,发现数学中的奥秘。
数学的美与奥秘不仅仅限于以上三个方面,数学的世界广阔而深邃,每个领域都蕴含着精彩纷呈的美学。
数学的美学给人以享受和启迪,同时也激发了人们对于数学的探索和研究。
在日常生活中,我们可以用数学的眼光去观察周围的事物,去感受数学的美与奥秘。
透过数学的窗口,我们看到了世界的秩序和美丽。
总结起来,从一到无穷大的数学美学贯穿了整个数学的世界。
数学中的美
数学中美的欣赏数学美是一种蕴涵的美,它需要从深处去挖掘。
关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在,所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。
一、数学美的概念美是人类创造性实践活动的产物,是人类本质力量的感性显现。
通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是自然美的客观反映,是科学美的核心。
简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。
历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。
普洛克拉斯早就断言:“哪里有数,哪里就有美。
”亚里士多德也曾讲过:“虽然数学没有明显地提到善和美,但善和美也不能和数学完全分离。
因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”,这些正是数学研究的原则。
”徐利治教授说:“作为科学语言的数学,具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点,即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美,既所谓数学美。
数学美的含义是丰富的,如数学概念的简单性、统一性,结构关系的协调性,对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性,还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
以上的论述可见,数学中充满着美的因素,数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现,它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西,而是有其确定的客观内容。
二、数学美与其它美的区别数学美有别与其它的美,它没有鲜艳的色彩,没有美妙的声音,没有动感的画面,它却是一种独特的美。
美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述:“音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科技可以改善物质生活,但数学却能提供以上一切。
”数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。
打个比方来说,大家一定都有这种感觉,绝大部分同学对音体美容易产生兴趣,而对数学感兴趣的不多。
我认为,这主要有两个方面的原因:一是音体美中所表现出来的美是外显的,这种美同学们比较容易感受、认识和理解;而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表,如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等,但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中,这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解,这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。
让学生感受数学中的美
让学生感受数学中的“美”爱因斯坦说过:“对一切来说,只有爱好才是最好的老师”。
动听的音乐,让人心情舒畅;美丽的风景,让人赏心悦目;美好的事物总是让人充满着向往和追求。
让学生感受数学中的美,不仅是教学大纲的要求,更是让学生喜爱数学、学好数学的重要手段,是培养良好的学习习惯和良好的数学修养的重要保障。
因此,在学校教育教学中,实施美的教育不仅仅是音乐课、美术课的任务,各个学科都应结合自身特点,因地制宜的向学生进行美的教育,才能有效的发挥各科在基础教育中的整体作用。
一、数学中存在美美无处不在。
无论是简单的阿拉伯数字,还是纷繁复杂的几何图形,那优雅的线条和简洁的形式,都给人以美的感受。
无论是优美和谐的“黄金分割”还是高深莫测的“哥德巴赫猜想”,都令人心驰神往。
数学的博大精深和广袤无垠,使一代又一代人为之不懈的追求,他们如痴如醉,废寝忘食,正是因为他们感受到了数学中的美,体会到了数学带给他们无穷无尽的乐趣。
很多人认为只有在高端的数学领域,才能感受和体会到数学的美,只有数学家才有追求数学美的权利。
其实不然,数学美融入在我们生活中的方方面面,数学美贯穿于我们学校教育的各个阶段,正如数学家普罗克拉斯所说,“哪里有数,哪里就有美”。
二、数学中美的特征1.形式的简洁美简洁美是数学美的显著特征,无论是小学中的“九九乘法表”,还是初中用方程或方程组解决实际问题,无不体现了数学言简意赅、简单明了,化复杂的实际问题为简单的数学问题的独特魅力,这也是许多同学喜爱数学的真正原因。
2.形式的对称和谐美对称和谐是数学形式美的重要标志,它给人匀称、协调的美感。
简单的几何图形,如圆、等腰三角形、长方形、正方形、抛物线等,不仅形象直观还给人以对称和谐的美感,让人在学习知识的同时仿佛置身于神奇的图形世界,受到了美得熏陶。
直线、射线的延伸性则直接将人的思维发散到广阔的空间之中;神奇的尺规作图,更是让人咂舌不已。
一次次的视觉冲击和思维震撼,不得不让人对数学产生浓烈的兴趣。
如何体现数学的内在美
如何体现数学的内在美作者:朱从平刘慎勇来源:《新课程·小学》2011年第01期华罗庚说过:“就数学本身而言,是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……”认为数学枯燥乏味的人,只是看到了数学的严谨性,而没有体会出数学的内在美,我认为数学的内在美体现在以下几个方面:一、领略数学的别开生面数学就在我们身边。
在教学“年、月、日”的认识一课时,我提出关于小朋友过生日的数学问题:“青青今年9岁,过了9个生日,青青的爸爸今年36岁,也过了9个生日,但是青青的爸爸从未漏掉过任何一个生日,这究竟是为什么呢?”此时,“问则疑,疑则思”的效果表现了出来,于是我马上在学生浓得化不开的兴趣中得带着学生学习了有关闰年的知识,学生们马上恍然大悟,原来生活中的数学是这么有趣。
这样的内容恰好体现了生活数学现实、有趣、有用的特点,它具有强大的吸引力,因为它有着熟悉的生活背景,有着学生乐于参与的空间,让学生们去思考、去想象,去创造。
挖掘数学内容中的生活情景,让数学贴近生活,让学生充分体会到生活中充满数学,感到生活真有趣,数学真有趣。
二、体会数学的妙趣横生数学是一门重要的工具学科,它涉及方方面面,就是在文学中,应用也极其广泛。
如,在春联中也隐藏着有趣的数学题,上联是:花甲重开,又加三七岁月。
下联是:古稀双庆,更多一度春秋。
你知道这副对联中所贺老寿星有多少岁吗?我们可以用两道乘加的混合计算题来解决。
对子对得妙,而且用上了有关数学的趣味知识,如果用这样的对联来为乘加这一类混合运算的课堂做结尾,肯定是回味无穷的。
好诗、好对子来源于生活,精心提炼加工以后会高于生活,可以从中体会到语言的优美。
数字、图形和数学题同样来自生活,通过科学的抽象与概括,揭示生活中的内在规律,蕴涵着一种和谐的数学美。
和文字结合,又体现出一种绝妙的意境美。
三、体验数学的扣人心弦一堂好的课,开头引人入胜,中间波澜起伏,结尾余音绕梁。
在数学课堂上,同样“文似看山不喜平”。
浅谈数学之美
浅谈数学之美一、数学美的含义我国著名数学家徐利治指出:“数学美的含义是丰富的,如数学概念的简单性,统一性,结构系统的协调性,对称性,数学命题与数学模型的概括性、典型性与普遍性,还有数学中的奇异性都是数学美的具体内容。
因此我们可以把数学的美分为结构美、方法美、语言美、逻辑美、非逻辑美、创造美、形态美、内在美、严谨美与应用美。
”数学的结构美是一种内在的美,来自各部分的和谐秩序,给人以美的感受。
数学的方法美是指数学证明方法与思维方法在解决问题时体现出来的美妙以及使人感到愉快的美感并激发兴趣。
数学的语言是—种特殊的语言,它是借助数字符号把数字内容扼要地表现出来,具有准确性、概括性、有序性、简单性、通用性。
数学中的逻辑推理是根据所学过的知识来推导出未知的,无论由已知推向结果还是结果反推已知,一步一步的推理,一环扣一环的演绎,都是数学严谨的逻辑美,都给人以破案的神秘感。
数学的非逻辑美是一些自然界现实所概括的一些公理定义,如两点确定一条直线,SAS等等,并用它们来证明一些问题。
数学的创造美中,不断地由一问题转向别的问题,进而探索发展为一门新的数学分支,如开始只有正数,后来有了负数,再后来扩大到了复数。
数学的形态美是指数学美的内容的外部表现形态,即“在数学理论、图形之中,或者数字理论和图形的相互关系中,表现这些关系的定理和公式,所呈现出来的简单、整齐、对称和谐的美”。
数学内在美是指数学美的内容诸要素的内部组织结构。
数学的应用美是不同的人应用相同的数学概念和方法研究不同的事物,不相同的事物又都服从于同一数学规律。
如正多边形镶嵌成的地板图案,各种几何体造型的建筑物,如悉尼大歌剧院。
二、数学美的特征随着社会历史的发展,数学美的概念在不断的变化和发展,但数学美的内容和基本特征具有相对稳定性,概括起来数学美的主要特征为:和谐性、简洁性和奇异性。
1.和谐性是指数学内容的部分与部分,部分与整体之间的和谐、协调。
如欧几里德的《几何原本》从少量的几个定义、公理、公设出发,按照逻辑规划,推论出467个定理。
无处不在的数学美
无处不在的数学美数学不仅仅是一门应用广泛的基础学科,也是一门充满审美情趣的艺术。
古希腊有一句名言:“哪里有数,哪里就有美。
”面对以上赞誉,我们不禁要问:“数学为何如此美丽?又该怎样从美学角度来观察分析理解并感受数学的魅力?”事实上,数学美的表现形式是多种多样的。
一、从数学外在形式观赏:它有体系之美,概念之美。
1.体系之美在初中代数体系中,把数和表示数的字母用基本的运算符号连接而成就成了式,把含有未知数的式用等号连接就成了方程,如果方程中的等号换成了不等号就成了不等式,如果方程中含有两个未知数就成了函数。
在中学几何体系中,点动成线,线动成面,面动成体。
代数和几何也不是割裂开来的,函数将它们完美地统一起来。
就像是一根金线串起的一串珍珠,无处不闪烁着数学的体系之美。
2.概念之美从初等数学的基本概念,到现代数学的基本原理都具有普遍的抽象性和一般性。
随着现代集合观点的引入,概念之美得到了空前的体现。
例如:圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
这个概念说明了两层含义——圆上的所有点到定点(圆心)的距离等于定长(半径);到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的所有点都在圆上。
这是纯粹性和完备性的完美结合,概念中少一个字则不足,多一个字则浪费,正如宋玉笔下的“邻家之女”,真是绝了。
开普勒说:“对于外部世界研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐,而这些是上帝以数学语言透漏给我们的。
”二、从数学的思维方式上分析:它有无限之美,抽象之美。
1.无限之美几何从平面几何到立体几何再到球面几何;数的概念从自然数、分数、负数、无理数,扩大到复数,经历了无数坎坷,范围不断扩大了,在数学及其他学科的应用作用也不断地增加。
那么,人们自然想到能否再把复数的概念继续推广。
英国数学家哈密顿苦苦思索了15年,没能获得成功。
后来,他“被迫作出妥协”,牺牲了复数集中的一条性质,终于发现了四元数,即形为a+ai+aj+ak(a,a,a,a为实数)的数,其中i、j、k如同复数中的虚数单位。
数学之美探索数学中的美丽和奥秘
数学之美探索数学中的美丽和奥秘数学之美:探索数学中的美丽和奥秘数学是一门充满美丽和奥秘的学科,它在我们的生活中无处不在,却常常被人们忽略。
数学之美不仅仅体现在它的应用领域,更是隐藏在它的原理和规律之中。
本文将从几个角度探索数学中的美丽和奥秘。
数学的美丽首先体现在它的基本运算和几何形状上。
加法、减法、乘法和除法,这些简单而基础的运算符号,尽管简单却蕴含着无限的可能性。
通过运算,我们可以解决各种问题,揭示事物之间的关系。
同时,数学中的各种几何形状,如圆、三角形、椭圆等,都具有独特的美感和几何特性。
它们的对称性、比例关系以及无限逼近的思想,都展示了数学的美丽。
在数学的世界中,数列和数学函数也是不可忽视的美丽存在。
数列是由一系列有序的数字按照一定规律排列而成的序列,如斐波那契数列、调和数列等,它们呈现出迷人的规律和神奇的性质。
数学函数则是数学中的一种映射关系,通过自变量和因变量的变化规律,可以揭示事物之间的内在联系。
例如,正弦函数、指数函数等,它们的图像形态多样,每一种函数都呈现出自己独特的特点和美感。
数学的美丽还体现在它的代数和统计学中。
代数是研究数与符号之间关系的数学分支,它通过符号运算和方程求解,揭示了事物之间普遍存在的规律和特性。
代数的美丽在于它的简洁和普适性,通过运用代数方法,我们可以解决各种实际问题。
统计学则是关于数据收集、分析和解释的学科,通过统计方法,我们可以总结和归纳数据的规律,同时揭示数据的背后隐藏的信息。
统计学的美丽在于它可以帮助我们理解和预测现象,为决策提供依据。
数学之美还体现在它与其他学科的交叉融合中。
数学与自然科学、工程学、经济学、计算机科学等学科密切相关,为这些学科提供了基础和支持。
在自然科学中,数学通过物理方程、微积分等工具揭示了自然界的规律和运动原理。
在经济学中,数学通过数理经济学、优化理论等方法,帮助经济学家解决各种经济问题。
在计算机科学中,数学是计算机算法和数据结构的基础,为计算机的发展和应用提供了理论支持。
数学之美数学是美丽的,哪里有数哪里就有美
数学之美数学是美丽的,哪里有数哪里就有美数学是美丽的,哪里有数哪里就有美。
数学的定义是:研究数量关系和空间形式的一门科学。
但有句名言说:数学比科学大得多,因为它是科学的语言。
数学不仅用来写科学,而且可用来写人生。
所以说数学是一切学科的基础,是核心学科,就像人们知识金字塔的底部垫基石,所以数学被誉为科学的皇后。
数学分基础和应用两部分组成的,前者追求真和美,后者是把这种真和美应用到现实生活。
一切美的事物都有两条衡量标准:一是绝妙的美都显示出奇异的均衡关系(培根);二是美是各部分之间以及各部分与整体之间都有一种协调一致的和谐(海森保)。
而数学的外在美和内在美无一不把上述的两种美感体现的淋漓尽致,而且它还另赋有真理美和一种冷峭、严峻的美。
一、数学外在美:形象美、对称美、和谐美1形象美黑格尔说:“美只能在形象中出现。
”谈到形象美,一些人便只联想到影视、雕塑或绘画等,而数学离形象美是遥不可及的。
其实数学的数形结合,也可以组成世间万物的绚丽画面。
从幼儿时代伊伊学语的“1像小棒、2像小鸭、3像耳朵……”的直观形象,再到小学二、三年级所学的平均数的应用的宏观形象之美——商场货架货物平均间距摆放以及道路植树的平均间距……由平均数的应用给人们带来的美感不胜玫举。
再到初中所学的“⊥”(垂直符号),看到这样的符号,就让我们联想起矗立在城市中的高楼大厦或一座屹然峻俏、拔地而起的山峰,给人以挺拔巍峨之美。
“—”(水平线条),我们想起静谧的湖面,给人以平静心情的安然之美;看到“~”(曲线线条),我们又有小溪流水、随波逐流的流动乐章之美。
到了高中的“∈”(属于符号),更是形象的表现了一种归属关系的美感。
还有现在最新研究的数学分形几何图形,简直就是数学上帝造物主的完美之作。
美得让人晕撅的数学分形几何图形▼2对称美对称是美学的基本法则之一,数学中许多轴对称、中心对称图形,都赋予了平衡、协调的对称美。
就连一些数学概念本身都呈现了对称的意境——“整—分、奇—偶、和—差、曲—直、方—圆、分解—组合、平行—交叉、正比例—反比例”。
浅谈数学的美
浅谈数学的美通过对中小学学生的调查我们发现,大多数学生认为数学是重要的,同时又是抽象和枯燥的。
数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲睡的讲解,数学只给我们压力,不给我们魅力。
正是因为学生对数学的错误认识,研究数学美就变得尤为重要,数学美可以使学生正确的认识数学了解数学。
帮助学生学习数学。
一、有关数学美的引入没有一门学科像数学那样,在大家的心目中其重要性和亲近性竟产生这么大的分歧,一方面,所有的中小学生都把数学作为一门重要的基础课程学习着;另一方面,大家对数学又望而却步。
数学是我们从小到大都接触的一门学科,它在我们的学生生涯中占了很重的位置。
学生学习数学是为了分数,没有乐趣,得不到享受,数学课没有情感体验和审美愉悦,我们往往把数学理解成很枯燥乏味的东西。
但是事实并非如此,数学本身包含着很多很多的美,只要我们细心体会,数学的美无处不在。
罗素就认识到了数学中的美,他曾如此描述这种美:“正确地说,数学不仅拥有真理,而且还拥有极度的美,一种冷静和朴素的美,犹如雕塑那样,虽然没有任何诱惑我们脆弱本性的内容,没有绘画或音乐那样华丽的外衣。
但是,却显示了极端的纯粹和只有伟大的艺术才能表现出来的严格的完美。
”数学美的魅力是诱人的,数学美的力量是巨大的,数学美的是神奇的。
它可以改变我们对数学枯燥无味的成见,让我们认识到数学也是一个五彩缤纷的美妙世界。
由此产生学习数学的兴趣,从而促使外来动机向内在动机转化,并成为学习的持久动力。
我们只有从中发现数学的美才能更快乐更高效的学习数学。
二、数学在文学文艺中的美人们喜欢借用数字的谐音来表示一些现实意义:一是万物之始,一统天下,一马当先,何其壮美;二是偶数,双喜临门,比翼双飞,多么美好幸福;三是升的谐音,表示多数,三教九流,三生有幸,三番四次,四是全包围结构,四平八稳,四通八达。
更深层次来看,诗词是华夏文明的重要组成部分,是文学的瑰宝。
在文学这个百花园中,有些诗词同数学时有联姻,如把数字嵌入诗、词之中,有的一首诗就是一道数学题。
数学的美学欣赏数学之美
数学的美学欣赏数学之美数学的美学欣赏数学是一门充满美学魅力的学科,它以其深邃的逻辑、优雅的推理和无尽的可能性,吸引着人们的注意。
数学之美体现在它的形式、结构和应用上,让我们一起来欣赏数学的美学之旅。
1. 数学符号的美学数学是通过符号和符号间的关系来表达的,而这些符号本身有着自己独特的美学韵味。
比如,数学中的字母有着各种不同的形状和大小,它们用来表达不同的变量和对象。
有时候,在一串复杂的符号中,我们会发现一种美丽的对称或者和谐感。
数学符号的组合和排列,透露出一种简洁而优雅的美感,就像一副抽象的艺术作品。
2. 数学的结构之美数学不仅仅是一些杂乱的概念和公式的集合,它还有内在的结构之美。
数学中存在着一些基本的结构,比如序列、集合、函数等等。
这些结构具有一定的规则和性质,它们之间相互联系,形成一个统一而完整的数学世界。
在这个世界中,数学家们用各种方法和技巧去探索和创造新的数学结构,这些结构的美感在于它们的对称性、平衡性和内在的逻辑关系。
3. 数学的证明之美在数学中,证明是一种最为重要且独特的表达方式。
数学家们通过推理和论证,用严密的逻辑展示出一个个定理的真理和有效性。
证明过程的美感在于它的逻辑严密性和推理的连贯性。
当我们看到一个精妙的证明时,我们会为数学家们所展现出的聪明才智和创造力而赞叹不已。
4. 数学的应用之美数学的美学不仅体现在其抽象的概念和结构中,还体现在其丰富的应用中。
数学在自然科学、工程学、经济学等领域中有着广泛的应用。
通过数学模型和方程,我们能够揭示自然界和人类社会的规律和秩序。
比如,费马大定理的证明用到了高深的数学知识,而这个定理可以用来解释很多实际问题。
数学的应用之美在于它的实用性和对世界的深入理解。
总结起来,数学的美学欣赏需要我们从不同的角度来思考和感受。
它的美在于符号的优雅和深邃,结构的和谐和完整,证明的智慧和创造力,以及应用的实用性和深远影响。
无论是数学家还是非数学专业的人,都可以体验到数学的美学之旅,感受到其中的魅力和乐趣。
领略数学美
• 伯努利对这些有趣的性质惊叹不已,称它为神
奇的曲线,并表示要在自己的墓碑上刻上一条对数
螺线,并加上碑文“万变不离其宗”(eadem
mutata
a
resurgo)。可惜雕刻师误将阿基米德螺线
刻了上去。
• 位于巴塞尔的蒙斯特大教堂回廊上的雅各 布 ·伯努利的墓碑
雅各·伯努利墓碑上的碑文与螺线
• 阿基米德螺线 a
• 自然数中的“瑰宝”,祥瑞之数,意大利 人把6看成是属于爱神维纳斯的数,以象征 美满的婚姻.
• 所有完全数都可以表为2的连续整数次 幂之和,如:
6 21 22 28 22 23 24 496 24 25 28 8128 26 27 212 33550336 212 213 224 • 思辨美
• 谷神星的发现
• 1772年,柏林天文台台长,德国天文学家波 德总结前人经验时,整理并发表了一个“波
• 公式、命题、术语的对称美
• (a b)n 的系数,杨辉三角
•
1
•
11
•
121
•
13 31
•
146 41
• 对数和指数运算公式
n
n
ln ai ln ai
i 1
i 1
n
n
exp ai exp ai
i 1
i 1
• 集合、随机事件运算公式
n
n
Ai Ai
i1
i1
n
n
Ai Ai
i1
i1
132 111 126
8
1
6
逻辑美,思辨美)
3.14159926
• 至1999年,已经算到小数点后2061亿位. • 从小数点后第71,0100位起连续出现6个3;小
数学之美:超乎你的想象
数学之美:超乎你的想象数学是美丽的数学是有用的数学是其它科学的基础和工具概率统计,向量与余弦定理,图论与动态规划,黎曼几何数学大师丘成桐说过:“数学是一门很有意义、很美丽、同时也很重要的科学。
从实用角度讲,数学遍及到物理、工程、生物、化学和经济,甚至与社会科学也有很密切的关系。
文学最高境界,是美的境界,而数学也具有诗歌和散文的内在气质,达到一定的境界后,也能体会和享受到数学之美。
数学既有文学性的方面,也有应用性的方面,我对这些都感兴趣,探讨它们之间妙趣横生的关系,让我真正享受到了研究数学的乐趣。
”数学是美丽的,数学作为自然科学的基础,其本身就具有许多美的特征,它们是形象、生动而具体的。
把数学中美的现象展示出来,再从美学角度重新认识,这不仅是对人们观念的一种启迪,同时可帮助人们去思维、探索、研究、发掘。
古代哲学家普洛克拉斯就说:“哪里有数学,哪里就有美。
”著名哲学家罗素也这样说:“数学,如果正确看它,不但拥有真理,而且也具至高的美。
”第一是数学的外在形式美,表现为简洁、对称、和谐、统一,它给人的美感是“悦目”;爱因期坦说过:“美,本质上终究是简单性。
”他还认为,只有借助数学,才能达到简单性的美学准则。
物理学家爱因期坦的这种美学理论,在数学界,也被多数人所认同。
朴素,简单,是其外在形式。
只有既朴实清秀,又底蕴深厚,才称得上至美。
欧拉给出的公式:V-E+F=2,堪称“简单美”的典范。
数学的这种简洁美,不是用几个定理可以说清的,数学历史中每一次进步都使已有的定理更简洁。
正如伟大的希而伯特曾说过:“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着”。
第二是数学的内在理性美,表现为内容的真实、逻辑的严密、结构的严谨、方法的巧妙、思想的深邃。
这种内在意蕴的美要凭借人的智慧才能把握,它给人的美感是“赏心”;以学生的学习的心理过程来看,认知过程与审美情感本身就是深刻地渗透在一起的。
学生对知识的掌握理解以及由知识到智力的转化都需要借助逻辑的严密、结构的严谨、方法的巧妙,正是知识向智力转化的最有效的动力。
数学的美就象自然界的任何一种美一样
浅谈数学美的属性
数学的美就象自然界的任何一种美一样,有其固有的属性,值得人们去追求和探索。
鉴于此,笔者就多年数学教学的体验对数学美的五个主要方面的性质作个剖析。
1、数学美的存在性——客观世界的反映
在客观世界纷繁芜杂的各种变化与现象中,时刻贯穿、孕育着各种各样的美。
美是杂乱中的秩序,是变化中的规律。
美是客观世界的本质属性,是引领整个客观世界向前发展的内在动力。
数学美作为科学美的重要方面,就是对自然界中客观存在的秩序与规律从数与形的角度给予反映和提示。
具体来说,对于美的存在性,我们可以从两个方面秋认识与考察。
首先,客观世界中处处渗透与体现着数学美,数学美是对客观世界内在规律的反映。
对于数学美与客观世界之间的相互联系,其实早在古希腊时期,毕达哥拉斯学派就开始着手研究。
毕氏学派在研究音乐乐理的谐音与天体运行的轨道时,发现二者在数量关系上都满足整数比,从而就此得出结论“宇宙间万物的总规律,其本质就是数的严整性和和谐性”,“美是和谐与比例”。
在这样的认识基础上,毕氏学派试图从数和数的比例中求得美和美的形式,并终于从五角星形中发现了“黄金分割”,进而得到黄金比。
这是数学美学认识史上的一大突破。
从古希腊到现在,黄金比在各种造型艺术中都有着重要的美学价值。
现代科学研究甚至表明,黄金比在现代最优化理论中也有着应用价值,如优选法中的0.618法。
即使在现代医学保健领域中,都可以处处感受到它的存在与神奇。
最令人惊奇的是,很多生物的形体比例也是等于黄金比。
难道它们都懂得优选法,自觉采用黄金比?不!这
1。
数学本质中的美学意味
数学本质中的美学意味[摘要]数学中蕴涵着独特而奇异的美,这种美具有鲜明的内在性、内驱性、鉴别性、层次性和精神理性,发现这种美,势必为数学研究和数学教学提供一条切实可行的捷径。
[关键词]数学美内在性鉴别性理性精神数学中处处蕴涵着美,形式的美与内容的美,独立的美与统一的美,这些美反映了一种自然的秩序与规律,彰显了人的最深层次的本质力量对象化的外部结果。
一、數学美的内在性其次,溯源于客观世界的数学理论内部也充满着数学美。
这种美本质上间接地表征了客观世界的固有规律。
古代哲学家、数学家普洛克拉斯甚至断言:“哪里有数,哪里就有美。
”的确,数学中美的例子可谓俯拾即是。
例如,皮亚诺算术公理系统,就是逻辑结构简单美的典范;希尔伯特以非构造方法成功解决了代数不变量理论中的戈丹问题,体现数学方法的简单美;代数中的共扼根式、共扼复数、对称多项式、对称矩阵等。
几何中的轴对称、中心对称、镜面对称等,都表现了数学中的对称美;运算、变换、函数,这三个分别隶属代数、几何、分析等不同数学分支的重要概念。
在集合论建立之后,便可以统一于映射的概念,这体现了数学中的统一美。
二、数学美的理性精神英国著名哲学家、数学家罗素曾经这样描述过数学的美:“数学,如果正确地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正象雕刻的美,是一种冷而严肃的美、这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。
”罗素的这番精彩论述以“冷而严肃”“纯净”“崇高”“严格”“完满的境地”等字眼来形容数学的美,将数学美的与众不同淋漓尽致地展现在人们面前。
罗素所指认的理性美突出地表现于以下两个方面。
第一,数学的美是内在的美、隐蔽的美、深邃的美。
数学美是客观规律的反映,但这种反映不是像照镜子那样直接反映,而是人的能动反映,是自然社会化的结果,是人的本质力量对象化的结果。
它所反映的不单纯是客观事物,而是融合了人的思维创造。
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数学的内在美和外在美
美的事物,总是为人们乐意醉心追求的。
然而,一提到美,人们最容易想到的是“江山如此多娇”的自然美,抑或是悦目的图画,动听的乐章、精妙的诗文……这些艺术美。
然而,数学,这自然科学的皇后里面,蕴含着比诗画更美丽的境界。
英国数理哲学家罗素说:“数学,如果真正地看它,不但拥有真理,而且具有至高的美。
”熟悉美是一种理性美,是一种冷而严肃的美。
本文主要讨论数学的内在美和外在美。
数学的外在美主要有简洁美,和谐美和奇异美。
首先是简洁美,数学的简洁美首先体现为数学符号的简洁,数学符号从自然数到分数、从整数到小数、从正数到负数、从有理数到无理数、从实数到虚数,无不体现了数学的简洁。
试想没有这些简单的符号,人类会遇到何等的麻烦。
更不用说方程的符号、函数的符号、微积分的符号、微分方程、积分方程的符号,这些符号所反映极其抽象的关系,给人类带来了无尽的方便。
和谐之美是数学美的一大特点。
数学的这种和谐美表现在它的对立统一之中,从可公度到不可公度、从算术根到虚数根、从有限到无限、从不连续到连续、从不可微到可微、从确定到随机,无不是在从不矛盾到矛盾,又从矛盾到不矛盾的转换之中,这种对立统一的发展,使数学的和谐美蕴含其中。
开普勒正是坚信宇宙的根本是“数学的和谐”而发现了著名的行星运行第三定律。
数学的奇异与变异也是数学美的源泉。
从欧式几何到非欧几何、从勾股定理到费马大定理、从代数方程的公式解到变换无穷的群论、从凸多边形的欧拉示性数到奇特的莫比乌斯魔带、从调和级数的发散到无法证实或无法证伪的哥德巴赫猜想,无不令人叹为观止。
更令人惊叹不已的是,数学的这种奇异竟然能把数学送向一个又一个高峰。
人们还熟知数学具有对称美、形式美等等,正如数学家与哲学家普罗克拉斯所说:“哪里有数,哪里就有美”。
数学的内在美主要表现在数学的精神上,主要有理性精神,求实精神和创造精神。
理性精神是人们对外部客观世界与自身的一种理智的、根本的看法或基本态度,它对人类自身存在和文化发展具有特别重要的意义。
数学研究对象和研究方法所蕴含的理性精神,对于人类发展和认识世界、改造世界具有特殊的重要意义。
从人类的各个发展阶段看,无不印证着数学中充满理性精神,是其它任何一门学科都无法比拟和所能代替的。
求实精神表现为尊重事实、尊重科学、尊重规律、实事求是讲究逻辑、不迷信、不盲从。
这是追求真理的精神体现,数学的逻辑性、确定性,为数学的求实精神提供了可靠的的保证。
逻辑性表现在数学形式中的因果关系和顺序关系,确定性反映数学的一切概念都是十分精确、简练的语言表达。
数学认识世界的规律性反映在命题中结论的必然性、可验证性,数学对真理的检验反映在方法既具有一般科学研究方法的合理性,又具有逻辑上的可靠性。
数学求真求实的精神孕育其中。
数学是一种创造性活动的精神产物。
首先是概念的建立具有前所未有的创意。
许多数学概念的获得都凝聚着人类的创造性劳动,如无理数、虚数、极限、导数、积分等概念,也不无证实这一点。
其次,数学的创造性也表现在公式、定理的发明、发现中。
再次,数学的创造性还表现在数学理论体系和语言体系的创建上。
创造是数学进步的灵魂,是数学兴旺发达的内在的不竭动力。