垂径定理及应用

和你谈谈“垂径定理及应用”

我们先来探究一下垂径定理的推导过程：在透明的纸片上面画一个圆O ，作任意一条非直径的弦CD ，再作直径AB 与CD 垂直，交点为P （如图1）．沿着这条直径将圆对折（如图2），我们不难发现：弧AC=弧AD ， 弧BC=弧BD ，CP=DP ，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

垂径定理是根据圆是特殊轴对称图形得

到的．由轴对称图形及轴对称的特征，我们还

可以发现：如果一条直线具备①经过圆心；②

垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；

⑤平分弦所对的劣弧．这五个条件中的任意两

个，不然具备其余的三个，简称“知二推

三” ．但注意把“经过圆心平分弦”作为题设时，必须是平分非直径的弦，是因为圆的任意两条直径都相互平分． 垂径定理及其推论能使很多问题轻松获解，下面结合例题加以分析．

一、求圆半径、弦长或弦心距的长度

例1 小唐同学掷出的铅球在场地上砸出一个直径约为10cm ，深约为2cm 的小坑，则该铅球的直径约为（ ）

A ．10cm

B ．14.5cm

C ．19.5cm

D ．20cm 解析：根据题意抽象出几何图形（如图3），则问题可转化为：“在⊙O 中，AB 是弦，OC 是半径，OC ⊥AB 于点D ，且AB=10cm ，CD=2cm ，求⊙O 的直径” ． 设⊙O 的半径是r ，由垂径定理可得AD=AB 21=5cm ，且OD=OC —CD=r —2． 在Rt △AOD 中，由勾股定理可得222)2(5—r r +=．

解得r =7.25．所以⊙O 的直径为14.5cm ．故选B ．

练习：1．如图4，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，若AC=8，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则BD 的长为（ ）

A ．

2

3 B ．3 C ．5 D ．6

2．如图5，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，若AB=10cm ，CD=8cm ，那么A 、B 两点到

直线CD 的距离之和为（ ） 图1 图2 图3 图4 图5

A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm 二、求相关角的度数

例2 如图6，⊙O的半径为5，弦AB=3

5，则∠AOB= ．

解析：

过圆心O作OC⊥AB，垂足为C．

由垂径定理可得BC=AB

2

1

=3

2

5

，

在Rt△BCO中，OC=2

2BC

OB—=2

2)3

2

5

(

5—=

2

5

，

∵∠OCB=0

90，OB=2OC，∴∠OBC=0

30．

又∵OB=OC，∴∠OAC=∠OBC=0

30，

故∠AOB=0

180—∠OAC—∠OBC=0

120．

练习：3．如图7，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC．若∠AOB=0

46，则∠ADC为（）

A．0

44B．0

46C．0

23D．0

88 4．如图8，已知AB是⊙O的直径（∠ACB=0

90），弦CD⊥AB，AC=3，BC=1，则∠ABD的度数为．

反思：在运用垂径定理解题过程中，常见的一条辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形．这条辅助线的功能并不只局限于产生定理的结论，适当延伸，当我们连接弦的端点和圆心时便形成一个直角三角形，进而通过解此直角三角形求弦长、半径、直径、圆心到弦的距离，甚至还可求一些相关角的度数．因此，应该重视这条辅助线．参考答案：1．B；2．D；3．C；4．0

60．

图6

图7 图8