级数复习

sin 1 n ～

1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1
1
1 )～ 1 的敛散性 . ln 1 ln( 1 2 2 2 n n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1
n 1
称上式为无穷级数， 其中第 n 项 u n 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 收敛 , 并称 S 为级数的和, 记作 则称无穷级数
则称无穷级数发散 .
当级数收敛时, 称差值
为级数的余项. 显然
例. 讨论等比级数 (又称几何级数)
( q 称为公比 ) 的敛散性.
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
例. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1

1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
n 1 n n a a x x n , x ( R , R ) n n 1

S ( x)
x

n 0
0 S ( x) d x
n 0

x n an x 0
an n 1 x , dx n 0 n 1 x ( R , R )

无穷级数
数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数
第一节 常数项级数的概念和性质
一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质
三、级数收敛的必要条件
机动
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结束
一、常数项级数的概念
给定一个数列 u1 , u 2 , u3 , , u n , 将各项依 定义： 次相加, 简记为 u n , 即
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
第三节 幂级数
一、函数项级数的概念
第十一章
二、幂级数及其收敛性
三、幂级数的运算
一、 函数项级数的概念
设 u n ( x) ( n 1, 2 , ) 为定义在区间 I 上的函数, 称
n
但
p 1, 级数收敛 ;
p 1, 级数发散 .
定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 数, 且 lim
n n
为正项级
un , 则
说明 :
时 , 级数可能收敛也可能发散 .
例如 , p – 级数
n
1 1 (n ) un n n
q 1 时, 等比级数收敛 ; q 1 时, 等比级数发散 .
二、无穷级数的基本性质
性质1. 若级数 乘以常数 c 所得级数 性质2. 设有两个收敛级数

收敛于 S , 即 S u n , 则各项
n 1

也收敛 , 其和为 c S .

S

n 1
un ,

n 1
vn
若 u n 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数
有界 .
收敛
部分和序列
定理2 (比较审敛法) 设
是两个正项级数,
且存在
则有
对一切
有
(常数 k > 0 ),
也收敛 ; 也发散 .
(1) 若强级数
(2) 若弱级数
收敛 , 则弱级数
发散 , 则强级数
1 1 1 例1. 讨论 p 级数 1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
1 特别取 vn p , 对正项级数 u n , 可得如下结论 : n u n 发散 0l lim n p nn l n p 1, 0 l un 收敛
1 例. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
n 0
an x
n 0

n
bn x
n 0
n 0
(an bn ) x
n 0

,
x R x R
an x n bn x n cn x n ,
n 0

其中
定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与 逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
是两个正项级数, (1) 当 0 l 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l 0 且 vn 收敛时, (3) 当 l 且 vn 发散时, 也收敛 ; 也发散 .
结论：若 p 1, 若 p 1,
发散 .
收敛 .
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 若存在 N Z , 对一切 n N ,
例. 证明级数 证: 因为
发散 .
1 n (n 1)
而级数
1 (n 1)

2
1 发散 k 2 k
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
收敛

n 3) n . n 110
收敛

三、绝对收敛与条件收敛
定义: 对任意项级数 数
若
收敛 , 则称原级
绝对收敛 ；
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
例. 判别级数
定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) u n 1 设 为正项级数, 且 lim , 则 n u n (1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
u n 1 说明: 当 lim 1 时,级数可能收敛也可能发散. n u n 1 u n 1 ( n 1) p lim lim 1 1 例如, p – 级数 n u n n p
对端点 x = 1, 级数为交错级数 对端点 x =－1, 级数为
故收敛域为 ( 1, 1 ] .
收敛;
发散 .
例. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim n an 1
所以收敛域为 ( , ) . an lim n ! (2) R lim n an 1 n ( n 1) !
两类问题: 在收敛域内 求和
第十一章
和函数
展开
本节内容:
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim Rn ( x) 0 .
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
1 n! lim 1 n (n 1) !

0
三、幂级数的运算
定理3. 设幂级数

及
的收敛半径分别为
R1 , R2 , 令 R min R1 , R2 , 则有 :

n 0 n a x n (为常数 )
n
x R1
n
令余项
则在收敛域上有
例如, 等比级数 它的收敛域是 有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ） , 或写作 x 1 .
二、幂级数及其收敛性
形如
wk.baidu.com
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即
称
1 , x 1 即是此种情形. 例如, 幂级数 x 1 x n 0
2)

n
lim u n 0 ,
n 1 ( 1 ) u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足 则级数 n 1
rn u n 1 .
用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n 1 1 1) 1 (1) 收敛 2 3 4 n 1 1 1 n 1 1 收敛 2) 1 (1) 2! 3! 4! n! 1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10 n
n

定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数
n 0
n a x n

则对满足不等式 的一切 x 幂级数都绝对收敛. 反之, 若当
时该幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 该幂级数也发散 .
由Abel 定理可以看出, 中心的区间.
n 0
an x

n
的收敛域是以原点为
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
事实上 , 假设调和级数收敛于 S , 则
1 1 1 1 1 n 但 S 2n S n n 1 n 2 n 3 2n 2n 2
矛盾! 所以假设不真 .
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛
第十一章
一、正项级数及其审敛法
则级数
n 1
( un vn )也收敛, 其和为 S .
性质3. 在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数
的敛散性.
性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数 的和. 性质5. 设收敛级数 则必有
注意: lim u n 0 并非级数收敛的充分条件.
n
例如, 调和级数 虽然 但此级数发散 .
p
但
p 1, 级数收敛 ;
p 1, 级数发散 .
二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 , n 1, 2 , , 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) u n u n 1 ( n 1, 2 , ) ;
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x ( x0 ) 证明: n! 0 n 0
令 S n 1 ( x)
k 0

n

n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ; 3) 当 ＝∞时, R 0 .
说明:据此定理
an 的收敛半径为 R lim n an 1
例.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 n 1 n 1
an lim 解: R lim n n an 1
为定义在区间 I 上的函数项级数 . 对 若常数项级数 收敛, 称 x0 为其收
敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;
若常数项级数
发散 , 称 x0 为其发散点, 所有
发散点的全体称为其发散域 .
在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数
为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
x

x
(0 x 1 及
)
S ( x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) lim 1, x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
S ( x)
1,
x0
第四节 函数展开成幂级数
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 . (－R , R ) 称为收敛区间. R 称为收敛半径 ，
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散 发 散 收
o 敛
发
散
x
定理2. 若
的系数满足
则