常微分方程第三章

一个连续解 , 则 ( x ) ( x ), x [ x 0 , x 0 h ].
如果f ( x , y )在R上关于y的偏导数f y ( x , y )连续, 则f ( x , y )在R上关于y满足Lipschitz条件.
考虑一阶隐方程
F ( x, y , y ) 0,
x
x0 y0
f ( x0 , y0 ) exp( exp(
x
f ( x, ) y
dx)
x0
f ( x, ) y
dx)
x0
例
已知方程
dy dx sin xy
y0
exp(
x
f ( x, ) y
x0 0
0
dx)
x0
试求
[
'
(3 .5 )
如果在点
0 '
( x 0 , y 0 , y 0 )的某邻域中满足
( x , y , y ) 连续且存在连续偏导数
'
'
1 F ( x , y , y ) 对所有变元
,
2 F ( x0 , y0 , y0 ) 0,
0 '
3
0
F ( x0 , y0 , y0 )
'
y
'
0,
则方程(3.5)存在唯一解
y y ( x ), x x 0 h ( h 为足够小的正数 )
满足初始条件
y ( x0 ) y0 ; y0 ( x0 ) y0 ,
' '
(3 .8 )
近似计算和误差估计
求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里
0 0 n ( x) y0
(x) y
(即对( x, y, ) G , 以( x, y, )为中心球C G , 使 f ( x, y, )在C内对y满足Lipschitz 条件, L与无关)
解对初值的可微性
若函数 f ( x , y )以及 f y 都在区域 G 内连续 , 则方程
( 3 . 1)的解 y ( x , x 0 , y 0 ) 作为 x , x 0 , y 0的函数在它们存 在范围内是连续可微的 .
解对初值和参数的连续性定理
设 f ( x , y , ) 在区域 G 连续 , 且在 G 内一致地关于 局部 Lipschitz 作为 x , x 0 , y 0 , 的函数在它们存在范围 y 满足
条件 , 则方程 ( 3 . 1 ) 的解 y ( x , x 0 , y 0 , ) 内是连续的 .
方程
F ( x, y, dy dx ) 0, ( 3 . 34 )
的奇解包含在由方程组
F ( x, y, p ) 0 (3 .3 4 ) ' Fp ( x, y, p ) 0
消去参数 p 而得到的曲线 ( x , y ) 0 之中 ,
此曲线称为
( 3 . 34 )的
p 判别曲线.
推论1 对定义在平面区域
dy f ( x, y) , dx y ( x0 ) y0
G 上的初值问题
其中 ( x 0 , y 0 ) G .
若 f ( x , y ) 在 G 内连续且关于
y 满足局部
Lipschitz
条件 ,
则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解. 推论2 设 y ( x )为初值问题
向 x 增大 ( 减少 ) 一方的延拓来说
(1 ) 解 y ( x ) 可以延拓到区间
[ x 0 , ) (( , x 0 ],
(2)
解 y ( x ) 可以延拓到区间
[ x 0 , m ) (( m , x 0 ],
其中 m 为有限数 , 当 x m 时 , 或者 y ( m ) 无界 , 或者 ( x , ( x )) G
( x , y ) R
, 计算
b 1 b
2
f ( x , y ) 1 b ; h min{ a ,
}
故可取 a 1, b 1
此时由定理得到初值问 1 2 x 1 2 . 题的解的存在唯一区间 是
局部李普希茨(Lipschitz)条件
若函数 f ( x , y ) 在区域 G 内连续 , 且对 G 内的每 一点 P , 有以 P 为中心完全含于 G 内的闭矩形 R P 存在 , ,
(x) y
(3 .7 )

x x0
f ( , n 1 ( ))d
x0 x x0 h
( n 1, 2 , )
命题2 对于所有 n 和 x [ x 0 , x 0 h ], n ( x ) 连续且满足
n ( x) y0 b,
(3 .8 )
b M ), M max
( x , y ) R
,
这里 h min( a ,
f (x, y)
命题1 初值问题(3.1)等价于积分方程
y y0

x
f ( t , y )dt
x0
(3 .5 )
构造Picard逐步逼近函数列{ n ( x )}
0 0 n ( x) y0
.
这里 F ( x , y , p ) 是 x , y , p 的连续可微函数
注: p 判别曲线是否为方程的奇解,尚需进一步讨论.
克莱罗(Clairaut)方程
形如
dy y x f dx dx dy
的方程，称为克莱罗(Clairaut)方程.
这里 f ( p ) 是 p 的连续可微函数 .
对于一阶微分方程 F ( x , y , y ) 0，设 ( x , y , c ) 0 是 线族 ( x , y , c ) 0 的包络存在， 条奇积分曲线，即奇解 存在的话）也是通解的 。 包络。
它的通解。如果积分曲 则其包络就是方程的一 反之，方程的奇解（若
奇解的求法
, 其中 c 是参数 , ( x , y , c ) 是 x , y , c 的连续可微函数
曲线族(3.23)的包络是指这样的曲线, 它本身不包含在 曲线(3.23)中,但过这曲线的每一点有(3.23)中的一条 曲线和它在这点相切.
包络的求法
( x, y, c) 0,
(3.23)
曲线族(3.23)的包络包含在下列两方程
y ( x, x0 , y0 ) x0
]y
x0 0
0
0
,
[
y ( x, x0 , y0 ) y0
]y
0
.
.
解 f x ( x , y ) y cos xy , f y ( x , y ) x cos xy 在 xy 平面上连续
方程 dy dx sin xy 的解 y ( x , x 0 , y 0 ) 作为 x , x 0 , y 0 .
解对初值的连续性定理
方程 条件: 结论:
dy dx
f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件;
y ( x , x0 , y0 ), ( x0 , y0 ) G ,作为x , x0 , y0的函数
f ( x, y) ,
( x, y) G R
2
(1)
在它的存在范围内是连续的.
1 x
2
0
(易见 y 0 是原方程的解
exp(

x
e2 xdx )
x0 0
0
0

[
y ( x, x0 , y0 ) x0
]y
0
x0ຫໍສະໝຸດ f ( x0 , y0 ) exp(
x x0
x
f ( x, ) y
x 0
0
dx)
x0
[ f ( x 0 , y 0 ) exp(
h
n 1
,
( 3 . 19 )
例 求初值问题
dy dx 1 y ,
2
y (0) 0
解的存在唯一区间.
解 对任意 a , b , 函数 f ( x , y ) 均在矩形区域
R {( x , y ) | x a , y b }
内连续 , 且对 y 有连续的偏导数
M max
2

f ( x, ) y
dx )] y 0 0
f ( 0 , 0 ) exp( f ( 0 , 0 ) exp(

x
x cos( x ( x , 0 , 0 )) dx ) xdx ) 0
0 x

0
包络和奇解
定义1：对于给定的一个单参数曲线族：
( x, y , c ) 0, ( 3 . 23 )

x x0
f ( , n 1 ( )) d
x0 x x0 h
( n 1, 2 , )
对方程的第
n 次近似解
n ( x ) 和真正解
n
y ( x )在
[ x 0 h , x 0 h ]内误差估计为
n (x) (x)
ML
( n 1 )!
R : x x0 a, y y0 b,
( 3.2)
并且对y满足Lipschitz条件 :
即存在L 0, 使对所有 x, y1 ), ( x, y2 ) R常成立 (
f ( x , y1 ) f ( x , y2 ) L y1 y2
则初值问题
( 3 . 1 ) 在区间 x x 0 h 上的解存在且唯一