高等数学 第七章 常微分方程
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y xy ,
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
2
k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C2 0.
常微分方程
在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容 十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动 控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包 含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降 阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次 线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方 法。 本章先从解决这类实际问题入手，引出微 分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊 类型的微分方程的求解方法。
故 s 0.2t 20t ,
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
二、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 . 例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
d x 方程 2 k 2 x 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
y
( n)
( n1 ) f ( x , y, y ,, y ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ),
2 x( y ) 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
重点
五种标准类型的一阶方程的求解
可降阶的高阶方程的求解
二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解
难点
求解全微分方程 求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求
①明确微分方程的几个基百度文库概念
②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可 分离变量的微分方程
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，
会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解 ④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程 ⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x )
例 y y ,
y y 0,
(2)特解:
通解 y ce x ;
通解 y c1 sin x c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象:
通解的图象:
微分方程的积分曲线.
积分曲线族.
初始条件:
用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y ( x )在区间 I 上有 n 阶导数,
F ( x, ( x ), ( x ),, ( n) ( x )) 0.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 .
解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
ds d 2s t 0时, s 0, v 20, 0.4 2 dt dt ds 2 s 0.2t C1t C 2 v 0.4t C1 dt
代入条件后知
C1 20, C 2 0
ds v 0.4t 20, dt
所求特解为 x A cos kt . 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的 某些导数(或微分)之间的关系式.
分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
分类2: 一阶微分方程 F ( x , y, y) 0,
y f ( x , y );
高阶(n)微分方程 F ( x , y , y,, y ( n ) ) 0,
2
k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) k 2 (C1 cos kt C 2 sin kt ) 0.
故 x C1 cos kt C2 sin kt 是原方程的解 .
x t 0 dx A, 0, dt t 0
C1 A, C2 0.
常微分方程
在力学、物理学及工程技术等领域中 为了对客观事物运动的规律性进行研究， 往往需要寻求变量间的函数关系，但根据 问题的性质，常常只能得到待求函数的导 数或微分的关系式，这种关系式在数学上 称之为微分方程。微分方程又分为常微分 方程和偏微分方程，本章讨论的是前者。
常微分方程是现代数学的一个重要分支，内容 十分丰富，作为一种有效的工具在电子科学、自动 控制、人口理论、生物数学、工程技术以及其它自 然科学和社会科学领域中有着十分广泛的应用 由于学时有限，高等数学中的常微分方程仅包 含几种特殊类型的一阶微分方程的求解，可通过降 阶求解的高阶微分方程，二阶常系数齐次和非齐次 线性微分方程及其解的结构和特殊情况下的求解方 法。 本章先从解决这类实际问题入手，引出微 分方程的一些基本概念，然后着重讨论一些特殊 类型的微分方程的求解方法。
故 s 0.2t 20t ,
2
20 开始制动到列车完全停住共需 t 50(秒), 0 .4
列车在这段时间内行驶了
s 0.2 50 20 50 500(米).
2
二、微分方程的定义
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程 . 例
y 2 y 3 y e x , z 2 x y, ( t x )dt xdx 0, x
d x 方程 2 k 2 x 0的解. 并求满足初始条件 dt dx x t 0 A, 0 的特解. dt t 0 dx 解 kC1 sin kt kC2 cos kt , dt 2 d x 2 2 k C cos kt k C 2 sin kt , 1 2 dt 2 d x 将 2 和x的表达式代入原方程 , dt
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
y f ( x , y ) 一阶: y x x0 y 0
过定点的积分曲线;
y f ( x , y , y ) 二阶: y y , y y 0 0 x x x x 0 0
过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.
例 3 验证:函数 x C1 cos kt C 2 sin kt 是微分
y
( n)
( n1 ) f ( x , y, y ,, y ).
分类3: 线性与非线性微分方程.
y P ( x ) y Q( x ),
2 x( y ) 2 yy x 0;
分类4: 单个微分方程与微分方程组.
dy dx 3 y 2 z , dz 2 y z , dx
重点
五种标准类型的一阶方程的求解
可降阶的高阶方程的求解
二阶常系数齐次和非齐次线性方程的求解
难点
求解全微分方程 求常系数非齐次线性方程的通解
基本要求
①明确微分方程的几个基百度文库概念
②牢固掌握分离变量法，能熟练地求解可 分离变量的微分方程
③牢固掌握一阶线性微分方程的求解公式，
会将Bernoulli 方程化为一阶线性方程来求解 ④掌握全微分方程的解法
⑤会用降阶法求解几种特殊类型的高阶方程 ⑥掌握二阶线性微分方程解的结构并能熟 练地应用特征根法、待定系数法求解二阶 常系数线性方程
一、问题的提出
例 1 一 曲 线 通 过 点 (1,2), 且 在 该 曲 线 上 任 一 点
M ( x , y ) 处的切线的斜率为2 x ,求这曲线的方程.
解
设所求曲线为 y y( x )
例 y y ,
y y 0,
(2)特解:
通解 y ce x ;
通解 y c1 sin x c2 cos x;
确定了通解中任意常数以后的解.
解的图象:
通解的图象:
微分方程的积分曲线.
积分曲线族.
初始条件:
用来确定任意常数的条件.
初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.
三、主要问题-----求方程的解
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
设y ( x )在区间 I 上有 n 阶导数,
F ( x, ( x ), ( x ),, ( n) ( x )) 0.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且独 立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同 .
解
设制动后t 秒钟行驶 s 米, s s(t )
ds d 2s t 0时, s 0, v 20, 0.4 2 dt dt ds 2 s 0.2t C1t C 2 v 0.4t C1 dt
代入条件后知
C1 20, C 2 0
ds v 0.4t 20, dt
所求特解为 x A cos kt . 补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.
求解微分方程
求积分
(通解可用初等函数或积分表示出来)