2020年鲁教版(五四制)初一数学下学期三角形的有关证明测试卷及答案
2022年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明单元测试试题(含解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明单元测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°，线段AD，AE，AF分别是ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，2、在ABC中，AB ACF的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定3、如图，在△ABC中，∠BAC＞90°，D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE折叠，使得点C 恰好落在BA的延长线上的点F处，连接AD、CF，则图中所有的等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44、如图，在用直尺和圆规作一个角等于已知角中，判定△O'C'D'≌△OCD 的依据是（）A ．SASB ．SSSC ．AASD ．A SA5、如图，在等边三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高，ABC ∠与ACB ∠的平分线交AD 于点E .已知CDE △的面积为2，则ABC 的面积为（ ）A ．18B ．12C ．9D ．66、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（ ）A ．①B ．②C ．③D ．都可以7、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠8、一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．9B ．12C ．9或12D ．11或12或139、下列语句中，为真命题的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B．有理数与数轴上的点一一对应C．三角形的一个外角大于任何一个内角D．两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等10、下列语句中是命题的有（）①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；②作点A关于直线l的对称点A③三边对应相等的两个三角形全等吗？④角平分线上的点到角两边的距离相等．A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，AX⊥AC，点P和点Q从点A出发，分别在线段AC 和射线AX上运动，且AB=PQ，当AP=________时，△ABC与△APQ全等．2、如图，在△ABC中，AB=5，AC=7．MN为BC边上的垂直平分线，若点D在直线MN上，连接AD，BD，则△ABD周长的最小值为_____．3、如图，在△ABC中，点F是边AB、AC的中垂线的交点，联结BF、CF，如果∠BFC＝110°，那么∠A＝______°．4、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．5、如图，在△ABC中，BC＝8，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：(1)∠AEB 的度数为 ；(2)线段AD 、BE 之间的数量关系是 ．(3)当点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化吗？ （填写“变化”或“不变”）．2、已知OM 是∠AOB 的平分线，点P 是射线OM 上一点，点C 、D 分别在射线OA 、OB 上，连接PC 、PD ．(1)如图①，当PC ⊥OA ，PD ⊥OB 时，则PC 与PD 的数量关系是 ．(2)如图②，点C 、D 在射线OA 、OB 上滑动，且∠AOB ＝90°，当PC ⊥PD 时，PC 与PD 在（1）中的数量关系还成立吗？说明理由．3、如图，在ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒．(1)作AB垂直平分线交AC于点E，垂足为D；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）的度数．(2)连接BE，求EBC4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．5、如图，∠ABC的平分线BE交AC于点E，点D在AB上，且DB＝DE．(1)求证：DE∥BC；(2)若∠A＝36°，AB＝AC，求∠BEC的度数．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080︒-⨯︒=︒综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．2、C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD >∠CAF >∠CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，∵∠CAH +∠BAE =∠BAC∴∠BAC >2∠CAH∵AF 平分∠BAC ∴12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ ∴12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ ∵AB <AC∴∠B >∠ACB∵∠B +∠ACB +∠BAC =180°∴∠B +∠ACB +∠BAC =180°>2∠ACB +∠BAC ∴1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠ ∴∠CAF <90°−∠ACB∵AD ⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．3、D【解析】【分析】由折叠的性质可得CD=DF，EF=EC，结合D为BC的中点可得BD=CD=DF，可得△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，再由等腰三角形的性质和余角的性质可得∠FAE=∠AFE，可得EF=EA可说明△AEF是等腰三角形．【详解】解：如图：∵D为BC的中点，∴BD=CD，∵将△CDE沿DE折叠，∴CD=DF，EF=EC，∴BD=CD=DF，∴△BDF，△CDF，△EFC是等腰三角形，∴EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∴∠FAE=∠AFE，∴EF=AE，∴△AEF是等腰三角形，∴图中所有的等腰三角形的个数为4．故选D．【点睛】本题主要考查了翻折变换、等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练运用折叠的性质是解答本题的关键．4、B【解析】【分析】利用基本作图得到OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，然后根据全等三角形的判定方法进行判断．【详解】解：由作法得OC=OD=O′C′=O′D′，CD=C′D′，‘根据“SSS”可判断△O′C′D′≌△OCD．故选：B．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．5、B【解析】【分析】在等边三角形ABC 中，AD 为BC 边上的高，可知160302BAD DAC ∠=∠=⨯︒=︒，EC 为ACB ∠的角平分线，可知160302ACE ECD ∠=∠=⨯︒=︒，可知AEC △为等腰三角形，可知AE CE =．在Rt EDC 中，2ED CE =，所以2ED AE =，在EDC △和AEC △中，高相等，所以24AEC EDC S S ==△△，所以22()12ABC ADC AEC DEC S S S S ==+=△△△△．【详解】∵等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高， ∴160302BAD DAC ∠=∠=⨯︒=︒．∵EC 为ACB ∠的角平分线， ∴160302ACE ECD ∠=∠=⨯︒=︒．∴30ACE EAC ∠=∠=︒∴AEC △为等腰三角形，∴AE CE =．在Rt EDC 中，2ED CE =，∴2ED AE =，在EDC △和AEC △中，高相等，∴24AEC EDC S S ==△△，在等边三角形中，AD 是BC 边上的高，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一）∴BD CD =，∴ABD ADC S S △△＝，∴22()12ABC ADC AEC DEC S S S S ==+=△△△△．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形三线合一的性质， 还需要记住30角所对的直角边是斜边的一半，灵活的运用三角形面积公式，通过高和底的比确定面积的比例，最终轻松求解．6、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C ．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．7、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】解：由题意知，ABC DCB ∠=∠，BC=CB ，当AB DC =时，可依据SAS 证明△ABC ≌△DCB ，故选项A 不符合题意；当AC DB=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；∠=∠时，可依据ASA证明△ABC≌△DCB，故选项D不符合题意；当ACB DBC故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当以2为腰时，当以5为腰时，即可求解．【详解】解：当以2为腰时，该等腰三角形的三边长为2，2，5，+=<，∵2245∴不合题意，舍去；当以5为腰时，该等腰三角形的三边长为2，5，5，++=，∴这个等腰三角形的周长为25512∴这个等腰三角形的周长为12．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．9、A【解析】【分析】利用平行线的判定、有理数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；B、实数与数轴上的点一一对应，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C、三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行线的判定、有理数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的判定方法，难度不大．10、B【解析】【分析】根据命题的定义分别进行判断即可．【详解】解：①线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，是命题；②作点A关于直线l的对称点A'，不是命题；③三边对应相等的两个三角形全等吗？不是命题；④角平分线上的点到角两边的距离相等，是命题；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题，命题有题设与结论两部分组成；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．二、填空题1、5或10##10或5【解析】【分析】分两种情况：①当AP=BC=5时；②当AP=CA=10时；由HL证明Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；即可得出结果．【详解】解：∵AX⊥AC，∴∠PAQ=90°，∴∠C=∠PAQ=90°，分两种情况：①当AP=BC=5时，在Rt△ABC和Rt△QPA中，AB PQ BC AP=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；②当AP=CA=10时，在△ABC和△PQA中，AB PQ AP AC=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）；综上所述：当点P运动到AP=5或10时，△ABC与△APQ全等；故答案为：5或10．本题考查了直角三角形全等的判定方法；熟练掌握直角三角形全等的判定方法，本题需要分类讨论．2、12【解析】【分析】MN与AC的交点为D，AD+BD的值最小，即△ABD的周长最小值为AB+AC的长．【详解】解：MN与AC的交点为D，∵MN是BC边上的垂直平分线，∴AD=CD，∴AD+BD=AD+CD=AC，此时AD+BD的值最小，∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AC最小，∵AB=5，AC=7，∴AB+AC=12，∴△ABD的周长最小值为12，故答案为：12．本题考查了轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的的方法，线段垂直平分线的性质是解题的关键．3、55【解析】【分析】连接AF 并延长至点D ，根据线段垂直平分线的性质得到FA FB =，FA FC =，根据等腰三角形的性质得到FAB FBA ∠=∠，FAC FCA ∠=∠，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：连接AF 并延长至点D ，点F 是边AB 、AC 的中垂线的交点，FA FB ∴=，FA FC =，FAB FBA ∴∠=∠，FAC FCA ∠=∠，12BAD BFD ∴∠=∠，12CAF CFD ∠=∠， 111105522BAC BFC ∴∠=∠=⨯︒=︒， 故答案为：55．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．4、2【解析】【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD的长．【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，而PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．5、8【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故答案为8．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．三、解答题1、(1)60°(2)AD＝BE(3)变化【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；（3）分类讨论当点E在ABC内部和当点E在ABC外部时，根据三角形内角和定理和全等三角形的性质即可证明．(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC-∠CED＝60°．故答案为：60°．(2)∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．故答案为：AD＝BE．(3)点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化，理由如下：①如图，当点E 在ABC 内部时∵60ABE ∠<︒，60BAE ∠<︒，∴120ABE BAE ∠+∠<︒，∴180********AEB ABE BAE ∠=︒-∠-∠>︒-︒=︒；②如图，当点E 在ABC 外部时，根据（1）同理易证()ACD BCE SAS △≌△，∴CAD CBE ∠=∠，∵120CAB ABC CAD BAD ABC ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴120CBE BAD ABC ∠+∠+∠=︒，即120ABE BAD ∠+∠=︒，∴120ABE BAE ∠+∠>︒，∴60AEB ∠<︒．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2、 (1)PC ＝PD(2)成立，理由见解析【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可知PC＝PD；（2）过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC＝∠PFD＝90°，由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE＝PF，利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，则∠PCE＝∠PDF，然后根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC＝PD．(1)解：PC＝PD，理由：∵OM是∠AOB的平分线，∴PC＝PD（角平分线上点到角两边的距离相等），故答案为：PC＝PD；(2)证明：过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，如图，∴∠PEC＝∠PFD＝90°，∵OM是∠AOB的平分线，∴PE＝PF，∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，∴∠PCE+∠PDO＝360°﹣90°﹣90°＝180°，而∠PDO+∠PDF＝180°，∴∠PCE＝∠PDF，在△PCE 和△PDF 中，PCE PDF PEC PFD PE PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△PCE ≌△PDF （AAS ），∴PC ＝PD ．【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的证明，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键．3、 (1)作图见解析(2)45︒【解析】【分析】（1）分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可； （2）连接,BE 利用等腰三角形的性质，先求解,ABC ∠ 再证明30,A EBA 再利用角的和差关系可得答案.(1)解：如图，直线DE 是所求作的线段AB 的垂直平分线，(2)BE解：如图，连接,=，30AB AC∠=︒，A1ABC C1803075,2DE是AB的垂直平分线，∴=,EB EAA EBA30,EBC ABC EBA753045.【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.4、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y=32y，解得y=1，∴DE=1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．5、 (1)见解析(2)72°【解析】【分析】（1）由角平分线的性质推出∠ABE=∠CBE ，由等边对等角求出∠ABE =∠DEB ，得到∠DEB =∠CBE ，即可推出结论；（2）根据等腰三角形的等边对等角的性质求出∠ABC 和∠C 的度数得到∠CBE 的度数，利用三角形内角和定理求出∠BEC ．(1)证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE=∠CBE ，∵DB ＝DE ．∴∠ABE =∠DEB ，∴∠DEB =∠CBE ，∴∥DE BC ；(2)解：∵∠A ＝36°，AB ＝AC ，∴∠ABC =()()11180180367222C A ∠=︒-∠=︒-︒=︒， ∴∠ABE=∠CBE =36°，∴∠BEC =18072CBE C ︒-∠-∠=︒．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，平行线的判定定理，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的等边对等角的性质是解题的关键．。
七下第10章三角形的有关证明10-4线段的垂直平分线习题鲁教版五四制
以点 B，C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两 弧交于点 E，作射线 AE，在射线 AE 上任取一点 D，
连接 DC．若 CD＝5，则 AD 的长为( )
A．10
B．11
C．12
D．6 5
【点拨】 连接 BE，CE，设 AD 交 BC 于点 O . 由作图步骤可知 BE＝CE， ∴点 E 在线段 BC 的垂直平分线上． ∵AB＝AC＝3 5， ∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上． ∴AE 垂直平分线段 BC.
C．若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上 D．若PA＝PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线
【点拨】 若PA＝PB，只能说明点P是线段AB的垂直平分线上
的点，但过点P的直线不一定是线段AB的垂直平分线．
【答案】 D
4 已知C，D是线段AB外的两点，AC＝BC，AD＝BD， 点P在直线CD上．若AP＝5，则BP的长为( ) A．2.5 B．5 C．10 D．25
【点拨】
∵AC＝BC，AD＝BD，∴点C，D都在线段AB的垂 直平分线上，即直线CD是线段AB的垂直平分线．
∵点P在直线CD上，∴BP＝AP＝5.
【答案】 B
5 如图，点D在△ABC的BC边上，且BC＝BD＋AD，则 点D在线段( )的垂直平分线上.
A．AB
B．AC
C．BC
D．不确定
【点拨】 ∵BC＝BD＋AD＝BD＋CD， ∴AD＝CD.∴点D在线段AC的垂直平分线上．
【答案】 B
6 【2023·威海荣成市期中】如图，点E，F，G，Q，H 在一条直线上，且EF＝GH，直线l为线段FG的垂直 平分线，下列结论正确的是( )
A．AE＝AQ
B．AE＝AH
鲁教版七年级下数学《第十章三角形的有关证明》单元测试含答案
第十章 三角形的有关证明 单元测试一、选择题（每小题3分，共30分）1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm 和8 cm ，那么这个直角三角形的斜边长为（ ）A. 6 cmB. 8 cmC. 10 cmD. 24 cm2.如图1，已知△ABC ，AB ＜BC ，用尺规作图的方法在BC 上取一点P ，使得P A +PC ＝BC ，则下列选项正确的是（ ）3.如图2，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AE ∥BD 交CB 的延长线于点E .若∠E ＝35°，则∠BAC 的度数为（ ）A. 40°B. 45°C. 60°D. 70° 4.如图3，在△ABC 中，AC ＝4 cm ，线段AB 的垂直平分线交AC 于点N ，△BCN 的周长是7 cm ，则BC 的长为（ ）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子向外拉直，末端距离旗杆8 m 处，发现此时绳子末端距离地面2 m ，则旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）为（ ）A. 12 mB. 13 mC. 16 mD. 17 mA. 若a ＝b ，则a 2＝b 2B. 同位角相等C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等D. 等腰三角形两底角不相等7.如图5，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BE ＝2，则AE 的长为（ ）A.3B. 1C.2D. 28.如图6，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，BE 平分∠ABC ，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积为（ ）A. 10B. 7C. 5D. 49.如图7，△ABC 和△DCE 都是边长为2的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上，连接BD ，则BD 的长为（ ）图4 D C B A E 图2 A B C D图1 C B A C B A P C B A P C B A P P C B A NC B A M 图3E C B A D 图5 D C B A E 图6 图7A. 18B. 32C. 12D. 2310.如图8，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，P 是BC 边上的动点，过点P 作PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AC 于点E ，则PD +PE 的长是（ ）A. 4.8B. 4.8或3.8C. 3.8D. 5 二、填空题（每小题4分，共32分）12.若一个三角形的三边长分别为3 m ，4 m ，5 m ，那么这个三角形的面积为＿＿＿.13.如图9，点D ，C ，A 在同一条直线上，在△ABC 中，∠A ∶∠ABC ∶∠ACB ＝3∶5∶10，若△EDC ≌△ABC ，则∠BCE 的度数为＿＿＿.14.如图10，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB ，交BC 于点D ，若CD ＝1，则BD ＝＿＿＿.16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM ＝4米，AB ＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC ＝30°，则警示牌的高CD 为＿＿＿米.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73）17.如图13，在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 是△ABC 的角平分线，则△ABD 与△ACD 的面积之比是＿＿＿.18.如图14，∠BOC ＝9°，点A 在OB 上，且OA ＝1.按下列要求画图：以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 1，得第1条线段AA 1；再以A 1为圆心，1为半径向右画弧交OB 于点A 2，得第2条线段A 1A 2；再以A 2为圆心，1为半径向右画弧交OC 于点A 3，得第3条线段A 2A 3；……依次画下去，直到得到第n 条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n ＝＿＿.三、解答题（共58分）19.（6分）如图15，A D 是△ABC 的角平分线，CE ∥AD 交BA 的延长线于点E ，那么△ACE 是等腰三角形吗？请证明你的结论.20.（8分）如图16，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，试求CD 的长.D C B AE P 图8E BC D A 图9 D C B A 图10 图12 图11 O A 1 A A 3 A 2 A 4 B C 图14 图13 D C B A 图1521.（8分）如图17，在△ABC 中，AB=AC=10 cm ，∠B=15°，CD 是AB 边上的高，求CD 的长．22.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD 是一个筝形，其中AB ＝CB ，AD ＝CD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，OE ⊥AB ，OF ⊥CB ，垂足分别是E ，F .求证：OE ＝OF .23.（12分）如图19，在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，BD 是△ABC 的角平分线，点O 在BD 上，分别过点O 作OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足为E ，F ，且OE=OF.（1）求证：点O 在∠BAC 的平分线上；（2）若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长.24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.如图20，已知AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∠BCD ＝120°，延长BC ，使CE ＝CD ，连接DE ，求证：BC +DC ＝AC .思路点拨：（1）由已知条件AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 是＿＿＿三角形.同理由已知条件∠BCD ＝120°得到∠D CE ＝＿＿＿，且CE ＝CD ，可知＿＿＿；（2）要证BC +DC ＝AC ，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿.请写出完整的证明过程.附加题（15分，不计入总分）25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.参考答案一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m 2 13. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9 D C B A O E F 图18 10 8 6 图21 D C B A E F O 图19 D E C B A 图20 图17 E C B A D 图16三、19. 解：△ACE 是等腰三角形．证明：因为AD 是△ABC 的角平分线，所以∠BAD=∠CAD ．因为CE ∥AD ，所以∠BAD=∠E ，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.所以AE=AC ，即△ACE 是等腰三角形．20. 解：因为DE 是AC 的垂直平分线，所以CD ＝AD .所以AB ＝BD +AD ＝BD +CD.设CD ＝x ，则BD ＝5－x.在Rt △BCD 中，由勾股定理，得 CD 2＝BC 2+BD 2，即x 2＝32+(5－x )2，解得x ＝3.4.故CD 的长为3.4.21. 解：在△ABC 中，因为AB=AC=10 cm ，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．因为CD 是AB 边上的高，所以∠D=90°.所以CD=12AC=12×10=5（cm ），即CD 的长是5 cm ． 22. 证明：在△ABD 和△CBD 中，AB ＝CB ，AD ＝CD ，BD ＝BD ，所以△ABD ≌△CBD . 所以∠ABD ＝∠CBD .所以BD 平分∠ABC .又因为OE ⊥A B ，OF ⊥CB ，所以OE ＝OF .23. 证明：（1）过点O 作OM ⊥AB 于点M .因为B D 平分∠ABC ，OM ⊥AB 于M ，OE ⊥BC 于E ，所以OM ＝OE .又OE=OF ，所以OM=OF.所以点O 在∠BAC 的平分线上.（2）连接OC.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，根据勾股定理，得AB ＝13. 因为S △ABO +S △BCO +S △ACO =S △ABC ，所以12×13·OM+12×12·OE+12×5·OF=12×5×12. 由（1）知OM=OE=OF ，所以15OE=30，解得OE ＝2.24. 解：（1）等边 60° △DCE 是等边三角形（2）AC BE（3）△BED ≌△ACD证明过程如下：连接AC ，BD .因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 是等边三角形.所以AD ＝BD ，∠ADB ＝60°. 因为∠BCD ＝120°，所以∠DCE ＝180°－∠BCD ＝180°－120°＝60°.因为CE ＝CD ，所以△DCE 是等边三角形.所以CD ＝DE ，∠CDE ＝60°.所以∠ADB +∠BDC ＝∠C DE +∠BDC ，即∠ADC ＝∠BDE .在△ADC 和△BDE 中，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDE ，DC ＝DE ，所以△ADC ≌△BDE .所以AC ＝BE ＝BC +CE=BC+DC .25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+2284 ＝20+45；如图1-②：拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x 2＝(x +6)2，解得x ＝73，① 4 10 8 6② 10 6 10 8 6 ③ x +6 x 10 8 6 ④10 8 10 8 6 图1所以拼成的等腰三角形的周长为2×763⎛⎫+⎪⎝⎭+10＝803；如图1-④：拼成的等腰三角形的周长为10+10+8+8＝36.。
强化训练鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习试卷(无超纲带解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）m n，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的1、若实数m，n满足等式360周长是（）A．9 B．12 C．15 D．12或152、如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．3 B．4 C．5 D．63、下列命题中，假命题是（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等4、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A．50°B．70°C．80°D．20°或70°5、等腰三角形的顶角为80°，则其底角的度数是（）A．100°B．80°C．50°D．40°6、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=（）A．2 B C D．38、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A ．62596或252B ．252或24或12C ．62596或24或12D ．62596或252或249、如下图，地面上有三个洞口A 、B 、C ，老鼠可从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口，尽快抓住老鼠，应该蹲在（ ）A ．ABC 三条角平分线的交点B ．ABC 三条边的中线的交点 C ．ABC 三条高的交点D ．ABC 三条边的垂直平分线的交点10、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④BRP QSP ≅△△．正确的有________（填序号）．2、如图，已知等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，沿EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，则∠EFD ＝_____．3、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD=___．4、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，若BC=4，则BD=_____．5、在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠2、如图，读句画图，并回答问题．(1)画ABC 的高CD ；根据__________，因此______CD AC ；（填>、<、=、≤、≥）(2)以ABC 的边CB 上的点P 为顶点，用直尺与圆规画BPE ∠，使180BPE C ∠+∠=︒，BPE ∠的边PE 交线段AC 于点E ．3、如图①，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，过点A 作直线AC 的垂线交BC 于点D ．(1)求∠BAD 的度数；(2)若AC ＝AB 的长；(3)如图②，过点A 作∠DAC 的角平分线交BC 于点P ，点D 关于直线AP 的对称点为E ，试探究线段CE 与BD 之间的数量关系，并对结论给予证明．4、如图，在△ABC 中，∠A =90°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AB =4，BC =12，AD =3，若点P 在BC 上运动．(1)求线段DP 的最小值；(2)当DP 最小时，求CDP 的面积．5、如图，在ABC 中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．(1)求证：ABE CAD ∠=∠(2)试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n值，再根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系解答即可．【详解】m n，解：∵实数m，n满足等式360∴m－3=0，n－6=0，∴m=3，n=6，∵m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，∴当n=6为腰长时，m=3为底边长， 3+6＞6满足三角形的三边关系，故△ABC的周长是3+6+6=15；当n=6为底边长时，m=3为腰长，但3+3=6，不满足三角形三边关系，不构成三角形，舍去，综上，△ABC的周长是15，故选：C．【点睛】本题考查绝对值和算术平方根的非负性、等腰三角形的性质、三角形的三边关系，熟练掌握绝对值和算术平方根的非负性，利用分类讨论思想和三角形的三边关系求解是解答的关键．2、A【解析】【分析】过D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得2==，进而根据S△ADB＋S△ADC＝7，利用三角形DE EF面积公式即可求得AC的长【详解】解：如图，过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝7，∴S△ADB＋S△ADC＝7，∴1122AB DE AC DF⨯⨯+⨯⨯＝7，∴1142222AC⨯⨯+⨯⨯＝7，解得：AC＝3，故选：A．【点睛】本题考查了角平分线的性质，掌握角平分线的性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C 符合题意； 如图，90,,,,,C N AD MF AB MN BD DC NF FG,Rt ADB Rt MFN ≌,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.4、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．5、C【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等即可得解．【详解】解：∵等腰三角形的顶角为80°，（180°-80°）=50°．∴它的底角度数为12故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，关键是根据等腰三角形的性质解答．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、A【解析】【分析】根据直角三角形30︒角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =， ∴12BC AB =， ∴2AB =，故选：A ．【点睛】本题主要考查含30︒角直角三角形的性质，熟练掌握30︒角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．8、D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分PA =PB ，PA =AB ，AB =PB 三种情况求解．【详解】∵∠ACB =90°，AB =25cm ，AC =7cm ，∴BC ，当PA =PB 时，设PA =PB =x ，则PC =24-x ，∴222(24)7x x =-+，解得x =62548， ∴t =625248÷=62596； 当AB =PB 时，则AB =PB =25，∴t =252； 当AB =PA 时，则BC =PC =24，∴t =482=24； 故当△APB 为等腰三角形时，t 的值为62596或252或24，故选D ．【点睛】本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据题意，知猫应该到三个洞口的距离相等，则此点就是三角形三边垂直平分线的交点．【详解】解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选D．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，掌握三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等是本题的解题关键．10、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】∠=∠，BC=CB，解：由题意知，ABC DCB=时，可依据SAS证明△ABC≌△DCB，故选项A不符合题意；当AB DC=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当AC DB当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；当ACB DBC ∠=∠时，可依据ASA 证明△ABC ≌△DCB ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．二、填空题1、①②③④【解析】【分析】先利用直角三角形全等的判定定理证出Rt APR Rt APS ≅，再根据全等三角形的性质可得,30AS AR PAR PAS =∠=∠=︒，由此可判断结论②；根据等腰三角形的三线合一即可判断结论①；先根据等腰三角形的性质可得30PAS APQ ∠=∠=︒，从而可得PAR APQ ∠=∠，再根据平行线的判定即可判断结论③；先根据三角形的外角性质可得60PQS ∠=︒，从而可得B PQS ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可判断结论④．【详解】解：ABC 是等边三角形，60B BAC ∴∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，PR PS AP AP=⎧⎨=⎩， ()Rt APR Rt APS HL ∴≅，1,302AS AR PAR PAS BAC ∴=∠=∠=∠=︒，则结论②正确； AP ∴是BAC ∠的角平分线，AP BC ∴⊥（等腰三角形的三线合一），则结论①正确；AQ PQ =，30PAS APQ ∴∠=∠=︒，PAR APQ ∴∠=∠，QP AR ∴，则结论③正确；60PQS PAS APQ ∠=∠+∠=︒，B PQS ∴∠=∠，在BRP △和QSP 中，90BRP QSP B PQS PR PS ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BRP QSP AAS ≅∴，则结论④正确；综上，正确的有①②③④，故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．2、45°【解析】【分析】根据等边三角形的性质与折叠的性质可得60FDE A ∠=∠=︒，AFE DFE ∠=∠由DE BC ⊥，可得30DEC ∠=︒，进而根据△FED 与FEA 的内角和为360°，即可求得90AFE FDE ∠+∠=︒，即可求得∠EFD【详解】解：∵ABC 是等边三角形60A C ∴∠=∠=︒DE BC ⊥9030DEC C∴∠=︒-∠=︒150AED∴∠=︒沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，60FDE A∴∠=∠=︒∴36090AFE DFE FDE A AED∠+∠=︒-∠-∠-∠=︒∴90AFE DFE∠+∠=︒∴AFE DFE∠=∠45=︒故答案为：45°【点睛】本题考查了直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理，等边三角形的性质，折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．3、2【解析】【分析】过P点作PE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得到PE=PD，再利用平行线的性质得到∠PCE=∠AOB=30°，接着根据含30度的直角三角形三边的关系得到PE=12PC=2，从而得到PD的长．【详解】解：过P点作PE⊥OB于E，如图，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴OP平分∠AOB，∠AOB=30°，而PD⊥OA，PE⊥OB，∴PE=PD，∵PC∥OA，∴∠PCE=∠AOB=30°，∴PE=12PC=12×4=2，∴PD=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了含30度的直角三角形的性质和平行线的性质．4、2【解析】【分析】由在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质求解即可求得BD的长．【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=12BC=12×4=2．故答案为：2．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质．注意等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高三线合一．5、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，AB=12 BC，∴△ABD是等边三角形，∴BD=CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．三、解答题1、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．2、 (1)见解析；根据点与直线上所有点的连线，垂线段最短；＜(2)见解析【解析】【分析】（1）根据经过直线外一点作已知直线的垂线的基本步骤画图即可；（2）画线段CP 的垂直平分线，根据等腰三角形的性质，平角的定义画图即可．(1)根据直线外一点作垂线的步骤，画图如下：根据点与直线上所有点的连线，垂线段最短；因此CD AC <；故答案为：垂线段最短，＜．(2)如图，作线段CP 的垂直平分线，与AC 交于点E ，则BPE ∠即为所求作．【点睛】本题考查了过直线外一点画已知直线的垂线，垂线段最短原理，线段垂直平分线的画法，熟练掌握作图的基本步骤是解题的关键．3、(1)15°(2)2(3)CE=2BD【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC=105°，再由∠DAC=90°，即可得出答案；AC（2）作AF⊥BC于F，由含30°角的直角三角形的性质得AF=12得AF=BF，从而求出AB的长；（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，则BD=BF-DF-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出结论．(1)解：∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；(2)作AF⊥BC于F，∵∠C=30°，AC∴AF=12∵∠ABF=45°，∴AF=BF∴AB AF；(3)CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠DAF=∠C=30°，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，∵BF=AF，∴BD=BF-DF-x，∵点D关于直线AP的对称点为E，∴AE=AD=2x，∴CE=AC-AE=-2x，∴CE=2BD．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．4、 (1)DP的最小值是3；(2)当DP最小时，△CDP的面积为12．【解析】【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．(1)解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，当DP⊥BC时，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；(2)解：∵∠A=90°，∴BD，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，∴PB=4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面积=12CP×DP=12×8×3=12，即当DP最小时，△CDP的面积为12．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．5、 (1)见解析(2)AB =BD +CD ，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证△ADC ≌△BDH ，可得DH =DC ，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB =BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC =∠ADC =90°，∴∠C +∠DAC =∠C +∠EBC =90°，∴∠EBC =∠DAC ，∴∠ABE =∠DAC ；【小题2】AB =BD +CD ，理由如下：在△ADC 和△BDH 中，DAC DBE ADC BDH AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△BDH （AAS ），∴DH =DC ，∴BD +DH =DB +DC =BC =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．。
鲁教版七年级三角形的有关证明练习50题及参考答案(难度系数0.2)
七年级三角形的有关证明（难度系数0.2）一、单选题（共10题；共20分）1.如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线一点，当PA=CQ 时，连结PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）A. 12B. 13C. 23D. 25【答案】 A【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质 2.如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ， AE 平分∠BAD ， 下列结论：①∠AED =90° ②∠ADE =∠CDE ③DE =BE ④AD ＝AB ＋CD ， 四个结论中成立的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【答案】 A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质3.如图在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S ，若AQ=PQ ，PR=PS,AB=AC ，下面三个结论：①AS=AR ；②PQ ∥AB ；③△BRP ≌△CSP ，其中正确的是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】 D【考点】角的平分线，全等三角形的判定与性质4.如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是（）A. （12）n•75° B. （12）n﹣1•65° C. （12）n﹣1•75° D. （12）n•85°【答案】C【考点】等腰三角形的性质5.如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90° ②∠ADE=∠CDE ③DE=BE④AD=AB+CD，四个结论中成立的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③【答案】A【考点】全等三角形的判定与性质，角平分线的性质6.若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为（）A. 28B. 35C. 28或35D. 21或28【答案】B【考点】等腰三角形的判定与性质7.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=1．M、N分别是AB、AC上的任意一点，求MN+NB的最小值为（）A. 1.5B. 2C. √32 + 34D. √3【答案】A【考点】含30度角的直角三角形，轴对称的应用-最短距离问题8.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ）A. AB=DE ， BC= EF ， ∠A=∠DB. ∠A=∠D ， ∠C=∠F ， AC= DEC. ∠A=∠E ， ∠B=∠F ， ∠C=∠DD. AB=DE ， BC= EF ， △ABC 的周长等于△DEF 的周长【答案】 D【考点】三角形全等的判定9.如图，已知∠AOB 是直角，∠AOC 是锐角，ON 平分∠AOC ，OM 平分∠BOC ，则∠MON 是（ ）A. 45ºB. 45º+12∠AOCC. 60°－12∠AOCD. 不能计算【答案】 A【考点】角平分线的性质10.等腰三角形的底角为15，腰长a 为，则此等腰三角形的底长为（ ）A. √3−12aB. 1+√32aC. √6−√22aD. √6+√22 a 【答案】D【考点】等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，特殊角的三角函数值二、填空题（共8题；共17分）11.如图，在数轴上方作一个4×4的方格(每一方格的边长为1个单位)，依次连结四边中点A ，B ，C ，D 得到一个正方形，点A 落在数轴上，用圆规在点A 的左侧的数轴上取点E 使AE=AB ．若点A 在原点右侧且到原点的距离为1个单位，则点E 表示的数是________。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克试卷(含答案详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明定向攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等2、已知：如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O 点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（ ）A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对3、已知ABC 的周长是16，且AB AC =，又AD BC ⊥，D 为垂足，若ABD △的周长是12，则AD 的长为（ ）A．7 B．6 C．5 D．4⊥，交AB于点E．关于下面4、如图，在△ABC中，60ABC=∠，BD平分∠ABC，CE BD∠=，40A两个结论，说法正确的是（）=．结论①20ADE∠=︒；结论②BC BEA．结论①②都正确B．结论①②都错误C．只有结论①正确D．只有结论②正确5、一个等腰三角形两边长分别为2、5，则这个等腰三角形的周长为（）A．9 B．12 C．9或12 D．11或12或136、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个7、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A ．50°B ．70°C ．80°D ．20°或70°8、如图，已知ABD CBD ∠=∠，添加以下条件，不能判定ABD ≌CBD 的是（ ）A ．AB CB = B ．AC ∠=∠ C ．AD CD = D ．ADB CDB ∠=∠9、如图，等腰直角OAB 中，OA OB =，过点A 作AD OA ⊥，若线段OA 上一点C 满足CDB OBD ∠=∠，则CBD ∠的度数为（ ）A ．42︒B ．43︒C ．45︒D ．60︒10、下列命题中，假命题是（ ）A ．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B ．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C ．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D ．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC ＝15，DE ＝3，AB ＝6，则AC 长是___．2、如图，在ABC ∆中，AB AC =，//AB CD ，过点B 作BF AC ⊥于E ，交CD 于点F ，BD CD ⊥于D ，8CD =，3BD =，4BF =，ABE ∆的周长为 __．3、如图，在ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AE 平分BAC ∠，60D DBC ∠=∠=︒，若BD=6cm ，DE=4cm ，则BC 的长是______cm ．4、如图，已知在ABC 中，∠C ＝90°，MN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，则CM ＝___cm ．5、如图，在△ABC 中，DE 垂直平分AC ，垂足为点E ，交BC 于点D ，连结AD ．若∠C ＝α，则∠ADB ＝_____．（用含α的代数式表示）三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．2、在等边三角形ABC中，点D是BC的中点，120∠=︒，EDFEDF∠的两边分别交直线AB，AC于点E，F．⊥时，请直接写出线(1)问题发现：如图①，当点E，F分别在线段AB，AC上，且DE AB⊥，DF AC段DE与DF的数量关系：______；(2)类比探究：如图②，当点E落在线段AB上，点F落在射线AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？请结合图②说明理由：CF=，请求出(3)拓展应用：如图③，当点E落在射线BA上，点F落在射线AC上时，若2AE=，4AB．3、如图，在等腰△ABC中，BA=BC，AD平分∠BAC，DE∥AC，求证：∠ADB=3∠EDA．4、如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝kx ＋b 与x 轴、y 轴分别交于点A （3，0）、点B （0，2），以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，∠BAC ＝90°．(1)求直线y ＝kx ＋b 的解析式；(2)求出△ABC 的面积；(3)若P （1，m ）为坐标系中的一个动点，连接PA ，PB ．当△ABC 与△ABP 面积相等时，求m 的值．5、如图，在ABC 中，AB BC =，BE 平分ABC ∠，AD 为BC 边上的高，且AD BD =．(1)求证：ABE CAD ∠=∠(2)试判断线段AB 与BD ，DH 之间有何数量关系，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．【详解】两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．2、A【解析】【分析】三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏．【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠ADO＝∠AEO＝90°；∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ADO≌△AEO（AAS）．∴AD＝AE，∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO，∴△ADC≌△AEB（ASA）．∴AB＝AC，∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△AOB≌△AOC（SAS）．∴∠B＝∠C，∵AD＝AE，AB＝AC，∴DB＝EC；∵∠BOD＝∠COE，∴△BOD≌△COE（AAS）．故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3、D【解析】【分析】根据三线合一推出BD＝DC，再根据两个三角形的周长进而得出AD的长．【详解】解：∵AB=AC，且AD⊥BC，∴BD =DC =12BC ，∵AB +BC +AC =2AB +2BD =16，∴AB +BD =8，∴AB +BD +AD =8+AD =12，解得AD =4．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，做题时应该将已知和所求联系起来，对已知进行灵活运用，从而推出所求．4、A【解析】【分析】由三角形内角和定理得80ACB ∠=︒，根据ASA 可证明BCO BEO ∆≅∆得出BC BE =，CO EO =，从而得到BD 是CE 的垂直平分线，得DC =DE ，又可得70BCE ∠=︒，从而10DEC DCE ∠=∠=︒再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC 中，60A ∠=，40ABC =∠，∴180180604080ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒ ∵BD 是∠ABC 的平分线，∴ABD CBD ∠=∠又CE BD ⊥∴90BOE BOC ∠=∠=︒在BEO ∆和BCO ∆中，ABO CBO BO BOBOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEO BCO ∆≅∆∴BC =BE ，CO =EO ∴18040702BCE BEC ︒-︒∠=∠==︒ ∴807010ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒-︒=︒ ∵CO =EO ，CE BD ⊥∴BD 是CE 的垂直平分线，∴DC =DE ，∴10DEC DCE ∠=∠=︒∴101020ADE DEC DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．5、B【解析】【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当以2为腰时，当以5为腰时，即可求解．【详解】解：当以2为腰时，该等腰三角形的三边长为2，2，5，∵2245+=< ，∴不合题意，舍去；当以5为腰时，该等腰三角形的三边长为2，5，5，∴这个等腰三角形的周长为25512++= ，∴这个等腰三角形的周长为12．故选：B【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的两腰相等是解题的关键．6、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE +∠DAC =360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．7、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．8、C【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．【详解】解：∵∠ABD ＝∠CBD ，BD ＝BD ，∴当添加AB ＝CB 时，可根据“SAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故A 选项不符合题意；当添加∠A ＝∠C 时，可根据“AAS ”判断△ABD ≌△CBD ,故B 选项不符合题意；当添加AD ＝CD 时，不能判断△ABD ≌△CBD ，故C 选项符合题意；当添加∠BDA ＝∠BDC 时，可根据“ASA ”判断△ABD ≌△CBD ，故D 选项不符合题意．故选：C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用SAS 、SSS 、AAS 、ASA 判定三角形全等是解答本题的关键，SSA 不能判定三角形全等是解答本题的易错点．9、C【解析】【分析】过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，由“AAS ”可证BED BFD ∆≅∆，可得BE BF BO ==，EBD FBD ∠=∠，由“HL ”可证Rt BCF Rt BCO ≌，可得OBC CBF ∠=∠，即可求解．【详解】解：如图，过点B 作BE AD ⊥，交AD 的延长线于E ，BF CD ⊥于F ，AD AO ⊥，BD AO ⊥，//AD BO ∴，EDB DBO ∴∠=∠，又CDB OBD ∠=∠，EDB BDC ∴∠=∠，45BAD ∠=︒，DA AO ⊥，45DAB BAO ∴∠=∠=︒，又BE AD ⊥，BO AO ⊥，BE BO ∴=，在BED ∆和BFD ∆中，90E BFD BDE BDF BD BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()BED BFD AAS ∴∆∆≌，BE BF BO ∴==，EBD FBD ∠=∠，在Rt BCF 和Rt BCO △中，BF BO BC BC=⎧⎨=⎩， ∴Rt BCF Rt BCO ≌，OBC CBF∴∠=∠，∠+∠+∠+∠=︒，360E EAO AOB OBEOBE∴∠=︒，90∴∠+∠+∠+∠=︒，EBD DBF FBC CBO90∴∠=︒，45DBC故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10、C【解析】【分析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；C N AD MF AB MN BD DC NF FG如图，90,,,,,≌,Rt ADB Rt MFN,BD FN 则,BC NG,Rt ACB Rt MGN ≌一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D 不符合题意； 故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.二、填空题1、4【解析】【分析】作DF AC ⊥于F ，先利用角平分线的性质得到3DF DE ==，再根据ABD ACD ABC S S S +=△△△即可得．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于F ，AD 平分BAC ∠，,,3DE AB DF AC DE ⊥⊥=，3DF DE ∴==，15,6ABD ACD ABCS S S AB +===， 116331522AC ∴⨯⨯+⨯=， 解得4AC =，故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．2、11【解析】【分析】由等边对等角解得∠=∠ACB ABC ，再根据两直线平行内错角相等得到ABC BCD ∠=∠，继而得到ACB BCD ∠=∠，接着证明()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ≅，由全等三角形对应边相等解得8CE CD ==，最后根据线段的和差解题．【详解】解：AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，//AB CD ，ABC BCD ∴∠=∠，ACB BCD ∴∠=∠，BE CE ⊥，BD CD ⊥，3BE BD ∴==，在Rt ΔBCE 与Rt BCD ∆中，CB CB BE BD=⎧⎨=⎩ ()Rt ΔRt ΔBCE BCD HL ∴≅，8CE CD ∴==，8AC AE AB AE ∴+=+=，ABE ∴∆的周长8311AE AB BE =++=+=，故答案为：11．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证得Rt ΔRt ΔBCE BCD ≅是解题的关键．3、10【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，∵AB =AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN =CN ，∵∠DBC =∠D =60°，∴△BDM 为等边三角形，∴BD =DM =BM =6，∵DE =4，∴EM =6-4=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=12ME=1，∴BN=6-1=5，∴BC=2BN=10（cm），故答案为10．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．4、5【解析】【分析】连接BM，根据垂直平分线的性质可得MB MA，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求得MC的长．【详解】如图，连接BMMN 是AB 的中垂线，∠A ＝30°，AM ＝10cm ，MB MA ∴=10=30MBA A ∴∠=∠=︒60CMB MBA A ∴∠=∠+∠=︒∠C ＝90°30CBM ∴∠=︒152CM BM ∴== 故答案为：5【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．5、2α【解析】【分析】根据线段的垂直平分线上一点到线段的两个端点距离相等可知AD ＝CD ，根据等边对等角可知∠CAD＝∠C＝α，再利用三角形外角的性质可求解．【详解】解：∵DE 垂直平分AC ，∴AD ＝CD ，∴∠CAD ＝∠C ＝α，∴∠ADB ＝∠CAD +∠C ＝2α．故答案为：2α．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，以及外角的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．三、解答题1、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y =32y -， 解得y =1，∴DE =1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．2、 (1)DE DF =(2)结论成立，理由见解析(3)4AB =【解析】【分析】（1）如图所示：连接AD ，根据等边三角形三线合一的性质及角平分线的性质即可得；（2）过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，根据等边三角形的性质及中点的性质，利用全等三角形的判定及性质得出BDG CDH ≅，DG DH =，再由各角之间的数量关系得出EDG FDH ∠=∠，利用全等三角形的判定和性质即可证明；（3）过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，根据平行线及等边三角形的性质可得60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，结合图形，利用各角之间的数量关系可得MDE CDF ∠=∠，根据全等三角形的判定和性质得出MDE CDF ≅，ME CF =，设AM x =，则2AB x =，结合图形，利用线段间的数量关系即可得出结果．(1)（1）DE DF =；如图所示：连接AD ，∵ABC 为等边三角形，且点D 是BC 的中点，∴AD 平分BAC ∠，∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴DE DF =，故答案为：DE DF =；(2)结论成立．DE DF =．理由：如图所示，过点D 分别作DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H 点，∵ABC 是等边三角形，∴60ACB ABC ∠=∠=︒，∵DG AB ⊥于G 点，DH AC ⊥于H ，∴90BGD DHC ∠=∠=︒，30BDG CDH ∠=∠=︒，∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =，在BDG 与CDH △中，B DCH BD CD BDG CDH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴BDG CDH ≅∴DG DH =，∴180120GDH BDG CDH ∠=︒-∠-∠=︒，120EDF ∠=︒，∴GDH EDH EDF EDH ∠-∠=∠-∠，∴EDG FDH ∠=∠，在EDG △与FDH △中，EDG FDH DG DHEGD FHD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴EDG FDH ≅，∴DE DF =；(3)如图，过D 作DM AC ∥交AB 于M 点，∵DM AC ∥，ABC 是等边三角形，∴60BAC BCA BMD BDM B ∠=∠=∠=∠=∠=︒，∴BD DM CD BM ===，120DME DCF MDC ∠=∠=∠=︒，∵120EDF ∠=︒，∴MDE CDF ∠=∠，在MDE 与CDF 中，DME DCF DM DCMDE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴MDE CDF ≅，∴ME CF =， ∵12BD BC =，AB BC =， ∴12BM AB =， 设AM x =，则2AB x =，∵CF ME AE AM ==+，2AE =，4CF =，∴24x ，∴2x =，∴24==．AB x【点睛】题目主要考查等边三角形三线合一的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．3、见解析【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，根据角平分线的定义得到∠EAD=∠DAC，于是得到结论．【详解】证明：∵BA=BC，∴∠BAC=∠BCA，∵DE∥AC，∴∠BED=∠BAC，∠BDE=∠C，∴∠BED=∠BDE，∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠DAC，∴∠EAD=∠ADE，∴∠BED=∠EAD+∠ADE=2∠ADE，∴∠BDE=∠BED=2∠ADE，∴∠ADB=3∠EDA．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．4、 (1)y＝－23x＋2(2)13 2(3)173或－3【解析】【分析】（1）根据,A B的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝13，根据△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12AB2，即可求出△ABC的面积；（3）过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），根据△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）=132，解绝对值方程求解即可．(1)解：直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），则032k bb=+⎧⎨=⎩，解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线l的表达式为：y＝－23x＋2；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝32＋22＝13，∵△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC＝12AB2＝132；(3)过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），P（1，m）PH∴=|m－43|∵△ABC与△ABP面积相等，∴△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）＝12×|m－43|×3＝132；解得m＝－3或17 3故当△ABC与△ABP面积相等时，m的值为173或－3【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．．5、 (1)见解析(2)AB=BD+CD，理由见解析【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，由余角的性质可得结论；（2）由“AAS ”可证△ADC ≌△BDH ，可得DH =DC ，即可得结论．【小题1】解：证明：∵AB =BC ，BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠CBE ，AE =EC ，BE ⊥AC ，∴∠BEC =∠ADC =90°，∴∠C +∠DAC =∠C +∠EBC =90°，∴∠EBC =∠DAC ，∴∠ABE =∠DAC ；【小题2】AB =BD +CD ，理由如下：在△ADC 和△BDH 中，DAC DBE ADC BDH AD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△BDH （AAS ），∴DH =DC ，∴BD +DH =DB +DC =BC =AB ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形的全等是解题的关键．。
精品试题鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明达标测试试卷(精选含答案)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明达标测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若等腰三角形边长分别为6cm和3cm，则该等腰三角形的周长是（）A．9cm B．12cm C．15cm D．12cm或15cm2、如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=25cm，AC=7cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s，当△APB为等腰三角形时，t的值为（）A．62596或252B．252或24或12C．62596或24或12 D．62596或252或243、如图，ABC中，分别以A、B为圆心，以大于12AB的长为半径画圆弧，两弧交于点D、E，直线DE与AB边交于点F，与AC边交于点G，连接BG，若AC＝8，BC＝3，则GBC的周长为（）A．5 B．8 C．11 D．134、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（）A．①B．②C．③D．都可以5、下列命题中，是真命题的是（）A．三角形的外角大于该三角形任意一个内角B．如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P一定在第二象限C．如果两个直角三角形，有两组边分别相等，则这两个直角三角形全等D．如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形6、如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE与边AB，AC分别交于点D，E.已知△ABC与△BCE的周长分别为16cm和10cm，则AD的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7、如图，在△ABC中，F是高AD，BE的交点，AD=BD，BC=6，CD=2，则AF的长为（）A．5 B．4 C．3 D．28、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°=．作9、如图，点C为AOB∠的角平分线l上一点，D，E分别为OA，OB边上的点，且CD CEOD OE的长为（）OF=，则+CF OA⊥，垂足为F，若5A．10 B．11 C．12 D．1510、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，还不能证明△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在△ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°．用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．2、若等腰三角形的一个内角为80︒，则其顶角的度数为__________．3、在ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为42°，则B ∠=______．4、如图，AB =AC ，点D 是BC 的中点，AB 平分∠DAE ，AE ⊥BE ，垂足为E ．若BE ∥AC ，则∠C =____．5、如图，在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，OA OB =，OC OD =，连接AC ，BD 交于点E ，BD 交OA 于点M ，AC 交OD 于点N ，连接OE ．下列四个结论一定成立的是_________（填序号）．①BD AC =②AEB AOB ∠=∠③OM ON④EO平分∠BEC三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．(1)用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．(2)当∠ABC=_____°时，BF=CA．2、如图，在ABC和CDE中，点B、D、C在同一直线上，已知∠ACB=∠E，AC=CE，AB∥DE，求证：ABC≌CDE．3、在矩形ABCD中，8个完全相同的小正方形组成的L型模板如图放置，L型模板有四个顶点落在该矩形的边上．求证：CD+BF=AD．4、如图①，在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝30°，过点A 作直线AC 的垂线交BC 于点D ．(1)求∠BAD 的度数；(2)若AC ＝AB 的长；(3)如图②，过点A 作∠DAC 的角平分线交BC 于点P ，点D 关于直线AP 的对称点为E ，试探究线段CE 与BD 之间的数量关系，并对结论给予证明．5、如图，平面直角坐标系xOy 中，1l ：124y x =-+交x 轴于A ，交y 轴于B ．另一直线2l ：2y kx b =+交x 轴于C ，交y 轴于D ，交1l 于E ．已知COD △≌BOA △．(1)求2l 解析式．(2)P ，Q 分别在线段AB 和CD 上，且CQ BP =，当PQ x ∥轴时，P 、Q 两点的坐标．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】分两种情况讨论，当腰长为6cm 时，当腰长为3cm 时，再结合三角形的三边关系可得答案.【详解】解：等腰三角形边长分别为6cm 和3cm ，当腰长为6cm 时，则三边分别为：6，6，3，符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的周长为66315++=（cm ），当腰长为3cm 时，则三边分别为：6，3，3，不符合三角形的三边关系，舍去，故选C【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握“利用等腰三角形的腰进行分类讨论”是解本题的关键.2、D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分PA =PB ，PA =AB ，AB =PB 三种情况求解．【详解】∵∠ACB =90°，AB =25cm ，AC =7cm ，∴BC ，当PA =PB 时，设PA =PB =x ，则PC =24-x ，∴222(24)7x x =-+，解得x =62548， ∴t =625248÷=62596； 当AB =PB 时，则AB =PB =25，∴t =252； 当AB =PA 时，则BC =PC =24，∴t =482=24； 故当△APB 为等腰三角形时，t 的值为62596或252或24，故选D ．【点睛】 本题考查了分类思想，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，灵活运用勾股定理计算是解题的关键．3、C【解析】【分析】根据作图得知DE 是AB 的垂直平分线，得出AG =BG ，3811GBC C BC CG BG BC CG AG BC AC ∆=++=++=+=+=即可．【详解】解：根据作图得知DE 是AB 的垂直平分线，∴AG =BG ，∴3811GBC C BC CG BG BC CG AG BC AC ∆=++=++=+=+=．故选C ．【点睛】本题考查尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长，掌握尺规作图，线段垂直平分线的性质，三角形周长是解题关键．4、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．5、D【解析】【分析】根据三角形外角性质、平面直角坐标系特点、全等三角形的判定和等边三角形的判定判断即可．【详解】解：A、三角形的外角大于该三角形任意一个不与它相邻的内角，原命题是假命题；B、如果点P（x，y）的坐标满足xy＜0，那么点P不一定在第二象限，可能在第四象限，原命题是假命题；C、如果两个直角三角形，有两组边分别相等，那么这两个直角三角形不一定全等，原命题是假命题；D、如果一个等腰三角形的一个内角为60°，那么这个三角形是等边三角形，是真命题；故选：D．【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，要熟练掌握，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．6、A【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA=EB，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴EA=EB，AD=BD=12 AB，∵△BCE的周长是10，∴BC+BE+EC=10，即AC+BC=10，∵△ABC的周长是16，∴AB+AC+BC=16，∴AB=16-10=6，∴AD=12AB=12×6=3（cm）．故选：A．【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义，线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．7、D【解析】【分析】先证明∠FBD =∠DAC ，从而利用ASA 证明△BDF ≌△ADC ，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．【详解】证明：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADC =∠FDB =∠AEF =90°，∴∠DAC +∠AFE =90°，∠FBD +∠BFD =90°，又∵∠BFD =∠AFE ，∴∠FBD =∠DAC ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD ADC FDB BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF =CD =2，∴AD =BD =BC -CD =4，∴AF =AD -DF =4-2=2；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．8、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080︒-⨯︒=︒综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．9、A【解析】【分析】过点C 作CM OB ⊥于点M ，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得到CF CM =，再通过证明Rt CFD Rt CME ≅和Rt OCF Rt OCM ≅，得到210OD OE OF +==．【详解】如图所示，过点C 作CM OB ⊥于点M ，∵点C 为AOB ∠的角平分线l 上一点，∴CF CM =，在Rt CFD △和Rt CME 中，∵CD CE CF CM=⎧⎨=⎩， ∴()Rt CFD Rt CME HL ≅，∴DF EM =，在Rt OCF 和Rt OCM △中，∵OC OC CF CM =⎧⎨=⎩， ∴()Rt OCF Rt OCM HL ≅，∴OF OM =，∴2OD OE OF FD OE OF EM OE OF OM OF +=++=++=+=，∵5OF =，∴210OD OE OF +==．故答案选：A ．【点睛】本题考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质．角平分线上的点到角两边的距离相等．一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等．10、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A.∵在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；B.∵AB ＝AC ，BD ＝CE ，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C.∵在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），故本选项不符合题意；D 、根据AB ＝AC ，BE ＝CD 和∠A ＝∠A 不能推出△ABE ≌△ACD ，故本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS ，ASA ，AAS ，SSS ．二、填空题1、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B=60°，AB=12 BC，∴△ABD是等边三角形，∴BD=CD=AD，∴△ADC是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．2、80︒或20︒【解析】【分析】根据题意，分80︒的角为顶角和底角两种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和求解即可【详解】解：当80︒的角为顶角时，其顶角的度数为80︒；︒-⨯︒=︒当80︒的角为底角时，其顶角的度数为18028020故答案为：80︒或20︒【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角的性质，分情况讨论是解题的关键．3、66°或24°##24°或66°【解析】【分析】分两种情况讨论，画出符合题意的图形，再结合三角形的内角和定理与等腰三角形的性质可得答案. 【详解】AB AC ADE DH是AB的垂直平分线，解：如图，由题意得：,42,B C DHA,90,DAH B C904248,1B DAH24,2AB AC ADE DH是AB的垂直平分线，如图，由题意得：,42,ABC ACB ADH,42,1A B904248,1804866,2综上：24B∠=︒或66.B故答案为：24︒或66.︒【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的定义，等腰三角形的性质，掌握“等边对等角”是解本题的关键.4、60°##60度【解析】【分析】根据平行线的性质证得∠EAC=90°，由等腰三角形的性质和已知条件证得∠1=∠2=∠3=30°，可得∠BAC=60°，进而得到△ABC为等边三角形，由等边三角形的性质可得∠C的度数．【详解】解：∵AE⊥BE，∴∠E=90°．∵BE//AC，∴∠EAC=90°．∵AB平分∠DAE，∴∠1=∠2．∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠1=∠3，∴∠1=∠2=∠3=30°，∴∠BAC =∠1+∠3=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠C =60°．故答案为：60°．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，证得∠1=∠2=∠3=30°是解决问题的关键．5、①②④．【解析】【分析】证明△AOC ≌△BOD ，即可判断①；利用△AOC ≌△BOD ，推出∠CAO =∠DBO ，得到∠OAB +∠OBA =∠OAB +∠ABE +∠CAO ，由三角形内角和定理即可判断②；无法证明△AON ≌△BOM ，即无法判断OM ON =，由此判断③；过O 作OG ⊥BD 于G ，OH ⊥AC 于H ，根据全等三角形的性质得到OG=OH ，由此判断④【详解】解：在△OAB 和△OCD 中，AOB COD ∠=∠，∴∠AOC =∠BOD ，∵OA OB =，OC OD =，∴△AOC ≌△BOD ，∴AC=BD，故①正确；∵△AOC≌△BOD，∴∠CAO=∠DBO，∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠ABE+∠CAO，∵∠OAB+∠OBA+∠AOB=180°，∠OAB+∠ABE+∠CAO+∠AEB=180°，∴AEB AOB∠=∠，故②正确；∵OA=OB，∠NAO=∠MBO，无法证明∠BOM=∠AON，∴无法证明△AON≌△BOM，即无法判断OM ON=，故③错误；过O作OG⊥BD于G，OH⊥AC于H，∵△AOC≌△BOD，AC=BD，∴1122BD OG AC OH⋅=⋅，∴OG=OH，∴EO平分∠BEC，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，角平分线的判定定理，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．三、解答题1、 (1)BE＋CD＝BC，理由见解析；(2)40【解析】【分析】（1）利用角平分线得出∠EBF＝∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM＝∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论；（2）先求出相关角的度数，进而判断出BG＝CE，进而判断出△BGF≌△CEA，即可得出结论．(1)解：BE＋CD＝BC，理由如下：在BC上取一点M，使BM＝BE，∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，∴∠FBC＝12∠ABC，∠BCF＝12∠ACB，在△ABC中，∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A＝120°，∴∠BFC＝180°−（∠CBF＋∠BCF）＝180°−12（∠ABC＋∠ACB）＝120°，∴∠BFE＝60°，∴∠CFD ＝∠BFE ＝60°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠EBF ＝∠MBF ，在△BEF 和△BMF 中，BE BM EBF MBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BEF ≌△BMF （SAS ），∴∠BFE ＝∠BFM ＝60°，∴∠CFM ＝∠BFC −∠BFM ＝60°，∴∠CFM ＝∠CFD ＝60°，∵CE 是∠ACB 的平分线，∴∠FCM ＝∠FCD ，在△FCM 和△FCD 中，CFM CFD CF CFFCM FCD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△FCM ≌△FCD （ASA ），∴CM ＝CD ，∴BC ＝CM ＋BM ＝CD ＋BE ；(2)解：当∠ABC ＝40°时，BF ＝CA ，理由如下：在△ABC 中，∠A ＝60°，∠ABC ＝40°，∴∠ACB ＝80°，∵BD ，CE 是△ABC 的两条角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝12∠ABC ＝20°，∠BCE ＝∠ACE ＝12∠ACB ＝40°，∴∠AEC ＝∠ABC ＋∠BCE ＝80°，∠ABC ＝∠BCE ，∴BE ＝CE ，在△ABC 的边AB 左侧作∠ABG ＝20°，交CE 的延长线于G ，∴∠FBG ＝∠ABD ＋∠ABG ＝40°＝∠ACE ．∵∠AEC ＝80°，∴∠BEG ＝80°，∴∠G ＝180°−∠ABG −∠BEG ＝80°＝∠BEG ＝∠AEC ，∴BG ＝BE ，∴BG ＝CE ，在△BGF 和△CEA 中，4080FBG ACE BG CEBGF AEC ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△BGF ≌△CEA （ASA ），∴BF ＝AC ．故答案为：40．【点睛】主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解本题的关键是（1）判断出∠CFM ＝∠CFD ，（2）作出辅助线，判断出BG ＝CE ．2、见解析【解析】【分析】根据平行线的性质得到B EDC ∠=∠，再根据全等三角形的判定证明即可．【详解】证明：∵AB DE ∥，∴B EDC ∠=∠，在ABC 和△CDE 中，B EDC ACB E AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()ABC CDE AAS ≌．【点睛】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．3、证明见解析【解析】【分析】由“AAS ”可证△FEB ≌△EDC ，可得DC ＝BE ，CE ＝BF ，即可求解．【详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B =∠C =90°，AD =BC ，∴∠BFE +∠FEB =90°．∵8个完全相同的小正方形组成的L 型模板如图放置，∴∠FED =90°，EF =DE ，∴∠FEB +∠DEC =90°，∴∠EFB =∠DEC ，在△FEB 与△EDC 中，B C BFE DEC EF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△FEB ≌△EDC （AAS ），∴DC =BE ，CE =BF ，∴AD =BC =BE +EC =BF +CD ．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△FEB ≌△EDC 是本题的关键．4、 (1)15°(2)2(3)CE =2BD【解析】【分析】（1）利用三角形内角和定理求出∠BAC =105°，再由∠DAC =90°，即可得出答案；（2）作AF ⊥BC 于F ，由含30°角的直角三角形的性质得AF =12AC得AF =BF ，从而求出AB 的长；（3）作AF⊥BC于F，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，则BD=BF-DF-x，由点D关于直线AP的对称点为E，得AE=AD=2x，可表示出CE的长，从而得出结论．(1)解：∵∠B=45°，∠C=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-45°-30°=105°，∵AD⊥AC，∴∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC-∠DAC=105°-90°=15°；(2)作AF⊥BC于F，∵∠C=30°，AC∴AF=12∵∠ABF=45°，∴AF=BF∴AB AF；(3)CE=2BD，理由如下：作AF⊥BC于F，∵∠DAF+∠CAF=90°，∠CAF+∠C=90°，∴∠DAF=∠C=30°，设DF=x，则AD=2x，AF，AC=，∵BF=AF，∴BD=BF-DF-x，∵点D关于直线AP的对称点为E，∴AE=AD=2x，∴CE=AC-AE=-2x，∴CE=2BD．【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，用x的代数式表示各线段长，从而发现线段之间的数量关系是解题的关键．5、 (1)212 2y x=+(2)44,33P⎛⎫⎪⎝⎭，44,33Q⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由1l 的解析式求出与x y ，轴的交点AB 、的坐标，根据全等条件求出CD 、两点坐标，将点坐标代入2l 解析式中求出k b ，的值，回代入解析式即可；（2）当PQ x ∥轴时，连接PQ ，交y 轴于点H ，过Q 作QM x ⊥轴于点M ，过P 作PN x ⊥轴于点N ，可得BPH CQM ≌，PH QM =，QM PN =，PH PN =；设P 点坐标为(),a a ，代入11:24l y x =-+求得P 点坐标，PQ x ∥轴，P Q ，有相同的纵坐标，进而求解Q 点坐标即可．(1)解：AB 、的坐标分别为()(),00,A B x y ， 将坐标代入124y x =-+得2404A B x y -+=⎧⎨=⎩解得2=4A B x y =，∴AB 、的坐标分别为()()2,00,4， ∵COD BOA ≌∴=4=2CO BO DO AO ==，∴()4,0C -，()0,2D将C D 、两点坐标代入2l 解析式得402k b b -+=⎧⎨=⎩ 解得122k b ==， ∴2l 的解析式为：2122y x =+． (2) 解：如图当PQ x ∥轴时，连接PQ ，交y 轴于点H ，过Q 作QM x ⊥轴于点M ，过P 作PN x ⊥轴于点N在BPH 和CQM 中∵90HBP MCQ BHP CMQ BP CQ ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴BPH ()CQM AAS ≌∴PH QM =，QM PN =∴PH PN =设P 点坐标为(),a a ，代入1l 的解析式中得24a a =-+ 解得43a = ∴P 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭ 把243y =代入2122y x =+中得41232x =+ 解得43x =- ∴Q 点坐标为44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭∴P Q ，两点的坐标分别为44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，44,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了三角形全等，一次函数解析式，平行直线点坐标的特点等知识．解题的关键在于正确的求值．。
2022年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题测试练习题(精选含解析)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、△ABC中，AB=AC，其中一个角为50°，则此等腰三角形的顶角为( )A．50°B．80°C．100°D．50°或80°2、若等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰所在直线相交，且交角为50°，则它的底角为（）A．50°B．70°C．80°D．20°或70°3、已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠DBC=45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC=180°．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个x-=．则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）4、若实数x，y满足30A．9 B．12 C．15 D．12或155、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（）A．①B．②C．③D．都可以6、如图，△ABC中，AC＝8，点D，E分别在BC，AC上，F是BD的中点．若AB＝AD，EF＝EC，则EF 的长是（）A．3 B．4 C．5 D．67、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=（）A．2 B C D．38、如图，在平面直角坐标系中xOy中，已知点A的坐标是（0，2），以OA为边在右侧作等边三角形OAA1，过点A1作x轴的垂线，垂足为点O1，以O1A1为边在右侧作等边三角形O1A1A2，再过点A2作x轴的垂线，垂足为点O2，以O2A2为边在右侧作等边三角形O2A2A3，……，按此规律继续作下去，得到等边三角形O2020A2020A2021，则点A2023的纵坐标为（）A ．（12）2021B ．（12）2022C ．（12）2023D ．（12）2024 9、△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠BDC ＝72° C ．S △ABD ：S △BCD ＝BC ：AC D ．△BCD 的周长＝AB +BC10、如图，点P ，D 分别是∠ABC 边BA ，BC 上的点，且4BD =，60ABC ∠=︒．连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧作等边△DPE ，连结BE ，则△BDE 的面积为（ ）A ．B ．2C ．4D ．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD ≌△ACD ，请你添加一个条件是 _____．（写出一个即可）2、如图，等腰△ABC 中，AB AC =，50BAC ∠=︒，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC 的度是______．3、定义：对于线段MN 和点P ，当PM PN =，且120MPN ∠≤︒时，称点P 为线段MN 的“等距点”．特别地，当PM PN =，且120MPN ∠=︒时，称点P 为线段MN 的“强等距点”．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()．（1）若点B 是线段OA 的“强等距点”，且在第一象限，则点B 的坐标为____________；（2）若点C 是线段OA 的“等距点”，则点C 的纵坐标t 的取值范围是_________．4、如图，等边三角形ABC 是由3个全等的三角形和一个小等边三角形DEF 无缝拼接而成．若DF ＝2AF ，AB ＝DE 的长是 _____．5、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD翻折，点B落在点E处，连结AE．如果AE∥CD时，恰好CD＝2.5，那么此时BE＝________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、在△ABC 中，按照下列步骤作图：BC 的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；①分别以B，C 为圆心，以大于12②作直线MN 交AB 于点D，连接CD．若CD=AD，请解决下列问题：(1)判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)当AC：CB=3：4 时，求BD：AC 的值．2、△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A ′BD ．(1)如图1，若α＝15°，则∠CBA ′＝ ．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且∠DAP ＝∠DBC ＝α．①试探究AP ，BP ，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若BP ＝10，CP ＝m ，求CA ′的长．（用含m 的式子表示）3、如图，在ABC 中，AB AC =，30A ∠=︒．(1)作AB 垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D ；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)连接BE ，求EBC ∠的度数．4、如图，等腰直角三角形ABC ，E 是射线AT 上一点，点B 作BM ⊥AT 于M ，在射线MB 上取点F ，使∠ECF =45°．(1)在图1中按要求补全图形．(2)猜想图1中AE ，BF ，EF 之间的数量关系，并证明．(3)点E 在射线AT 上运动时AE ，BF ，EF 之间的数量关系是否发生变化，如果发生变化，直接写出变化后AE ，BF ，EF 之间的数量关系．5、对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形；例如：如图，已知ABC ∆，90BAC ∠=︒，作直角边AB 的垂直平分线DE ，分别交BC 与AB 于D 、E 两点，连接AD ，则AD 将ABC ∆分割成两个等腰三角形ADC ∆，ADB ∆．证明：DE 垂直平分ACAD DB ∴=12∠∠∴=在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒2390∴∠+∠=︒，1490∠+∠=︒34∴∠=∠CD DA∴=∴∆，ADBADC∆是等腰三角形(1)根据上述方法，将下列锐角三角形和钝角三角形，分别分割成4个等腰三角形；(2)将下面的不等边三角形分割成5个等腰三角形．-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】分50度的角为底角和顶角两种情形讨论，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和直接求出顶角即可．【详解】解：①当50°的角为顶角时，则此等腰三角形的顶角为50︒︒-⨯︒=︒②当50°的角为底角时，则此等腰三角形的顶角为18025080综上，此等腰三角形的顶角为50°或80°故选D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和，分类讨论是解题的关键．2、D【解析】【分析】分三角形是锐角三角形或者钝角三角形两种情况进行讨论即可．【详解】解：如图1，三角形是锐角三角形时，905040,A ︒︒︒∠=-=底角为1(18040)702︒︒︒⨯-= 如图2，三角形是钝角三角形时，9050140,BAC ︒︒︒∠=+=底角为1(180140)202︒︒︒⨯-= 综上所述，它的底角为20°或70．故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质，解题的关键是作出图形分情况进行讨论．3、D【解析】【分析】①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形AEC全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE，本选项正确；②由三角形ABD与三角形AEC全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE，本选项正确；④利用周角减去两个直角可得答案．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠BAD=∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，本选项正确；②∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE，∴∠ACE+∠DBC=45°，本选项正确；③∵∠ABD+∠DBC=45°，∴∠ACE+∠DBC=45°，∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，则BD⊥CE，本选项正确；④∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAE+∠DAC=360°-90°-90°=180°，故此选项正确，综上，四个选项都是正确的，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．4、C【解析】【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．【详解】解：∵实数x，y满足|3-x，∴x=3，y=6．当3为腰时，三边为3、3、6，而3+3=6，则3、3、6不能组成三角形；当3为底时，三边长分别为3、6、6，∴等腰三角形周长为3+6+6=15．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．5、C【解析】【分析】带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．6、B【解析】【分析】连接AF,得到∠AFC=90°，再证AE=EF,可得EF=AE=EC，即可求出EF的长.【详解】解：如图：连接AF,∵AB=AD, F是BD的中点,∴AF⊥BD,∵EF=EC,∴∠EFC =∠C ,∵在Rt △AFC 中，∠AFC =90°，∴∠AFE +∠EFC =90°,∠FAC +∠C =90°,∴∠AFE =∠FAC ,∴AE=EF ,∵AC ＝8,∴EF=AE=EC=12AC=4.故选B .【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质.解题的关键是正确的添加辅助线.7、A【解析】【分析】根据直角三角形30︒角所对的直角边是斜边的一半可直接求解．【详解】解：∵在Rt ABC 中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，1BC =， ∴12BC AB =， ∴2AB =，故选：A ．【点睛】本题主要考查含30︒角直角三角形的性质，熟练掌握30︒角所对的直角边是斜边的一半，是解题的关键．【解析】【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出O1A1=12OA1=1，O2A2=12O1A2=（12）1，O3A3=12O2A3=（12）2，即点A1的纵坐标为1；点A2的纵坐标为（12），点A3的纵坐标为（12）2，以此类推，从中得出规律，即可求出答案．【详解】解：∵三角形OAA1是等边三角形，∴OA1=OA=2，∠AOA1=60°，∴∠O1OA1=30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1=90°，∠O1OA1=30°，∴O1A1=12OA1=1，即点A1的纵坐标为1，同理，O2A2=12O1A2=（12）1，O3A3=12O2A3=（12）2，即点A2的纵坐标为（12）1，点A3的纵坐标为（12）2，…∴点A2023的纵坐标为（12）2022．故选：B．【点睛】此题考查了规律型：点的坐标，等边三角形的性质，解答此题的关键是通过认真分析，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，从中发现规律．【解析】【分析】根据作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒，由作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，∴36A ABD DBC ∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，72BDC BCD ∠=∠=︒，故A 、B 正确；∵72BDC BCD ∠=∠=︒，∴BC BD AD ==，结合图形可得：ABD 与BCD 的高相同，∴:::ABD BCDS S AD CD BC CD ==，故C 错误； BCD 的周长为：BC CD BD BC AC BC AB ++=+=+，故D 正确；故选：C ．【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．10、A【解析】【分析】要求BDE ∆的面积，想到过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，因为题目已知60ABC ∠=︒，想到把ABC ∠放在直角三角形中，所以过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，利用勾股定理求出DG 的长，最后证明GPD FDE ∆≅∆即可解答．【详解】解：过点E 作EF BC ⊥，垂足为F ，过点D 作DG BA ⊥，垂足为G ，在Rt BGD 中，4BD =，60ABC ∠=︒，30BDG ∴∠=︒，122BG BD ∴==，GD ∴PDE ∆是等边三角形，60PDE ∴∠=︒，PD DE =，180120PDB EDF PDE ∴∠+∠=︒-∠=︒，60ABC ∠=︒，180120PDB BPD ABC ∴∠+∠=︒-∠=︒，BPD EDF ∴∠=∠，90PGD DFE ∠=∠=︒，()GPD FDE AAS ∴∆≅∆，GD EF ∴==，BDE∴∆的面积12BD EF=⋅，142=⨯⨯=故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形、勾股定理，解题的关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线．二、填空题1、AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠ADC【解析】【分析】判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，根据全等三角形的判定定理即可确定．【详解】解：判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，因而根据SAS，可以添加条件：AB=AC；根据AAS，可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加∠ADB=∠AD C．故答案是：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠AD C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．2、15°##15度【解析】【分析】根据等腰三角形两底角相等，求出∠ABC 的度数，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AD =BD ，根据等边对等角的性质，可得∠ABD =∠A ，然后求∠DBC 的度数即可．【详解】解：∵AB =AC ，∠A =50°，∴∠ABC =12（180°-∠A ）=12（180°-50°）=65°， ∵MN 垂直平分线AB ，∴AD =BD ，∴∠ABD =∠A =50°，∴∠DBC =∠ABC -∠ABD =65°-50°=15°．故答案为：15°．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形两底角相等的性质，以及等边对等角的性质的综合应用，熟记性质是解题的关键．3、 )1t ≥或1t ≤- 【解析】【分析】（1）过点B 作BM x ⊥轴于点M ，根据“强等距点”的定义可得出120ABO ∠=︒，BO BA =，根据等腰三角形的性质以及30度角的直角三角形的性质即可求出线段OM 、BM 的长度，再由点B 在第一象限即可得出结论；（2）结合（1）的结论以及“等距点”的定义，即可得出t 的取值范围．【详解】解：（1）如图，过点B ．作BM x ⊥轴于点M ，∵点B 是线段OA 的“强等距点”，∴120ABO ︒∠=，BO BA =，∵BM x ⊥轴于点M ，∴12OM AM OA ==1602OBM ABO ︒∠=∠=．在Rt OBM ∆中，OM =60OBM ︒∠=，∴1BM =．∴点B 的坐标为)，或)1-， ∵点B 在第一象限，∴)B ．故答案为：)．（2）由（1）可知：线段OA 的“强等距点”坐标为)1-或)． ∵C 是线段OA 的“等距点”，∴点C 在点)的上方或点)1-下方， ∴1t ≥或1t ≤-．故答案为：1t ≥或1t ≤-．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，30度角的直角三角形的性质，读懂题意明白“等距点”和“强等距点”的性质是解题的关键．4、4【解析】【分析】取FD 的中点为G ，连接,,BG BF EG ，且过C 作AB 的垂线，得3ABD GBD SS =，过点D 作BG 的垂线，交于J ，设AF x =，则DG BG x ==，得出3ABD GBD SS =，2FED S ，12ABC S CH AB =⋅=据3FED ABC ABD S S S =-，建立等式求解即可．【详解】取FD 的中点为G ，连接,,BG BF EG ，且过C 作AB 的垂线，垂足为H ，如下图：2DF AF ，AF FG GD ∴==，3ABD GBD S S ∴=，60EDF ∠=︒，120BDG ∴∠=︒，等边三角形ABC 是由3个全等的三角形和一个小等边三角形DEF 无缝拼接而成，AF BD ∴=，DG BD ∴=，过点D 作BG 的垂线，交于J ，设AF x =，则DG BG x ==，1122DJ DG x ∴==，由勾股定理得：GJ21133222ABD GBD S S x x ∴==⨯⨯⨯=，EG EF ==，211222FED S EG FD x ∴=⋅=⋅=，同理CH =1122ABC S CH AB ∴=⋅== 3FED ABC ABD S S S =-，223x ==， 解得：2x =，2AF ∴=，24DE DF AF ===，故答案为：4．【点睛】本题考查了等边三角形、全等三角形、勾股定理，解题的关键是作适当辅助线，找到三角形面积之间的关系，通过勾股定理求出面积建立等式求解．5、4.8【解析】【分析】画出图形，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，先根据勾股定理可得5AB =，根据折叠的性质可得,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，再根据平行线的性质可得,AED EDC EAD BDC ∠=∠∠=∠，从而可得AED EAD ∠=∠，根据等腰三角形的判定可得AD DE =，从而可得1 2.52AD BD AB CD ====，然后根据等腰三角形的三线合一可得1 1.52BG BC ==，利用勾股定理可得2DG =，最后利用BCD △的面积可求出BF 的长，由此即可得．【详解】解：如图，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，5AB ∴==，由折叠的性质得：,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，AE CD ，,AED EDC EAD BDC ∴∠=∠∠=∠，AED EAD ∴∠=∠，AD DE ∴=，1 2.52AD BD AB ∴===， 2.5CD =，2.5BD CD ∴==，1 1.52BG BC ∴==（等腰三角形的三线合一），2DG ∴==，1122BCDS CD BF BC DG =⋅=⋅， 112.53222BF ∴⨯=⨯⨯， 解得 2.4BF =，2 4.8∴==，BE BF故答案为：4.8．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．三、解答题1、 (1)△ABC是直角三角形，理由见解析(2)BD：AC 的值为5：6【解析】【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得到CD=AD=BD，得到∠ACD=∠A，∠DCB=∠B，再由三角形内角和得出∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，所以∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，△ABC为直角三角形；（2）设AC=3k，CB=4k，利用勾股定理求得AB=5k，进一步求解即可．(1)解：△ABC为直角三角形．理由如下：由作图知直线MN是线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴∠DCB=∠B．∵CD=AD，∴∠ACD=∠A．∵∠A+∠ACD+∠DCB+∠B=180°，∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°，∴△ABC 为直角三角形；(2)解：∵AC ：CB =3：4，∴设AC =3k ，CB =4k ，∵△ABC 为直角三角形，且∠ACB =90°，∴AB =5k ，∵CD =AD =BD ，∴BD =12AB =52k ， ∴BD ：AC =52k ：3k =5：6． 【点睛】本题考查了复杂作图和勾股定理，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．2、 (1)30°(2)①BP AP CP =+；②102m -【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得60ABC ∠=︒，根据角度计算可得ABD ∠=45︒，由折叠的性质可得ABD A BD '∠=∠，根据A BC A BD CBD ''∠=∠-∠即可求解；（2）①连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，证明BP C APC '≌，PP C '是等边三角形，即可得到BP AP CP =+；②先证明,,A C P '三点共线，结合①的结论求解即可．(1) ABC 是等边三角形∴60ABC ∠=︒60ABD ABC CBD α∴∠=∠-∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，ABD A BD '∴∠=∠=60α︒-15α=︒6060230A BC A BD CBD ααα''∴∠=∠-∠=︒--=︒-=︒故答案为：30(2)①BP AP CP =+，理由如下：连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，如图，ABC 是等边三角形60,ACB BC AC ∴∠=︒=DAP DBC α∠=∠=BP C APC '∴≌CP CP '∴=，BCP ACP '∠=∠60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PP C '∴是等边三角形60CPB ∴∠=︒，P P PC '=BP BP PP AP CP ''∴=+=+即BP AP CP =+②如图，由①可得60BPC ∠=︒180120BCP BPC PBC α∴∠=︒-∠-∠=︒-由（1）可知602CBA α'∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，BA BA '∴=BC BA '∴=()()111801806026022BCA CBA αα''∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ 12060180BCP BCA αα'∴∠+∠=︒-+︒+=︒,,A C P '∴三点共线折叠BA BA '∴=,ADB A DB '∠=∠ADP A DP '∴∠=∠DP DP =ADP A DP '∴≌AP AP '∴=由①可得BP AP CP =+10,BP CP m ==10AP BP CP m ∴=-=-10A P AP m '∴==-10102CA A P CP m m m ''∴=-=--=-【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．3、 (1)作图见解析(2)45︒【解析】（1）分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径画弧，得到两弧的两个交点，过这两个交点作直线即可； （2）连接,BE 利用等腰三角形的性质，先求解,ABC ∠ 再证明30,A EBA 再利用角的和差关系可得答案.(1)解：如图，直线DE 是所求作的线段AB 的垂直平分线，(2)解：如图，连接,BEAB AC =，30A ∠=︒，11803075,2ABC CDE 是AB 的垂直平分线，,EB EA ∴=30,A EBA 753045.EBC ABC EBA【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握“线段的垂直平分线的作图与线段的垂直平分线的性质”是解本题的关键.4、 (1)作图见解析(2)EF AE BF =+(3)当45ACE ∠<︒时，不会发生变化；当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-【解析】【分析】（1）如图过点B 作BM AT ⊥交点为M ；连接CE ，以C 、E 为圆心，大于12CE 长度为半径画弧，连接两交点，与CE 交于点P ；以P 为圆心，PC 为半径画弧与CE 的垂直平分线交点为Q ，连接CQ 与BM 交点即为F ；（2）将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，，9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒，在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，，180CAE CBM ∠+∠=︒，=CAE CBD ∠∠，180CBD CBM ∠+∠=︒，F B D 、、在一条直线上，进而可证()CEF CDF SAS ≌，得到EF DF FB BD BF AE ==+=+即可；（3）当45ACE ∠>︒时，如图所示，将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，，9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒，在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，，180CAE CBM ∠+∠=︒，=CAE CBD ∠∠，180CBD CBM ∠+∠=︒，F B D 、、在一条直线上，进而可证()CEF CDF SAS ≌，得到EF DF BD BF AE BF ==-=-即可．(1)解：如图过点B 作BM AT ⊥交点为M ；连接CE ，以C 、E 为圆心，大于12CE 长度为半径画弧，连接两交点，与CE 交于点P ；以P 为圆心，PC 为半径画弧与CE 的垂直平分线交点为Q ，连接CQ 与BM 交点即为F ．(2)解：EF AE BF =+证明过程如下：将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置，由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，∴9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒∵在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，∴180CAE CBM ∠+∠=︒∵=CAE CBD ∠∠∴180CBD CBM ∠+∠=︒∴F B D 、、在一条直线上在CEF △和CDF 中∵45CE CD ECF FCD CF CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()CEF CDF SAS ≌∴EF DF FB BD BF AE ==+=+∴EF BF AE =+．(3)解：①当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-，证明：当45ACE ∠>︒时，如图所示将ACE 逆时针旋转90°到BCD △的位置由题意知AC BC CE CD AE BD ACE BCD ===∠=∠，，，∴9045FCD ECF ∠=︒-∠=︒∵在四边形ACBM 中9090ACB BMA ∠=︒∠=︒，∴180CAE CBM ∠+∠=︒∵=CAE CBD ∠∠∴180CBD CBM ∠+∠=︒∴F B D 、、在一条直线上在CEF △和CDF 中∵45CE CD ECF FCD CF CF =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()CEF CDF SAS ≌∴EF DF BD BF AE BF ==-=-∴EF AE BF =-．②当45ACE ∠<︒时，不会发生变化，如图，将ACE 逆时针旋转90°到BCG 的位置，同①可证，F B G 、、在一条直线上，()CEF CGF SAS ≌，∴EF GF BG BF AE BF ==-=+即EF BF AE =+不变．综上可知，当45ACE ∠<︒时，不会发生变化；当45ACE ∠>︒时，会发生变化，EF AE BF =-【点睛】本题考查了垂直平分线的画法，旋转的性质，三角形全等．解题的关键在于将三角形进行旋转．5、 (1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）模仿例题，利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可；（2）利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可．(1)解：如图，分割线如图所示．(2)解：如图，分割线即为所求．【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级下册第十章 三角形的有关证明本章综合与测试-章节测试习题
章节测试题1.【答题】下列说法正确的是（）A. 两个等边三角形一定全等B. 形状相同的两个三角形全等C. 面积相等的两个三角形全等D. 全等三角形的面积一定相等【答案】D【分析】【解答】2.【答题】如图，若△ABN≌△ACM，且BN＝7，MN＝3，则NC的长为（）A. 3B. 4C. 4.5D. 5【答案】B【分析】【解答】3.【答题】如图，△ABC≌△ADE，∠B＝25°，∠E＝105°，∠EAB＝10°，则∠BAD为（）A. 50°B. 60°C. 80°D. 120°【答案】B【分析】【解答】4.【答题】如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB＝AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A. ∠B＝∠CB. BE＝CDC. BD＝CED. AD＝AE【答案】B【分析】【解答】5.【答题】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，∠CAD＝25°，则∠ABE的度数为（）A. 30°B. 15°C. 25°D. 20°【答案】D【分析】【解答】6.【答题】若等腰三角形的两边长分别是3和10，则它的周长是（）A. 16B. 23C. 16或23D. 13【答案】B【分析】【解答】7.【答题】如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（）A. 7个B. 6个C. 4个D. 3个【答案】A【分析】【解答】8.【答题】如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°【答案】D【分析】【解答】9.【答题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（）A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【分析】【解答】10.【答题】如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F 两点，则△AEF的周长为（）A. 2B. 4C. 8D. 不能确定【答案】C【分析】【解答】11.【答题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于D，AC＝4cm，DC＝3cm，则点D到斜边AB的距离为______cm．【答案】3【分析】【解答】12.【答题】如图，BE与CD交于点A，且∠C＝∠D．添加一个条件：______，使得△ABC≌△AED．【答案】答案不唯一，但必须是一组对应边，如：AC＝AD【分析】【解答】13.【答题】如图，在△ABC中，DE是AB的垂直平分线，且分别交AB，AC于点D和E，∠A＝50°，∠C＝60°，则∠EBC等于______度．【答案】20【分析】【解答】14.【答题】在下列结论中：①有三个角是60°的三角形是等边三角形；②有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60°，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是______．【答案】①②③④【分析】【解答】15.【答题】如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交A于点E．若BD＝3，DE＝5，则线段EC的长为______．【答案】2【分析】【解答】16.【答题】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，若CD是高，则BD＝______．【答案】1【分析】【解答】17.【题文】已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法），并根据要求填空：（1）作∠ABC的平分线BD交AC于点D；（2）作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F．【答案】（每题4分，本题共8分）【分析】【解答】18.【题文】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；（2）OE＝OF．【答案】（本题共8分）证明：（1）∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，……………2分在Rt△ABF和Rt△DCE中，，……………5分∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）；……………6分（2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），∴∠AFB＝∠DEC，……………7分∴OE＝OF．……………8分【分析】【解答】19.【题文】如图，已知：△ABC中，AB＝AC，BD和CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于O点．（1）试说明△OBC是等腰三角形；（2）连接OA，试判断直线OA与线段BC的位置关系，并说明理由．【答案】（本题共10分）解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCA；……………1分∵BD、CE分别平分∠ABC、∠BCA，∴∠OBC＝∠BCO；……………3分∴OB＝OC，……………4分∴△OBC为等腰三角形．……………5分（2）AO⊥BC……………6分证明如下：在△AOB与△AOC中．∵，∴△AOB≌△AOC（SSS）；……………8分∴∠BAO＝∠CAO；……………9分∴AO⊥BC．……………10分【分析】【解答】20.【题文】如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；【答案】（本题共10分）（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，即∠ABE＝∠CBD，……………2分在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，……………5分∴AE＝CD．……………6分（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，……………7分∵∠NMC＝180°-∠BCD-∠CNM，∠ABC＝180°-∠BAE-∠ANB，又∠CNM＝∠ABC，∵∠ABC＝90°，……………8分∴∠NMC＝90°，……………9分∴AE⊥CD．……………10分【分析】【解答】。
2019-2020学年鲁教版(五四制)七年级数学下册三角形的有关证明测试题及答案
三角形的有关证明单元测试题（二）山东沂源县徐家庄中心学校256116左效平时间:120分钟满分:120分姓名:一、选择题：（每题4分，满分48分）1.如图1，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF2.下列说法中，不正确的是()A．等腰三角形的两底角相等B．两边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的顶角最大为90°D．等腰三角形是一个轴对称图形3.下列长度为边，构成三角形是直角三角形的是（）A．2,3,4B．3,4,6C．2，3，5D．4,4,84.如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，则CD的长为()A.3B.4C.4.8D.55.如图3，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中，错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=ODA．4B．2C．23A.836.如图4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,CD⊥AB，垂足为D,AC=8，则BD的长为（）43D．337.如图5，OP是∠AOB的平分线，点C，D分别在角的两边OA，OB上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD的选项是（）A．PC⊥OA，PD⊥OB B．OC=OD C．∠OPC=∠OPD D．PC=PD8.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（）A．15B．30C．45D．609.如图7，正方形ABCD的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH，则线段GH的长为（）14B.22C.D.10-525510.如图△8，在PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°11.如图9，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A．3B．5C．6D．712.如图△10，Rt ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°二、填空题：（每题4分，满分20分）13.如图△11，ABC是等边三角形，E,F分别是BC,CA上的点，且BE=CF.连接AE,BF,交于点H,.则∠AHF 的度数为.AD14.在三角形ABC中，AB=AC，且∠B=40°，则∠A的度数为.15.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图11所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图12所示），则该凸六边形的周长是cm．16.如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是．17.如图14，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是度．三、解答题（共7小题，满分52分）18.（满分5分）如图15所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．19.（满分5分）已知：如图△16，锐角ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．20.（满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，点D是腰AC的中点，延长BC到点E，使得CE=CD，延长BA到点F 使得AF=AD，若三角形ABC的一个角为40°，求∠EDF的度数.21.（满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点.（1）连接EF，求证：EF∥BC；（2）连接AD，线段AD和EF有怎样的关系？证明你的猜想.22.（满分8分）如图19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）三角形BCE的面积．23.（满分9分）已知：如图△20，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．24.（满分9分）已知△ABN和△ACM位置如图21所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．参考答案：三角形的证明单元测试题（二）一、选择题：1.D．2.C．3.C．4. D.5.B6.D．7.D．8.B．9. B.10.D．11.B．12.D．二、填空题：（每题5分，满分25分）13.60°14.100°15.322+1616.3．17.60°三、解答题（共7小题，满分52分）18.证明：（1）如图所示，连结AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以∠AEP=∠AFP=90°,又因为AE=AF，AP=AP，所以Rt△AEP≌Rt△AFP，所以PE=PF.（2）因为Rt△AEP≌Rt△AFP，所以∠EAP=∠FAP，所以AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上.19.解：（1）证明：因为OB=OC，所以∠OBC=∠OCB．因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°又因为BC=CB，所以△BDC≌△CEB（AAS），所以∠DBC=∠ECB，所以AB=AC，所以△ABC是等腰三角形(2)点O是在∠BAC的角平分线上．如图，连结AO.因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°，因为OB=OC，∠BOD=∠COE,所以△BOD≌△COE（AAS），所以OD=OE．因为AO=AO，所以△ADO≌△AEO（HL），所以∠DAO=∠EAO，所以点O是在∠BAC的角平分线上．所以2∠ABC=180°-∠BAC,所以∠ABC=90°-120.解：因为AF=AD，所以∠F=∠ADF，因为∠BAC是三角形ADF的一个外角，所以∠BAC=∠F+∠ADF，所以∠BAC=2∠ADF，所以∠ADF=12∠BAC；因为CD=CE，所以∠E=∠CDE，因为∠BCA是三角形CDE的一个外角，所以∠BCA=∠E+∠CDE，所以∠BCA=2∠CDE，所以∠CDE=111∠BCA；所以∠EDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-∠BAC-∠BCA，22211当∠BAC=40°时，因为AB=AC，所以∠BCA=70°，所以∠EDF=180°-∠BAC-∠BCA=125°；2211当∠BCA=40°时，因为AB=AC，所以∠BAC=100°，所以∠EDF=180°-∠BAC-∠BCA=110°；22所以∠EDF的度数为110°或125°.21.解：（1）因为AB=AC，，E,F分别是边AB,AC的中点，所以AE=AF，因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，1∠BAC，同理可证，∠AEF=90°-∠BAC，22所以∠ABC=∠AEF，所以EF∥BC；（2）线段AD和EF的关系是：AD⊥EF，且AD平分EF.理由：因为AB=AC,BD=DC，所以AD⊥BC，因为EF∥BC，所以AD⊥EF，因为AE=AF，所以GE=GF，所以AD⊥EF，且AD平分EF.22.解：（1）因为AD=2CD，AC=3，所以AD=2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，所以∠A=∠B=45°，AB=AC2+BC2=32+32=32，因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，所以AE=DE，所以AD2=DE2+AE2,所以22=2A E2,所以AE=2,所以BE=AB﹣AE=32-2=22，即线段BE的长为22；（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示：因为∠B=45°，∠EHB=90°，所以∠B EH=45°，所以∠B=∠B EH，所以EH=HB，所以BE2=EH2+BH2,所以(22)2=2E H2,所以EH=2,所以三角形BCE的面积为：11⨯BC⨯EH=⨯3⨯2=3.22在△ABD和△CAE中，因为⎨∠CEA=∠ADB,所以△ABD≌△CAE（AAS）；⎪AC=AB在△A DE和△ECA中，因为⎨∠CEA=∠DAE,所以A≌△D E ECA，所以DE=AC，因为AB=AC，所以DE=AB；⎪CE=AD23.证明：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACD，因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC，因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°⎧∠EAC=∠B⎪⎩（2）AB=DE且AB∥DE.理由如下：连接DE，因为AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°，由（△1）知：ABD≌△CAE，所以AD=CE，⎧AE=AE⎪⎩因为A△D E≌ECA，所以∠ADE=∠AC E，所以∠EDC=∠AC B，所以∠EDC=∠B，所以AB∥DE，所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.24.-11-（1）证明：在△ABD 和△ACE 中， ⎨∠1 = ∠2 所以△ ABD≌△ACE（SAS ）所以 BD=CE ； ⎪ A D = AE 在△ACM 和△ABN 中， ⎨ AB = AC 所以△ ACM≌△ABN（ASA ），⎪∠CAM = ∠BAN⎧ A B = AC ⎪ ⎩（2）证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，所以∠BAN=∠CAM，由（△1）得： ABD≌△ACE，所以∠B=∠C，⎧∠B = ∠C ⎪ ⎩ 所以∠M=∠N．- 12 -。
精品试卷鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明同步测评试卷(无超纲)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明同步测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠2、如图，若AB ＝AC ，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）A ．∠B ＝∠C B ．AE ＝AD C ．BE ＝CD D ．∠AEB ＝ADC3、下列命题是假命题得是（ ）A ．对顶角相等B．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等C．同位角相等D．等腰三角形两腰上的高线相等4、如图，在△ABC和△ADE中，∠CAB＝∠DAE＝36°，AB＝AC，AD＝AE．连接CD，连接BE并延长交AC，AD于点F，G．若BE恰好平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．∠ADC＝∠AEB B．CD AB∥C．DE＝GE D．CD＝BE5、如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（）A．7 B．8 C．9 D．106、△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（）A ．AD ＝BDB ．∠BDC ＝72° C ．S △ABD ：S △BCD ＝BC ：AC D ．△BCD 的周长＝AB +BC7、在ABC 中，AB AC ≠，线段AD ，AE ，AF 分别是ABC 的高，中线，角平分线，则点D ，E ，F 的位置关系为（ ）A ．点D 总在点E ，F 之间B ．点E 总在点D ，F 之间C ．点F 总在点D ，E 之间 D ．三者的位置关系不确定8、如图，在△ABC 中，ED ∥BC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线分别交ED 于点F 、G ，若FG =2，ED =6，则DB +EC 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．99、如图，BD 平分ABC ∠，BC DE ⊥于点E ，7AB =，4DE =，则ABD S ∆=（ ）A ．28B ．21C ．14D ．710、下列命题是假命题的是（ ）A ．若0a <，则11a a +<-B ．若0a =，0b =，则0ab =C ．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点D ．等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在△ABC中，BC＝8，AC的中垂线交BC于点E，则△ADE的周长等于_____．2、在等腰△ABC中，AB＝AC，AD、BE分别是BC、AC上的高，∠ABE＝50°，则∠EBC＝___度；3、已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为_____．4、如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC＋∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝_______．5、如图，AD 是ABC 的角平分线，若ABC 的面积是48，且AC ＝16，AB ＝8，则点D 到AB 的距离是______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，一张长方形纸片ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AD ＞AB ．(1)将矩形纸片ABCD 折叠，使得点A 与点C 重合，折痕交AD 于点M ，交BC 于点N ，请在图①中尺规作出折痕MN （不写作法，保留作图痕迹）；(2)将矩形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使点D 落到BC 边上的点P 处，折痕AE 交DC 于点E ．请用尺规在图②中作出点P 和折痕AE （不写作法，保留作图痕迹）；(3)在（2）的条件下，若AD ＝BC ＝5，AB ＝CD ＝4，求ED 的长．2、已知：如图，在△ABC 中，45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，BE AC ⊥，CD 与BE 相交于点F ．(1)求证：ACD FBD ≌△△；(2)若AB =3BC =，求线段BF 的长．3、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，点B 关于直线CD 的对称点为E ，射线AE 与射线CD 交于点F ．（1）连接CE ，求证：∠CAE ＝∠CEA（2）当BD ＜AD 时，求∠AFC 的大小；（3）若AD ＝AC ，试猜想AE 与CD 的数量关系，并证明．4、如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E ，F 分别是直线CD 上的两点，且BEC CFA α∠=∠=.(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且点E ，F 在射线CD 上（点E 靠近点C ）；①如图1，若90BCA ∠=︒，90α=︒，则BE ________CF ；（填“>”“<”或“=”）②如图2，若090BCA ︒<∠<︒，请添加一个关于α与BCA ∠数量关系的条件，使①中的结论仍然成立，并说明理由；(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α=∠，请提出关于EF ，BE ，AF 这三条线段的数量关系的合理猜想，并说明理由.5、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】解：由题意知，ABC DCB ∠=∠，BC=CB ，当AB DC =时，可依据SAS 证明△ABC ≌△DCB ，故选项A 不符合题意；当AC DB =时，不可证明△ABC ≌△DCB ，故选项B 符合题意；当A D ∠=∠时，可依据AAS 证明△ABC ≌△DCB ，故选项C 不符合题意；当ACB DBC ∠=∠时，可依据ASA 证明△ABC ≌△DCB ，故选项D 不符合题意；故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．2、C【解析】【分析】根据ASA 即可判断A ；根据SAS 即可判断B ；根据SSA 两三角形不一定全等即可判断C ；根据AAS 即可判断D ．【详解】解：A 、根据(ASA A A ∠=∠，C B ∠=∠，)AB AC =能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； B 、根据(SAS A A ∠=∠，AB AC =，)AE AD =能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； C 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；D 、根据(AAS A A ∠=∠，AB AC =，)AEB ADC ∠=∠能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法只有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，共4种，主要培养学生的辨析能力．3、C【解析】【分析】根据对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性逐项分析判断即可．【详解】解：A. 对顶角相等，故该选项是真命题，不符合题意；B. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意；C. 两直线平行，同位角相等，故该选项是假命题，符合题意；D. 等腰三角形两腰上的高线相等，故该选项是真命题，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了判断真假命题，掌握对顶角相等，垂直平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的对称性是解题的关键．4、C【解析】【分析】由题意知BAE CAD ∠=∠，可得ABE ACD △≌△，有ADC AEB ACD ABE BE CD ∠=∠∠=∠=，，，根据角度的数量关系可证明CD AB ∥，进而得出结果．【详解】解：∵CAB DAE ∠=∠，BAE CAB CAE ∠=∠-∠，CAD DAE CAE ∠=∠-∠∴BAE CAD ∠=∠在ABE △和ACD △中AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ABE ACD SAS ≌∴ADC AEB ACD ABE BE CD ∠=∠∠=∠=，，故A 、D 正确；∵36CAB DAE ∠=∠=︒ ∴18036722ABC ︒-︒==︒∠ ∴1362ABE ABC ACD CAB ∠=∠=︒=∠=∠ ∵180CAB ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴180ACD ABC ACB ∠+∠+∠=︒∴CD AB ∥故B 正确；∴选项C 错误故选：C ．【点睛】本题考查了三角形全等，等腰三角形的性质，平行的判定等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用．单选可用排除法做题．5、A【解析】【分析】作E 点关于CD 的对称点E '，过E '作E 'F ⊥AB 交于点F ，交CD 于点P ，连接PE ，此时EP +FP 的值最小，由题意可得∠FE 'B =30°，则BE '=2BF ，再由BF =5，BE =4，可得10=2CE +4，解得CE =3，可求BC =7．【详解】解：作E 点关于CD 的对称点E '，过E '作E 'F ⊥AB 交于点F ，交CD 于点P ，连接PE ，∴PE=PE'，∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B=30°，∴BE'=2BF，∵BF=5，BE=4，∴E'B=10，∵CE=CE'，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=7，故选：A．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．6、C【解析】【分析】根据作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可．【详解】解：∵等腰ABC 中，AB AC =，36A ∠=︒，∴72ABC ACB ∠=∠=︒，由作图痕迹发现BD 平分ABC ∠，∴36A ABD DBC ∠=∠=∠=︒，∴AD BD =，72BDC BCD ∠=∠=︒，故A 、B 正确；∵72BDC BCD ∠=∠=︒，∴BC BD AD ==，结合图形可得：ABD 与BCD 的高相同，∴:::ABD BCDS S AD CD BC CD ==，故C 错误； BCD 的周长为：BC CD BD BC AC BC AB ++=+=+，故D 正确；故选：C ．【点睛】本同题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键．7、C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD >∠CAF >∠CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，∵∠CAH +∠BAE =∠BAC∴∠BAC >2∠CAH∵AF 平分∠BAC ∴12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ ∴12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ ∵AB <AC∴∠B >∠ACB∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC∴1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠∴∠CAF<90°−∠ACB∵AD⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠DFB =∠FBC ，∠EGC =∠GCB ，∵FB 是∠ABC 的平分线，CG 是∠ACB 的平分线，∴∠DBF =∠FBC ，∠ECG =∠GCB ，∴∠DFB =∠DBF ，∠ECG =∠EGC ，∴BD =DF ，CE =GE ，∵FG =2，ED =6，∴DB +EC =DF +GE =ED -FG =6-2=4，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．9、C【解析】【分析】作DH BA ⊥于H ，由角平分线的性质得到4DH DE ==，结合三角形面积公式解题．【详解】解：作DH BA ⊥于H ，BD 平分ABC ∠，BC DE ⊥，DH AB ⊥，4DH DE ∴==，Δ174142ABD S ∴=⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10、C【解析】【分析】根据不等式的性质可判定A 选项，根据有理数乘法运算可判定B 选项，根据重心的定义可判定C 选项，根据等腰三角形三线合一的性质可判定D 选项．【详解】解：A .由a ＜0，则-a ＞0，即a ＜-a ，再根据不等式的性质即可判定A 选项是真命题；B .根据两个有理数相乘，若一个为0，则积为零，可判定B 选项是真命题；C . 三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，可判定C 选项是假命题；D .根据等腰三角形“三线合一”的性质可判定D 选项是真命题．故答案为C ．【点睛】本题主要考查了不等式的性质、有理数的除法运算、重心的定义、等腰三角形的性质以及命题真假的判定，灵活应用所学知识成为解答本题的关键．二、填空题1、8【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可．【详解】解：∵AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∴DA=DB，EA=EC，则△ADE的周长=AD+DE+AE=BD+DE+EC=BC=8，故答案为8．【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．2、20【解析】【分析】先由直角三角形的两锐角互余求得∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC，即可求得∠EB C．【详解】解：∵BE分别是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABE=50°，∴∠BAC=90°-∠ABE=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC=∠ACB=1（180°-∠BAC）=70°，2∴∠EBC =∠ABC -∠ABE =70°-50°=20°，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解决问题的关键．3、60°或150°【解析】【分析】如图1，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到20︒∠=∠=C B ，140BAC ∠=︒，由等腰三角形的性质得到18020802BAP ︒-︒∠==︒，于是求得60PAC ∠=︒，如图2，同理求得1102P PAB ABC ∠=∠=∠=︒，于是求得150PAC ∠=︒．【详解】解：如图1，AB AC =，20ABC ∠=︒，20C B ∴∠=∠=︒，140BAC ∴∠=︒，BP AB =，18020802BAP ︒-︒∴∠==︒， 60PAC ∴∠=︒，如图2，AB AC =，20ABC ∠=︒，20C B ∴∠=∠=︒，140BAC ∴∠=︒，BP AB =，1102P PAB ABC ∴∠=∠=∠=︒， 150PAC ∴∠=︒．综上所述：PAC ∠的度数为60︒或150︒，故答案为：60︒或150︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，解题的关键是正确的画出图形．4、72##3.5 【解析】【分析】 过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，证明Rt DFA Rt DEC ≌，可得EC AF =，证明Rt BFD ≌Rt BED ，可得BE BF =，根据125EC EC -=+即可求得EC ．【详解】 解：过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，如图，DE ⊥BC90DEC F ∴∠=∠=︒ BD 平分∠ABC ， DE DF ∴= 又AD ＝CD ，Rt DFA Rt DEC ∴≌()HL EC AF ∴=, 在Rt BFD 和Rt BED 中 BD BD DF DE =⎧⎨=⎩ ∴Rt BFD ≌Rt BED ()HL ∴BE BF = 5,12AB BC ==12,5BE BC EC EC BF AB AF AF ∴=-=-=+=+125EC EC ∴-=+ 解得72EC = 故答案为：72【点睛】本题考查了角平分线的性质，HL 证明三角形全等，以及全等的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．5、4【解析】【分析】过D 点作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，如图，根据角平分线的性质得到ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=，再利用三角形面积公式得到118164822DE DE ⨯⨯+⨯⨯=，然后求出DE 即可．【详解】解：过D 点作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DE DF ∴=，ABD ACD ABC S S S ∆∆∆+=， ∴114822AB DE AC DF ⋅+⋅=，即118164822DE DE ⨯⨯+⨯⨯=，4DE ∴=， 即点D 到AB 的距离为4．故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形面积．三、解答题1、 (1)见解析；(2)见解析；(3)2.5【解析】【分析】（1）根据折叠性质，折痕MN 垂直平分AC ，故连接AC ，作AC 的垂直平分线即可；（2）根据折叠性质，AD =AP ，∠DAE =∠PAE ，故以A 为圆心，AD 为半径画弧交BC 于点P ，作∠DAP 的角平分线交CD 于E ，直线AE 即为所求；（3）利用勾股定理求得PB ，设ED =EP =x ，在Rt △ECP 中，利用勾股定理构建方程求解即可．(1)解：如图，折痕MN 即为所求；(2)解：如图②，点P和直线AE即为所求；(3)解：在图②中，连接PE，由折叠性质得：ED=EP，由题意知：∠B=∠C=90°，∵AD＝BC＝5，AB＝CD＝4，∴在Rt△ABP中，AP=AD＝5，AB＝4，由勾股定理得：2222543BP AP AB，∴PC=BC－BP=5－3=2，设ED=EP=x，则CE=CD－DE=4－x，在Rt△EPC中，由勾股定理得：222PC CE PE+=，∴22224（-）x x，解得：52x=，∴ED= 52．【点睛】本题考查折叠性质、尺规作图-作线段垂直平分线、尺规作图-作角平分线、尺规作图-作线段、勾股定理、解一元一次方程，熟练掌握折叠性质和勾股定理，正确作出对应图形是解答的关键．2、 (1)见解析【解析】【分析】（1）由“ASA ”可证ACD FBD ∆≅∆；（2）由全等三角形的性质可得AD DF = (1)解：证明：45ABC ∠=︒，CD AB ⊥，BE AC ⊥， 45ABC DCB ∴∠=∠=︒，90ADC AEB ∠=∠=︒，BD CD ∴=，90A ACD A ABE ∠+∠=∠+∠=︒，ACD ABE ∴∠=∠，在ACD ∆和FBD ∆中，90ACD ABE CD BD ADC BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ()ACD FBD ASA ∴∆≅∆；(2)解：BD CD =，90BDC ∠=︒，3BC =，BD CD ∴=2AB =，2AD ∴=ACD FBD ∆≅∆，AD DF∴=BF∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等．3、（1）见解析；（2）45°；（3）AE＝CD，证明见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，得CGB CGE∠=∠，GB GE=，根据全等三角形的性质，通过证明CGB CGE△≌△，推导得AC＝EC，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；（2）设∠BCD＝α，结合题意，得902ACEα∠︒-＝；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；（3）连接BF，根据题意，得AD＝BC，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF≌△CBF，得AF＝CF，DF＝BF＝EF，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点B关于直线CD的对称点为E∴CD垂直平分BE，∴CGB CGE∠=∠，GB GE=在CGB△和CGE中CG CGCGB CGEGB GE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CGB CGE△≌△∴BC EC=，∠BCD＝∠ECD又∵AC＝BC∴AC＝EC∴∠CAE＝∠CEA；（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α∵∠ACB＝90°∴902ACEα∠︒-＝∴∠CAE＝∠CEA＝()1809022α︒-︒-=45°+α∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；（3）连接BF∵AC＝AD，AC＝BC∴AD＝BC∵CD垂直平分BE，∴FE＝FB∴∠AFD＝∠BFD由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ，∠CAB＝45°∴∠BCD＝∠FAD＝α在△ADF 和△CBF 中AFD BFD BCD FAD AD BC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△CBF∴AF ＝CF ，DF ＝BF ＝EF∴AF -EF ＝CF-DF ，即AE ＝CD ．【点睛】本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．4、 (1)①=，②180BCA α+∠=︒，见解析(2)EF BE AF =+，见解析【解析】【分析】（1）①证明△BCE ≌△CAF 即可得到BE =CF ；②添加180BCA α+∠=︒，和（1）类似，证明△BCE ≌△CAF 即可得到BE =CF ；（2）根据AAS 证明BCE CAF ≌△△得BE CF =，CE AF =，从而可得结论．(1)∵90BEC CFA α∠=∠==︒，∴90BCE CBE ∠+∠=︒.又∵90BCA BCE ACF ∠=∠+∠=︒，∴CBE ACF ∠=∠.在BCE 和CAF 中，BEC CFA CBE ACF CB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BCE CAF AAS ≌，∴BE CF =.故答案为：=②180BCA α+∠=︒.理由如下：∵BEC CFA α∠=∠=，∴180180BEF BEC α∠=︒-∠=︒-.又∵BEF CBE BCE ∠=∠+∠，∴180CBE BCE α∠+∠=︒-.又∵180BCA α+∠=︒，∴180BCA CBE BCE α∠=︒-=∠+∠.又∵BCA BCE ACF ∠=∠+∠，∴CBE ACF ∠=∠.在BCE 和CAF 中，CBE ACF BEC CFA CB CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BCE CAF AAS ≌，∴BE CF =.(2)EF BE AF =+.理由如下：∵BCA α∠=，∴180180BCE ACF BCA α∠+∠=︒-∠=︒-.又∵BEC α∠=，∴180180CBE BCE BEC α∠+∠=︒-∠=︒-.∴CBE ACF ∠=∠.在BCE 和CAF 中，CBE ACF BEC CFA CB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴()BCE CAF AAS ≌，∴BE CF =，CE AF =，∴EF CE CF AF BE =+=+，即EF BE AF =+.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．5、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴ 11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．。
鲁教版(五四制) 七年级下册数学第十章三角形的有关证明 单元测试题
鲁教版七年级下册数学三角形的有关证明单元测试题（含答案）一、选择题（共20小题；共80分）1. 等腰三角形的一条边长为，另一边长为，则它的周长为A. B. 或 C. D.2. 下列命题的逆命题是假命题的是A. 两直线平行，同旁内角互补B. 直角三角形的两个锐角互余C. 全等三角形的对应角相等D. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方3. 如图，四边形中，垂直平分，垂足为，下列结论不一定成立的是A. B. 平分C. D.4. 如图，在中，，平分，，，那么点到的距离是A. B. C. D.5. 已知、、是三角形的三边长，如果满足，则三角形的形状是A. 底与边不相等的等腰三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形6. 如图，在与中，已有条件，还需要添加两个条件才能使．不能添加的一组条件是A. ，B. ，C. ，D. ，7. 如图，，，则不一定能使的条件是A. B. C. D.8. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，，则A. B. C. D.9. 如图，在中，，，边的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为A. B. C. D.10. 如图，等腰的周长为，底边，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为A. B. C. D.11. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明的依据是A.B.C.D. 角平分线上的点到角两边距离相等12. 如图，在中，，，，则的长是A. B. C. D.13. 如图，在中，，，，那么等于A. B. C. D.14. 如图，在中，，垂直平分斜边，交于，是垂足，连接，若，则的长是A. B. C. D.15. 如图是的角平分线，，垂足为，交的延长线于点，若恰好平分，．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论共有个A. B. C. D.16. 如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是A. B. C. D.17. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是A. B. C. D.18. 如图，在，，，的中垂线交于，为垂足，若，则等于A.19. 如图，坐标平面内一点，为原点，是轴上的一个动点，如果以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点的个数为A. B. C. D.20. 如图，在不等边中，，垂足为，，垂足为，且，在上，，下列结论：①；②；③．其中正确的是A. ①②③B. ①②C. ②③D. ①二、填空题（共5小题；共25分）21. 如图所示，，，请你添加一个适当的条件，使．（只需添加一个即可）22. 如图，中，的垂直平分线交于点．若，则的周长为．23. 如图，已知等边中，，与相交于点，则的度数是度．24. 如图，在中，，平分，则度，图中有个等腰三角形．25. 如图所示，在长方形中，，．将此长方形沿折叠，使点落在点处，且与相交于点，则．三、解答题（共4小题；共45分）26. 如图，在和中，点，，，在同一直线上，且，，．求证：．27. 有一块形状为四边形的钢板，量得它的各边长度为，，，，．求这块钢板的面积．28. 已知：如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，．求的度数和边的长．29. 如图，是等边三角形，是边上的一点，以为边作等边三角形，使点，在直线的同侧，连接．求证：．答案第一部分1. C2. C3. C4. B5. D【解析】，，，．解得：，，．．是直角三角形．6. D7. A8. C9. C10. A11. A 【解析】由作图可知，．又，（）．．12. D13. C 【解析】设．，，，．，，．，，，即等于．14. A 【解析】因为垂直平分，所以，所以，所以，所以，所以．15. A【解析】过点作交于点．是的角平分线，恰好平分，，．．可证．，，．可证，．，，．16. B17. B18. C 【解析】连接 .是线段的垂直平分线，，，...，．19. C 【解析】如图：①为等腰三角形底边，符合条件的动点有一个；②为等腰三角形一条腰，符合条件的动点有三个．综上所述，符合条件的点的个数共个．20. B第二部分21. 或或等（写出一个即可）．23.24. ，【解析】，，．平分，，．、、是等腰三角形．25.【解析】设的长为，则 .，，，即 .解得 ..第三部分26. ，，即．在与中，（），．，27. 连接，，在中，则，故可得为直角三角形，28. 为的垂直平分线，，（已知），（线段垂直平分线定理），（等边对等角）．（三角形外角定理），（已知）．（直角三角形中角所对直角边等于斜边的一半）29. 和是等边三角形，，，， .，即 .在和中，，.，.．第11页（共11 页）。
2022年最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习试卷(含答案详解)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专项练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E 点，连接AE，∠AEB的度数是（）A．30°B．35°C．45°D．40°2、小明不小心将一块三角形玻璃打碎成了3块不规则的玻璃块（如图所示），为了去玻璃店配一块与原玻璃形状、大小都一样的玻璃，小明应该带玻璃块（）A．①B．②C．③D．都可以3、下列命题：①等腰三角形是轴对称图形；②到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；③两点之间线段最短；④两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形全等．其中假命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4、下列命题为真命题的是（）A．同位角相等B．三角形的外角等于两个内角的和C．相等的角是对顶角D．全等三角形的对应角相等=，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的5、如图，AE⊥AB且AE AB=，BC⊥CD且BC CD图形的面积是（）A．30 B．32 C．35 D．386、已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（）A．2 B．2或4 C．3或4 D．2或3或4≠，线段AD，AE，AF分别是ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，7、在ABC中，AB ACF的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定8、如图，在△ABC中，ED∥BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点F、G，若FG=2，ED=6，则DB+EC的值为（）A．3 B．4 C．5 D．9∠+∠+∠的大小为（）9、已知三个全等的三角形纸片如图摆放，则123A．90°B．120°C．135°D．180°10、罗同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了下面系列图案，第（1）个图案由2个全等三角形组成，第（2）个图案由4个全等三角形组成，第（3）个图案由7个全等三角形组成，第（4）个图案由12个全等三角形组成，则第（6）个图案中全等三角形的个数为（）A．25 B．38 C．70 D．135第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC 上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）2、如图，在ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB点E，交BC于点F，若BF＝2，则BC的长为_____．3、在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使△ACD为等腰三角形．下列作法正确的有 ____个．4、如图，小虎用10块高度都是3cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为_____cm．5、如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC＋∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D 作DE ⊥BC 于E ，若AB ＝5，BC ＝12，则CE ＝_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AH ⊥BC ，BC ＝6，D 为直线BC 上一动点（不与点B 、点C 重合），向AB 的右侧作△ADE ，使得AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ．(1)当点D 在线段BC 上时，求证：△BAD ≌△CAE ；(2)在（1）的条件下，当AC ⊥DE 时，求BD 的长；(3)当CE ∥AB 时，若△ABD 中有最小的内角为23°，试求∠AEC 的度数．（直接写结果，无需写出求解过程）2、如图，AB BC CD DA ===，60A ∠=︒，点E ，F 分别为线段AD ，CD 上的动点，且60EBF ∠=︒．(1)当BE AD⊥时，求证：12AE AD=；(2)连接EF，判断BEF的形状，并作证明；(3)当AB的长度为定值时，四边形BEDF的面积是否为定值？请说明理由．3、如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：BD=CE．(2)求证：AP平分∠BPE．(3)若α=60°，试探寻线段PE、AP、PD之间的数量关系，并说明理由．4、如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作EF AB⊥于E，交BC边延长线于F，若2AE=，求BF的长．5、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】作EF AC ⊥交CA 的延长线于F ，EG AB ⊥于G ，EH BC ⊥交CB 的延长线于H ，先根据角平分线的性质可得EF EH =，EG EH ＝，从而可得EF EG =，再根据角平分线的判定可得AE 平分FAG ∠，然后根据角平分线的定义分别可得EBA ∠和EAB ∠的度数，最后根据三角形的内角和定理即可得．【详解】解：如图，作EF AC ⊥交CA 的延长线于F ，EG AB ⊥于G ，EH BC ⊥交CB 的延长线于H ，∵90,30ACB BAC ∠=︒∠=︒，∴18030150,9030120FAG ABD ∠=︒-︒=︒∠=︒+︒=︒，∵CE 平分ACB ∠，BE 平分ABD ∠，∴EF EH =，EG EH ＝，1602EBA ABD ∠=∠=︒， ∴EF EG =，又,EF AC EG AB ⊥⊥，∴AE 平分FAG ∠，1752EAB FAG ∴∠=∠=︒， 18045AEB EBA EAB ∴∠=︒-∠-∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握角平分线的性质是解题关键．2、C【解析】【分析】 带去的玻璃应该有原玻璃上完整的几个角或几个边，这样可以利用这些角或边去配出与原三角形玻璃全等的新玻璃．【详解】①中只有原三角玻璃的一个完整的角，无法判定三角形全等，②中没有原三角形玻璃完整的角或边也无法判定三角形全等，③中有原三角形玻璃完整的两个角和一条边，可以利用角边角判定全等，故可以带③去，故选：C．【点睛】本题考查三角形全等判定的实际应用，熟悉三角形全等的判定定理是解决本题的关键．3、A【解析】【分析】根据轴对称的定义和等腰三角形的性质，可判断①；根据线段垂直平分线的性质，可判断②；根据两点之间线段最短是一个公理，可判断③；根据三角形全等的判定条件，可判断④，由此即可选择．【详解】等腰三角形是轴对称图形，故①是真命题；到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故②是真命题；两点之间线段最短，故③是真命题；两边分别相等且其中一边的对角也相等的两个三角形不一定全等，故④为假命题．故选A．【点睛】本题考查判断命题真假．掌握正确的命题就是真命题，错误的命题就是假命题是解答本题的关键．4、D【解析】【分析】由平行线的性质可判断A，由三角形的外角的性质可判断B，由对顶角的定义可判断C，由全等三角形的性质可判断D，从而可得答案.【详解】解：两直线平行，同位角相等，故A不符合题意；三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，故B不符合题意；相等的角不一定是对顶角，故C不符合题意；全等三角形的对应角相等，是真命题，故D符合题意；故选D【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，对顶角的定义，全等三角形的性质，命题真假的判断，掌握“判断真假命题的方法”是解本题的关键.5、B【解析】【分析】根据角的和差关系可得∠AEF=∠BAG，利用AAS可证明△AEF≌△BAG，可得AF=BG，EF=AG，同理可证明△CDH≌△BCG，可得CH=BG，CG=DH，即可得出FH、AC的长，根据实线所围成的图形的面积=S梯形EFHD-2S△ABC，利用梯形和三角形面积公式即可得答案．【详解】∵AE⊥AB，EF⊥FH，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠EAF=90°，∴∠AEF=∠BAG，在△AEF 和△BAG 中，90EFA AGB AEF BAG AE AB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AEF ≌△BAG ，∴AF =BG =2，EF =AG =5，同理可得：△CDH ≌△BCG ，∴CH =BG =2，CG =DH =3，∴FH =AF +AG +CG +CH =12，AC =AG +CG =8，∴实线所围成的图形的面积=S 梯形EFHD -2S △ABC =11(35)1228222⨯+⨯-⨯⨯⨯=32． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形判定定理是解题的关键．6、B【解析】【分析】利用图象法分三种情形：当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时；当60POB ∠=︒时；当90POB ∠=︒时；根据等腰三角形的判定及性质作出相应图形求解即可．【详解】解：如图1中，当90POB ∠≠︒且60POB ∠≠︒时，满足条件的点M 有4个；如图2中，当60POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个，此时点2M ，3M ，4M 三个点重合；如图3中，当90POB ∠=︒时，满足条件的点M 有2个．故选：B ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想，熟练掌握等腰三角形的判定和性质及分类讨论思想是解题关键．7、C【解析】【分析】延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，证明AEB HEC ∆≅∆，根据全等三角形的性质得到AB CH =，BAE H ∠=∠，根据三角形的高、中线、角平分线的定义可得∠CAD >∠CAF >∠CAH ，即可完成解答．【详解】假设AB AC <，如图所示，延长AE 至点H ，使EH AE =，连接CH ，在AEB ∆和HEC ∆中，AE HE AEB HEC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AEB HEC SAS ∴∆≅∆，AB CH ∴=，BAE H ∠=∠，AB AC <，CH AC ∴<，CAH H ∴∠<∠，CAH BAE ∴∠<∠，∵∠CAH +∠BAE =∠BAC∴∠BAC >2∠CAH∵AF 平分∠BAC ∴12BAE CAF BAC ∠=∠=∠ ∴12CAH BAC CAF ∠<∠=∠ ∵AB <AC∴∠B>∠ACB∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°∴∠B+∠ACB+∠BAC=180°>2∠ACB+∠BAC∴1<90902ACB BAC CAF ∠︒-∠=︒-∠∴∠CAF<90°−∠ACB∵AD⊥BC∴∠CAD=90°−∠ACB>∠CAF即∠CAD>∠CAF>∠CAH∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8、B【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定证得EG=EB，DF=DC即可求得结果．【详解】解：∵ED∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EGC=∠GCB，∵FB是∠ABC的平分线，CG是∠ACB的平分线，∴∠DBF=∠FBC，∠ECG=∠GCB，∴∠DFB=∠DBF，∠ECG=∠EGC，∴BD=DF，CE=GE，∵FG=2，ED=6，∴DB+EC=DF+GE=ED-FG=6-2=4，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明．9、D【解析】【分析】直接利用平角的定义结合三角形内角和定理以及全等三角形的性质得出∠4+∠9+∠6=180°，∠5+∠7+∠8=180°，进而得出答案．【详解】解：如图所示：由图形可得：∠1+∠4+∠5+∠8+∠6+∠2+∠3+∠9+∠7=540°，∵三个全等三角形，∴∠4+∠9+∠6=180°，又∵∠5+∠7+∠8=180°，∴∠1+∠2+∠3+180°+180°=540°，∴∠1+∠2+∠3的度数是180°.故选D.【点睛】此题主要考查了全等三角形的性质以及三角形内角和定理，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．10、B【解析】【分析】仔细观察图形，发现第n个图形有1+个三角形，根据规律求解即可．2nn-【详解】解：观察发现：第一个图形有112+=个全等三角形；第二个图形有224+=个全等三角形；第三个图形有2327+=个全等三角形；第四个图形有34212+=个全等三角形；⋯第n 个图形有12n n -+个全等三角形；当6n =时，1526238n n -+=+=（个)．故选：B ．【点睛】本题考查了全等的定义，图形类规律题，正确找到规律是解题的关键．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，按照什么规律变化的．二、填空题1、①②④【解析】【分析】由“筝形”的性质可得AB =BC ，AD =CD ，可证△ABC 是等边三角形，故①正确；由“SSS ”可证△ABD ≌△CBD ，可得∠ABD =∠CBD =30°，∠ADB =∠BDC =60°，由直角三角形的性质可得BD =2AD ，故②正确；由面积关系可求S 四边形ABCD =12×AC ×BD ，故③错误；延长BC 到E ，使CE =AM ，连接DE ，由“SAS ”可证△MDN ≌△EDN ，可得MN =EN ，由线段和差关系可得MN =AM +CN ，故④正确，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是“筝形”四边形，∴AB =BC ，AD =CD ，∵∠ABC =60°，∴△ABC是等边三角形，故①正确；∴∠BAC=∠BCA=60°，∵AD=CD，∠ADC=120°，∴∠DAC=∠DCA=30°，∴∠DAB=90°，∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD（SSS），∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，∴BD=2AD，故②正确；∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，∴AC⊥BD，∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，∴S四边形ABCD=12×AC×OD+12×AC×OB=12×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：∵∠DAB=∠DCB=90°，∴∠DAB=∠DCE=90°，又∵AM =CE ，AD =CD ，∴△ADM ≌△CDE （SAS ），∴∠ADM =∠CDE ，DM =DE ，∵∠ADC =120°，∵∠MDN =60°，∴∠ADM +∠CDN =∠ADC -∠MDN =60°，∴∠CDE +∠CDN =∠EDN =60°，∴∠EDN =∠MDN ，又∵DN =DN ，∴△MDN ≌△EDN （SAS ），∴MN =EN ，∵EN =CE +CN =AM +CN ，∴AM +CN =MN ，故④正确；故答案为：①②④．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．2、6【解析】【分析】如图，连接,AF 求解30,B C 证明90,2,FAC AF 再利用含30的直角三角形的性质可得答案.【详解】AF解：如图，连接,AB＝AC，∠BAC＝120°，B C∴∠=∠=︒30,EF是AB的垂直平分线，BF＝2，FB FA FAB B2,30,FAC BAC BAF90,CF AF24,BC BF CF24 6.故答案为：6【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，含30的直角三角形的性质，熟悉等腰三角形与含30的直角三角形的性质是解本题的关键.3、3【解析】【分析】根据等腰三角形的定义一一判断即可．【详解】解：第一图：由作图可知CA=CD，△ADC是等腰三角形，故正确；第二图：由作图可知AD是△ABC的角平分线，推不出△ADC是等腰三角形，故错误；第三图：由作图可知BA=BD，又∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠B =60°，AB =12BC ， ∴△ABD 是等边三角形，∴BD =CD =AD ，∴△ADC 是等腰三角形，故正确；第四图：由作图可知DA =CD ，△ADC 是等腰三角形，故正确．故答案为：3．【点睛】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的判定，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．4、30【解析】【分析】根据题意可得AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，进而得到∠ADC =∠CEB =90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE =∠DAC ，再证明△ADC ≌△CEB 即可，利用全等三角形的性质进行解答．【详解】解：由题意得：AC =BC ，∠ACB =90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，∴∠ADC =∠CEB =90°，∴∠ACD +∠BCE =90°，∠ACD +∠DAC =90°，∴∠BCE =∠DAC ，在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD =EC =9cm ，DC =BE =21cm ，∴DE =DC +CE =30（cm ），答：两堵木墙之间的距离为30cm ．故答案为：30．【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件．5、72##3.5 【解析】【分析】过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，证明Rt DFA Rt DEC ≌，可得EC AF =，证明Rt BFD ≌Rt BED ，可得BE BF =，根据125EC EC -=+即可求得EC ．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，如图，DE ⊥BC90DEC F ∴∠=∠=︒BD 平分∠ABC ，DE DF ∴=又AD ＝CD ，Rt DFA Rt DEC ∴≌()HLEC AF ∴=,在Rt BFD 和Rt BED 中BD BD DF DE =⎧⎨=⎩∴Rt BFD ≌Rt BED ()HL∴BE BF =5,12AB BC ==12,5BE BC EC EC BF AB AF AF ∴=-=-=+=+125EC EC ∴-=+ 解得72EC = 故答案为：72【点睛】本题考查了角平分线的性质，HL 证明三角形全等，以及全等的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)3(3)97°或37°或23°【解析】【分析】（1 ）根据SAS 即可证明△BAD ≌△CAE ；（2 ）利用等腰三角形的三线合一可得出BD ＝CD ，则可得出答案；（3 ）分D 在线段BC 上、当点D 在CB 的延长线上、点D 在BC 的延长线上三种情形根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．(1)证明：①如图1，∵∠DAE ＝∠BAC ，∴∠BAD ＝∠CAE ，在△BAD 和△CAE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BAD ≌△CAE （SAS ）；(2)解：如图2，∵AE＝AD，AC⊥DE，∴∠DAC＝∠EAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠BAD＝∠EAC，∴∠DAC＝∠BAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC∵BC＝6，BC＝3；∴BD＝12(3)如图1，当D在线段BC上时，∵CE//AB，∴∠ACE＝∠BAC，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC，∴∠ABD＝∠BAC，又∠ABC＝∠ACB，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣60°﹣23°＝97°；如图3，当点D在CB的延长线上时，同理可得，∠ABC＝60°，∴∠AEC＝∠ADB＝60°﹣23°=37°；如图4，当点D在BC的延长线上时，只能∠ADB＝23°，∵△BAD≌△CAE，∴∠AEC＝∠ADB=23°．∴∠AEC 的度数为97°或37°或23°．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题．2、 (1)见解析(2)等边三角形，见解析(3)是定值，见解析【解析】【分析】（1）连接BD ，可证ABD △是等边三角形，再由等边三角形的三线合一即可得证；（2）由ABD △是等边三角形，可得FBD ABE ∠=∠，由BCD △是等边三角形，可得60BDC ∠=︒．由ASA 可证得ABE △和DBF 全等，从而BE BF =，即可证明BEF 是等边三角形；（3）由ABE DBF △△≌，可得面积相等，故ABDBEDF S S =四边形，当AB 的长度为定值时，ABD △的面积为定值，四边形BEDF 的面积也为定值．(1)证明：连接BD ．∵AB AD =，60A ∠=︒，∴ABD △是等边三角形．∵BE AD ⊥， ∴12AE AD =． (2)解：BEF 是等边三角形，理由如下：∵ABD △是等边三角形，∴AB BD =，60ABD ∠=︒，∴60ABE EBD ∠+∠=︒．∵60EBF ∠=︒，∴60FBD EBD ∠+∠=︒，∴FBD ABE ∠=∠，∵AB BC CD ==，∴BD BC CD ==，∴BCD △是等边三角形，∴60BDC ∠=︒．在ABE △和DBF 中，60ABE DBF AB DB A BDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴ABE DBF △△≌（ASA ）．∴BE BF =，∴BEF 是等边三角形．(3)解：四边形BEDF 的面积是定值，理由如下：∵ABE DBF △△≌， ∵DBF BED ABE BED ABD BEDF S S S S S S =+=+=四边形∴当AB 的长度为定值时，ABD △的面积为定值，四边形BEDF 的面积也为定值．【点睛】本题考查了全等三角形和等边三角形的判定和性质，难度不大，注意这些知识的综合应用．3、 (1)见解析(2)见解析(3)PE =AP +PD ，见解析【解析】【分析】（1）由“SAS ”可证△BAD ≌△CAE ，可得BD =CE ；（2）由全等三角形的性质可得S △BAD =S △CAE ，由三角形面积公式可得AH =AF ，由角平分线的性质可得AP 平分∠BPE ；（3）由全等三角形的性质可得∠BDA=∠CEA，由“SAS”可证△AOE≌△APD，可得AO=AP，可证△APO 是等边三角形，可得AP=PO，可得PE=AP+PD，即可求解．(1)证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE；(2)证明：如图，过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，∵△BAD≌△CAE，∴S△BAD=S△CAE，BD=CE，∴12BD×AH=12CE×AF，∴AH=AF，又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴AP平分∠BPE；(3)解：PE=AP+PD，理由如下：如图，在线段PE上截取OE=PD，连接AO，∵△BAD≌△CAE，∴∠BDA=∠CEA，又∵OE=PD，AE=AD，∴△AOE≌△APD（SAS），∴AP=AO，∵∠BDA=∠CEA，∠PND=∠ANE，∴∠NPD=∠DAE=α=60°，∴∠BPE=180°-∠NPD=180°-60°=120°，又∵AP平分∠BPE，∴∠APO=60°，又∵AP=AO，∴△APO是等边三角形，∴AP=PO，∵PE=PO+OE，∴PE=AP+PD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质以及角之间的关系，证明△BAD≌△CAE是解本题的关键．4、12【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到∠A=60°，∠ACB=60°，由EF AB得到∠ADE=30°，结合BD平分∠ABC 进而求出 DC=CF=4；再由∠F=∠ACB-∠CDF=30°得到CD=CF=4，最后BF=BC+CF即可得到BF的长．【详解】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ACB=60°，AC=BC，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴由等腰三角形“三线合一”可知：BD是△ABC边AC上的中线，AC，∴AD=CD=12∵DE⊥AB于E，∴∠ADE=∠AED-∠A=90°-60° =30°，由直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半可知：∴CD=AD=2AE=4，AC=8，∵∠CDF=∠ADE=30°，∴∠F=∠ACB-∠CDF=30°，∴∠CDF=∠F，∴DC=CF=4，∴BF=BC+CF=8+4=12．【点睛】此题考查等边三角形、等腰三角形“三线合一”的性质、30°所对直角边等于斜边的一半等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质是解决本题的关键．5、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴ 11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．。
初中数学鲁教版(五四制)七年级下册第十章 三角形的有关证明5 角平分线-章节测试习题(2)
章节测试题1.【答题】如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，CD＝3，则△DAB的面积为（）A. 12B. 18C. 20D. 24【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：过D作DE⊥AB于E. ∵∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，∴DE=DC=3，∴△DAB的面积=AB•ED=×12×3=18选B.2.【答题】如图，AE平分∠CAB，CD∥AB交AE于点D，若∠C=120°，则∠EAB的大小为（）A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°【答案】A【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵CD∥AB，∠C=120°，∴∠BAC=60°，∵AE为∠CAB的平分线，∴∠EAB=∠BAC=30°．选A.3.【答题】如图，△ABC中，∠C=90，∠B=40．AD是∠BAC的平分线，则∠ADB的度数为（）A. 65B. 105C. 100D. 115【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵∠C=90，∠B=40，∴∠BAC=90°-40°=50°.∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=,∴∠ADB=C+∠CAD=90°+25°=115°.选D.4.【答题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①DA平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到：∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．选B.5.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是（）A. 4B. 6C. 8D. 12【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，由基本作图可知,AP平分∠CAB,∵AP平分∠CAB,∠C=90∘，DE⊥AB，∴DE=DC=2，∴△ABD的面积选B.6.【答题】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=10，DE=2，AB=4，则AC长是A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】作DF⊥AC于点F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴DE=DF，∴S△ABC=S△ADB+S△ADC=AB·DE+AC·DF=DE（AB+AC）=10，即×2×（4+AC）=10，∴AC=6.选D.方法总结：本题关键在于将△ABC分割成两个三角形的面积之和，通过角平分线的性质可得两个三角形的高相等.7.【答题】如图，∠POB=∠POA，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，下列结论错误的是（）A. PD=PEB. OD=OEC. PD=ODD. ∠DPO=∠EPO【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵∠POB=∠POA，PD⊥OA，PE⊥OB，在△PEO和△PDO中∴△PEO≌△PDO，∴OD=OE，∠DPO=∠EPO，即选项A. B.D都正确，根据已知不能推出PD=OD，即选项C错误；选C.方法总结：角平分线上的点到角两边的距离相等.8.【答题】如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD=∠CAD，AB=6，AC=3，S△ABD=3，则S△ACD=（）A. 3B. 6C.D.【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】过D作DP⊥AC交AC的延长线于P，DQ⊥AB于Q，∵∠BAD=∠CAD，∴DP=DQ，∵S△ABD=AB•DQ=•DQ=3，∴DQ=1，∴DP=1，∴S△ACD=AC•DP=，选C.9.【答题】如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是（）A. 25B. 84C. 42D. 21【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】连接OA，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，又∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，∴OD=OE=4，OD=OF=4，∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=•OE•AB+ •OD•BC+ •OF•AC= ×4×（AB+BC+AC）= ×4×21=42，选C.10.【答题】如图，平分，于点，，则点到的距离是（）．A.B.C.D.【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵且于点．∴点到的距离为．∵平分．∴点到的距离为．选B.11.【答题】如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）A. 7.5B. 8C. 10D. 15【答案】A【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=×BC×DE=7.5，选A.12.【答题】如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB=OC；②点O到直线AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边所在直线的距离相等；④点O在∠A的平分线上，正确的个数有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，∴OE=OG，OF=OG，∴OE=OF=OG，∴点O在∠B的平分线上，故②③④正确，只有点G是AC的中点时，BO=CO，故①错误，综上所述，说法正确的是②③④.选C.方法总结：过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OE=OF=OG，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．13.【答题】如图，D为∠BAC的外角平分线上一点并且满足BD=CD，∠DBC=∠DCB，过D作DE⊥AC于E，DF⊥AB交BA的延长线于F，则下列结论：①△CDE≌△BDF；②CE=AB+AE；③∠BDC=∠BAC；④∠DAF=∠CBD.其中正确的结论有（）.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵AD平分∠CAF，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE=DF，在Rt△CDE和Rt△BDF中，，∴Rt△CDE≌Rt△BDF(HL)，故①正确；∴CE=AF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF(HL)，∴AE=AF，∴CE=AB+AF=AB+AE，故②正确；∵Rt△CDE≌Rt△BDF，∴∠DBF=∠DCE，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠BDC=∠BAC，故③正确；∠DAE=∠CBD，∵Rt△ADE≌Rt△ADF，∴∠DAE=∠DAF，∴∠DAF=∠CBD，故④正确；综上所述，正确的结论有①②③④共4个. 选D.14.【答题】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=AE，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB 于点E，若AB=6cmcm，则△DEB的周长是（）A. 5cmB. 6cmC. 7cmD. 8cm【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，AC=AE，∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．选B.15.【答题】如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC＝∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE＋AC＝AB. 其中正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵AD平分∠BAC∴∠DAC=∠DAE∵∠C=90°，DE⊥AB∴∠C=∠E=90°∵AD=AD∴△DAC≌△DAE∴∠CDA=∠EDA∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE=60°，∴③DE平分∠ADB错误；∵BE+AE=AB，AE=AC∴BE+AC=AB∴④BE+AC=AB正确；∵∠BDE=90°-∠B，∠BAC=90°-∠B∴∠BDE=∠BAC∴②∠BAC=∠BDE正确．选C.16.【答题】如图，在△ABC中，∠B＝42°，AD⊥BC于点D，点E是BD上一点，EF⊥AB于点F，若ED＝EF，则∠AEC的度数为（）A. 60°B. 62°C. 64°D. 66°【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】∵∠B=42°，AD⊥BC，∴∠BAD=48°，∵ED=EF，AD⊥BC，EF⊥AB，∴∠BAE=∠DAE=24°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=66°，选D.17.【答题】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，若BC=18，DE=8，则△BCE的面积等于（）A. 36B. 54C. 63D. 72【答案】D【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】解：过E作EF⊥BC于F，∵CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，DE=8，∴DE=EF=8，∵BC=18，∴×BC×EF=×18×8=72，选D.18.【答题】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的角平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是（）A. B. C. mn D. 2mn【答案】B【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】作DM⊥AB，垂足为M，∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，∴DM=DC，∵CD=n，AB=m，∴△ABD的面积=mn.故选择B.19.【答题】如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB = 8cm， AC = 6cm，则S△ABD: S△ACD=（）A. 4 : 3B. 3 : 4C. 16 : 9D. 9 : 16【答案】A【分析】根据角的平分线的性质解答即可．【解答】过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∵S△ABD=DE·AB，S△ADC=DF·AC，AB = 8cm， AC = 6cm，∴S△ABD：S△ACD =AB：AC=8：6=4：3，选A.20.【答题】如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是（）A. 62°B. 31°C. 28°D. 25°【答案】C【分析】根据角的平分线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴2∠BAE+2∠ABE=180°，即∠BAE+∠ABE=90°∴∠AEB=90°，∴∠BEC=90°﹣∠AED=62°，∴Rt△BCE中，∠CEB=62°，∴∠CBE=28°，∴∠ABE=∠CBE=28°．选C.。
达标测试鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题练习试题
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，△ABD≌△ECB，若5DE=，则BC的长为（）AD=，6A．11 B．10 C．9 D．82、有下列说法：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与顶角互余；③等腰三角形顶角的平分线是它的对称轴, ④等腰三角形两腰上的中线相等，其中正确的说法有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4∠=∠，添加以下条件，不能判定ABD≌CBD的是（）3、如图，已知ABD CBDA ．AB CB = B ．AC ∠=∠ C ．AD CD = D ．ADB CDB ∠=∠4、如图所示，亮亮课本上的一三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与这个三角形全等的图形，那么这两个三角形全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA5、若等腰三角形两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）A ．12B ．15C ．9或15D ．12 或156、如图，在△ABC 中，F 是高AD ，BE 的交点，AD =BD ，BC =6，CD =2，则AF 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．27、如图，点E 在等边△ABC 的边BC 上，BE ＝4，射线CD ⊥BC ，垂足为点C ，点P 是射线CD 上一动点，点F 是线段AB 上一动点，当EP +FP 的值最小时，BF ＝5，则AB 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108、等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）A ．10B ．13C ．17D ．13或179、如图，BD 平分ABC ∠，BC DE ⊥于点E ，7AB =，4DE =，则ABD S ∆=（ ）A ．28B ．21C ．14D ．710、如图，ABC DCB ∠=∠．添加一个条件后可得ABC DCB ≅，则不能添加的条件是（ ）A ．AB DC = B ．AC DB = C ．AD ∠=∠ D ．ACB DBC ∠=∠第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的角平分线．若E ，F 分别是AD 和AC 上的动点，则EC +EF 的最小值是________．2、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝30°，AD ⊥AC ．如果BD ＝2，那么AB 的长等于______．3、如图，已知直线12l l ∥，等边三角形ABC 的顶点A C 、分别在直线12l l 、上，如果边AB 与直线1l 的夹角126∠=︒，那么边BC 与直线2l 的夹角2∠=______度．4、下列说法：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等；②等腰三角形的高、中线、角平分线相互重合；③三角形三条高交于一点；④直角三角形只有一条高线；⑤正八边形有八条对称轴．其中正确的是______（填写正确的序号）．5、在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，AD ⊥AB ，如果AC =5，AD =2，那么AB 的长是________．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、小明利用一根长3m 的竿子来测量路灯AB 的高度.他的方法如下：如图，在路灯前选一点P ，使3m BP =，并测得70APB ∠=︒，然后把竖直的竿子(3m)CD CD =在BP 的延长线上左右移动，使20CPD ∠=︒，此时测得11.2m BD =.请根据这些数据，计算出路灯AB 的高度.2、如图，大小不同的两块三角板ABC ∆和DEC ∆直角顶点重合在点C 处，AC BC =，DC EC =，连接AE 、BD ，点A 恰好在线段BD 上．(1)找出图中的全等三角形，并说明理由；(2)当4AD AB==，则AE的长度为．(3)猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC＝90°．(1)求直线y＝kx＋b的解析式；(2)求出△ABC的面积；(3)若P（1，m）为坐标系中的一个动点，连接PA，PB．当△ABC与△ABP面积相等时，求m的值．4、△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．(1)如图1，若α＝15°，则∠CBA ′＝ ．(2)如图2，点P 在BD 延长线上，且∠DAP ＝∠DBC ＝α．①试探究AP ，BP ，CP 之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．②若BP ＝10，CP ＝m ，求CA ′的长．（用含m 的式子表示）5、用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹；(1)作OM 平分AOB ∠；(2)已知若ON 平分BOC ∠，80AOC ∠=︒，则=MON ∠-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】由三角形全等的性质可知AD=BE，BD=BC，故可得BC=BD=BE+DE=11．【详解】∵△ABD≌△ECB∴AD=BE，BD=BC∴BE=5∵BD=BE+DE=5+6=11∴BC=BD=11故选：A．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等．2、B【解析】【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质判断即可．【详解】解：①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，说法正确；②等腰三角形一腰上的高与底边的夹角与底角互余，原说法错误；③等腰三角形的顶角平分线在它的对称轴上，原说法错误；④等腰三角形两腰上的中线相等，说法正确．综上，正确的有①④，共2个，故选：B【点睛】本题考查了对称的性质及等腰三角形的性质，掌握轴对称的性质，轴对称图形的概念，等腰三角形的性质是解题的关键．3、C【解析】【分析】利用三角形全等的判定方法对各选项进行判断即可．【详解】解：∵∠ABD＝∠CBD，BD＝BD，∴当添加AB＝CB时，可根据“SAS”判断△ABD≌△CBD,故A选项不符合题意；当添加∠A＝∠C时，可根据“AAS”判断△ABD≌△CBD,故B选项不符合题意；当添加AD＝CD时，不能判断△ABD≌△CBD，故C选项符合题意；当添加∠BDA＝∠BDC时，可根据“ASA”判断△ABD≌△CBD，故D选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，灵活运用SAS、SSS、AAS、ASA判定三角形全等是解答本题的关键，SSA不能判定三角形全等是解答本题的易错点．4、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′=∠A，A′B′=AB，∠B′=∠B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5、B【解析】【分析】分腰长为3和腰长为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．【详解】当腰长为3时，三边长为3、3、6，∵3+3=6，不符合三角形三边关系，∴不能构成三角形，当腰长为6时，三边长为3、6、6，∵3+6=9＞6，符合三角形三边关系，∴能构成三角形，∴三角形的周长为3+6+6=15，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．6、D【解析】【分析】先证明∠FBD =∠DAC ，从而利用ASA 证明△BDF ≌△ADC ，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．【详解】证明：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADC =∠FDB =∠AEF =90°，∴∠DAC +∠AFE =90°，∠FBD +∠BFD =90°，又∵∠BFD =∠AFE ，∴∠FBD =∠DAC ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD ADC FDB BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF =CD =2，∴AD =BD =BC -CD =4，∴AF=AD-DF=4-2=2；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．7、A【解析】【分析】作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，∴PE=PE'，∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，此时EP+FP的值最小，∵△ABC是正三角形，∴∠B=60°，∵E'F⊥AB，∴∠FE'B=30°，∴BE'=2BF，∵BF=5，BE=4，∴E'B=10，∵CE=CE'，∴10=2CE+BE=2CE+4，∴CE=3，∴BC=7，故选：A．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．8、C【解析】【分析】因为等腰三角形的两边为3和7，但已知中没有点明底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论，还要注意利用三角形三边关系考虑各情况能否构成三角形．【详解】解：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，∵3+3=6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有17．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．9、C【解析】【分析】作DH BA ⊥于H ，由角平分线的性质得到4DH DE ==，结合三角形面积公式解题．【详解】解：作DH BA ⊥于H ，BD 平分ABC ∠，BC DE ⊥，DH AB ⊥，4DH DE ∴==，Δ174142ABD S ∴=⨯⨯=， 故选：C ．【点睛】本题考查角平分线的性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10、B【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析解答．【详解】解：由题意知，ABC DCB∠=∠，BC=CB，当AB DC=时，可依据SAS证明△ABC≌△DCB，故选项A不符合题意；当AC DB=时，不可证明△ABC≌△DCB，故选项B符合题意；当A D∠=∠时，可依据AAS证明△ABC≌△DCB，故选项C不符合题意；当ACB DBC∠=∠时，可依据ASA证明△ABC≌△DCB，故选项D不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了全等三角形的判定定理，熟记三角形全等的判定定理并应用是解题的关键．二、填空题1、48 5【解析】【分析】作F关于AD的对称点F'，由角的对称性知，点F'在AB上，当CF'⊥AB时，EC+EF的最小值为CF'，再利用面积法求出CF'的长即可．【详解】解：作F关于AD的对称点F'，连接C F'交AD于点E，如图，∵AD 是∠BAC 的平分线，∴点F '在AB 上，∴EF =EF '，∴当CF '⊥AB 时，EC +EF 的最小值为CF '，∵AB =AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD ⊥BC ，∴S △ABC =12BC ×AD ＝12AB ×CF ′，∵AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，∴12×8=10×CF '，∴CF '=485， ∴EC +EF 的最小值为485， 故答案为：485． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，轴对称-最短路线问题，三角形的面积等知识，熟练掌握将军饮马的基本模型是解题的关键．2、【解析】【分析】由等腰三角形的性质得到30C B ∠=∠=︒，根据三角形的内角和定理得到120BAC ∠=︒，根据含30角的直角三角形的性质得到2CD AD =，30BAD ∠=︒，即可得2AD BD ==，4CD =，利用勾股定理求得AC 的长，即可求解AB 的长．【详解】解：AB AC =，30C B ∴∠=∠=︒，180120BAC B C ∴∠=︒-∠-∠=︒，AD AC ⊥，90CAD ∴∠=︒，2CD AD ∴=，30BAD ∠=︒，B BAD ∴∠=∠，2AD BD ∴==，4CD ∴=，在Rt ADC 中，AC =AB ∴=．故答案为：【点睛】本题考查了含30角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．3、34【解析】【分析】根据平行线的性质与等边三角形的性质可得12180BAC BCA ∠+∠+∠+∠=︒，继而可得1260∠+∠=︒，即可求得2∠【详解】解：ABC是等边三角形，BAC BCA∴∠=∠=︒，60l l//，直线12∴∠+∠+∠+∠=︒，12180BAC BCA∴∠+∠=︒-︒-︒=︒，12180606060∠=︒，126∴∠=︒-︒=︒，2602634故答案为：34．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和平行线的性质，∠+∠=︒是解题的关键．证出12604、①⑤##⑤①【解析】【分析】根据角分线的性质即可判断①；根据三线合一即可判断②；根据三角形的高的定义，即可判断③④，根据正八边形的对称性可知对称轴为对边中点的连线以及对角线所在的直线为对称轴，即可判断⑤【详解】解：①角平分线上任意一点到角两边的距离相等，故①正确；②等腰三角形的底边上的高、中线、角平分线相互重合，故②不正确③三角形三条高不一定交于一点，钝角三角形的高不交于同一点，故③不正确；④直角三角形有三条高线，故④不正确；⑤正八边形有八条对称轴，分别为对边中点的连线以及对角线所在的直线为对称轴，共八条，故⑤正确【点睛】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形高线的定义，轴对称图形找对称轴，掌握以上知识是解题的关键．5、3【解析】【分析】过点C 作CE ∥AB 交AD 延长线于E ，先证△ABD ≌△ECD （AAS ），求出AE =2AD =4，在Rt△AEC中，3CE ===即可．【详解】解：过点C 作CE ∥AB 交AD 延长线于E ，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD =CD ，∵AD ⊥AB ，CE ∥AB ，∴AD ⊥CE ，∠ABD =∠ECD ，∴∠E =90°，在△ABD 和△ECD 中ADB EDC ABD ECD BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ECD （AAS ），∴AB =EC ，AD =ED =2，∴AE =2AD =4，在Rt△AEC中，3CE ===，∴AB =CE =3．故答案为：3．【点睛】本题考查中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，平行线性质，三角形全等判定与性质，勾股定理，关键是利用辅助线构造三角形全等．三、解答题1、路灯AB 的高度是8.2m【解析】【分析】根据题意可得△CPD ≌△PAB （ASA ），进而利用AB =DP =DB -PB 求出即可．【详解】解：∵20CPD ∠=︒，70APB ∠=︒，90CDP ABP ∠=∠=︒，∴70DCP APB ∠=∠=︒，20BAP DPC ∠=∠=︒在CPD △和PAB △中，CDP PBA CD PBDCP BPA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴()CPD PAB ASA ≌，∴DP AB =.∵11.2m BD =，3m BP =，∴8.2m DP BD BP =-=，即8.2m AB =.答：路灯AB 的高度是8.2m .【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD ≌△PAB 是解题关键．2、 (1)CBD CAE ∆≅∆，理由见解析(2)8(3)AE BD ⊥，理由见解析【解析】【分析】（1）90ACB DCE ∠=∠=︒，ACB ACD DCE ACD ∠+∠=∠+∠，知BCD ACE ∠=∠，可证CBD CAE ∆≅∆；（2）根据BD AE AD AB ==+计算求解即可；（3）AE 与CD 相交于点O ，在AOD ∆与COE ∆中，CBD CAE ∆≅∆，ADO CEO ∠=∠，90OAD OCE ∠=∠=︒，进而可说明AE BD ⊥．(1)解：（1）CBD CAE ∆≅∆，理由如下：90ACB DCE ∠=∠=︒ACB ACD DCE ACD ∴∠+∠=∠+∠∴BCD ACE ∠=∠在CBD ∆与CAE ∆中BC AC BCD ACE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CBD CAE SAS ∴∆≅∆．(2)解：CBD CAE ∆≅∆448BD AE AD AB ∴==+=+=故答案为：8．(3)AE BD ⊥，理由如下：AE 与CD 相交于点O ，在AOD ∆与COE ∆中CBD CAE ∆≅∆ADO CEO ∴∠=∠AOD COE ∠=∠90OAD OCE ∴∠=∠=︒AE BD ∴⊥．【点睛】本题考查了三角形全等．解题的关键在于证明三角形全等．3、 (1)y＝－23x＋2(2)13 2(3)173或－3【解析】【分析】（1）根据,A B的坐标待定系数法求一次函数解析式即可；（2）由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝13，根据△ABC为等腰直角三角形，S△ABC＝12AB2，即可求出△ABC的面积；（3）过点P作PH∥y轴交AB于点H，由直线AB的表达式得，点H（1，43），根据△ABP面积＝12×PH×（xP－xB）=132，解绝对值方程求解即可．(1)解：直线y＝kx＋b与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、点B（0，2），则032k bb=+⎧⎨=⎩，解得232kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，故直线l的表达式为：y＝－23x＋2；(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB2＝OA2＋OB2＝32＋22＝13，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴S △ABC ＝12AB 2＝132； (3)过点P 作PH ∥y 轴交AB 于点H ，由直线AB 的表达式得，点H （1，43）， P （1，m ）PH ∴=|m －43| ∵△ABC 与△ABP 面积相等，∴△ABP 面积＝12×PH ×（xP －xB ）＝12×|m －43|×3＝132； 解得m ＝－3或173故当△ABC 与△ABP 面积相等时，m 的值为173或－3 【点睛】本题考查了一次函数综合，待定系数法求一次函数解析式，等腰三角形的性质，坐标与图形，数形结合是解题的关键．．4、 (1)30°(2)①BP AP CP =+；②102m -【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得60ABC ∠=︒，根据角度计算可得ABD ∠=45︒，由折叠的性质可得ABD A BD '∠=∠，根据A BC A BD CBD ''∠=∠-∠即可求解；（2）①连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，证明BP C APC '≌，PP C '是等边三角形，即可得到BP AP CP =+；②先证明,,A C P '三点共线，结合①的结论求解即可．(1) ABC 是等边三角形∴60ABC ∠=︒60ABD ABC CBD α∴∠=∠-∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，ABD A BD '∴∠=∠=60α︒-15α=︒6060230A BC A BD CBD ααα''∴∠=∠-∠=︒--=︒-=︒故答案为：30(2)①BP AP CP =+，理由如下：连接CP ，在BP 上取一点P '，使BP AP '=，如图，ABC 是等边三角形60,ACB BC AC ∴∠=︒=DAP DBC α∠=∠=BP C APC '∴≌CP CP '∴=，BCP ACP '∠=∠60PCP ACP ACP BCP ACP ACB ''''∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒PP C '∴是等边三角形60CPB ∴∠=︒，P P PC '=BP BP PP AP CP ''∴=+=+即BP AP CP =+②如图，由①可得60BPC ∠=︒180120BCP BPC PBC α∴∠=︒-∠-∠=︒-由（1）可知602CBA α'∠=︒-把△ABD 沿BD 对折，得到△A BD '，BA BA '∴=BA BC =BC BA '∴=()()111801806026022BCA CBA αα''∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+ 12060180BCP BCA αα'∴∠+∠=︒-+︒+=︒,,A C P '∴三点共线折叠BA BA '∴=,ADB A DB '∠=∠ADP A DP '∴∠=∠DP DP =ADP A DP '∴≌AP AP '∴=由①可得BP AP CP =+10,BP CP m ==10AP BP CP m ∴=-=-10A P AP m '∴==-10102CA A P CP m m m ''∴=-=--=-【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．5、 (1)见解析(2)40°【解析】【分析】（1）利用角平分线的作法，即可求解；（2）根据ON 平分BOC ∠，可得1=2BON CON BOC ∠∠=∠，再由OM 平分AOB ∠，可得12AOM BOM AOB ∠=∠=∠，再由80AOC ∠=︒，可得1402BOM BOC ∠=︒+∠，然后根据MON BOM BON ∠=∠-∠，即可求解．(1)解：如图所示OM 为所求；(2)解：∵ON 平分BOC ∠，1=2BON CON BOC ∠∠=∠∴， OM 平分AOB ∠，12AOM BOM AOB ∠=∠=∠∴ 80AOC ∠=︒80AOB BOC ∠=︒+∠∴()11804022BOM BOC BOC ∠=︒+∠=︒+∠∴ 11404022MON BOM BON BOC BOC ∠=∠-∠=︒+∠-∠=︒∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，有关角平分线的计算，熟练掌握作已知角的平分线的作法，有关角平分线的计算是解题的关键．。
最新鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题攻克试卷(精选含答案)
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明专题攻克考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，还不能证明△ABE≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BD＝CE C．∠B＝∠C D．BE＝CD2、如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.53、如图，在平行四边形ABCD 中，将△ABC 沿着AC 所在的直线折叠得到△AB ′C ，B ′C 交AD 于点E ，连接B ′D ，若∠B ＝60°，∠ACB ＝45°，AC B ′D 的长是（ ）A ．1BCD ．24、如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（ ）A ．65︒B ．50︒C ．40︒D ．37.5︒5、如图，在ABC 中，ED BC ⊥，EA AB ⊥，若EAB EDC ≌，则C ∠=（ ）A ．36°B ．30°C ．25°D ．15°6、下列命题是真命题的是（ ）A ．同旁内角互补B ．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C ．两边及一角对应相等的两个三角形全等D ．角平分线上的点到角两边的距离相等7、若实数x ，y 满足30x -=．则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）A ．9B ．12C ．15D ．12或158、在平面直角坐标系中，A （2，3），O 为原点，若点B 为坐标轴上一点，且△AOB 为等腰三角形，则这样的B 点有（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个9、如图，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别是点D 、E ，7cm AD =，3cm BE =，则DE 的长是（ ）A ．3cmB ．3.5cmC ．4cmD ．4.5cm10、若等腰三角形边长分别为6cm 和3cm ，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．9cmB ．12cmC ．15cmD ．12cm 或15cm第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，点D 为边AB 上一点，将△BCD 沿直线CD 翻折，点B 落在点E 处，连结AE ．如果AE ∥CD 时，恰好CD ＝2.5，那么此时BE ＝________．2、如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接AC并延长到点D，使CD=AC，连接BC并延长到点E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度为8m，则AB间的距离为_____．3、如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点P，∠ABC＋∠ADC＝180°，BD平分∠ABC，AD＝CD，过D作DE⊥BC于E，若AB＝5，BC＝12，则CE＝_______．4、如图，已知∠1＝∠2，要判定△ABD≌△ACD，请你添加一个条件是 _____．（写出一个即可）5、若等腰三角形中有一个角等于40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，平面直角坐标系中有点A(-1，0)和y轴上一动点B(0，a)，其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角ABC，设点C的坐标为(c，d)．(1)当a=2时，则C点的坐标为；(2)动点B在运动的过程中，试判断c＋d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．2、如图，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．填空：(1)∠AEB的度数为；(2)线段AD、BE之间的数量关系是．(3)当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？（填写“变化”或“不变”）．3、如图，CD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ACD和△BCD的高．(1)求证CD ⊥EF ；(2)若AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，∠ACB ＝60°，求CG 的长．4、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上的一个动点，连接CD ，点B 关于直线CD 的对称点为E ，射线AE 与射线CD 交于点F ．（1）连接CE ，求证：∠CAE ＝∠CEA（2）当BD ＜AD 时，求∠AFC 的大小；（3）若AD ＝AC ，试猜想AE 与CD 的数量关系，并证明．5、在①C F ∠=∠，②A E ∠=∠，③DF CB =这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．问题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，AD BE =，ADF CBE ∠=∠，若______，求证：FE AC =．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）-参考答案-一、单选题1、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．【详解】解：A.∵在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；B.∵AB ＝AC ，BD ＝CE ，∴AD ＝AE ，在△ABE 和△ACD 中，AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△ACD （SAS ），故本选项不符合题意；C.∵在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC B C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABE ≌△ACD （ASA ），故本选项不符合题意；D、根据AB＝AC，BE＝CD和∠A＝∠A不能推出△ABE≌△ACD，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．2、C【解析】【分析】由△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，得∠ABC=60°，∠ABE=30°，根据EF⊥AB，得∠D=30°，得到BE=DE，在Rt△BEF中，求得BE=2EF=2，即可得答案．【详解】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是证明BE=DE，从而用含30度角的直角三角形的性质解决问题．3、B【解析】【分析】先通过角度关系与大小证明AD⊥B’C，再通过直角三角形各边长之间的关系求出B’D的长度．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AB∥CD，∠ADC=60°∴∠CAE=∠ACB=45°∵将△ABC沿AC翻折至△AB’C，∴∠AB’C=∠B=60°∴∠AEC=180°-∠CAE-∠ACB’=90°∴AE=CE∴∠AEC=90°，∠AB’C=60°，∠ADC=60°，∴∠B’AD=30°，∠DCE=30°，∴B’E=DE=1，∴B’D故选：B．【点睛】本题通过折叠问题考查了角度的计算和特殊直角三角形的三边之间的关系，掌握这些是本题解题关键．4、C【解析】【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．【详解】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，∴AD＝DF，∵D是AB边的中点，∴AD＝BD，∴BD＝DF，∴∠B＝∠BFD，∵∠B＝70°，∴∠BDF＝180°−∠B−∠BFD＝180°−70°−70°＝40°．故答案为：C．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．5、B【解析】根据EAB EDC ≌，推出EA=ED ，∠ABE =∠C ，由ED BC ⊥，EA AB ⊥，推出∠ABE =∠DBE ，∠A =90°，再利用∠ABE +∠DBE +∠C =90°，即可求出∠C 的度数．【详解】解：∵EAB EDC ≌，∴EA=ED ，∠ABE =∠C ，∵ED BC ⊥，EA AB ⊥，∴∠ABE =∠DBE ，∠A =90°，∴∠ABE +∠DBE +∠C =90°，∴∠C =30°，故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟记全等三角形的性质推出EA=ED 是解题的关键．6、D【解析】【分析】根据平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，作出判断即可．【详解】两直线平行，同旁内角互补，缺少两直线平行，选项说法错误，与题意不符；举反例，等腰直角三角形就不是钝角三角形，选项说法错误，与题意不符；两条边及其夹角对应相等的两三角形全等，选项说法错误，与题意不符；角平分线的性质包括角平分线上的点到角两边的距离相等，选项说法正确，符合题意；【点睛】本题考查命题的判断，平行的性质，三角形的分类，全等三角形的判定定理，角平分线的性质，对概念性的知识点记忆清晰，理解透彻是解决此类题型的关键．7、C【解析】【分析】根据绝对值及二次根式的非负性可得出x、y的值，由三角形三边关系可确定等腰三角形的三边长度，将其相加即可得出结论．【详解】解：∵实数x，y满足|3-x，∴x=3，y=6．当3为腰时，三边为3、3、6，而3+3=6，则3、3、6不能组成三角形；当3为底时，三边长分别为3、6、6，∴等腰三角形周长为3+6+6=15．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、二次根式（绝对值）的非负性以及三角形三边关系，根据绝对值及二次根式非负性结合三角形的三边关系找出等腰三角形的三条边的长度是解题的关键．8、C【解析】【分析】分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．【详解】解：如图，满足条件的点B有8个，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定，对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．9、C【解析】【分析】根据AAS即可证明△CEB≌△ADC，再利用全等三角形的性质即可求解．【详解】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC＋∠BCE＝90°．∵∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CEB ≌△ADC （AAS ），7cm AD =，3cm BE =，∴BE ＝DC ＝3 cm ，CE ＝AD ＝7cm ，∴DE ＝EC −CD ＝7−3＝4 cm,故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确寻找全等三角形全等的条件是解题的关键．10、C【解析】【分析】分两种情况讨论，当腰长为6cm 时，当腰长为3cm 时，再结合三角形的三边关系可得答案.【详解】解：等腰三角形边长分别为6cm 和3cm ，当腰长为6cm 时，则三边分别为：6，6，3，符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的周长为66315++=（cm ），当腰长为3cm 时，则三边分别为：6，3，3，不符合三角形的三边关系，舍去，故选C【点睛】本题考查的是等腰三角形的定义与三角形的三边关系，掌握“利用等腰三角形的腰进行分类讨论”是解本题的关键.二、填空题1、4.8【解析】【分析】画出图形，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，先根据勾股定理可得5AB =，根据折叠的性质可得,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，再根据平行线的性质可得,AED EDC EAD BDC ∠=∠∠=∠，从而可得AED EAD ∠=∠，根据等腰三角形的判定可得AD DE =，从而可得1 2.52AD BD AB CD ====，然后根据等腰三角形的三线合一可得1 1.52BG BC ==，利用勾股定理可得2DG =，最后利用BCD △的面积可求出BF 的长，由此即可得．【详解】解：如图，设BE 与CD 的交点为点F ，过D 作DG BC ⊥于G ，90,3,4ACB BC AC ∠=︒==，5AB ∴==，由折叠的性质得：,2,,BE CD BE BF BD DE BDC EDC ⊥==∠=∠，AE CD ，,AED EDC EAD BDC ∴∠=∠∠=∠，AED EAD ∴∠=∠，AD DE ∴=，1 2.52AD BD AB ∴===， 2.5CD =，2.5BD CD ∴==，1 1.52BG BC ∴==（等腰三角形的三线合一），2DG ∴==，1122BCDS CD BF BC DG =⋅=⋅， 112.53222BF ∴⨯=⨯⨯， 解得 2.4BF =，2 4.8BE BF ∴==，故答案为：4.8．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题、等腰三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．2、8m【解析】【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】解：在△CDE 和△CAB 中，CD CA DCE ACB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△CDE ≌△CAB （SAS ），∴DE =AB =8m ，故答案为：8m ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．3、72##3.5 【解析】【分析】过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，证明Rt DFA Rt DEC ≌，可得EC AF =，证明Rt BFD ≌Rt BED ，可得BE BF =，根据125EC EC -=+即可求得EC ．【详解】解：过点D 作DF AB ⊥交BA 的延长线于点F ，如图，DE ⊥BC90DEC F ∴∠=∠=︒BD 平分∠ABC ，又AD ＝CD ，Rt DFA Rt DEC ∴≌()HLEC AF ∴=,在Rt BFD 和Rt BED 中BD BD DF DE =⎧⎨=⎩∴Rt BFD ≌Rt BED ()HL∴BE BF =5,12AB BC ==12,5BE BC EC EC BF AB AF AF ∴=-=-=+=+125EC EC ∴-=+ 解得72EC = 故答案为：72【点睛】本题考查了角平分线的性质，HL 证明三角形全等，以及全等的性质，正确的添加辅助线是解题的关键．4、AB =AC 或∠B =∠C 或∠ADB =∠ADC【解析】【分析】判断△ABD ≌△ACD ，已知的条件是：∠1=∠2，AD =AD ，根据全等三角形的判定定理即可确定．解：判断△ABD≌△ACD，已知的条件是：∠1=∠2，AD=AD，因而根据SAS，可以添加条件：AB=AC；根据AAS，可以添加条件：∠B=∠C；根据ASA可以添加∠ADB=∠AD C．故答案是：AB=AC或∠B=∠C或∠ADB=∠AD C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，正确理解判定方法是关键．5、40°或100°【解析】【分析】分①当40°的角为等腰三角形的顶角，②当40°的角为等腰三角形的底角两种情况，根据三角形的内角和进行求解即可．【详解】解：①当40°的角为等腰三角形的顶角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为40°；︒-⨯︒=︒；②当40°的角为等腰三角形的底角时，则这个等腰三角形的顶角的度数为180240100故答案为：40°或100°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于考虑40°可作等腰三角形的顶角或底角．三、解答题1、 (1)(-2，3)(2)不变，1【分析】（1）过点C 作CE ⊥y 轴于E ，根据AAS 证明△AEC ≌△BOA ，可得CE =OA =2，AE =BO =1，即可得出点C 的坐标；（2）过点C 作CE ⊥y 轴于E ，根据AAS 证明△AEC ≌△BOA ，可得CE =OA =a ，AE =BO =1，从而OE =a =1，即可得出点C 的坐标为（-a ，a +1），据此可得c +d 的值不变．(1)解：如图1中，过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEB =∠BOA ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC =BA ，∠ABC =90°，∴∠BCE ＋∠CBE =90°=∠ABO ＋∠CBE ，∴∠BCE =∠ABO ，在△BCE 和△ABO 中，CEB BOA BCE ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∵A （－1，0），B （0，2），∴AO =BE =1，OB =EC =2，∴OE =1＋2=3，∴C （－2，3），故答案为：（－2，3）；(2)解：动点A 在运动的过程中，c ＋d 的值不变．如图2，过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEB =∠BOA ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC =BA ，∠ABC =90°，∴∠BCE ＋∠CBE =90°=∠ABO ＋∠CBE ，∴∠BCE =∠ABO ，在△BCE 和△ABO 中，CEB BOA BCE ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∵A （－1，0），B （0，a ），∴BE =AO =1，CE =BO =a ，∴OE =1＋a ，∴C （－a ，1＋a ），又∵点C的坐标为（c，d），∴c＋d=－a＋1＋a=1，即c＋d的值不变.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，余角的性质，坐标与图形，以及等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．2、(1)60°(2)AD＝BE(3)变化【解析】【分析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；（3）分类讨论当点E在ABC内部和当点E在ABC外部时，根据三角形内角和定理和全等三角形的性质即可证明．(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA ＝CB ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°．∴∠ACB -∠BCD ＝∠DCE -∠BCD ，即∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．∴∠ADC ＝∠BEC ．∵△DCE 为等边三角形，∴∠CDE ＝∠CED ＝60°．∵点A ，D ，E 在同一直线上，∴∠ADC ＝120°．∴∠BEC ＝120°．∴∠AEB ＝∠BEC -∠CED ＝60°．故答案为：60°．(2)∵△ACD ≌△BCE ，∴AD ＝BE ．故答案为：AD ＝BE ．(3)点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化，理由如下：①如图，当点E 在ABC 内部时∵60ABE ∠<︒，60BAE ∠<︒，∴120ABE BAE ∠+∠<︒，∴180********AEB ABE BAE ∠=︒-∠-∠>︒-︒=︒；②如图，当点E 在ABC 外部时，根据（1）同理易证()ACD BCE SAS △≌△，∴CAD CBE ∠=∠，∵120CAB ABC CAD BAD ABC ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴120CBE BAD ABC ∠+∠+∠=︒，即120ABE BAD ∠+∠=︒，∴120ABE BAE ∠+∠>︒，∴60AEB ∠<︒．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．3、 (1)见解析(2)3【解析】【分析】根据角平分线的性质定理可得DE =DF ，从而得到Rt CDE Rt CDF ≅，进而得到CE =CF ，即可求证；（2）先证得△CEF 是等边三角形，可得EF =CE ，∠ACD =30°，1122EG EF CE ==，再由ABC ACD BCD S S S =+△△△，可得DE =2，再根据直角三角形的性质可得CD =2DE =4，然后由勾股定理，即可求解．(1)∵CD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，∴DE =DF ，△CDE 和△CDF 是直角三角形，∵CD =CD ，∴()Rt CDE Rt CDF HL ≅，∴CE =CF ，∴CD 垂直平分EF ，即CD ⊥EF ．(2)∵CE =CF ，∠ACB ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴EF =CE ，∠ACD =30°，∵CD ⊥EF ， ∴1122EG EF CE ==， ∵AC ＝6，BC ＝4，S △ABC ＝10，DE =DF ，ABC ACD BCD S S S =+△△△， ∴ ()11110222DE AC DF BC DE AC BC ⨯+⨯=⨯+=， 解得：DE =2，在Rt CDE △ 中，∠ACD =30°，∴CD =2DE =4，∴CE ==∴1122EG EF CE ===∴3CG =．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，直角三角形的性质，勾股定理、等边三角形的判定和性质是解题的关键．4、（1）见解析；（2）45°；（3）AE ＝CD ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质，得CGB CGE ∠=∠，GB GE =，根据全等三角形的性质，通过证明CGB CGE △≌△，推导得AC ＝EC ，再根据等腰三角形的性质分析，即可得到答案；（2）设∠BCD ＝α，结合题意，得902ACE α∠︒-＝；根据三角形内角和性质，推导得∠CAE ，结合三角形外角的性质分析，即可得到答案；（3）连接BF ，根据题意，得AD ＝BC ，根据垂直平分线和全等三角形性质，通过证明△ADF ≌△CBF ，得AF ＝CF ，DF ＝BF ＝EF ，通过计算即可得到答案．【详解】（1）∵点B 关于直线CD 的对称点为E∴CD 垂直平分BE ，∴CGB CGE ∠=∠，GB GE =在CGB △和CGE 中CG CG CGB CGE GB GE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CGB CGE△≌△∴BC EC=，∠BCD＝∠ECD又∵AC＝BC∴AC＝EC∴∠CAE＝∠CEA；（2）设∠BCD＝α，由（1）知∠BCD＝∠ECD＝α∵∠ACB＝90°∴902ACEα∠︒-＝∴∠CAE＝∠CEA＝()1809022α︒-︒-=45°+α∴∠ECD+∠AFC＝∠CEA＝45°+α，∴∠AFC＝∠CEA -∠ECD =45°；（3）连接BF∵AC＝AD，AC＝BC∴AD＝BC∵CD垂直平分BE，∴FE＝FB∴∠AFD＝∠BFD由（2）得∠CAE＝∠CAB+∠DAF＝45°+α ，∠CAB＝45°∴∠BCD＝∠FAD＝α 在△ADF和△CBF中AFD BFDBCD FADAD BC α∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴△ADF≌△CBF∴AF＝CF，DF＝BF＝EF∴AF-EF＝CF-DF，即AE＝CD．【点睛】本题考查了三角形、轴对称、垂直平分线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、全等三角形、等腰三角形、轴对称、直角三角形、三角形外角的性质，从而完成求解．5、∠A=∠E（答案不唯一）【解析】【分析】由“ASA”可证△ABC≌△EDF，可得EF=AC．【详解】解：若∠A=∠E，∵AD=BE，∴AB=DE，∵∠ADF=∠CBE，∴∠FDE=∠CBA，在△ABC和△EDF中，A E AB DECBA FDE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDF （ASA ），∴EF =AC ．故答案为：∠A =∠E （答案不唯一）．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．。
难点详解鲁教版(五四制)七年级数学下册第十章三角形的有关证明综合训练试卷
鲁教版（五四制）七年级数学下册第十章三角形的有关证明综合训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，已知直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，60CAB ∠=︒，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得ABP △为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个2、如图，在△ABC 中，F 是高AD ，BE 的交点，AD =BD ，BC =6，CD =2，则AF 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．23、等腰三角形一边长5cm ，另一边长2cm ，则该三角形的周长是（ ）A ．9cmB ．12cmC ．12cm 或9cmD ．7cm4、如图所示，亮亮课本上的一三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与这个三角形全等的图形，那么这两个三角形全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．AASD ．ASA5、如图，在△ABC 中，60A ∠=，40ABC =∠，BD 平分∠ABC ，CE BD ⊥，交AB 于点E ．关于下面两个结论，说法正确的是（ ）结论①20ADE ∠=︒；结论②BC BE =．A ．结论①②都正确B ．结论①②都错误C ．只有结论①正确D ．只有结论②正确6、如图，在ABC 中，ED BC ⊥，EA AB ⊥，若EAB EDC ≌，则C ∠=（ ）A ．36°B ．30°C ．25°D ．15°7、若等腰三角形两边长分别是3和6，则这个三角形的周长是（ ）A．12 B．15 C．9或15 D．12 或158、如图，点E，C，F，B在同一条直线上，AC∥DF，EC＝BF，则添加下列条件中的一个条件后，不一定能判定△ABC≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．AB＝DE C．∠A＝∠D D．AB∥DE9、下列命题中，假命题是（）A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等B．三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等C．两腰对应相等的两个等腰三角形全等D．一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等10、如图，若AB＝AC，则添加下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（）A．∠B＝∠C B．AE＝AD C．BE＝CD D．∠AEB＝ADC第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、已知等腰△ABC，AB＝AC，∠ABC＝20°，P为直线BC上一点，BP＝AB，则∠PAC的度数为_____．2、等腰△ABC ，AB ＝AC ，底角为70°，BD 将△ABC 分成两个三角形，当这两个三角形有一个是以BD 为腰的等腰三角形时，则∠ADB 的度数是_____．3、如图，在ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AE 平分BAC ∠，60D DBC ∠=∠=︒，若BD=6cm ，DE=4cm ，则BC 的长是______cm ．4、在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，AD 、BE 分别是BC 、AC 上的高，∠ABE ＝50°，则∠EBC ＝___度；5、如图，在△ABD 中，BA ＝BD ．在BD 的延长线上取点E ，C ，作△AEC ，使EA ＝EC ．若∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，则∠DAC 的度数为_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点A 、D 、E 在同一直线上，连接BE ．填空：(1)∠AEB的度数为；(2)线段AD、BE之间的数量关系是．(3)当点A、D、E不在同一直线上，∠AEB的度数会发生变化吗？（填写“变化”或“不变”）．2、如图，在△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB=4，BC=12，AD=3，若点P在BC上运动．(1)求线段DP的最小值；(2)当DP最小时，求CDP的面积．3、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线交BC于点D，又DE是AB的垂直平分线，垂足为E．(1)求∠CAD的大小；(2)若BC＝3，求DE的长．4、如图，平面直角坐标系中有点A(-1，0)和y轴上一动点B(0，a)，其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角ABC，设点C的坐标为(c，d)．(1)当a=2时，则C点的坐标为；(2)动点B在运动的过程中，试判断c＋d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．5、已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．(1)求∠DOE的度数；(2)试判断△MNC的形状，并说明理由；(3)连接OC，求证：OC是∠AOE的平分线．-参考答案-一、单选题1、B【解析】【分析】分三种情况讨论：画出符合题意的图形，从而可得答案.【详解】解：如图，当12AP AP AB 时，ABP △为等腰三角形，当34BP BP AB 时，ABP △为等腰三角形，当2BP AB 时，而60,BAC ∠=︒所以2△ABP 是等边三角形，当55AP BP 时，ABP △为等腰三角形，符合条件的点P 有5个，故选B【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定，等边三角形的判定，清晰的分类讨论是解本题的关键.2、D【解析】【分析】先证明∠FBD =∠DAC ，从而利用ASA 证明△BDF ≌△ADC ，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．【详解】证明：∵F 是高AD 和BE 的交点，∴∠ADC =∠FDB =∠AEF =90°，∴∠DAC +∠AFE =90°，∠FBD +∠BFD =90°，又∵∠BFD =∠AFE ，∴∠FBD =∠DAC ，在△BDF 和△ADC 中，FBD CAD ADC FDB BD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴DF =CD =2，∴AD =BD =BC -CD =4，∴AF =AD -DF =4-2=2；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．3、B【解析】由等腰三角形可知第三边长为5cm或2cm，由三角形中两边之和大于第三边可确定第三边长为5cm，进而计算该三角形的周长即可．【详解】解：由于该三角形是等腰三角形，∴第三边长为5cm或2cm，又∵三角形中两边之和大于第三边，∴第三边长为5cm，++=cm，故该三角形的周长为55212故选B．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．解题的关键在于掌握三角形的三边关系．4、D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可．【详解】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′=∠A，A′B′=AB，∠B′=∠B，符合全等三角形的判定定理ASA，故选：D．本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5、A【解析】【分析】由三角形内角和定理得80ACB ∠=︒，根据ASA 可证明BCO BEO ∆≅∆得出BC BE =，CO EO =，从而得到BD 是CE 的垂直平分线，得DC =DE ，又可得70BCE ∠=︒，从而10DEC DCE ∠=∠=︒再由三角形外角的性质可得结论．【详解】解：如图，∵在△ABC 中，60A ∠=，40ABC =∠，∴180180604080ACB A ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒∵BD 是∠ABC 的平分线，∴ABD CBD ∠=∠又CE BD ⊥∴90BOE BOC ∠=∠=︒在BEO ∆和BCO ∆中，ABO CBO BO BOBOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEO BCO ∆≅∆∴BC =BE ，CO =EO ∴18040702BCE BEC ︒-︒∠=∠==︒ ∴807010ACE ACB BCE ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵CO =EO ，CE BD ⊥∴BD 是CE 的垂直平分线，∴DC =DE ，∴10DEC DCE ∠=∠=︒∴101020ADE DEC DCE ∠=∠+∠=︒+︒=︒故①②都正确，故选A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．6、B【解析】【分析】根据EAB EDC ≌，推出EA=ED ，∠ABE =∠C ，由ED BC ⊥，EA AB ⊥，推出∠ABE =∠DBE ，∠A =90°，再利用∠ABE +∠DBE +∠C =90°，即可求出∠C 的度数．【详解】解：∵EAB EDC ≌，∴EA=ED ，∠ABE =∠C ，∵ED BC ⊥，EA AB ⊥，∴∠ABE =∠DBE ，∠A =90°，∴∠ABE +∠DBE +∠C =90°，∴∠C =30°，故选：B ．【点睛】此题考查了全等三角形的性质，角平分线的判定定理，直角三角形两锐角互余，熟记全等三角形的性质推出EA=ED 是解题的关键．7、B【解析】【分析】分腰长为3和腰长为6两种情况考虑，先根据三角形的三边关系确定三角形是否存在，再根据三角形的周长公式求值即可．【详解】当腰长为3时，三边长为3、3、6，∵3+3=6，不符合三角形三边关系，∴不能构成三角形，当腰长为6时，三边长为3、6、6，∵3+6=9＞6，符合三角形三边关系，∴能构成三角形，∴三角形的周长为3+6+6=15，【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，由三角形三边关系确定三角形的三条边长为解题的关键．8、B【解析】【分析】先证明∠ACB＝∠DFE，EF＝BC，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【详解】解：∵AC//DF，∴∠ACB＝∠DFE，∵EC＝BF，∴EC+CF＝BF+CF，即EF＝BC，∴当添加AC＝DF时，可根据“SAS”判定△ABC≌△DEF；当添加∠A＝∠D时，可根据“AAS”判定△ABC≌△DEF；当添加AB∥DE时，∠B＝∠E，可根据“ASA”判定△ABC≌△DEF．故选：B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．9、C【解析】由线段的垂直平分线的性质可判断A，由三角形的角平分线的性质可判定B，由SAS判定两个三角形全等可判断C，由HL判定两个直角三角形全等可判断D，从而可得答案.【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，是真命题，故A不符合题意；三角形三个内角的平分线的交点到三角形三条边的距离相等，是真命题，故B不符合题意；两腰对应相等的两个等腰三角形不一定全等，因为两腰的夹角不一定相等，故C符合题意；C N AD MF AB MN BD DC NF FG如图，90,,,,,≌Rt ADB Rt MFN,BD FN则,,BC NG≌,Rt ACB Rt MGN一条直角边和另一条直角边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，是真命题，故D不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握“判定命题真假的方法”是解本题的关键.10、C【解析】【分析】根据ASA即可判断A；根据SAS即可判断B；根据SSA两三角形不一定全等即可判断C；根据AAS即【详解】解：A 、根据(ASA A A ∠=∠，C B ∠=∠，)AB AC =能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； B 、根据(SAS A A ∠=∠，AB AC =，)AE AD =能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； C 、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意；D 、根据(AAS A A ∠=∠，AB AC =，)AEB ADC ∠=∠能推出ABE ACD ∆≅∆，正确，故本选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法只有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，共4种，主要培养学生的辨析能力．二、填空题1、60°或150°【解析】【分析】如图1，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到20︒∠=∠=C B ，140BAC ∠=︒，由等腰三角形的性质得到18020802BAP ︒-︒∠==︒，于是求得60PAC ∠=︒，如图2，同理求得1102P PAB ABC ∠=∠=∠=︒，于是求得150PAC ∠=︒．【详解】解：如图1，AB AC =，20ABC ∠=︒，20C B ∴∠=∠=︒，140BAC ∴∠=︒，BP AB =，18020802BAP ︒-︒∴∠==︒， 60PAC ∴∠=︒，如图2，AB AC =，20ABC ∠=︒，20C B ∴∠=∠=︒，140BAC ∴∠=︒，BP AB =，1102P PAB ABC ∴∠=∠=∠=︒， 150PAC ∴∠=︒．综上所述：PAC ∠的度数为60︒或150︒，故答案为：60︒或150︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，三角形的内角和，解题的关键是正确的画出图形．2、110°或100°##100°或110°【解析】【分析】根据题意，分量种情况讨论①当BD BC =时，②若AD BD =时，根据等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质求得ADB ∠的度数即可．【详解】解：如图，根据题意，①当BD BC =时，AB AC =70ABC C ∴∠=∠=︒BD BC =70BDC C ∴∠=∠=︒180110ADB BDC ∴∠=︒-∠=︒②若AD BD =时，如图，70ABC C ∠=∠=︒18040∴∠=︒-∠-∠=︒A ABC C=AD DB∴∠=∠=︒A ABD40∴∠=-∠-∠=︒ADB A ABD180100综上所述，∠ADB的度数是110°或100°【点睛】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理以及三角形的外角的性质，掌握等边三角形的性质并分类讨论是解题的关键．3、10【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM为等边三角形，△EFD为等边三角形，从而得出BN的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE交BC于M，延长AE交BC于N，∵AB=AC，AE平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM为等边三角形，∴BD=DM=BM=6，∵DE=4，∴EM=6-4=2，∵△BDM为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN⊥BC，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=12ME=1，∴BN=6-1=5，∴BC=2BN=10（cm），故答案为10．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，能求出MN的长是解决问题的关键．4、20【解析】【分析】先由直角三角形的两锐角互余求得∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ABC，即可求得∠EB C．【详解】解：∵BE分别是AC上的高，∴∠AEB=90°，∵∠ABE=50°，∴∠BAC=90°-∠ABE=40°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，（180°-∠BAC）=70°，∴∠ABC=∠ACB=12∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=70°-50°=20°，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟记“等腰三角形的两底角相等”是解决问题的关键．5、45°##45度【解析】根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∵∠B ＝45°，∴∠ADB ＝∠BAD ＝12（180°﹣45°）＝67.5°，∵∠BAE ＝90°，∠B ＝45°，∴∠AEB ＝∠B ＝45°，∴∠DAE ＝∠ADB ﹣∠AEB ＝67.5°﹣45°＝22.5°， EA ＝EC122.52EAC ECA AEB ∴∠=∠=∠=︒ 45DAC DAE EAC ∴∠=∠+∠=︒故答案为：45︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理和三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．三、解答题1、 (1)60°(2)AD ＝BE(3)变化【解析】（1）由条件易证△ACD≌△BCE，从而得到：AD＝BE，∠ADC＝∠BEC．由点A，D，E在同一直线上可求出∠ADC，从而可以求出∠AEB的度数；（2）根据全等三角形的对应边相等可得结论；（3）分类讨论当点E在ABC内部和当点E在ABC外部时，根据三角形内角和定理和全等三角形的性质即可证明．(1)∵△ACB和△DCE均为等边三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°．∴∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD，即∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）．∴∠ADC＝∠BEC．∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°．∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°．∴∠BEC＝120°．∴∠AEB＝∠BEC-∠CED＝60°．故答案为：60°．(2)∵△ACD≌△BCE，故答案为：AD ＝BE ．(3)点A 、D 、E 不在同一直线上，∠AEB 的度数会发生变化，理由如下：①如图，当点E 在ABC 内部时∵60ABE ∠<︒，60BAE ∠<︒，∴120ABE BAE ∠+∠<︒，∴180********AEB ABE BAE ∠=︒-∠-∠>︒-︒=︒；②如图，当点E 在ABC 外部时，根据（1）同理易证()ACD BCE SAS △≌△，∴CAD CBE ∠=∠，∵120CAB ABC CAD BAD ABC ∠+∠=∠+∠+∠=︒，∴120CBE BAD ABC ∠+∠+∠=︒，即120ABE BAD ∠+∠=︒，∴120ABE BAE ∠+∠>︒，∴60AEB ∠<︒．【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．2、 (1)DP的最小值是3；(2)当DP最小时，△CDP的面积为12．【解析】【分析】（1）由垂线段最短可知当DP⊥BC时，DP最短，根据角平分线的性质即可得出结论；（2）由勾股定理得BD=5，当DP最小时，DP⊥BC，再由勾股定理得PB=4，则CP=BC-PB=8，然后由三角形面积公式即可求解．(1)解：当DP⊥BC时，线段DP的值最小，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，当DP⊥BC时，DP=AD，∵AD=3，∴DP的最小值是3；(2)解：∵∠A=90°，∴BD，当DP最小时，DP=3，DP⊥BC，则∠DPB=∠DPC=90°，∴PB=4，∴CP=BC-PB=12-4=8，∴△CDP的面积=12CP×DP=12×8×3=12，即当DP最小时，△CDP的面积为12．【点睛】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和角平分线的在是解题的关键．3、(1)30°(2)1【解析】【分析】（1）先说明△ABD是等腰三角形，再根据三角形的内角和即可得出答案；（2）设DC的长为y，根据直角三角形的性质列出关于y方程，解出y即可．(1)解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠B=∠EAD，又∵AD是∠CAB的平分线，∴∠CAD=∠EAD，设∠CAD=x，则3x=90°，∴x=30°，∴∠CAD=30°；(2)∵AD是∠CAB的平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE，设DC=y，则DE=y，BD=3-y，又∵∠B=30°，∴y=32y，解得y=1，∴DE=1．【点睛】本题主要考查中垂线的性质和角平分线的性质，关键是要牢记垂直平分线的性质和角平分线的性质．4、 (1)(-2，3)(2)不变，1【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=2，AE=BO=1，即可得出点C 的坐标；（2）过点C作CE⊥y轴于E，根据AAS证明△AEC≌△BOA，可得CE=OA=a，AE=BO=1，从而OE=a=1，即可得出点C的坐标为（-a，a+1），据此可得c+d的值不变．(1)解：如图1中，过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEB =∠BOA ．∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC =BA ，∠ABC =90°，∴∠BCE ＋∠CBE =90°=∠ABO ＋∠CBE ，∴∠BCE =∠ABO ，在△BCE 和△ABO 中，CEB BOA BCE ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∵A （－1，0），B （0，2），∴AO =BE =1，OB =EC =2，∴OE =1＋2=3，∴C （－2，3），故答案为：（－2，3）；(2)解：动点A 在运动的过程中，c ＋d 的值不变．如图2，过点C 作CE ⊥y 轴于E ，则∠CEB =∠BOA ，∵△ABC 是等腰直角三角形，∴BC =BA ，∠ABC =90°，∴∠BCE ＋∠CBE =90°=∠ABO ＋∠CBE ，∴∠BCE =∠ABO ，在△BCE 和△ABO 中，CEB BOA BCE ABO BC AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△BCE ≌△ABO （AAS ），∵A （－1，0），B （0，a ），∴BE =AO =1，CE =BO =a ，∴OE =1＋a ，∴C （－a ，1＋a ），又∵点C 的坐标为（c ，d ），∴c ＋d =－a ＋1＋a =1，即c ＋d 的值不变.【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，余角的性质，坐标与图形，以及等腰直角三角形性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．5、(1)∠DOE的度数是60°(2)△MNC是等边三角形，理由见解析(3)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质及角的和差关系可得∠ACD＝∠BCE，利用SAS可证明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，利用角的和差关系及外角性质可得∠AOE=120°，根据平角定义即可得答案；（2）根据全等三角形的性质可得∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC，根据中点的定义可得AM＝BN，利用SAS可证明△ACM≌△BCN，可得CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，利用角的和差关系可得∠MCN＝60°，即可证明△MNC是等边三角形；（3）连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H，根据全等三角形的性质可得AD＝BE，S△ACD=S△BCE，即可得出CG＝CH，根据角平分线的判定定理即可得出结论．(1)∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB＋∠BCD＝∠DCE＋∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE＋∠BED＝∠ADC＋∠CDE＋∠BED，＝∠BEC＋60°＋∠BED，＝∠CED＋60°，＝60°＋60°，＝120°，∴∠AOE=120°，∴∠DOE＝180°-∠AOE=60°．(2)△MNC是等边三角形，理由如下：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM＝12AD，BN＝12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中，AC BCCAM CBNAM BN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，∵∠ACB＝60°，∴∠ACM＋∠MCB＝∠BCN+∠MCB=∠ACB=60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．(3)连接OC，过C作CG⊥AD，垂足为G；过C作CH⊥BE ，垂足为H．∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，S△ACD=S△BCE，∴1122AD CG BE CH⋅=⋅，∴CG＝CH，∵CG⊥AD，CH⊥BE，∴OC是∠AOE的平分线．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、三角形外角性质及角平分线的判定定理，能够熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题关键．。
2020—2021年最新鲁教版五四制七年级数学下册《三角形的有关证明》单元检测题及答案.docx
2017-2018学年（新课标）鲁教版五四制七年级下册第十章 三角形的有关证明 检测题 （时间: 满分:100分）一、精心选一选（每小题3分，共24分）1.在Rt △ABC 中，∠B=90º，若∠C 比∠A 大20º，则∠A 的度数是（ ）A. 35ºB. 40ºC. 45ºD. 50º2.如图1，在△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，若BD=4 cm ，∠B=30º，则CD 的长为（ ）A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm3.如图2，在△ABC 中，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，∠C=40º，则∠BAD 的度数为（ ）A. 34ºB. 35ºC. 36ºD. 38º4.如图3，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的周长为6，OB 在x 轴的正半轴上，则点A 的坐标为（ ）A.（2，1）B.（1，2）C. （1，3） D.（3，1） 图4 图3 图2 ADC B图15.已知△ABC的三边长分别是2 cm，4 cm，32cm，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 等边三角形D. 直角三角形6.如图4，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N，则下列结论不一定正确的是（）A. AN=BNB. ∠A=∠ABNC. △BCN的周长=AC+BCD. AN=BC7.图5所示是由5个大小相同的正方形组成的图形，则AB∶AC的值为（）A.2∶2B.3∶2C. 3∶4D. 1∶18.如图6，P是等边三角形ABC内的点，且PA=3，PB=4，PC=5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则下列结论：①BP=PQ；②△PCQ是直角三角形；③∠APB=150º.其中正确的结论有（）图8图7图6图5A. 仅①②B. 仅①③C. 仅②③D. ①②③二、细心填一填（每小题4分，共28分）9.命题“方程2x+1=5的解是x=2”的逆命题是_______.10.如图7，在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=42º，D 是BC 的中点，连接AD ，则∠BAD 的度数是______.11.若等边三角形的边长为10 cm ，则它一边上的中线长为________cm.12.如图8，在Rt △ABC 中，∠C=90º，AB 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E.若BD=5，BC=8，则AC 的长为_________.13.若边长为a 的正方形的面积等于长为b+c ，宽为b-c 的长方形的面积，那么以a ，b ，c 为三边长的三角形是________三角形.14.如图9，在△ABC 中，∠C=90º，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D.若BD=6，BC=10，AB=22，则△ABD 的面积为_________.15.如图10，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD=CE ，∠A=60º，则△ABC 是________三角形.三、耐心解一解（共48分）16.（10分）如图12，AC 为∠BAD 的平分线，AB=AD ，E ，F 两点分别在AB ，AD 上，且AE=DF ，试说明△BCE 的面积与△ACF 的面积相等. 图10图917.（10分）如图13，在△ABC 中，AB=AC=12 cm ，∠BAC=120º，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点F.（1）求证：△ADF 是等腰三角形；（2）求DF 的长.18.（14分）如图14，D 是∠BAC 的平分线与BC 的垂直平分线DE 的交点，DG ⊥AB 于点G ，DH ⊥AC 交AC 的延长线于点H.（1）求证：BG=CH ；（2）若AB=12，AC=6，求BG 的长.图14 A DC B FE图13 图12 A BCE F 图1519.（14分）如图15，已知在△ABC 和△EFC 中，AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=90º，E 为AB 上一点.（1）试判断线段AE 与BF 的数量关系，并证明你的结论；（2）试猜想AE 2，BE 2，EF 2之间的数量关系，并证明你的猜想.参考答案一、1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. D二、9. x=2是方程2x+1=5的解 10. 21º 11. 53 12. 413. 直角 14. 4415. 等边三、16. 证明：如图1所示，分别作CG ⊥AB 于点G ，CH ⊥AD 于点H.因为AC 是∠BAD 的平分线，所以CG=CH.因为AB=AD ，AE=DF ，所以BE=AF.由S △BCE =21BE ·CG ，S △ACF =21AF ·CH ，所以S △BCE =S △ACF .17.（1）证明：因为AE 是∠BAD 的平分线，所以∠BAE=∠DAE.图1因为DF ∥AB ，所以∠BAE=∠F.所以∠DAF=∠F.所以AD=DF.所以△ADF 是等腰三角形.（2）解：因为AB=AC ，AD 是△ABC 的中线，所以AD ⊥BC.因为∠BAC=120º，所以∠B=∠C=30º.所以AD=21AC=21×12=6（cm ）.所以DF=6 cm.18.解：（1）如图2所示，连接BD 和DC.因为AD 平分∠BAC ，DG ⊥AB ，DH ⊥AH ，所以DG=DH.因为DE 垂直平分BC ，所以BD=CD. 在Rt △BDG 和Rt △CDH 中，BD=CD ，DG=DH ，所以Rt △BDG ≌Rt △CDH （HL ）.所以BG=CH.（2）因为AD=AD ，∠AGD=∠AHD=90º，DG=DH ，所以Rt △ADG ≌Rt △ADH.所以AG=AH.所以AB-AC=AG+BG-（AH-CH ）=AG+BG-AH+CH=2BG.因为AB=12，AC=6，所以12-6=2BG ，即BG=3.19. 解：（1）AE=BF.证明：因为∠ACB=∠ECF=90º，所以∠ACE=∠BCF.因为AC=BC ，CE=CF ，所以△ACE ≌△BCF.所以AE=BF.（2）AE 2+BF 2=EF 2.证明：因为AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=90º，所以∠CAE=∠图2ABC=45º.因为△ACE≌△BCF，所以∠CBF=∠CAE=45º.所以∠EBF=∠ABC+∠CBF=45º+45º=90º.所以△EBF为直角三角形.根据勾股定理，得BE2+BF2=EF2.又AE=BF，所以BE2+AE2=EF2.。
鲁教版五四制 七年级下册 第十章 三角形的有关证明 复习习题 (含答案解析)
鲁教版五四制七年级下册第十章三角形的有关证明复习习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．只有丙2．如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在AC，BC上，且AD＝CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F.若PF＝3，则BP＝( )A．6B．5C．4D．34．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD 的面积为（）A．15B．12.5C．14.5D．175．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长,其中能构成直角三角形的是( )A．√3,√4,√5B．1,√2,√3C．6,7,8D．2,3,46．如图，在△ABC中，∠CAB=65∘，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′//AB，则旋转角的度数为()A．35∘B．40∘C．50∘D．65∘7．已知△ABC的三边分别是a、b、c，下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的是（）A．a2+b2=c2B．∠A+∠B=90°C．a=3，b=4，c=5 D．∠A：∠B：∠C=3：4：58．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（）A．10B．7C．5D．49．如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（）A．√102B．√104C．√105D．√510．如图，OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC=120°，则∠A=（）A．60°B．120°C．110°D．40°11．以下列三个正数为三边长度，能构成直角三角形的是（）A．1，2，3B．2，2，5C．2，3，√13D．4，5，612．如图，在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是A．15°B．30°C．50°D．65°13．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE 的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°14．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20∘，∠DAC=30∘，则∠BDC 的大小是( )A．100∘B．80∘C．70∘D．50∘15．已知等腰三角形的两边长是4和9，则等腰三角形的周长为（）A．17B．17或22C．22D．1616．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD平分∠ABC，则∠ABD的度数为（）A．30°B．40°C．20°D．25°17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°，DE垂直平分AB交BC于点E，BE＝4，则AC长为( )A．2B．3C．4D．以上都不对18．如图，在Rt⊿ABC中，∠A=90∘,BD平分∠ABC交AC于点D，且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是（）A．3B．4C．5D．619．如图，AB∥CD，∠ABK的角平分线BE的反向延长线和∠DCK的角平分线CF的反向延长线交于点H，∠K﹣∠H=27°，则∠K=（）A．76°B．78°C．80°D．82°20．如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN；④∠DAE=∠DBC．其中正确的有（）A．②④B．①②③C．①②④D．①②③④21．如图，△ABC中，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论不正确的是A．BF=DF B．∠1=∠EFD C．BF>EF D．FD∥BC22．如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD 的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．90°23．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1B．√2C．4－2√2D．3√2－424．如图，直线a，b，c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( )A．一处B．两处C．三处D．四处25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，若AD=4，CD=2，则BD的长为( )A．6B．2√7C．5D．2√526．如图，已知在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，给出下列结论：①BE=DF；②∠DAF=15∘;③AC垂直平分EF; ④BE+DF=EF．其中结论正确的共有( )．A．1个B．2个C．3个D．4个27．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④28．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为A．1B．2C．3D．429．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A 在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动.在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )A．6B．2√6C．2√5D．2√2＋230．如图,△ABC中,AB=4,AC=3,AD、AE分别是其角平分线和中线,过点C作CG⊥AD于F,交AB于G,连接EF,则线段EF的长为（）A．0.5B．1C．3.5D．731．若等腰三角形的一个内角为80°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．80°B．50°C．80°或50°D．80°或20°32．如图，在Rt△AEB和Rt△AFC中，BE与AC相交于点M，与CF相交于点D，AB与CF相交于N，∠E＝∠F＝90°，∠EAC＝∠FAB，AE＝AF.给出下列结论：①∠B＝∠C；②CD＝DN；③BE＝CF；④△ACN≌△ABM.其中正确的结论是( )A．①③④B．②③④C．①②③D．①②④33．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高．得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2= AF2+DE2．上述结论中正确的是( )A．②③B．②④C．①②③D．②③④34．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是( )A．20°或50°B．20°或60°C．30°或50°D．30°或60°35．如图，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列四个结论：①PA平分∠BAC；②AS=AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP，其中结论正确的的序号为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④36．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：BF；④AE=BG．其中正确的是①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12A．①②B．①③C．①②③D．①②③④37．.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，下列结论：①AE=CD；②BF=BG；③BH平分∠AHD；④∠AHC=60°；⑤△BFG是等边三角形；⑥FG∥AD，其中正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个38．如图，点P、Q分别是边长为6cm的等边ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，下面四个结论：①∠的度数不变，始终等于60︒④当第2秒或第4 BQ AM=②ABQ≌CAP③CMQ秒时，PBQ为直角三角形，正确的有（）个．A．1B．2C．3D．439．已知，如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于点P，下列说法：①∠APE=∠C，② AQ=BQ，③BP=2PQ, ④AE+BD=AB，其正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．440．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（）A．42 B．37 C．42或32 D．37或3241．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，….若∠A＝70°，则∠B n－1A n A n－1的度数为()A．702n⎛⎫︒⎪⎝⎭B．1702n+⎛⎫︒⎪⎝⎭C．1702n-⎛⎫︒⎪⎝⎭D．2702n+⎛⎫︒⎪⎝⎭42．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，P是半径OA上的一动点，PC⊥AB交⊙O于点C，在半径OB上取点Q，使得OQ=CP，DQ⊥AB交⊙O于点D，点C，D位于AB两侧，连接CD 交AB于点E，点P从点A出发沿AO向终点O运动，在整个运动过程中，△CEP与△DEQ 的面积和的变化情况是（）A．一直减小B．一直不变C．先变大后变小D．先变小后变大二、填空题43．如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，若∠A ＝70°，则∠BOC＝______．44．如图，∠BAC=30°，P是∠BAC平分线上一点，PM∥AC，PD⊥AC，PD=30，则AM=_____．45．如图，在△ABC中，AB=AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若∠A=32°，则∠CDB的大小为_____度．46．如图，在△ABC中，已知AD＝DE，AB＝BE，∠A＝85°，∠C＝45°，则∠CDE＝_____度．47．如图，点P是AOB内任意一点，OP=5cm，点P与点C关于射线OA对称，点P与点D关于射线OB对称，连接CD交OA于点E，交OB于点F，当△PEF的周长是5cm 时，∠AOB的度数是_____度．48．己知三角形三边长分别为√6，√6，2√3，则此三角形的最大边上的高等于_____________.49．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为__________．50．Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是_____．51．如图，在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，现点P从点B出发，沿BC向C点运动，运动速度为1m/s，若点P的运动时间为t秒，则当△ABP是直角三角形时，时间t4的值可能是_____．52．如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=______．53．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为_______°54．如图，P是等边三角形ABC中的一个点，PA=2，PB=2√3，PC=4，则三角形ABC的边长为________55．如图，已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，在OA上有一点M，OM＝10 cm，现要在OC，OA上分别找点Q，N，使QM＋QN最小，则其最小值为________．56．如图，已知等边△ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边△AB1C1；再以等边△AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边△AB2C2；再以等边△AB2C2的B2C2边上的高AB3为边作等边三角形，得到第三个等边△AB3C3；…，记△B1CB2的面积为S1，△B2C1B3的面积为S2，△B3C2B4的面积为S3，如此下去，则S n=_____．57．如图，Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，BE⊥CE，垂足是E，BE交AC于点D，F是BE上一点，AF⊥AE，且C是线段AF的垂直平分线上的点，AF=2√2，则DF=______．58．如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（6，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为_____．59．如图，已知在等腰三角形ABC中，AB＝AC，P，Q分别是边AC，AB上的点，且AP ＝PQ＝QC＝BC．则∠PCQ的度数为________．60．如图，△ABD是边长为3的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC=∠ABC=90°，则△CEF周长的最小值为______．61．（2016四川省眉山市）如图，已知点A是双曲线y=√6在第三象限分支上的一个动x点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象上运限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线y=kx 动，则k的值是________．62．如图，四边形ABCD中，∠B＝60°,∠C＝90°，AB＝6，AD＝2√7，E在BC上，连AE、DE，若∠EAD＝∠ADE，BE＝2，则DC＝_______.63．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值_____cm.64．已知：如图．在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E 三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD =CE ；②∠ACE +∠DBC =45°；③BD ⊥CE ；④∠BAE +∠DAC =180°．其中正确的有______．65．如图，平面直角坐标系中有等边△AOB ，点O 为坐标原点，OB ＝2√3，平行于x 轴且与x 轴的距离为1的线段CD 分别交y 轴、AB 于点C ，D .若线段CD 上点P 与△AOB 的某一顶点的距离为√5，则线段PC (PC ＜2.5)的长为____________．66．如图，在菱形纸片ABCD 中， 360AB A =∠=，，将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F G ，分别在边AB AD ，上，则tan EFG ∠的值为______ ．67．如图，边长为a 的等边△ACB 中，E 是对称轴AD 上一个动点，连EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转60°得到MC ，连DM ，则在点E 运动过程中，DM 的最小值是_____。
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三角形的有关证明单元测试题（二）山东沂源县徐家庄中心学校 256116 左效平时间: 120分钟满分:120分姓名:一、选择题：（每题4分，满分48分）1. 如图1，在△ABC和△DEF中，∠B=∠DEF，AB=DE，添加下列一个条件后，仍然不能证明△ABC≌△DEF，这个条件是（）A．∠A=∠D B．BC=EF C．∠ACB=∠F D．AC=DF2.下列说法中，不正确的是( )A．等腰三角形的两底角相等B．两边相等的三角形是等腰三角形C．等腰三角形的顶角最大为90°D．等腰三角形是一个轴对称图形3. 下列长度为边，构成三角形是直角三角形的是（）A．2,3,4 B．3,4,6 C．，，D．4,4,84. 如图2，已知三角形ABC,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线，DE交AB于D，连接CD，则CD的长为 ( )A.3B.4C.4.8D.55. 如图3，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中，错误的是（）A．PC=PD B．∠CPD=∠DOP C．∠CPO=∠DPO D．OC=OD6. 如图4，在Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A=30°,CD ⊥AB ，垂足为D,AC=8，则BD 的长为（ ）A ．4B ．2C ．D ．7. 如图5，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上，添加下列条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是 （ ）A ．PC⊥OA，PD⊥OB B ．OC=ODC ．∠OPC=∠OPD D ．PC=PD8. 如图6，在Rt△ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，则△ABD 的面积是 （ ）A ．15B ．30C ．45D ．609. 如图7，正方形ABCD 的边长为10，AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH ，则线段GH 的长为（ ）A.5 C. 14510. 如图8，在△PAB中，PA=PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM=BK，BN=AK，若∠MKN=44°，则∠P的度数为（）A．44°B．66°C．88°D．92°11. 如图9，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（）A B C D12. 如图10，Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，B点与0刻度线的一端重合，∠ABC=40°，射线CD绕点C转动，与量角器外沿交于点D，若射线CD将△ABC分割出以BC为边的等腰三角形，则点D在量角器上对应的度数是（）A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140°二、填空题：（每题4分，满分20分）13. 如图11，△ABC是等边三角形，E,F分别是BC,CA上的点，且BE=CF.连接AE,BF,交于点H,.则∠AHF 的度数为 .14. 在三角形ABC中，AB=AC，且∠B=40°，则∠A的度数为 .15. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图11所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图12所示），则该凸六边形的周长是cm．16. 如图13，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则点D到AB的距离是．17. 如图14，点D在△ABC边BC的延长线上，CE平分∠ACD，∠A＝80°，∠B＝40°，则∠ACE的大小是度．三、解答题（共7小题，满分52分）18. （满分5分）如图15所示，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E、F，AE=AF．求证：（1）PE=PF；（2）点P在∠BAC的角平分线上．19. （满分5分）已知：如图16，锐角△ABC的两条高BD、CE相交于点O，且OB=OC，（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．20. （满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，点D是腰AC的中点，延长BC到点E，使得CE=CD，延长BA到点F 使得AF=AD，若三角形ABC的一个角为40°，求∠EDF的度数.21. （满分8分）如图17，已知三角形ABC中，AB=AC，，D,E,F分别是边BC,AB,AC的中点.（1）连接EF，求证：EF∥BC；（2）连接AD，线段AD和EF有怎样的关系？证明你的猜想.22. （满分8分）如图19，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）三角形BCE的面积．23. （满分9分）已知：如图20，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△ABD≌△CAE；（2）连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．24. （满分9分）已知△ABN和△ACM位置如图21所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．参考答案：三角形的证明单元测试题（二）一、选择题：1. D．2. C．3. C．4. D.5. B6. D．7. D．8. B．9. B.10. D．11. B．12. D．二、填空题：（每题5分，满分25分）13. 60°14. 100°15.+1616. 3．17. 60°三、解答题（共7小题，满分52分）18.证明：（1）如图所示，连结AP，因为PE⊥AB，PF⊥AC，所以∠AEP=∠AFP=90°,又因为AE=AF，AP=AP，所以Rt△AEP≌Rt△AFP，所以PE=PF.（2）因为Rt△AEP≌Rt△AFP，所以∠EAP=∠FAP，所以AP是∠BAC的角平分线，故点P在∠BAC的角平分线上.19.解：（1）证明：因为OB=OC ，所以∠OBC=∠OCB．因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°又因为BC=CB，所以△BDC≌△CEB（AAS），所以∠DBC=∠ECB ，所以AB=AC ，所以△ABC是等腰三角形 (2)点O是在∠BAC的角平分线上．如图，连结AO. 因为BD、CE是两条高，所以∠BDC=∠CEB=90°，因为OB=OC ，∠BOD=∠COE,所以△BOD≌△COE（AAS），所以OD=OE．因为AO=AO，所以△ADO≌△AEO（HL），所以∠DAO=∠EAO ，所以点O 是在∠BAC的角平分线上．20.解：因为AF=AD ，所以∠F=∠ADF ，因为∠BAC 是三角形ADF 的一个外角，所以∠BAC=∠F+∠ADF ， 所以∠BAC=2∠ADF ，所以∠ADF=12∠BAC ； 因为CD=CE ，所以∠E=∠CDE ，因为∠BCA 是三角形CDE 的一个外角，所以∠BCA=∠E+∠CDE ，所以∠BCA=2∠CDE ，所以∠CDE=12∠BCA ；所以∠EDF=180°-∠ADF-∠CDE=180°-12∠BAC -12∠BCA ， 当∠BAC=40°时，因为AB=AC ，所以∠BCA=70°，所以∠EDF=180°-12∠BAC -12∠BCA=125°； 当∠BCA=40°时，因为AB=AC ，所以∠BAC=100°，所以∠EDF=180°-12∠BAC -12∠BCA=110°； 所以∠EDF 的度数为110°或125°.21.解：（1）因为AB=AC ，，E,F 分别是边AB,AC 的中点，所以AE=AF ，因为AB=AC ，所以∠ABC=∠ACB ， 所以2∠ABC=180°-∠BAC,所以∠ABC=90°-12∠BAC ，同理可证，∠AEF=90°-12∠BAC ， 所以∠ABC=∠AEF ，所以EF ∥BC ；（2）线段AD 和EF 的关系是：AD ⊥EF ，且AD 平分EF.理由：因为AB=AC,BD=DC ，所以AD ⊥BC ，因为EF ∥BC ，所以AD ⊥EF ，因为AE=AF ，所以GE=GF ，所以AD ⊥EF ，且AD 平分EF.22.解：（1）因为AD=2CD ，AC=3，所以AD=2，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，所以∠A=∠B=45°，，因为DE⊥AB，所以∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，所以AE=DE ，所以222AD DE AE =+,所以2222AE =,所以所以BE=AB ﹣，即线段BE 的长为；（2）过点E 作EH⊥BC，垂足为点H ，如图所示：因为∠B=45°，∠EHB=90°，所以∠B EH =45°，所以∠B=∠B EH ，所以EH=HB ，所以222BE EH BH =+,所以222EH =,所以EH=2,所以三角形BCE 的面积为： 113222BC EH ⨯⨯=⨯⨯=3 .23.证明：（1）因为AB=AC，所以∠B=∠ACD，因为AE∥BC，所以∠EAC=∠ACD，所以∠B=∠EAC，因为AD是BC边上的中线，所以AD⊥BC，因为CE⊥AE，所以∠ADC=∠CEA=90°在△ABD和△CAE中，因为EAC BCEA ADBAC AB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ABD≌△CAE（AAS）；（2）AB=DE且AB∥DE.理由如下：连接DE，因为AD⊥BC，AE∥BC，所以AD⊥AE，因为CE⊥AE，所以∠DAE=∠CEA=90°，由（1）知：△ABD≌△CAE，所以AD=CE，在△A DE和△ECA中，因为AE AECEA DAECE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△A DE≌△ECA，所以DE=AC，因为AB=AC，所以DE=AB；因为△A DE≌△ECA，所以∠ADE=∠AC E，所以∠EDC=∠AC B，所以∠EDC=∠B，所以AB∥DE，所以二者的关系是AB=DE且AB∥DE.24.（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ABD≌△ACE（SAS ）所以BD=CE ；（2）证明：因为∠1=∠2，所以∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，所以∠BAN=∠CAM， 由（1）得：△ABD≌△ACE，所以∠B=∠C， 在△ACM 和△ABN 中，B C AB AC CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩,所以△ACM≌△ABN（ASA ），所以∠M=∠N．。