离散数学笔记

第一章命题逻辑

内容：

命题及命题联结词、命题公式的基本概念，真值表、基本等价式及永真蕴涵式，命题演算的推理理论中常用的直接证明、条件证明、反证法证明等方法教学目的：

1．熟练掌握命题、联结词、复合命题、命题公式及其解释的概念。

2．熟练掌握常用的基本等价式及其应用。

3．熟练掌握（主）析/合取范式的求法及其应用。

4．熟练掌握常用的永真蕴涵式及其在逻辑推理中的应用。

5．熟练掌握形式演绎的方法。

教学重点：

1．命题的概念及判断

2．联结词，命题的翻译

3．主析（合）取范式的求法

4．逻辑推理

教学难点：

1．主析（合）取范式的求法

2．逻辑推理

1.1命题及其表示法

1.1.1 命题的概念

数理逻辑将能够判断真假的陈述句称作命题。

1.1.2 命题的表示

命题通常使用大写字母A，B，…，Z或带下标的大写字母或数字表示，如A i，[10]，R等，例如A1：我是一名大学生。A1:我是一名大学生.[10]：我是一名大学生。R：我是一名大学生。

1.2命题联结词

（1） P↑P⇔﹁（P∧P）⇔﹁P；

（2）（P↑Q）↑（P↑Q）⇔﹁（P↑Q）⇔ P∧Q；

（3）（P↑P）↑（Q↑Q）⇔﹁P↑﹁Q⇔ P∨Q。

（1）P↓P⇔﹁（P∨Q）⇔﹁P；

（2）（P↓Q）↓（P↓Q）⇔﹁（P↓Q）⇔P∨Q；

（3）（P↓P）↓（Q↓Q）⇔﹁P↓﹁Q⇔﹁（﹁P∨﹁Q）⇔P∧Q。

1.3 命题公式、翻译与解释

1.3.1 命题公式

定义命题公式，简称公式，定义为：（1）单个命题变元是公式；（2）如果P 是公式，则﹁P是公式；（3）如果P、Q是公式，则P∧Q、P∨Q、P→Q、 P↔Q 都是公式；（4）当且仅当能够有限次的应用(1) 、(2)、(3) 所得到的包括命题变元、联结词和括号的符号串是公式。

例如，下面的符号串都是公式：

（（（（﹁P）∧Q）→R）∨S）

（（P→﹁Q）↔（﹁R∧S））（﹁P∨Q）∧R

以下符号串都不是公式：

（（P∨Q）↔（∧Q））（∧Q）

1.3.2 命题的翻译

可以把自然语言中的有些语句，转变成数理逻辑中的符号形式，称为命题的翻译。

命题翻译时应注意下列事项：

（1）确定所给句子是否为命题。

（2）句子中联结词是否为命题联结词。

（3）要正确的选择原子命题和合适的命题联结词。

例：假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

解：设P：上午下雨；Q：我去看电影；R：我在家里读书；S：我在家里看报。

本例可表示为：（⌝P→Q）∧（P→（R∨S））。

1.3.3 命题公式的解释定义

设P1，P2，…，P n是出现在命题公式G中的全部命题变元，指定P1，P2，…，P n的一组真值，称这组真值为G的一个解释或赋值，记作I，公式G在I下的真值记作T I（G）。

例如，

是G的一个解释，在这个解释下G的真值为1，即T I（G）=1。

1.4 真值表与等价公式

1.4.1 真值表

定义将公式G在其所有解释下所取得的真值列成一个表，称为G的真值表。

构造真值表的方法如下：

（1）找出公式G中的全部命题变元，并按一定的顺序排列成P1，P2，…，P n。（2）列出G的2n个解释，赋值从00…0（n个）开始，按二进制递加顺序依次写

出各赋值，直到11…1为止（或从11…1开始，按二进制递减顺序写出各赋值，直到00…0为止），然后从低到高的顺序列出G的层次。

（3）根据赋值依次计算各层次的真值并最终计算出G的真值。

定义设G为公式：（1）如果G在所有解释下取值均为真，则称G是永真式或重言式；（2）如果G在所有解释下取值均为假，则称G是永假式或矛盾式；（3）如果至少存在一种解释使公式G取值为真，则称G是可满足式。

1.4.3 等价公式

定义设A和B是两个命题公式，如果A和B在任意赋值情况下都具有相同的真值，则称A和B是等价公式。记为A⇔B。

性质定理

设A、B、C是公式，则

（1）A⇔A

（2）若A⇔B则B⇔A

（3）若A⇔B且B⇔C则A⇔C

定理设A、B、C是公式，则下述等价公式成立：

（1）双重否定律⌝⌝A⇔A

（2）等幂律 A∧A⇔A ； A∨A⇔A

（3）交换律 A∧B⇔B∧A ； A∨B⇔B∨A

（4）结合律（A∧B）∧C⇔A∧（B∧C）

（A∨B）∨C⇔A∨（B∨C）

（5）分配律（A∧B）∨C⇔（A∨C）∧（B∨C）

（A∨B）∧C⇔（A∧C）∨（B∧C）

（6）德·摩根律⌝（A∨B）⌝⇔A∧⌝B

⌝（A∧B）⇔⌝A∨⌝B

（7）吸收律 A∨（A∧B）⇔A；A∧（A∨B）⇔A

（8）零一律 A∨1⇔1 ； A∧0⇔0

（9）同一律 A∨0⇔A ； A∧1⇔A

（10）排中律 A∨⌝A⇔1

（11）矛盾律 A∧⌝A⇔0

（12）蕴涵等值式 A→B⇔⌝A∨B

（13）假言易位 A→B⇔⌝B→⌝A

（14）等价等值式 A↔B⇔（A→B）∧（B→A）

（15）等价否定等值式 A↔B⇔⌝A↔⌝B⇔⌝B↔⌝A

（16）归缪式（A→B）∧（A→⌝B）⇔⌝A

1.4.4 置换规则

定理（置换规则）设ϕ（A）是一个含有子公式A的命题公式，ϕ（B）是用公式B置换了ϕ（A）中的子公式A后得到的公式，如果A⇔B，那么ϕ（A）⇔ϕ（B）。

1.5 对偶与范式

1.5.1 对偶

定义在仅含有联结词Ø、∧、∨的命题公式A中，将联结词∧换成∨，将∨换成∧，如果A中含有特殊变元0或1，就将0换成1，1换成0，所得的命题公式A*称为A的对偶式。

例：公式（⌝P∨Q）∧（P∨⌝Q）的对偶式为：（⌝P∧Q）∨（P∧⌝Q）定理设A和A*互为对偶式，P1，P2，…，P n是出现在A和A*中的所有原子

变元，若将A和A*写成n元函数形式，则

（1）⌝A（P1，P2，…，P n）⇔A*（⌝P1，⌝P2，…，⌝P n）

（2）A（⌝P1，⌝P2，…，⌝P n）⇔⌝A*（P1，P2，…，P n）

定理（对偶原理）设A、B是两个命题公式，若AÛB，则A*⇔B*，其中A*、B*分别为A、B的对偶式。

1.5.2 范式

定义仅由有限个命题变元及其否定构成的析取式称为简单析取式，仅由有限个命题变元及其否定构成的合取式称为简单合取式。

定义仅由有限个简单合取式构成的析取式称为析取范式。仅由有限个简单析取式构成的合取式称为合取范式。

定理（范式存在定理）任何命题公式都存在着与之等价的析取范式和合取范式。

1.5.3 主范式

定义在含有n个命题变元P1，P2，…，P n的简单合取范式中，若每个命

题变元或其否定不同时存在，但二者之一必出现且仅出现一次，且第i个命题变元或其否定出现在从左起的第i个位置上（若命题变元无脚标，则按字典顺序排列），这样的简单合取式称为极小项。相应的，满足上述条件的简单析取式称为极

大项。n个命题变元P1，P2，…，P n的极小项用公式可表示为 P i* ，极大项可表示为P i*，其中，P i*为P i或⌝P i（i=1，2，…，n）。

定义设G为公式，P1，P2，…，P n为G中的所有命题变元，若G的析取范式中每一个合取项都是P1，P2，…，P n的一个极小项，则称该析取范式为G的主析取范式。矛盾式的主析取范式为0。