数值分析4.3
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社
李庆扬数值分析第五版习题答案清华大学出版社数值分析是一门研究数值计算方法的学科，它应用于各个领域，解决了许多实际问题。
《李庆扬数值分析第五版习题答案》是一本为读者提供数值分析习题解答的参考书，由清华大学出版社出版。
第一章误差1.1 绝对误差与相对误差在数值计算过程中，由于测量、取近似值和舍入误差等原因，我们常常会得到与真实值有一定偏差的结果。
绝对误差和相对误差是描述数值计算结果与真实值之间误差大小的衡量标准。
绝对误差表示实际值和计算值之间的差别，相对误差则是绝对误差与实际值之比。
1.2 舍入误差与有效数字在数值计算中，由于计算机底层的二进制表示以及计算机在表示无穷和无法精确表示的数字时需要进行近似，会导致舍入误差。
有效数字是用来表示浮点运算结果的一种方式，能够控制舍入误差的影响。
第二章插值与多项式逼近2.1 插值问题的提出插值问题是在有限数据点的基础上，构造一个与这些数据点足够接近的函数。
插值的目的是通过已知数据点之间构造一个函数，使得通过这个函数计算的结果近似于真实的未知数据点的值。
2.2 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是通过构造一个基于已知数据点的多项式函数，来实现对未知数据点的预测。
它通过对每个数据点进行加权，以使得插值多项式通过这些数据点。
2.3 牛顿插值法牛顿插值法是通过使用差商的概念，构造一个多项式函数来进行插值。
差商是指由数据点的函数值所决定的差分系数。
第三章数值积分与数值微分3.1 数值积分的基本思想数值积分是通过将区间进行离散化，将连续变量转化为离散变量的和，从而实现对曲线下面积的近似计算。
3.2 复合求积公式复合求积公式将整个区间分割为若干子区间，对每个子区间进行积分，并将结果相加得到最终的数值积分结果。
通过增加子区间的数量，可以提高数值积分的精确度。
3.3 数值微分的基本思想数值微分是通过利用离散数据点之间的差值，来近似计算函数在某个点处的导数。
第四章线性方程组的数值解法4.1 线性方程组的求解线性方程组的求解是数值分析中的一个重要问题。
数值分析第4章(2)
12/14
0.76 −0.01 −0.14 −0.16 x1 −0.01 0.88 −0.03 0.05 x 2 −0.14 −0.03 1.01 −0.12 x3 −0.16 0.05 −0.12 0.72
Back Close
“g ê N , ˜ k := 0.
(2) d ª (4.16) ½ ª (4.18) O Ž x(k+1). (3) e b − Ax(k+1) / b
C q ).
ε, K Ê Ž, Ñ Ñ x(k+1) Š • • § |
(4) ˜ x(k) := x(k+1), k := k + 1, = Ú ½ (2).
(I − ω D −1L)x(k+1) = [(1 − ω )I + ω D −1U ]x(k) + ω D −1b,
=
9/14
(D − ω L)x SOR S “
(k +1)
= [(1 − ω )D + ω U ]x
(k )
+ ω b.
OŽ‚ª•
x(k+1) = (D − ω L)−1 [(1 − ω )D + ω U ]x(k) + ω b ,
Š â Ž { 4.3, ? › MATLAB § S X e.
11/14
• SOR S “ { MATLAB § S %§ S4.3--msor.m function [x,iter]=msor(A,b,omega,x,ep,N) if nargin<6, N=500; end if nargin<5, ep=1e-6; end if nargin<4, x=zeros(size(b)); end if nargin<3, omega=1.2; end
数值分析习题
1.1 求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限)1.0ln(,121,1011,1014321====x x x x1.2 下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。
3*5*4*3*2*1100.5,5000,50.31,3015.0,0315.0⨯=====x x x x x1.3 为了使31的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?1.4 怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?(1) x x sin )sin(-+ε,其中ε充分小 (2) ⎰++121N Nx dx,其中N 是充分大的正数(3)xxsin cos 1-,其中x 充分小(4) o 1cos 1- (5) 1001.0-e(6) )11010ln(84--1.5 求方程01562=+-x x 的两个根, 使至少具有四位有效数字。
2.1 证明方程043=-+x x 在区间[1,2]内有且仅有一个根。
如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)2.2 用二分法求方程0134=+-x x 在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求21021-⨯=ε。
2.3 找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求210-=ε。
(1) 02=--x x ；(2) 06cos 2=-++-x e x x ； (3) 01tan =--x x ； (4) 0sin 2=--x e x 。
2.4 考虑方程032=-x e x ，将其改写为3xex ±=，取00=x ，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求310-=ε)。
2.5 为求方程0123=--x x 在5.1=x 附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：(1) 2121111kk x x xx +=⇒+=+，；(2) 3212311k k x x x x +=⇒+=+，；(3) 111112-=⇒-=+k k x x x x ，。
数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的搜索精度下的最大sigma值。
数值分析题库1
第一章 绪论 2 第二章 函数插值 3 第三章 函数逼近 6 第四章 数值积分与数值微分 10 第五章 解线性方程组的直接解法 13 第六章 解线性方程组的迭代解法 14 第七章 非线性方程求根 16 第九章 常微分方程初值问题的数值解法 19
第一章 绪论
1.1 要使的相对误差不超过0.1%，应取几位有效
解 对y=f(x)的反函数进行三次插值，插值多项式为
+ + + =, 于是有
。
第三章 函数逼近
3.1证明定义于内积空间H上的函数是一种范数。
证明： 正定性当且仅当时； 齐次性 设为数域K上任一数 三角不等式 ；
于是有 故是H上的一种范数。
3.2求，在空间上的最佳平方逼近多项式，并给出 误差。
解： 第一步：构造内积空间上的一组正交基，其中内积： 第二步：计算的二次最佳平方逼近多项式 从第一步已经知道，利用公式得： 误差为：
数字？
解：
的首位数字。 设有 n位有效数字，由定理知相对误差限 令， 解得，即需取四位有效数字.
1.2 序列满足关系式，若，计算到，误差有多
大？这个算法稳定吗？
解：，于是 ，一般地，因此计算到其误差限为，可见这个计算过程是不稳定的。
1.3 计算球的体积，要使相对误差限为1%，问测 量半径R时允许的相对误差限是多少？
4.1、计算积分，若用复化梯公式，问区间应分多 少等份才能使截断误差不超过？若改用复化辛普 森公式，要达到同样的精度，区间应分多少等 份？
解：由于，，,故对复化梯公式，要求 ，
即，.取，即将区间分为等份时，用复化梯公式计算，截断误差不超过. 用复化辛普森公式，要求 ，
即，.取，即将区间等分为8等份时，复化辛普森公式可达精度.
数值分析教案
数值分析教案一、引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算的学科，通过数值方法求解数学问题的近似解。
本教案以数值分析为主题，旨在帮助学生理解数值分析的基本概念和方法，并培养其数值计算与问题解决的能力。
二、教学目标1. 理解数值分析的基本定义和应用领域；2. 掌握数值分析的常用技术和算法；3. 能够利用数值方法解决实际问题，如数值积分、方程求根等；4. 培养学生的编程思维和解决实际问题的能力。
三、教学内容1. 数值分析的概述1.1 数值分析的定义和发展历程1.2 数值分析的应用领域2. 数值逼近与插值2.1 插值多项式的定义和性质2.2 插值方法的选择与应用2.3 最小二乘逼近的原理和方法3. 数值微积分3.1 数值求导的基本原理和方法3.2 数值积分的基本原理和方法3.3 数值微分方程的初值问题求解4. 数值线性代数4.1 线性方程组的直接解法4.2 线性方程组的迭代解法4.3 线性最小二乘问题及其解法5. 非线性方程求解5.1 非线性方程求解的基本概念5.2 数值解法的选择与比较5.3 牛顿法与割线法的原理和应用四、教学方法1. 理论授课：通过讲解数值分析的基本概念和方法，帮助学生建立起基本的数值计算思维；2. 计算机实验：利用数值分析软件或编程语言，进行相应的数值计算实验，加深学生对数值方法的理解和应用；3. 课堂讨论：引导学生结合实际问题，讨论并解决数值计算过程中的困难和挑战；4. 课后作业：布置相关的数值计算作业，加强学生对数值分析的巩固和应用能力。
五、教学评价1. 平时表现：包括课堂参与、实验报告完成情况等；2. 课堂小测：针对教学内容进行的小型测试，检验学生对数值分析知识的理解；3. 期末考试：综合考察学生对数值分析知识和应用的掌握程度。
六、教学资源1. 教材：《数值分析导论》（教师自备教材）；2. 计算机实验室：配备数值分析软件和编程环境。
七、教学进度安排1. 第一周：数值分析的概述；2. 第二周：数值逼近与插值；3. 第三周：数值微积分；4. 第四周：数值线性代数；5. 第五周：非线性方程求解；6. 第六周：综合复习和考试。
数值分析学习公式总结
第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法 用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 。
如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ， 则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。
定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。
如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法 对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法 ）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步 令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ； 第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值 判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章 插值与多项式逼近·第一节 泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。
数值分析课后答案（4）
数值分析课后答案（4）习题四1.已知ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0.8329, 试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差解：线形插值：取02.0x = 00.6931y = 12.2x = 10.7885y = 22.3x = 20.8329y = 110 2.1 2.3 2.1 2.0(0)(1)0.69310.832901102.0 2.32.3 2.0x x x x L f x f x x x x x ----=+=+----=0.7410抛物线插值：12200102()()()()x x x x l x x x x --=-- 02211012()()()()x x x x l x x x x --=-- 01222021()()()()x x x x l x x x x --=--2200211222L l y l y l y =++=0.7422.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值解：解：取00x = 12x = 23x = 35x = 12330010203()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 023********()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---01332202123()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=--- 01233303132()()()()()()x x x x x x l x x x x x x ---=---3300311322333L l y l y l y l y =+++=1156261310323++-x x x3.设函数f(x)在[a,b]上具有直到二阶的连续导数,且f(a)=f(b)=0, 求证:2"1m ax |()|()m ax |()|8a x ba x bf x b a f x ≤≤≤≤≤-解：取01;x a x b ==，1()()0x a x b L f a f b a bb a--=+=--''''211()()()|()()||()()|||||224f f b a R f x L x x a x b εε-=-≤--≤∴''21()()|()||()|||||24f b a f x L x ε-≤+''1()|()||||()|8f L x b a ε=+-|||8)("|a b f -=ε4.证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足∑==ni ki n ki x x l x 0,)(, n k ≤≤0解：取()kf x x = 则n 0()nki i Ln lx x ==∑(1)()()()!n nii fx f x Ln Rn x x n +=-==-∑(1)0()()!k n nii x x x n +==-∑=0所以()()f x Ln x = 即证 5.证明 )(')()()(,xi x x x x l n i n i n ωω-=证明：、01110111()()()()()ln ()()()()()i i n i i i i i i i n x x x x x x x x x x i x x x x x x x x x x -+-+-----= -----01110111()()()()()()()()()()i i ni i ii i i i i nix x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+------=------取 0111()()()()()()n i ii n x x xx xxxx x x x x ω-+=------则 '1020111011()()()())()()()()()()()()()n nn i in n x x x x x x x x x x x x x xx xx x x x x x x x x xxω-+-=--+---+-----++--- （'0111()()()()()()n i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x ω-+=-----所以，'()ln ()()n i n i x i x x x ωω=-6.设nn x a x a a x f ++=10)(有n 个不同的实根.,,21n x x x证明:=-=∑11,0)('n ni i kia x f x证明：取()kx x ?= 1()()n n x x xx ω=-- 而，0()nn f x a a x =++ 有n 个不同的实根。
北京航空航天大学数值分析课程知识点总结
1 ，其中 1 和 n 分别是矩阵 A 的 n
2.4 迭代法
2.4.1 迭代法的一般形式及其收敛性
x ( k 1) Gx ( k ) d (k 0,1,...)
定义 设 n n 矩阵 G 的特征值是 1 , 2 ,..., n ，称 (G ) max | i | 为矩阵 G 的谱半径。
n T
x 1 xi
i 1
n
x2 x
则 1 ， 2 和 都是向量范数。 定理 1.2 设
x
i 1 1 i n
n
2 i
max xi
和
是 R 上的任意两种向量范数，则存在与向量 x 无关的常数 m 和
n
M(0<m<M)，使下列关系式成立
m x
1.3.2 矩阵范数
~
若 f '(a ) 0 且 | f ''( a ) | / | f '( a ) | 不很大，则有误差估计
e(u ) f '(a )e(a )
~
(u ) f '(a) (a)
~
。
若 f '(a ) f ''(a ) ... f
( k 1)
(a ) 0, f
(k )
... ... ... ... ln ,n 1
为节省空间，用 C(m,n)存储 A 的带内元素，其中 m=r+s+1，并且 aij ci j s 1, j 。 2.2.5 拟三对角线性方程组的求解方法
a1 d 2 A cn p1 d 2 r1
e xa e ，称 er 为近似值 a 的相对误差。由于 x 未知，实际上总把 作为 a 的 x x a e xa ， 相对误差一般用百分比表示。er 的上界， 即r a a |a|
《数值分析-李庆杨》第4章 数值积分与数值微分-文档资料
(a
b).得到的求积公式就是中矩形公式。再令
数
f (x) x2, 代入(1.4)式的第三式有
值
分 析 》
A0 x02
(b
a)( a
b)2 2
b
a 4
(a2
b2)
b x2dx 1 (b3 a3 ),
a
3
说明中矩形公式对f (x) x2不精确成立，故它的代数精确度为1.
当f(x)=x2时(1.4)式的第三个式子不成立，因为
b a (a2 b2 ) b x2dx 1 (b3 a3).
2
a
3
故梯形公式(1.1)的代数精确度为1.
第4章 数值积分与数值微分
在方程组(1.4)中如果节点xi及系数Ai都不确定，那么方 程组(1.4)是关于xi及Ai(i=0,1,…,n)的2n+2个参数的非线性方 程组。此方程组当n>1时求解是很困难的，但当n=0及n=1的 情形还可通过求解方程组(1.4)得到相应的求积公式。
练习 设有求积公式
1
1 f (x)dx A0 f (1) A1 f (0) A2 f (1)
试确定系数A0, A1, A2, 使上述求积公式的代数精度尽量高.
三、插值型求积公式
第4章 数值积分与数值微分
在n 1个互异节点a x0 x1 xn b上已知函数值f0,
A1
1（b a）.于是得 2
数 值
I ( f ) b f ( x)dx b a [ f (a) f (b)]
a
2
分
析 这就是梯形公式(1.1),它表明利用线性方程组(1.4)推出的求积公式，
中科院数值分析课件
中科院数值分析课件目录1. 内容概括 (3)1.1 数值分析概述 (3)1.2 数值分析的重要性 (4)1.3 数值分析的常用方法 (5)2. 线性方程组的数值解法 (7)2.1 直接法 (8)2.1.1 高斯消元法 (9)2.1.2 齐次线性方程组的解 (10)2.1.3 非齐次线性方程组的解 (10)2.2 迭代法 (11)2.2.1 消元迭代法 (12)2.2.2 迭代加速方法 (12)3. 矩阵特征值与特征向量的计算 (14)3.1 特征值和特征向量的基本概念 (15)3.2 实对称矩阵的特征值与特征向量 (15)3.3 不可对角化矩阵的特征值与特征向量 (16)4. 线性方程组的求解 (18)4.1 稳定性分析 (19)4.2 误差分析 (20)4.3 稳定算法的选择与应用 (21)5. 矩阵运算的数值稳定性 (22)5.1 矩阵运算的数值误差 (24)5.2 矩阵运算的稳定性 (25)5.3 稳定性分析的方法 (26)6. 插值方法 (27)6.1 插值问题的基本概念 (29)6.2 插值多项式的构造 (30)6.2.1 线性插值 (31)6.2.2 二次插值 (31)6.2.3 高次插值 (32)6.3 插值误差分析 (33)7. 数值微分与数值积分 (33)7.1 数值微分 (35)7.1.1 有限差分法 (35)7.1.2 傅里叶级数法 (37)7.2 数值积分 (38)7.2.1 牛顿科特斯公式 (39)7.2.2 高斯积分法 (40)8. 常微分方程的数值解法 (40)8.1 基本概念 (41)8.2 常微分方程的初值问题 (42)8.2.1 一阶常微分方程的初值问题 (43)8.2.2 高阶常微分方程的初值问题 (44)8.3 常微分方程的边值问题 (44)9. 数值方法的应用 (45)9.1 科学计算中的应用 (46)9.2 工程计算中的应用 (48)9.3 经济计算中的应用 (49)10. 总结与展望 (50)10.1 数值分析的发展趋势 (51)10.2 数值分析的未来应用前景 (53)1. 内容概括本课件旨在为研究生和高年级本科生提供数值分析领域的最新知识与技术。
数值分析PPT
A为待定系数，利用导数条件 P3'(x1) m1 ，求出A， 但求出的 P3(x)通常为3次多项式，
一般情况下 P3(x) 也有可能为二次多项式，
原来方法更加准确。
（2）求余项: R(x)=f(x)－P3(x)
易知: x0, x2是R(x)的一重零点，x1 为R(x)的二重零点,
∴ R(x)可写为
多项式，则对任何 x a,b 有:
Rn (x)
f (n1) ( ) (n 1)!
Wn
1
(
x)
n
其中 Wn1(x) (x xi ), (a,b) ，且与x有关。 i0
证明：考虑插值节点上有 Rn (xi ) 0 (i 0,1,,n)
∴ 这些节点是 Rn (x) 的零点,
可设 Rn (x) k(x) Wn1(x)
∴ K(x) 1 f 4 ( )
4!
∴插值余项为R(x) =
1 4!
f
4 (
)(x
x0
)(x
x1 )2
(x
x2
)
在插值区间内与x有关.
4.5 埃尔米特插值（Hermite 法国数学家）
有时插值函数不仅要求在节点上与原函数相同，还要求 其导数的值与原函数的值相同，即要求
H2n＋1(xi)=f (xi)， H’2n＋1(xi)=f ’(xi) i=0、1、…、n
1 i k lk (xi ) 0 i k
n
则插值多项式为: Ln (x) yi li (x) i0
lk (x) 构造过程：
上式表明：n 个点 x0 , x1, xk1, xk1, xn 都是 lk (x) 的零点。
lk (x) Ak (x x0 )(x x1) (x xk1)(x xk1) (x xn )
数值分析习题第四章
第四章 习题1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()⎰--++-≈hhh f A f A h f A dx x f 110；（2）()()()()⎰--++-≈hh h f A f A h f A dx x f 221010；（3）()()()()[]3/3211121⎰-++-≈x f x f f dx x f ；（4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h'0'2/020+++≈⎰解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++---3112111013202h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 3431011===-，。
所求公式至少具有2次代数精度。
又由于()()()()4443333333h h h h dx x h h h h dx x h hhh⎰⎰--+-≠+-≈故()()()()⎰--++-≈hhh f A f A h f A dx x f 110具有三次代数精度。
（2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()21x x x f ，，=准确成立，得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++---31121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34316424381011-=-=-===-，故()()()[]()0343822hf h f h f h dx x f hh -+-≈⎰- 因()⎰-=hhdx x f 220而()()[]03833=+-h h h 又[]445562243831652h h h h h dx x hh +=≠=⎰-所以求积公式只具有三次代数精度。
《数值分析》上机实验报告
数值分析上机实验报告《数值分析》上机实验报告1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。
1.1 理论依据：设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件{}αϕ上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号在区间],[0)(3,2,1,0,)(')()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20)()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f ab c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==-==∈≤-≠>+令)9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>⋅''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f故以1.9为起点⎪⎩⎪⎨⎧='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。
当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。
本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。
1.2 C语言程序原代码：#include<stdio.h>#include<math.h>main(){double x2,f,f1;double x1=1.9; //取初值为1.9do{x2=x1;f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14;f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3);x1=x2-f/f1;}while(fabs(x1-x2)>=0.00001||x1<0.1); //限制循环次数printf("计算结果：x=%f\n",x1);}1.3 运行结果：1.4 MATLAB上机程序function y=Newton(f,df,x0,eps,M)d=0;for k=1:Mif feval(df,x0)==0d=2;breakelsex1=x0-feval(f,x0)/feval(df,x0);ende=abs(x1-x0);x0=x1;if e<=eps&&abs(feval(f,x1))<=epsd=1;breakendendif d==1y=x1;elseif d==0y='迭代M次失败';elsey= '奇异'endfunction y=df(x)y=7*x^6-28*4*x^3;Endfunction y=f(x)y=x^7-28*x^4+14;End>> x0=1.9;>> eps=0.00001;>> M=100;>> x=Newton('f','df',x0,eps,M);>> vpa(x,7)1.5 问题讨论：1.使用此方法求方解，用误差来控制循环迭代次数，可以在误差允许的范围内得到比较理想的计算结果。
数值分析报告上机题课后作业全部-东南大学
实用标准文案文档大全上机作业题报告2015.1.9 USER1.Chapter 11.1题目设S N =∑1j 2−1N j=2，其精确值为)11123(21+--N N 。
（1）编制按从大到小的顺序11131121222-+⋯⋯+-+-=N S N ，计算S N 的通用程序。
（2）编制按从小到大的顺序1211)1(111222-+⋯⋯+--+-=N N S N ，计算S N 的通用程序。
（3）按两种顺序分别计算64210,10,10S S S ,并指出有效位数。
（编制程序时用单精度） （4）通过本次上机题，你明白了什么？1.2程序1.3运行结果1.4结果分析按从大到小的顺序，有效位数分别为：6，4，3。
按从小到大的顺序，有效位数分别为：5，6，6。
可以看出，不同的算法造成的误差限是不同的，好的算法可以让结果更加精确。
当采用从大到小的顺序累加的算法时，误差限随着N 的增大而增大，可见在累加的过程中，误差在放大，造成结果的误差较大。
因此，采取从小到大的顺序累加得到的结果更加精确。
2.Chapter 22.1题目（1）给定初值0x 及容许误差ε，编制牛顿法解方程f(x)=0的通用程序。
（2）给定方程03)(3=-=x xx f ,易知其有三个根3,0,3321=*=*-=*x x x○1由牛顿方法的局部收敛性可知存在,0>δ当),(0δδ+-∈x 时，Newton 迭代序列收敛于根x2*。
试确定尽可能大的δ。
○2试取若干初始值，观察当),1(),1,(),,(),,1(),1,(0+∞+-----∞∈δδδδx 时Newton 序列的收敛性以及收敛于哪一个根。
（3）通过本上机题，你明白了什么？2.2程序2.3运行结果（1）寻找最大的δ值。
算法为：将初值x0在从0开始不断累加搜索精度eps，带入Newton迭代公式，直到求得的根不再收敛于0为止，此时的x0值即为最大的sigma值。
运行Find.m，得到在不同的（2）运行Newton.m可见，在（−1，−δ）内取初值，Newton序列收敛，且收敛于根√3。
《数值分析》课程设计—16题
《数值分析》课程设计—作业实验一1.1水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲惫，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰多一只猴子，私藏一堆，再去入睡，天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子，试问原先共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。
解：一、问题分析：对于本题，比较简单，我们只需要判断原来椰子的个数及每个人私藏了一份之后剩下的是否能被5除余1，直到最后分完。
对于第一个程序，n取2000；对于第二个程序，n取20001，就能得到我们想要的结果，即原先一共有15621个椰子，最终平均每人得4092个椰子。
1.2 当0,1,2,,100n =时，选择稳定的算法计算积分10d 10nxn xe I x e --=+⎰. 解：一、问题分析：由10d 10nxn xe I x e --=+⎰知： 1101001==+⎰dx I I 以及： )1(11010101010)1(1nnx x nx x n n n e ndx e dx e e e I I ----+-+-==++=+⎰⎰ 得递推关系： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-+n nn I e n I I I 10)1(1101101， 但是通过仔细观察就能知道上述递推公式每一步都将误差放大十倍，即使初始误差很小，但是误差的传播会逐步扩大，也就是说用它构造的算法是不稳定的，因此我们改进上述递推公式（算法）如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+-))1(1(101)1(101110n n n I e n I I I通过比较不难得出该误差是逐步缩小的，即算法是稳定的。
二、问题求解：为了利用上面稳定的算法，需要我们估计初值100I 的值。
数值分析课程方案报告(分)
数值分析课程设计报告设计题1、2、3、5学院、系：专业：姓名：学号：任课教师：提交日期：电子邮箱：目录[设计题一]31.1问题分析与设计思路31.2程序清单41.4 结果分析71.5设计总结7[设计题二]82.1问题分析与设计思路82.2程序清单82.3 运行结果102.4结果分析与设计总结10 [设计题三]113.1问题分析与设计思路113.2程序清单113.3 运行结果133.4结果分析与设计总结13 [设计题五]144.1问题分析与设计思路144.2程序清单154.3 运行结果204.4结果分析21【数值分析课程设计总结】22[设计题一]设计实验验证Hilbert矩阵的病态性。
1.1问题分析与设计思路在求解任何反问题的过程中通常会遇到病态矩阵问题，而且病态矩阵问题还未有很好的解决方法，尤其是长方形、大型矩阵。
目前主要有Tikhonov、奇异值截断、奇异值修正等方法。
求解方程组时对数据的小扰动很敏感的矩阵就是病态矩阵。
解线性方程组Ax=b时，若对于系数矩阵A及右端项b的小扰动δA、δb,方程组(A+δA>χ=b+δb的解χ与原方程组Ax=b的解差别很大，则称矩阵A为病态矩阵。
方程组的近似解χ一般都不可能恰好使剩余r=b-Aχ为零，这时χ亦可看作小扰动问题Aχ=b-r(即δA=0，δb=-r>的解,所以当A为病态时,即使剩余很小,仍可能得到一个与真解相差很大的近似解。
因此，设计思路如下：令x0=<1,1…..1），计算出b=Hx0，求出b，然后再用高斯消去法球解Hx=b，得到近似解x，然后利用标准差：比较x与x0之间的误差。
截图是取了几个n<程序中设置为1至30）去计算，看一下随着n的增大误差的变化情况。
1.2程序清单共两个文件qm1.mgauss_liezhu1.m <在qm1.m中调用此程序）qm1.mgauss_liezhu1.m1.4 结果分析N=14按照N的递增顺序取了9个误差数据，制成散点折线图如上所示。
(完整版)高等数值分析48课时教案
高等数值分析48课时教案
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
南华大学教案
2010 ~ 2011 学年第 1 学期
课程：高等数值分析授课教师（职称）：王礼广（副教授）班级： 2010级理工科研究生
11。
数值分析在图像处理中的高级应用-教案
数值分析在图像处理中的高级应用-教案一、引言1.1图像处理与数值分析的关系1.1.1图像处理中数据处理的复杂性1.1.2数值分析在图像处理中的重要性1.1.3图像处理与数值分析相互促进发展1.1.4教学中引入实际案例，强化理解与应用1.2数值分析在图像处理中的应用领域1.2.1图像增强与复原1.2.2图像分割与边缘检测1.2.3图像识别与分类1.2.4教学中通过案例展示不同领域的应用1.3教学目标与学习方法1.3.1理解数值分析的基本概念与方法1.3.2掌握数值分析在图像处理中的应用1.3.3培养解决实际问题的能力1.3.4教学中注重理论与实践相结合二、知识点讲解2.1数值分析的基本概念与方法2.1.1数值分析的定义与作用2.1.2常用的数值分析方法2.1.3数值分析在图像处理中的应用2.1.4教学中通过案例讲解不同方法的应用2.2图像处理中的数学模型与算法2.2.1图像处理中的数学模型2.2.2常用的图像处理算法2.2.3数值分析在图像处理算法中的应用2.2.4教学中通过案例讲解不同算法的实现与应用2.3数值分析在图像处理中的挑战与未来发展方向2.3.1图像处理中的大数据处理挑战2.3.2图像处理中的实时性要求2.3.3数值分析在图像处理中的未来发展方向2.3.4教学中引导学生思考并探讨未来发展方向三、教学内容3.1图像增强与复原3.1.1图像增强的基本概念与方法3.1.2图像复原的基本概念与方法3.1.3数值分析在图像增强与复原中的应用3.1.4教学中通过案例讲解不同方法的实现与应用3.2图像分割与边缘检测3.2.1图像分割的基本概念与方法3.2.2边缘检测的基本概念与方法3.2.3数值分析在图像分割与边缘检测中的应用3.2.4教学中通过案例讲解不同方法的实现与应用3.3图像识别与分类3.3.1图像识别的基本概念与方法3.3.2图像分类的基本概念与方法3.3.3数值分析在图像识别与分类中的应用3.3.4教学中通过案例讲解不同方法的实现与应用四、教学目标1.1理论知识目标1.1.1掌握数值分析的基本原理和方法1.1.2理解数值分析在图像处理中的应用1.1.3学习图像处理中的数学模型和算法1.1.4分析数值分析在图像处理中的挑战和未来发展方向1.2技能目标1.2.1能够运用数值分析方法解决图像处理问题1.2.2能够设计和实现图像处理算法1.2.3培养学生的实际操作能力和问题解决能力1.2.4提高学生的创新思维和团队协作能力1.3情感态度与价值观目标1.3.1培养学生对数值分析和图像处理的兴趣1.3.2增强学生对科学研究的认识和探索精神1.3.3培养学生的创新意识和科学态度1.3.4培养学生的社会责任感和团队合作精神五、教学难点与重点2.1教学难点2.1.1数值分析的基本原理和方法的理解2.1.2图像处理中的数学模型和算法的实现2.1.3数值分析在图像处理中的具体应用2.1.4图像处理中的大数据处理挑战和实时性要求2.2教学重点2.2.1数值分析的基本原理和方法的应用2.2.2图像处理中的数学模型和算法的设计2.2.3数值分析在图像处理中的挑战和未来发展方向2.2.4培养学生的实际操作能力和问题解决能力2.3教学难点与重点的关系2.3.1教学难点是学生在学习过程中可能遇到的困难和障碍2.3.2教学重点是学生在学习过程中需要重点掌握的知识和技能2.3.3教学难点与重点相互关联，解决难点有助于学生更好地掌握重点2.3.4教学难点与重点的突破需要教师的教学策略和学生的主动参与六、教具与学具准备3.1教具准备3.1.1讲义和教材3.1.2多媒体设备（投影仪、电脑等）3.1.3图像处理软件和数值分析工具3.1.4实验设备和材料（如摄像头、图像传感器等）3.2学具准备3.2.1笔记本电脑或平板电脑3.2.2图像处理软件和数值分析工具3.2.3实验设备和材料（如摄像头、图像传感器等）3.2.4学习资料和参考书籍3.3教具与学具的使用说明3.3.1教师应提前准备好教具并检查其功能是否正常3.3.2学生应提前安装和熟悉学具的使用方法3.3.3教师应指导学生如何使用教具和学具进行学习和实践3.3.4教师应鼓励学生利用教具和学具进行创新和实验七、教学过程4.1导入新课4.1.1引入数值分析在图像处理中的应用背景4.1.2提出问题和挑战，激发学生的兴趣4.1.3引导学生回顾相关知识点，为新课做好铺垫4.1.4引导学生思考如何运用数值分析解决图像处理问题4.2知识讲解与案例分析4.2.1讲解数值分析的基本原理和方法4.2.2通过案例分析，展示数值分析在图像处理中的应用4.2.3引导学生分析和讨论不同算法的实现和应用4.2.4引导学生思考数值分析在图像处理中的挑战和未来发展方向4.3实践操作与问题解决4.3.1分组进行实践操作，运用数值分析解决图像处理问题4.3.2学生展示实践成果，进行讨论和交流4.3.3教师解答学生的问题，指导学生进行问题解决4.4.1教师引导学生回顾本节课的学习内容4.4.2学生分享学习心得和体会4.4.4布置作业和思考题，引导学生进行深入学习和思考八、板书设计1.1章节和关键概念1.1.1数值分析在图像处理中的应用1.1.2数值分析的基本原理和方法1.1.3图像处理中的数学模型和算法1.1.4数值分析在图像处理中的挑战和未来发展方向1.2教学内容和案例分析1.2.1图像增强与复原1.2.2图像分割与边缘检测1.2.3图像识别与分类1.2.4数值分析在图像处理中的应用案例1.3.1教学目标和重点内容回顾1.3.2学生学习心得和体会分享1.3.3布置作业和思考题，引导学生进行深入学习和思考九、作业设计2.1理论知识回顾2.1.1数值分析的基本原理和方法2.1.2图像处理中的数学模型和算法2.1.3数值分析在图像处理中的应用案例分析2.2实践操作与问题解决2.2.1运用数值分析解决图像处理问题2.2.2分析和讨论不同算法的实现和应用2.2.3探索数值分析在图像处理中的挑战和未来发展方向2.3思考题与拓展延伸2.3.1思考数值分析在图像处理中的创新应用2.3.2探索数值分析在其他领域的应用2.3.3分析数值分析在图像处理中的挑战和解决方案十、课后反思及拓展延伸3.1教学效果评估3.1.1学生对数值分析和图像处理的理解程度3.1.2学生在实际操作中的表现和问题解决能力3.1.3教学方法和教学内容的适应性和有效性3.2教学反思与改进3.2.1教学中的优点和不足之处3.2.2教学方法和教学内容的改进方向3.2.3教师自身的教学能力和专业素养提升3.3拓展延伸与深入研究3.3.1探索数值分析在图像处理中的新算法和应用3.3.2深入研究数值分析在其他领域的应用3.3.3关注数值分析在图像处理中的最新研究动态和发展趋势重点环节补充和说明：1.教学难点与重点：在教学过程中，教师应重点关注学生对数值分析的基本原理和方法的理解，以及图像处理中的数学模型和算法的实现。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E n2 A 2t
（2）
A
1.01
n3 3n2
A 2t
第四章方程组的直接解法
（3）计算解有精度估计：
x x~
cond ( A)
1.01 n3 3n2 2t
x
1 A1 A
该定理说明，矩阵A的阶数越高条件数越大矩阵元素的增长因子 越大和计算机字长越短，则舍入误差对解的影响越严重。因此计算精度 取决于矩阵的规模、方程组的性态、所选取的算法和计算机字长。
方程组直接解法的稳定性是应当注重的问题。如果通过直接计算每 一步设入误差对解的影响来获得近似解的误差界，那将是非常困难的 。 J.H.Wilkinson等人提出了“向后误差分析法”，其基本思想是把计算过 程中设入误差对解的影响归结为原始数据对解的影响。下面给出一个定 理来说明这方面的结果。
定理4.11 解方程组 Ax=b
第四章方程组的直接解法
经整理后得
(1 A1 A ) x A1 b A x
由于 A1 A 1 ，则有
A1
x
( b A x )
1 A1 A
再利用 b A x ，即得所证。
若 A 0, b 0 时，则由（4.3.2）有
x
cond( A)
A
A
cond( A)
(1 A )
x 1 A1 A A
方程组右端所引起的解向量的相对误差就可能越大。
定义4.2 设A∈Rn×n为可逆矩阵，按算子范数，称 cond（A）= A1 A
为矩阵A的条件数。
如果矩阵范数取2范数，则记
cond2 (A)
A1 2
A 2
。按（ 4.3.1），
同样可以定义cond∞（A）和cond1（A）。
设A-1存在，条件数有如下一些性质：
，设其A计∈算R解n×n~x，满A足为非 A奇异 A矩 阵x~ ，b 用。列记主计元算法机或尾全数主字元长法
为t，且n2-t ≦0.01 。
max
1i , jn
aijk
/
A , aijk
是消去过程中A(k)中的元
素，则有
（1）若A的LU分解计算结果为 L~,U~ ,则有 L~U~ A E,
第四章方程组的直接解法
4.3 方程组的性态和误差估计
4.3.1 矩阵的条件数
4.3.2 方程组的误差估计
第四章方程组的直接解法
4.3.1 矩阵的条件数
先看一个例子，说明方程组的解对或的扰动的敏感性问题。 例4.9 方程组
3 3.0001
11
x1 x2
4.04001
的准确解是（1，1）T。若A及b作微小的变化，考扰动后的方程组
A
~x 定理4.10 设Ax=b ， b≠0，则对方程组的近似解 有误差估计式
1
r
x~ x
r
cond( A)
cond( A) b
x
b
~x 其中r=b- A 为剩余向量。
第四章方程组的直接解法
证 由Ax=b有 r=Ax- A ~x =A（x-~x ）
x% x A1r • || A || cond (A) r
（4）如果在A的三角化过程中出现小指元或采用选用选主远技术， 主元素数量级相差悬除时，则A可能病态。
对于病态方程组，数值求解必须小心进行，否则达不到所要求的 准确度。有时可以用高精度（如双精度或扩充精度）的运算，以改善 或减轻方程组的病态程度，有时也可以对圆方程组作预处理，以降低
第四章方程组的直接解法
3
2.9999
1
1
x1 x2
4
4.0002
其准确解为（-2，10）T
解Ly=b得y=(6,1,-1) T, 解LTx=D-1y得x=(2,1,-1)T
在上例中， A和b的微小变化引起x很大的变化， x对A和b的扰 动是敏感的。这种现象的出现完全是有方程组的性态决定的。
定义4.1 如果方程组Ax= b中，矩阵A和b右端的微小变化，引起解 向量x的很大变化，则称A为关于解发才组和矩阵求逆的病态矩阵， 称相应的方程组为病态方程组。否则， 称A为良态矩阵，称相应的 方程组为良态方程组。
系数矩阵的条件数，即选择非奇异矩阵P和Q，一般选着为对角阵或三角 矩阵，使
cond（ PAQ ）< cond(A)
然后，求解等价方程组PAQ y=P y ， y =Q-1x。
例如，对矩阵
A 11
105 1
,
A1
1
1 105
1 1
105 1
.
有cond∞ ≈105。若进行预处理
B
PA
105 0
1
A
对于实际问题，条件数一般是很难计算的。下列现象可能表示方 程组Ax=b是病态的。
（1）如果矩阵A的按绝对值最大特征值和最小特征值之比很大， 则A是病态的。
（2）如果系数矩阵A的元素间数量级很大，并且无一定规则，则 A可能病态。
（3）如果系数矩阵A的莫些行或列是近似相关的，或系数矩阵的 行列式值相对说很小，则A可能病态。
第四章方程组的直接解法
（1）其中cond（A）≧1， cond（A）= cond（A-1）， cond（ A） = cond（A），其中∈R， ≠0
（2）若U为正交矩阵，即UT U=I则
cond2（U）=1， cond2（A）= cond2（AU）= cond2（UA）。
（3）设1与
为A按绝对值最的和最小的特征值，则
n
cond（A） ≧ 1 n
若A对称，则cond2（A） = 1 / n
例4.10 下列Hilbert矩阵是一族著名的病态矩阵：
1 1/ 2
Hn
1/2
1
/n
1/3
1/(n 1)
1/ n 1/(n 1)
1
/(2n
1)Leabharlann 第四章方程组的直接解法它是一个n×n的对称矩阵，可以证明是正定的。计算条件数有cond2 （H4）= 1.5514 × 104 ， cond2（ H6）=1.4951 × 107，cond2（ H8）= 1.525 × 1010。由此可见，随着n的增加， Hn的病态可能越严重。 Hn 常常在数据拟合和函数逼近中出现 。
105 1
11.
则cond∞ （B）=4，条件数的改善。
4.3.2 方程组的误差估计
第四章方程组的直接解法
由于舍入误差，我们解方程组往往得到的是近似解。下面利用 条件数给出近似解的事前误差估计，即计算之前和计算之后的误差 估计。
定理4.9 设Ax=b，A为非奇异矩阵， b为非零向量， A和b分别有
第四章方程组的直接解法
我们需要一种能刻画矩阵和方程组病态程度的标准。暂且不考 虑矩阵A的扰动，仅须考虑b 的扰动对方程组的影响，设方程组Ax=
b的扰的方程组为A（x+x）= b +b ，则
x= A-1b，x A1 b
又由于 b A x ， 即得
x A1 A b
x
b
可见，量 A1 A 是相对误差 b / b 的倍增因子，该量越大，
x
|| b ||
b
又由x= A-1 b ，有
定理得证。
x~ x
r
1
1
r
x
A A1 b cond( A) b
该定理说明，当cond(A)很大时，即使方程组余量r 的相对误差已 经很小，但近似解的相对误差仍然可能很大。
的 为办 新如法 的果对 近用近似直似解接解。解这~x法样进得，行到我修的们正近可。似以设解通r过=b误求- A差解x很，大A△，△x为我x 修们= r正可得量以到，用迭x~x代，~x改显善x
然，在准确运算下有
Ax A(~x x) b r Ax
（4.3.3）
第四章方程组的直接解法
然而，再实际计算时，方程组（4.3.3）不大可能求解，所以解（4.3.3） 只能提供有限的修正。因此，需要反复求解为（4.3.3）的方程组，不断 对所得的近似解进行改进。这种近似值逐进接近真解的过程称为迭代解 法。为了节省计算量，可事先对矩阵A进行LU分解，把反复解形为 （4.3.3）的方程组改为反复解形为Ly=r，U△x=y 的方程组。为了保证 计算精度，计算剩余向量r可采用高精度计算。
扰动， A和 b,( A A)(x x) b b。若 A1 A <1,则有
误差估计式
x
cond( A) A b
(
)
x
1 A1 A A
b
证. 将代入扰动方程组 (A A)(x x) b b ，整理后有
x A1 b ( A)x ( A)( x)
将上式两端取范数，则有
x A1 b A x A x