数值分析常用公式及示例

数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是数学的一个分支，研究如何利用计算机求解数学问题。

数值分析学习过程中会遇到许多公式，下面对其中一些重要的公式进行总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用拉格朗日插值公式来估计f(x)，公式如下：-牛顿插值公式：牛顿插值公式是通过差商的方法来构造插值多项式的公式。

设已知函数 f 在 [a,b] 上的 n+1 个节点，节点分别为 x0,x1,...,xn，且在这些节点上 f(x0),f(x1),...,f(xn) 均已知。

则对于任意x∈[a,b]，可使用牛顿插值公式来估计f(x)，公式如下：2.数值积分公式：-矩形公式：矩形公式是用矩形面积来估计曲线下的面积，主要有左矩形公式、右矩形公式和中矩形公式。

以左矩形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间左端点的函数值作为矩形的高，子区间长度作为矩形的宽，则曲线下的面积可以近似为各个矩形面积的和，公式如下：-梯形公式：梯形公式是用梯形面积来估计曲线下的面积，主要有梯形公式和复合梯形公式。

以梯形公式为例，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间两个端点对应的函数值作为梯形的底边的两个边长，子区间长度作为梯形的高，则曲线下的面积可以近似为各个梯形面积的和，公式如下：-辛普森公式：辛普森公式是用抛物线面积来估计曲线下的面积，对应区间[a,b]，将[a,b]分割成n个等长子区间，取每个子区间三个端点对应的函数值作为抛物线的三个顶点，则曲线下的面积可以近似为各个抛物线面积的和，公式如下：3.线性方程组求解公式：- Cramer法则：Cramer法则适用于 n 个线性方程、n 个未知数的线性方程组。

数值分析常用公式及示例

数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。

在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。

1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。

常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。

拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。

2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。

常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。

梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。

辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。

3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。

常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。

二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。

二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。

具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。

数值分析学习公式总结

第一章1霍纳（Horner ）方法： n a 1-n a 2-n a ……2a 1a 0a输入=c+ n b *c c b n *1- c b *3 c b *2 c b *1n b 1-n b 2-n b 2b 1b 0bAnswer P （x ）=0b该方法用于解决多项式求值问题P （x ）=n a n x +1-n a 1-n x +2-n a 2-n x +……+2a 2x +1a x +0a2 注：p ˆ为近似值绝对误差：|ˆ|pp E p -=相对误差：|||ˆ|p pp R p -=有效数字:210|||ˆ|1d p p pp R -<-= （d 为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 Big Oh(精度的计算)： O(h ⁿ)+O(h ⁿ)=O(h ⁿ);O(h m )+O(h n )=O(h r ) [r=min{p,q}]; O(h p )O(h q )=O(h s ) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。

设函数g 。

如果对于所有x ，映射y=g(x)的范围满足y ，则函数g 在内有一个不动点; 此外，设定义在内，且对于所有x ，存在正常数K<1，使得，则函数g 在内有唯一的不动点P 。

定理2.3 设有（i ）g ，g ’，（ii ）K 是一个正常数，（iii ）。

如果对于所有如果对于所有x 在这种情况下，P 成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。

. 波尔查诺二分法(二分法定理)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线L 与x 轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法.牛顿—拉夫森迭代函数：)(')()(1111-----==k k k k k p f p f p p g p 其中k=1,2,……证明：用泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组Ax=b一Gauss Elimination （高斯消元法）第一步Forward Elimination 第二步 BackSubstitution二LU Factorization第一步 A = LU 原方程变为LUx=y ；第二步令Ux=y,则Ly = b 由下三角解出y ；第三步 Ux=y,又上三角解出x ；三Iterative Methods （迭代法）2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++nn nn 22n 11n 2n n 22221211n n 1212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a =+++=+++=+++初始值四 Jacobi Method1.选择初始值2.迭代方程为五Gauss Seidel Method1.迭代方程为00201,,,n x x x 00201,,,n x x x nnk n nn k n k n n k n k nn k k kn n k k a x a x a x a bx a x a x a bx a x a x a b x )()()(1122111222121212111212111--++++++-=++-=++-=k k k kn n k k kn n k k a x a x a bx a x a x a bx )()(1112221121212111212111++++++++-=++-=2.选择初始值判断是否能用Jacobi Method 或者GaussSeidel Method 的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1for00201,,,nx x x定理4.1（泰勒多项式逼近）设，而是固定值。

数值分析 -牛顿-科特斯公式

f
( x ) g( x )dx
f (2)18 ab g(8b( x0a )d)5xf(4)()
余项的一般形式
n
定理设 Q[f](ba) Ci(n)f(xi)，则有
i0
(1) 若 n 为偶数， f (x) Cn+2[a, b] ，则存在 (a, b) 使得
a b f(x )d x Q [f] ( b n a n ) 3 n ( 3 n f (n 2 ) 2 )(! )0 n t2 ( t 1 ) ( t n )d t
i0
i0
n 偶数
余项
梯形公式的余项
R T a b f(x )d x T a bf''2 ( !x )(x a )x ( b )d x
中值定理 1 2f''()a b(xa)x (b)d x
积分中值定理
112(ba)3f''()
Simf (pxso),ng公( x式)均的在余[项a , b]上连续，
6
2
6
与精确值 0.6321 相比得误差分别为 0.0518 和 0.0002。
复合求积公式
提高积分计算精度的常用两种方法
✓ 用复合公式 ✓ 用非等距节点
复合求积公式：将积分区间分割成多个小区间，然后在每个小区间上使用低次牛顿－科特斯求积公式。
将[a, b] 分成 n 等分 [xi , xi+1] ，其中节点 xiaih, hb na (i = 0, 1, …, n)
解：T8116 f(x0)2i 71f(xi)f(x8)0.9456909
S 4 2 1 f ( 4 x 0 ) 4 f ( x 1 ) f ( x 3 ) f ( x 5 ) f ( x 7 ) 2 f(x 2 ) f(x 4 ) f(x 6 ) f(x 8 ) 0 .9460

数值分析公式大全

（1） ρ (B)＜1
（ 2）
＜1
（3） A 为严格对角占优：丨 aii 丨＞丨 aij 丨（设 A 为 n×n 阶方阵）
（4） A 为弱对角占优且不可约：丨 aii 丨≥ 丨 aij 丨且至少一个丨 aii 丨＞
丨 aij 丨成立，【弱对角占优】；
能使 PTAP=
（其中 A11 和 A22 为方阵）的 P 不存在。【不可约】
数值分析，第一章 1，相对误差和绝对误差
e*= x*-x;
er*=
估计值
2，误差限和相对误差限 ε *≥
ε r*=ε
3，有效数字官方定义：若近似值 x*的误差限是某一位的半个单位，该位到 x*的第一位非零有效数字共有 n 位，就说 x*有 n 位有效数字。表示为：x*=±10m×（a1+a2×10-1+a3×10-2+…+an× 10-（n-1））=±a1. a2a3…an。其中 ai 为 0 至 9 中之一，a1 不为 0，m，n 都是整数。
局部收敛：x0∈R=｛x 丨
}经过 xi+1=φ （xi）产生的｛xk｝收敛到 x*。等价于：φ
（x），不动点 x*，φ （x）在某领域连续，且丨φ （x）丨＜1，则局部收敛。
P 阶收敛：当 k→∞时迭代误差 ek=xk-x*满足
。等价于：φ （n）（x）在 x*
2，牛顿法【非线性→线性】 f（x）=0 用泰勒公式在 xk 点展开，有 f（xk）+f’（xk）（x-xk）=0→xk+1=xk -
（5） A 为主对角线元素都大于 0 的对称阵时，A 和 2D-A 均正定。【各阶主子式大于 0】
3，高斯—塞德尔迭代法
A=D-L-U，B=（D-L）-1U，f= D-L）-1b。

数值分析学习公式总结

数值分析学习公式总结数值分析是以计算机为工具，对数学问题进行数值计算和近似方法的研究。

在数值分析中，有许多重要的数学公式和算法被广泛应用。

下面是一些数值分析中常用的公式和算法的总结。

1.插值公式：-拉格朗日插值公式：假设有给定的n个点(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_n,y_n)，则对于任意一个x，可以通过拉格朗日插值公式计算出相应的y值。

-牛顿插值公式：利用差商构造的插值公式，对给定n个点进行插值，得到一个多项式函数。

2.数值积分公式：-矩形法：将区间分割成若干小矩形，计算每个矩形的面积然后求和。

-梯形法：将区间分割成若干个梯形，计算每个梯形的面积然后求和。

-辛普森法则：将区间分割成若干个小区间，通过对每个小区间应用辛普森公式计算出近似的定积分值。

3.数值微分公式：-前向差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-后向差分公式：类似于前向差分公式，但是利用函数在特定点的导数与函数在该点附近的值之间的关系，通过近似计算导数的值。

-中心差分公式：利用函数在特定点的导数与函数在该点两侧的值之间的差异，通过近似计算导数的值。

4.数值解线性方程组方法：-直接法：高斯消元法，LU分解法等。

-迭代法：雅可比迭代法，高斯-赛德尔迭代法等。

5.最小二乘拟合法：-线性最小二乘拟合：通过线性回归的方法，寻找最佳的拟合直线。

-非线性最小二乘拟合：通过非线性回归的方法，寻找最佳的非线性拟合曲线。

6.数值求解常微分方程方法：-欧拉法：将微分方程离散化，通过迭代计算得到近似解。

-改进欧拉法：利用欧拉法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

- 二阶龙格-库塔法：利用四阶Runge-Kutta法的计算结果进行修正，提高近似解的精度。

7.插值法的误差估计：-真实误差：插值函数与原函数之间的差异。

-误差界：对于给定的插值公式，通过计算条件和边界限制，得到误差的上限。

8.特殊函数的数值计算：-常用特殊函数的近似计算方法，如阶乘函数，指数函数，对数函数等。

数值分析知识点总结

数值分析知识点总结说明：本文只提供部分较好的例题，更多例题参考老师布置的作业题和课件相关例题。

一、第1章数值分析与科学计算引论1. 什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？相对误差限：**r re ε=的一个上界。

有效数字：如果近似值*x 的误差限是某一位的半个单位，该位到*x 的第一位非零数字共有n 位，就说x *共有n 位有效数字。

即x *=±10m ×(a 1+a 2×10-1+…+a n ×10-(n-1))，其中a 1≠0，并且*11102m n x x -+-≤⨯。

其中m 位该数字在科学计数法时的次方数。

例如9.80的m 值为0，n 值为3，绝对误差限*211102ε-=⨯。

2. 一个比较好用的公式：f(x)的误差限：()***()'()()f x f x x εε≈ 例题：二、第2章插值法例题：5. 给出插值多项式的余项表达式，如何用其估计截断误差？6. 三次样条插值与三次分段埃尔米特插值有何区别？哪一个更优越？7. 确定n+1个节点的三次样条插值函数需要多少个参数？为确定这些参数，需加上什么条件？8. 三弯矩法：为了得到三次样条表达式，我们需要求一些参数：对于第一种边界条件，可导出两个方程：，那么写成矩阵形式：公式 1对于第二种边界条件，直接得端点方程：，则在这个条件下也可以写成如上公式1的形式。

对于第三种边界条件，可得：也可以写成如下矩阵形式：公式 2求解以上的矩阵可以使用追赶法求解。

（追赶法详见第五章）例题：数值分析第5版清华大学出版社第44页例7三、第3章函数逼近与快速傅里叶变换的正交多项式？什么是[-1,1]上的勒让德多项式？它有3.什么是[a,b]上带权()x什么重要性质？4.什么是切比雪夫多项式？它有什么重要性质？5.用切比雪夫多项式零点做插值点得到的插值多项式与拉格朗日插值有何不同?6.什么是最小二乘拟合的法方程？用多项式做拟合曲线时，当次数n较大时，为什么不直接求解法方程？例题请参考第3章书上的作业题和课件上的例题。

数值分析 -牛顿-科特斯公式

故一般不采用高阶的牛顿-科特斯求积公式。
当 n 7 时，牛顿-科特斯公式是稳定的。
牛顿-科特斯公式的代数精度
定理当 n 为偶数时，牛顿－科特斯公式至少有 n+1
阶代数精度。
证：只要证明当 n 为偶数时，公式对f (x)＝xn+1精确成立。
由插值型求积公式的误差公式得
R[ f ]
h
[f 4
(xk ) 2 f
( xk 1/ 2 )
f ( xk 1)]
1 梯形法的递推化
注意，这里h=(a+b)/n代表二分前的步长。将每个子区间上的积分值相加得
n1
n1
T

h 4
[
f
(xk )
f
(xk1)]
h 2
f
(
xk

1 2
)
k 0
k 0
从而可导出下列递推公式
+
i
h，h

b
n
a
，i = 1, 2, …,
b
b
Ai a li (x)dx a
ji
x x j dx xi x j
n
0 ji
t j hdt i j
(b a)(1)ni n (t j)dt
n i!(n i)!
0 i j

2 3
,
C (2) 2
1 6
b a
f ( x)dx

b
6
a[
f
(a) 4 f
(
ab 2
)

f
(b)]
n = 4: 科特斯(Cotes)求积公式

(完整版)数值分析重点公式

第一章非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。

6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。

数值分析公式范文

数值分析公式范文数值分析是指用数值计算的方法来解决实际问题的一门学科，它涉及到各种数值计算的方法和算法。

在数值分析中，我们经常需要使用各种数值分析公式来进行数值计算。

下面是一些常见的数值分析公式。

1.数值求导公式：数值求导公式可以用来近似计算函数的导数。

常用的数值求导公式有中心差分公式、前向差分公式和后向差分公式等。

-中心差分公式：f'(x0)≈(f(x0+h)-f(x0-h))/(2h)其中，h是一个很小的数，通常取值很小，比如10的负7次方或更小。

-前向差分公式：f'(x0)≈(f(x0+h)-f(x0))/h-后向差分公式：f'(x0)≈(f(x0)-f(x0-h))/h2.数值积分公式：数值积分公式可以用来近似计算函数的积分。

常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和龙贝格公式等。

- 梯形公式：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a) * (f(a) + f(b)) / 2- 辛普森公式：∫[a,b]f(x)dx ≈ (b-a) * (f(a) + 4f((a+b)/2) + f(b)) / 6-龙贝格公式：龙贝格公式是一种多步递推的数值积分公式，通过多次迭代可以获得更精确的积分结果。

3.数值解微分方程公式：数值解微分方程公式可以用来近似求解常微分方程或偏微分方程的解。

常用的数值解微分方程公式有欧拉法、龙格-库塔法和改进欧拉法等。

-欧拉法：y(n+1)=y(n)+h*f(x(n),y(n))-龙格-库塔法：龙格-库塔法是一种多步迭代的数值解微分方程公式，通过多次迭代可以获得更精确的解。

-改进欧拉法：y(n+1)=y(n)+h*(f(x(n),y(n))+f(x(n+1),y(n+1)))/24.数值线性代数公式：数值线性代数公式可以用来近似求解线性方程组的解。

常用的数值线性代数公式有高斯消元法、LU分解法和雅可比迭代法等。

-高斯消元法：高斯消元法通过消元和回代的方式求解线性方程组。

数值分析8-高斯型求积公式

计算精度高；可计算无穷区间上的积分和奇异积分。
G-L求积公式的缺点：
需计算Gauss点和Gauss系数；增加节点时需重新计算。高斯求积公式的求积系数全是正的,且是稳定的算法
例题1
用4点（n=3）的高斯-勒让德求积公式计算
I = ∫ x 2 cos xdx
2
π
0
解先将区间[0，π/2]化为[-1，1]，可以得到
x − a ≤ h
步长的选取
再考察舍入误差.按中点公式计算，当 h 很小时，由于f（a +h）与 f（a -h）很接近，直接相减会造成有效数字的严重损失.因此从舍入误差的角度来看，步长是不宜太小的. 综上所述，步长过大，则截断误差显著；但如果步长太小，又会导致舍入误差的增长，在实际计算时，我们希望在保证截断误差满足精度要求的前提下选取尽可能大的步长，然而事先给出一个合适的步长往往是困难的，通常在变步长的过程中实现步长的自动选择.
插值型的求导公式
问题：已知 f (x) 在节点 x0 , … , xn 上的函数值，如何计算在这些节点处导数的近似值？方法：插值型数值微分先构造出 f (x) 的插值多项式 pn(x) ，然后用 pn(x) 的导数来近似 f (x) 的导数。
插值型的求导公式的误差
多项式插值余项两边求导得
n 0 1 2 3 4 5 节点个数 1 2 3 4 5 6 Gauss点 0.0000000 ±0.5773503 ±0.7745967 0.0000000 ±0.8611363 ±0.3399810 ±0.9061798 ±0.5384693 0.0000000 ±0.93246951 ±0.66120939 ±0.23861919 Gauss系数 2.0000000 1.0000000 0.5555556 0.8888889 0.3478548 0.6521452 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.17132449 0.36076157 0.46791393

数值分析各章重点公式整理

第一章误差限计算：第二章一多項式函數f(x)，在 x = a 的泰勒展開式是：拉格朗日插值基函数：*).(|*)(|*))(( *)(x x f x f x f εε'≈的误差限得).(*)( ),,(,,,,,),,(*1***11**11k nk kn n n n x x f f x x f x x x x x x f εε∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂≈的误差限同理得的近似值为准确值，多元函数 ∏∏∏≠=≠=≠=--=--=nkj j jk j nkj j j knk j j jk x x x x x xxx x l 000)()()(∑==nk kky x lx P 0)()(.||)(||)(||)/( ),(||)(||)( ),()()( 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1x x x x x x x x x x x x x x x x x εεεεεεεεε+≈+≈+=±牛顿插值其中an 为第n 阶差商，0阶差商即为f(x0). 余项差商表差商导数求法牛顿前插公式（等距点适用）差分表)())(())(()()(110102010----++--+-+=n n n x x x x x x a x x x x a x x a a x N []0101(),,,()()()n n n R x f x x x x x x x x x x =---第三章最小二乘法拟合：直线拟合求a0和a1 多项式拟合⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====mi ii mi m i i i mi i m i i y x x a x a y x a m a 1110211110xa a x y 10)(+=0121011201ni n i i n i i n i i i n n n n i i n i i i a m a x a x y a x a x a x x y a x a x a x x y++⎧+++=⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑第四章辛普森求积公式插值求积公式（拉格朗日插值）插值求积公式余项复合梯形公式复合辛普森公式∑⎰=≈nk k kbax f Adx x f 0)()(⎰=bak k dxx l A )()()()()(0k k nkj j jk j k x x x x x x x x x l ωω'-=--=∏≠=[]⎰⎰+=-=+ban ba dxx n fdxx P x f f R )()!1()()()()()1(ωξ[]b a ,∈ξ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=∑-=)()(2)(211b f x f a f h T n k k n 121101()4()2()()6n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑高斯点及系数表将求积区间[a,b]变换到[-1,1]上数值求导两点公式数值求导三点公式22batabx++-=[]),(2)()(1)(1ξfhxfxfhxf''--='[]).(2)()(1)(11ξfhxfxfhxf''+-='),(3)]()(4)(3[21)(221ξfhxfxfxfhxf'''+-+-='),(6)]()([21)(221ξfhxfxfhxf'''-+-=').(3)](3)(4)([21)(2212ξfhxfxfxfhxf'''++-='第五章杜利特尔分解L y=b 求解 y U x=y 求解 x追赶法L y=b 求解 y U x=y 求解 x范数：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn n n u u u u u u U l l l L222112112121,111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----11112122111122211n n nn nn n n u u u l a l al b a c b a c b a c b⎪⎩⎪⎨⎧-=-===+++1,,2,1/11111n i ua b l l c u b l i i i i ii i()111112m ax 8)m ax (m ax ((2()0ij nniji nj nijj ni TTTn A a Aa A A a A AA A A A A f E A A λλλ∞≤≤=≤≤=====-=-=∑∑矩阵范数计算公式定理对阶方阵（称为的行范数）称为的列范数）称为的范数）其中表示的最大特征值即常用的条件数第六章雅可比迭代高斯-塞德尔迭代(i=1,2,…,n k=0,1,2,…)收敛性)det(G I -λ求最大特征值)(G ρ，若>1,发散，若>1,收敛。

数值分析8-高斯型求积公式

为要利用中点公式
计算导数值 f′（a），首先必须选取合适的步长.为此需要进行误差分析.分别将 f（a ±h）在 x=a 泰勒展开有
中点公式的误差
代入上式得
由此得知，从截断误差的角度来看，步长越小，计算结果越准确.且
h2 f ( a ) G ( h) M 6 其中M max f ( x )
举例（一）
例：试确定 x0 , x1 以及系数 A0, A1，使得下面的求积
公式具有尽可能高的代数精度。

1
1
f ( x ) dx A0 f ( x0 ) A1 f ( x1 )
解：将 f (x) = 1, x, x2, x3 代入，使其精确成立得
A0 A1 2 解得 A0 x0 A1 x1 0 2 2 A0 x0 A1 x1 2 / 3 A x3 A x3 0 1 1 0 0 不是线性方程组，不易求解
1 d n1 ( x 2 1) n1 Pn1 ( x ) n1 2 ( n 1)! dx n1
取其 n+1 个零点作为 Gauss 点，即可得 Gauss-Legendre 求积公式。
G-L 公式的余项
定理设 f (x) C 2n+2[-1, 1] ，则 G-L求积公式的余项为
i 0
n
的代数精度不超过 2n+1。即Gauss公式是插值型求积公式中代数精度最高的。
Gauss-Legendre 公式
设 f (x) C[-1, 1] ，考虑 Gauss型求积公式

1
1
f ( x ) dx Ai f ( xi )
i 0
n
在 [-1, 1] 上的正交多项式为Legendre多项式

数据表格公式大全

数据表格公式大全
数据表格是一种常用的数据分析和管理工具，广泛应用于各个领域。

数据表格
中的公式是数据分析和计算的关键部分，可以帮助我们进行各种数值计算、数据汇总和分析。

本文将介绍常用的数据表格公式，帮助读者更好地利用数据表格进行数据分析和计算。

1. 基本的数学公式
数据表格支持基本的数学公式，如加减乘除等运算。

下面是一些常用的数学公
式示例：
•加法公式：=A1 + B1，将A1单元格和B1单元格的值相加。

•减法公式：=A1 - B1，将A1单元格的值减去B1单元格的值。

•乘法公式：=A1 * B1，将A1单元格和B1单元格的值相乘。

•除法公式：=A1 / B1，将A1单元格的值除以B1单元格的值。

可以通过在公式中使用单元格的引用来实现对数据进行运算和计算。

2. 统计函数公式
数据表格还提供了一些用于统计分析的函数公式，可以对数据进行汇总和分析。

下面是一些常用的统计函数公式示例：
•求和公式：=SUM(A1:A10)，对A1到A10单元格的值进行求和。

•平均值公式：=AVERAGE(A1:A10)，计算A1到A10单元格的平均值。

•最大值公式：=MAX(A1:A10)，找出A1到A10单元格中的最大值。

•最小值公式：=MIN(A1:A10)，找出A1到A10单元格中的最小值。

通过使用这些统计函数公式，可以轻松地对一组数据进行汇总和分析。

3. 逻辑函数公式
逻辑函数公式可以帮助我们进行条件判断和逻辑运算。

下面是一些常用的逻辑
函数公式示例：
•IF函数公式：`=IF(A1>10,。

数值分析4-2(牛顿-柯特斯公式)

作为插值型的求积公式n阶牛顿柯特斯公式至少具有n次代数精度那么两种特殊偶阶求积公式的代数精度辛甫生simpson公式首先它是二阶公式因此至少具有二次代数精度进一步当这时有si即辛甫生公式对次数不超过三次的多项式均能准确成立又容易验证它对是不准确的因此二阶辛甫生公式实际上具有三次代数精度
第四章数值积分与数值微分牛顿—柯特斯公式 §2 牛顿柯特斯公式
1−0
故一阶的牛顿—柯特斯公式为故一阶的牛顿柯特斯公式为
梯形公式
当n=2时，时
2 (−1)2−0 1 (2) C0 = ∫0 (t −1)(t − 2)dt = 6 2⋅ 0!(2 − 0)!
(2) C1
1 2 4 = − ∫ (t − 0)(t − 2)dt = 20 6 1 2 1 (2) C2 = ∫ (t − 0)(t − 1)dt = 40 6 b−a a+b S= [ f (a) + 4 f ( ) + f (b)] 6 2
n n 1 n 1 b−a = Π ∫0 jΠ (t − j)dt ( h = n ) =0 n j=0 k − j j≠k j≠k n n 1 1 1 = ∫0 jΠ(t − j)dt n k ⋅ (k − 1)...1(−1)(−2)...(k − n) =0 j≠k
n n (−1)n−k = ∫0 jΠ (t − j)dt =0 nk!(n − k)! j≠k
所以
max | f
1≤x≤2
(4)
( x) |= f
(4)
(1) = 198.43
b − a b − a (4) 余项为 RS = − f (η) 180 2
4
(2 − 1) ≤ max | f (4) ( x) |= 0.06890 2880 1≤x≤2

高等数学数值分析公式GONGSHI

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　ax x aa a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。

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