九年级数学应用题解法集锦
中考数学专题实际应用题(解析版)
【答案】（1）去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；（2）今年土特产销售至少有6.4万元的收入
【解析】
【分析】
（1）设去年餐饮收入为x万元，住宿为收入y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；
（2）设今年土特产的收入为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．
【详解】解：（1）设去年餐饮收入x万元，住宿收入y万元，
依题意得： ，
解得： ，
答：去年餐饮收入11万元，住宿收入5万元；
【答案】（1） ；（2）①60，②20，1500；（3）当 时，捐赠后 每天的剩余利润不低于1025元
【解析】
【分析】
（1）从表格中取点代入一次函数解析式即可求解；（2）①由表格信息规律直接填写答案，或利用（1）中的函数解析式，求当 时的函数值．②建立W与 的函数关系式，利用二次函数性质求最大值即可．（3）先求捐赠后的利润为1025元时的销售单价，再利用二次函数的性质直接下结论即可；
2．（2019年重庆市中考数学模拟试卷5月份试题）今年五一期间，重庆洪崖洞民俗风情街景区受热棒，在全国最热门景点中排名第二．许多游客慕名来渝到网红景点打卡，用手机拍摄夜景，记录现实中的“千与千寻”，手机充电宝因此热销．某手机配件店有A型（5000毫安）和B型（10000毫安）两种品牌的充电宝出售
（1）已知A型充电宝进价40元，售价60元，B型充电宝进价60元，要使B型充电宝的利润率不低于A型充电宝的利润率，则B型充电宝的售价至少是多少元（利润率＝ ×100%）
初中数学应用题解法大全
初中数学应用题解法大全初中数学应用题在学习中起到了非常重要的作用，它们能够帮助我们将数学知识应用到实际生活中，培养我们的数学思维和解决问题的能力。
在本文中，我将为大家整理一份初中数学应用题解法大全，帮助大家更好地掌握这类题目的解题方法。
1. 空间几何题解法空间几何题是初中数学中比较常见的一类应用题。
在解决空间几何题时，我们可以采用以下方法：首先，通过画图的方式来帮助理解题意。
其次，根据已知条件，使用几何图形的性质，如平行线、垂直线等来进行分析。
然后，运用相应的定理和定律，如平行线的性质、垂直线的性质等来得出结论。
最后，对得到的结论进行验证。
2. 线性方程组的解法线性方程组是初中数学中另一类常见的应用题。
解决线性方程组时，我们可以采用以下方法：首先，列出方程组。
其次，通过化简、消元等方法，将方程组化简为较简单的形式。
然后，根据方程组的特点，选择最适合的解方程法进行求解，如代入法、消元法、等式法等。
最后，对得到的解进行验证。
3. 百分数的应用解法百分数是数学中的重要概念，应用广泛。
在解决百分数的应用题时，我们可以采用以下方法：首先，明确题意，将题目中的百分数转化为小数或分数形式。
其次，根据题目要求，运用百分数的性质进行计算，如利用百分数的乘除法性质、比例关系等。
然后，根据题目的给定条件，运用所学的知识来解决问题。
最后，对结果进行合理性的判断和验证。
4. 几何变换题解法几何变换是初中数学中的一大考点。
在解决几何变换题时，我们可以采用以下方法：首先，通过观察题目中给出的图形，找出与变换前后相关的性质，如长度、角度、位置等。
其次，根据所学的几何变换知识，选择合适的变换方法，如平移、旋转、翻转等。
然后，根据题目要求进行变化、计算或判断。
最后，对得到的结果进行合理性的判断和验证。
5. 统计与概率题解法统计与概率是初中数学中的一大考点。
在解决统计与概率题时，我们可以采用以下方法：首先，明确题目中给出的问题和已知条件。
初三数学解题技巧题集附答案
初三数学解题技巧题集附答案1. 解方程 x + 3 = 5。
解答：根据题目，我们要解的方程是 x + 3 = 5。
首先，我们可以将等式两边减去3，得到 x = 2。
所以，方程的解为 x = 2。
2. 求一个整数 x，使得 x 的两倍加上5等于17。
解答：我们可以表示这个题目为方程 2x + 5 = 17。
首先，我们可以将等式两边减去5，得到 2x = 12。
然后，再将等式两边除以2，得到 x = 6。
所以，这个整数 x 的值为 6。
3. 某物品原价为 120 元，现在打8折出售，求打折后的价格。
解答：首先，我们可以求出打折的数值，即 120 × 0.8 = 96 元。
打折后的价格为 96 元。
4. 三个数相加等于30，第一个数是第二个数的四倍，第三个数比第二个数多5，求这三个数分别是多少？解答：设第二个数为 x，则第一个数为 4x，第三个数为 x + 5。
根据题意，我们可以得到方程 4x + x + (x + 5) = 30。
整理得到 6x + 5 = 30。
然后，将等式两边减去5，得到 6x = 25。
最后，将等式两边除以6，得到 x = 25/6。
所以，第一个数为 4 * (25/6)，第二个数为 25/6，第三个数为 25/6 + 5。
5. 两个数的比是2:3，它们的和为50，求这两个数分别是多少？解答：设两个数的比为 2x:3x，其中 x 为比例尺。
根据题意，我们可以得到方程 2x + 3x = 50。
整理得到 5x = 50。
将等式两边除以5，得到 x = 10。
所以，两个数分别为 2 * 10 和 3 * 10，即 20 和 30。
6. 某数的三分之一是 12，求这个数。
解答：设这个数为 x。
根据题意，我们可以得到方程 x/3 = 12。
将等式两边乘以 3，得到 x = 36。
所以，这个数为 36。
7. 一辆汽车以每小时 60 公里的速度行驶，行驶了多少小时可以行驶 600 公里？解答：设行驶的小时数为 x。
初三数学应用题解题技巧
初三数学应用题解题技巧应用题在初三数学中占据重要地位，解题的难度较大，但只要我们掌握了一些解题技巧，就能迎刃而解。
本文将介绍一些初三数学应用题解题的技巧，希望能对同学们的学习有所帮助。
一、理清题意，分析问题在解决应用题时，首先要仔细阅读题目，理解题目的背景和要求。
可以通过画出图形或者列出已知条件来帮助我们更好地理解和分析问题。
同时，对于一些复杂的应用题，可以将其划分为几个相对独立的小问题，逐个解决，最后将各个小问题的解答综合起来，得到整体的解答。
二、确定解题思路根据题目所给的信息，我们要确定解题的思路。
在初三数学中，常见的解题思路有代数方法、几何方法、统计方法等。
具体选择哪种方法需要根据题目特点来判断。
有时候，我们还需要运用一些变量的设定和假设来辅助解题，提高解题的效率。
三、应用适当的数学知识在解决应用题时，我们要运用所学的数学知识，如比例、百分数、方程、函数等。
熟练掌握这些数学知识并能够灵活运用，对于解决应用题非常关键。
此外，我们还要时刻关注题目中给出的条件，根据条件进行计算和推理，找出解题的关键步骤。
四、合理利用图表和数据在一些实际问题中，图表和数据通常会给出一些有效的信息和线索。
因此，在解决应用题时，我们要善于观察和分析图表和数据，从中获取有用的信息，并运用这些信息来解决问题。
有时候，我们还可以通过绘制图表和数据的变化趋势，进一步理清问题的解决思路。
五、思维灵活，多角度思考要解决一道复杂的应用题，有时候仅仅依靠一个方法可能会比较困难。
因此，我们要善于运用多种思维方法，从不同的角度来思考问题。
如果一个方法不能解决问题，可以尝试其他方法或者从其他角度入手，寻找新的思路和解题方法。
总之，在解决初三数学应用题时，我们要进行综合思考，灵活运用数学知识，善于观察和分析，多角度思考问题。
当然，这需要我们在日常学习中积累足够的数学知识，并通过大量的练习来巩固和提高解题能力。
希望同学们能够通过不断的努力和实践，掌握解题的技巧，提高解决应用题的能力。
九年级数学15道三角函数及应用题专题精讲人教版
15道三角函数及应用题专题精讲2 / 4即从A 点到D 点的距离约是2米. 5分 （2）∵AB ＝82＋62＝10（米） 7分 [或在Rt △ABC 中，BC =8，∠ABC ° ∴AB ＝8cos36.87°≈10（米） 7分 ]∴甲所走的路程为：10＋2＝12（米） 乙所走的路程为：8＋4＝12（米） 8分 ∴小明的判断是正确的. 9分例2、在一块长16m ，宽12m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．下面分别是小明和小颖的设计方案．(1)你认为小明的结果对吗?请说明理由． (2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0．1m)(3)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图，并加以说明．解答：(1)小明的结果不对设小路宽xm ，则得方程(16-2x)(12-2x)=16×12/2解得：x 1=2．x 2=12而荒地的宽为12m ，若小路宽为12m ，不符合实际情况，故x 2=12m 不合题意 (2)由题意得：4×πx 2/4=16×12/2我(小颖)的设计方案 如图2．其中花园中每个角上的扇形都相同。
我(小明)的设计方案 如图1．其中花园四周小路的宽度相等。
通过解方程，我得到小路的宽为2m 或12m 。
word3 / 4FE DCBA45°37°x 2=96/π x ≈5．5m答：小颖的设计方案中扇形的半径约为5．5m ．(3)例3、如图，有一长方形的地，长为x 米，宽为120米，建筑商将它分成三部分：甲、乙、丙。
甲和乙为正方形。
现计划甲建设住宅区，乙建设商场，丙开辟成公司。
若已知丙地的面积为3200平方米，试求x 的值。
解答：根据题意，得()()1201201203200x x ---=⎡⎤⎣⎦，即2360320000x x -+=，解得1200x =，2160x =。
答：x 的值为200米或160米 例4、如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划在这两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）。
九年级上册数学解题技巧专题总结与归纳
九年级上册数学解题技巧专题总结与归纳目录专题1：类比归纳专题——配方法的应用专题2：类比归纳专题——一元二次方程的解法专题3：易错易混专题——一元二次方程中的易错问题专题4：考点综合专题——一元二次方程与其他知识的综合专题5：解题技巧专题——抛物线中与系数a，b，c有关的问题专题6：易错易混专题——二次函数的最值或函数值的范围专题7：难点探究专题——抛物线与几何图形的综合专题8：拔高专题——抛物线中的压轴题专题9：易错专题——抛物线的变换专题10：解题技巧专题——巧用旋转进行计算专题11：拔高专题——旋转变化中的压轴题专题12：类比归纳专题——圆中利用转化思想求角度专题13：类比归纳专题——切线证明的常用方法专题14：解题技巧专题——圆中辅助线的作法专题15：解题技巧专题——圆中求阴影部分的面积专题16：考点综合专题——圆与其他知识的综合专题17：拔高专题——圆中的最值问题专题18：拔高专题——抛物线与圆的综合专题19：易错专题——概率与放回、不放回问题一、类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ） A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100 B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25 C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎪⎫t －742＝8116D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎪⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程： (1) x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x2＋8x＋5的说法正确的是（）A．有最大值13 B．有最小值－3C．有最大值37 D．有最小值16．求证：代数式3x2－6x＋9的值恒为正数．7．若M＝10a2＋2b2－7a＋6，N＝a2＋2b2＋5a＋1，试说明无论a，b为何值，总有M＞N.◆类型三完全平方式中的配方8．如果多项式x2－2mx＋1是完全平方式，则m的值为（）A．－1 B．1 C．±1 D．±29．若方程25x2－(k－1)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k的值为（）A．－9或11 B．－7或8C．－8或9 D．－6或7◆类型四利用配方构成非负数求值10．已知m2＋n2＋2m－6n＋10＝0，则m＋n的值为（）A．3 B．－1 C．2 D．－211．已知x2＋y2－4x＋6y＋13＝0，求(x＋y)2016的值．答案：二、类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一一元二次方程的一般解法方法点拨：形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0； （3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误），所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1.2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.参考答案1.解：（1）移项，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＝14，两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0，∴x＝－（－42）±02×8＝24，∴x1＝x2＝24；|（4）原方程可变形为（2x＋1）（3x－2）＝0，∴2x＋1＝0或3x－2＝0，∴x1＝－12，x2＝23.2. x－1＝0或x＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x－6）（x＋1）＝0，∴x－6＝0或x＋1＝0，∴x1＝6，x2＝－1；（2）原方程可变形为（x＋12）（x－3）＝0，∴x＋12＝0或x－3＝0，∴x1＝－12，x2＝3.4.－12或15.解：设x2＋5x＋1＝t，则原方程化为t（t ＋6）＝7，∴t2＋6t－7＝0，解得t＝1或－7.当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，x2＋5x＝0，x（x＋5）＝0，∴x＝0或x＋5＝0，∴x1＝0，x2＝－5；当t＝－7时，x2＋5x＋1＝－7，x2＋5x ＋8＝0，∴b2－4ac＝52－4×1×8＜0，此时方程无实数根.∴原方程的解为x1＝0，x2＝－5.三、易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a≠0”1．若关于x的方程(a＋3)x|a|－1－3x＋2＝0是一元二次方程，则a的值为______.【易错1】2．关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是（）A．－1 B．1C．1或－1 D．－1或03．已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋m2－3m＋2＝0的常数项为0.(1)求m的值；(2)求方程的解．◆类型二利用判别式求字母取值范围时，忽略“a≠0”及“a中的a≥0”4．若关于x 的一元二次方程(m－2)2x2＋(2m＋1)x＋1＝0有解，那么m的取值范围是（）A．m＞34B．m≥34C．m＞34且m≠2 D．m≥34且m≠25．已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m是非负整数，且关于x的方程(m－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，求m的值及其对应方程的根．◆类型三利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．关于x的一元二次方程x2＋kx＋k＋1＝0的两根分别为x1，x2，且x21＋x22＝1，则k的值为_______.【易错2】8．已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．【易错2】◆类型四与三角形结合时忘记取舍9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x2－14x＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．11 B．17C．17或19 D．1910．在等腰△ABC中，三边分别为a，b，c，其中a＝5，若关于x的方程x2＋(b＋2)x＋6－b＝0有两个相等的实数根，求△ABC的周长．参考答案四、考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x ＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过（）A．第四象限 B．第三象限C ．第二象限D ．第一象限10．已知k 、b 是一元二次方程(2x ＋1)(3x －1)＝0的两个根，且k ＞b ，则函数y ＝kx ＋b 的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y ＝(5－m 2)x 和关于x 的一元二次方程(m ＋1)x 2＋mx ＋1＝0中m 的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m 的值是______．◆类型三 一元二次方程与二次根式的综合12．方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围为（ ）A ．m ＞52B ．m≤52且m≠2C ．m≥3 D．m≤3且m≠213．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______．答案：12.B 13.五、解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax ＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a ＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个8．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－ca.其中正确结论的序号是____________.答案：六、易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的范围求最值1．函数y＝－(x＋1)2＋5的最大值为_______.2．已知二次函数y＝3x2－12x＋13，则函数值y的最小值是【方法11】（）A．3 B．2 C．1 D．－13．已知函数y＝x(2－3x)，当x为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．函数y＝x2＋2x－3(－2≤x≤2)的最大值和最小值分别是（）A．4和－3 B．－3和－4C．5和－4 D．－1和－45．二次函数y＝－12x2＋32x＋2的图象如图所示，当－1≤x≤0时，该函数的最大值是【方法11】（）A．3.125 B．4 C．2 D．06．已知0≤x≤32，则函数y＝x2＋x＋1（）A．有最小值34，但无最大值B．有最小值34，有最大值1C．有最小值1，有最大值19 4D．无最小值，也无最大值◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y＝2x2－3的图象上可以看出，当－1≤x≤2时，y的取值范围是（）A．－1≤y≤5 B．－5≤y≤5C．－3≤y≤5 D．－2≤y≤18．已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，当x≥2时，y的取值范围是（）A．y≥3 B．y≤3 C．y＞3 D．y＜39．二次函数y＝x2－x＋m(m为常数)的图象如图所示，当x＝a时，y＜0；那么当x＝a－1时，函数值CA．y＜0B．0＜y＜mC．y＞mD．y＝m◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为（）A．－2 B．1 C．2 D．911．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．参考答案：七、难点探究专题：抛物线与几何图形的综合——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B 两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P在抛物线上，且以A，C，E，P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为________.第5题图第6题图6．如图，抛物线y＝ax2－x－32与x轴正半轴交于点A(3，0)．以OA为边在x轴上方作正方形OABC，延长CB交抛物线于点D，再以BD为边向上作正方形BDEF.则a＝，点E的坐标是_________________．7.如图，对称轴为直线x＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)设点E(x，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．8．正方形OABC的边长为4，对角线相交于点P，抛物线l经过O，P，A三点，点E是正方形内的抛物线l上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O，P，A三点的坐标；②求抛物线l的解析式；(2)求△OAE与△OCE面积之和的最大值．答案：八、拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A,B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。
初三数学一元二次方程应用题经典题型讲解
一、解应用题步骤：1．审题；2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种；3．找等量关系列方程；4．解方程；5．判断解是否符合题意；6．写出正确的解．商品销售问题：（售价—进价=利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额）1、 某商店以2400元购进某种盒装茶叶，第一个月每盒按进价增加20%作为售价，售出50盒，第二个月每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的茶叶．在整个买卖过程中盈利350元，求每盒茶叶的进价．2、百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件.要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？3、某书店老板去批发市场购买某种图书，第一次购用100元，按该书定价2.8元现售，并快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的批发价已比第一次高0.5元，用去了150元，所购数量比第一次多10本．当这批书售出54时，出现滞销，便以定价的5折售完剩余的图书，试问该老板第二次售书是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？若赔钱，赔多少？，若赚钱，赚多少？4、商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等.（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润最大？获得的最大利润是多少元?数字问题：1、有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。
2、有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字之和的 3倍刚好等于这个两位数。
九年级数学：一元二次方程应用题典型题型归纳
一元二次方程应用题典型题型归纳（一）传播与握手问题（病毒、细胞分裂等）1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了个人。
2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。
3.参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有个队参加比赛。
4.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有个队参加比赛。
5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，这个小组共有多少名同学？6.一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，这个小组共有多少人？7.某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？（二）平均增长率问题变化前数量×（1 x）n＝变化后数量1.青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。
2.某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价率是。
3.某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10％，从2月份开始涨价，3月份的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。
4.某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率？5.恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率.（三）商品销售问题售价—进价=利润单件利润×销售量=总利润单价×销售量=销售额1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？2.某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为４０只，且每日产出的产品全部售出，已知生产ⅹ只熊猫的成本为Ｒ（元），售价每只为Ｐ（元），且Ｒ、Ｐ与x的关系式分别为R=500+30X，P=170—2X。
九年级上册一元二次方程应用题
九年级上册一元二次方程应用题一、面积问题。
1. 用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm²的无盖的长方体盒子，求截去的小正方形的边长。
- 解析：设小正方形的边长为x cm。
- 那么长方体盒子底面的长为(80 - 2x)cm，宽为(60 - 2x)cm。
- 根据长方体底面积公式S =长×宽，可得到方程(80 - 2x)(60 - 2x)=1500。
- 展开方程得4800-160x - 120x+4x^2=1500。
- 整理得4x^2-280x + 3300 = 0，两边同时除以4得x^2-70x+825 = 0。
- 分解因式得(x - 15)(x - 55)=0。
- 解得x_1=15，x_2=55。
- 因为60 - 2x>0，80 - 2x>0，当x = 55时，60-2x=60 - 110=- 50<0（舍去）。
- 所以截去的小正方形的边长为15cm。
2. 一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积是24cm²，求两条直角边的长。
- 解析：设一条直角边为x cm，则另一条直角边为(14 - x)cm。
- 根据直角三角形面积公式S=(1)/(2)×一条直角边×另一条直角边，可得方程(1)/(2)x(14 - x)=24。
- 去分母得x(14 - x)=48。
- 展开得14x-x^2=48，整理得x^2-14x + 48 = 0。
- 分解因式得(x - 6)(x - 8)=0。
- 解得x_1=6，x_2=8。
- 当x = 6时，14 - x = 8；当x = 8时，14 - x = 6。
- 所以两条直角边的长分别为6cm和8cm。
二、增长率问题。
3. 某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元。
该公司缴税的年平均增长率为多少？- 解析：设该公司缴税的年平均增长率为x。
初三数学【分式方程应用题】精选50道答案，考试就会一分不扣
初三数学【分式方程应用题】精选50道答案，考试就会一分不扣临近中考，大家的复习任务变得越发的紧张，为了帮助同学们提升复习的效率，所以王老师今天特意为大家总结中考数学必考的内容——分式知识点，以及方式方程专题练习50题，只要能够掌握了，考试就会一分不扣。
分式知识点关键词：分式、分式的基本性质、分式的约分、分式的通分、分式的运算、整数指数幂、科学计数法、分式方程、最后结果一定时最简形式必须清晰知道的基本概念：分式：1，定义：一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。
请联系前面讲的分数，基本是一样的2，与分式有关的一些知识点：1>分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母；2>分式无意义，分母为0；3>分式值为0，分子为0 ，且分母不为0；4>分式值为负或小于0，分子分母异号；5>分式值为正或大于0，分子分母同号；6>分式值为1，分子分母值相等；7>分式值为-1，分子分母值互为相反数；这些知识点看上去非常简单，甚至给人感觉都是废话。
那是因为没有放在具体的题目中，其实你那些没有拿到的分都是从这些很简单的知识里面来的。
比如，一个很复杂的分式，分子分母都很复杂，但是如果能够知道它的值为1，则表示分子和分母是相等的。
这些东西要有谦虚的心态在以后的学习中才能慢慢体会到的。
这里给大家强调三点！1.分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母；2.分式与整式的和，也是分式。
3.判断分式有无意义时，一定要讨论原分式，而不能时化简后的分式！举例：问（x2-1）/x2-x-2何时有意义？答案是x≠2和x≠-1；而如果化简后只能得到x≠2这个答案了。
分式的基本知识：1.分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以一个不等于0的数，分式的值不变；2.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；3.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。
初三数学应用题大全及答案
初三数学应用题大全及答案
初三数学应用题大全及答案
1. 小珠旅游团里有男生9人，女生3人。
他们分为三个组，每组男生
和女生的比例相同，每组人数为4人。
请问小珠团里有几组？
答案：小珠团里有3组。
2. 一班有20名学生，其中10名男生，10名女生，两人两人一组，每
个组一个男生一个女生，每组都不一样，写出所有可能的组合方式。
答案：男生女生组合方式为：1男1女，2男2女，3男3女，4男4女，5男5女，6男6女，7男7女，8男8女，9男9女，10男10女。
3. 一条条形码共有32位，每8位作为一组，每组有多少个？
答案：一条条形码共有32位，每8位作为一组，则一共有4组。
4. 一家餐馆有4桌正在用餐，每桌客人人数相同，共有28人，请问每桌客人数有多少？
答案：每桌客人数有7人。
5. 有3把锁，组合为ABC，其中A、B、C代表3种颜色，则有多少种组合方式？
答案：有6种组合方式，分别为：ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA。
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析
初三数学一元二次方程常考应用题型附答案解析一、列一元二次方程解决率类问题例1、今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元。
假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3500 （B．2500（1+x）2=3500C．2500（1+x%）2=3500D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500【解答】解：设增长率为x，根据题意得2500×（1+x）2=3500，故选B．例2、为落实素质教育要求，促进学生全面发展，某市某中学2009年投资11万元新增一批电脑，计划以后每年以相同的增长率进行投资，2011年投资18.59万元。
则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是，从2009年到2011年，该中学三年为新增电脑共投资万元。
【解答】解：设该学校为新增电脑投资的年平均增长率是x11（1+x）2=18.59x=30%（则该学校为新增电脑投资的年平均增长率是30%11×（1+30%）=14.3万元11+14.3+18.59=43.89万元故答案为：30%；43.89练习1、股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。
已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价。
若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是（）A．（1+x）2=B．（1+x）2=C．1+2x=D．1+2x=【解答】解：设平均每天涨x，则90%（1+x）2=1，即（1+x）2=，故选B。
（2、某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20%B．40%C．﹣220%D．30%【解答】解：设每年投资的增长率为x，根据题意，得：5（1+x）2=7.2解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去），故每年投资的增长率为为20%，故选：A3、随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆。
初三数学应用题解题方法
初三数学应用题解题方法一、应用题的定义和特点1.应用题的定义：将现实生活中的问题转化为数学问题，通过数学方法和语言进行描述、分析和解决的一种题型。
2.应用题的特点：贴近生活，具有实际意义；题干信息丰富，条件复杂；答案不唯一，解题方法多样。
二、初三数学应用题的常见类型1.几何应用题：涉及三角形、四边形、圆等几何图形的性质和计算。
2.代数应用题：涉及方程、不等式、函数等代数方法解决问题。
3.概率统计应用题：涉及概率、频率、统计量的计算和分析。
4.方程应用题：涉及一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组等方程的求解。
5.立体几何应用题：涉及立体图形的性质、计算和几何关系。
三、解题步骤与方法1.认真审题：仔细阅读题干，理解题目要求，找出已知条件和未知量。
2.分析问题：分析问题的背景和实际意义，确定解题思路和方法。
3.列出方程：根据题干条件和已知量，列出相应的方程或不等式。
4.求解方程：运用代数方法，求解方程得到未知量的值。
5.检验答案：将求得的未知量值代入原方程，检验是否符合题意。
6.解答问题：用简洁明了的语言，写出解题过程和最终答案。
四、解题技巧与策略1.画图辅助：对于几何应用题，可以画出相应的图形，帮助理解和解决问题。
2.分解问题：将复杂的问题分解为简单的子问题，分别求解后再综合。
3.变量代换：对于多变量问题，可以采用变量代换的方法，简化问题。
4.方程转化：将不等式问题转化为方程问题，或反之，以便于求解。
5.运用公式：熟练掌握相关数学公式，提高解题效率。
五、注意事项1.理解题意：在做题过程中，要时刻关注题目的要求，确保解题方向正确。
2.审题细心：仔细审题，避免因疏忽导致解题错误。
3.逻辑清晰：解题过程要逻辑清晰，步骤明确，便于他人理解。
4.答案准确：求解过程中，注意精度和准确性，避免计算错误。
六、练习与提高1.课堂练习：跟随老师的教学进度，认真完成课堂练习。
2.课后习题：多做课后习题，巩固所学知识，提高解题能力。
湘教版九年级数学上学期(第一学期)《一元二次方程》应用题归类练习及答案解析.docx
（新）湘教版九年级数学上册 一元二次方程 应用题归类练习前言：（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用主要讲了三种类型的应用题：①增长率问题，引例（动脑筋）和例1。
②销售、利润问题，例2。
③几何图形的面积与动点移动形成的几何图形的面积，引例（动脑筋）例3，例4。
复习题中还出现了数字方面的应用题。
无论哪一种题型都离不开教材第50页的议一议，要建立好一元二次方程的模型，才能去很好的解一元二次方程。
在这里把（新）湘教版九年级数学上册一元二次方程的应用归一下类，供大家参考！一、 增长率问题：1、某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x ，根据题意可列方程为 ．2、2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x ，可列方程为 ．3、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的平均增长率x 相同，则下列方程正确的是（ ）A.250(1)196x +=B. 25050(1)196x ++=C.()()250501501196+x x +++=D. ()()505015012196+x x +++=4、满洲里市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望．为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子．开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠？5、全民健身和医疗保健是社会普遍关注的问题，2014年，某社区共投入30万元用于购买健身器材和药品．（1）若2014年社区购买健身器材的费用不超过总投入的，问2014年最低投入多少万元购买药品？（2）2015年，该社区购买健身器材的费用比上一年增加50%，购买药品的费用比上一年减少，但社区在这两方面的总投入仍与2014年相同．①求2014年社区购买药品的总费用；②据统计，2014年该社区积极健身的家庭达到200户，社区用于这些家庭的药品费用明显减少，只占当年购买药品总费用的，与2014年相比，如果2015年社区内健身家庭户数增加的百分比与平均每户健身家庭的药品费用降低的百分比相同，那么，2015年该社区用于健身家庭的药品费用就是当年购买健身器材费用的，求2015年该社区健身家庭的户数．二、销售、利润问题：6、新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童裝应降价x元，可列方程为．7、百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“十•一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，要使平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？请先填空后再列方程求解：设每件童装降价元，那么平均每天就可多售出件，现在一天可售出件，每件盈利元．8、水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；（2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？9、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？10、某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中：销售单价（元）x销售量y（件）销售玩具获得利润w（元）（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．11、随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？12、某公司生产的商品的市场指导价为每件150元，公司的实际销售价格可以浮动x个百分点（即销售价格=150（1+x%）），经过市场调研发现，这种商品的日销售量y（件）与销售价格浮动的百分点x之间的函数关系为y=﹣2x+24．若该公司按浮动﹣12个百分点的价格出售，每件商品仍可获利10%．（1）求该公司生产销售每件商品的成本为多少元？（2）当实际销售价格定为多少元时，日销售利润为660元？（说明：日销售利润=（销售价格一成本）×日销售量）（3）该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（a≥1）给希望工程，公司通过销售记录发现，当价格浮动的百分点大于﹣2时，扣除捐赠后的日销售利润随x增大而减小，直接写出a的取值范围．三、面积、动点问题：13、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图①）的四周镶上宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图②），使整个挂图的面积是80平方分米，设金色纸边宽为x分米，可列方程为．14、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是5 400cm2，设金色纸边的宽为xcm，则可列方程．15、如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？16、如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问：（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？（2）当t为何值时，点P和点Q距离是3cm？（3）当t= 以点P、Q、D为顶点的三角形是等腰三角形．（直接写出答案）17、已知：如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间t（s），解答下列各问题：（1）经过秒时，求△PBQ的面积；（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（3）是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出t的值；不存在请说明理由．18、如图所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，则四边形APQC的面积是．（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟，使S△PBQ=8cm2．（3）如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒钟后，以P、Q、B三点为顶点的△与△ABC相似？19、如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q 分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：（1）经过6秒后，BP= 6cm，BQ= 12cm；（2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？（3）经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？（4）经过几秒时△BPQ的面积达到最大？并求出这个最大值．四、数字问题：20、某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为．21、根据题意，列出方程：已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数；五、行程问题：22、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设．渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了l20千米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时．（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加m小时，求m的值．一元二次方程应用题归类练习参考答案：1、8100×（1﹣x）2=7600 ．2、1585（1+x）2=2180 ．3、C4、解：（1）设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，5000（1﹣x）2=4050，解得：x1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）；答：平均每次降价的百分率为10%．（2）方案一的房款是：4050×100×0.98+3600=400500（元）；方案二的房款是：4050×100﹣1.5×100×12×2=401400（元）∵400500元＜401400元．5、解：（1）设2014年购买药品的费用为x万元，根据题意得：30﹣x≤×30，解得：x≥10，则2014年最低投入10万元购买药品；（2）①设2014年社区购买药品的费用为y万元，则购买健身器材的费用为（30﹣y）万元，2015年购买健身器材的费用为（1+50%）（30﹣y）万元，购买药品的费用为（1﹣）y万元，根据题意得：（1+50%）（30﹣y）+（1﹣）y=30，解得：y=16，30﹣y=14，则2014年购买药品的总费用为16万元；②设这个相同的百分数为m，则2015年健身家庭的户数为200（1+m），2015年平均每户健身家庭的药品费用为（1﹣m）万元，依题意得：200（1+m）•（1﹣m）=（1+50%）×14×，解得：m=±，∵m＞0，∴m==50%，∴200（1+m）=300（户），则2015年该社区健身家庭的户数为300户．6、（40﹣x）（20+2x）=1200 ．7、请先填空后再列方程求解：设每件童装降价x 元，那么平均每天就可多售出2x 件，现在一天可售出20+2x 件，每件盈利40﹣x 元．解：设每件童装降价x元，则（40﹣x）（20+2x）=1200即：x2﹣30x+200=0解得：x1=10，x2=20∵要扩大销售量，减少库存∴舍去x1=10答：每件童装应降价20元．8、（1）100+200x （用含x的代数式表示）；（2）根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）=300，解得：x=或x=1，∵每天至少售出260斤，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．9、解：（1）设每件衬衫应降价x元，根据题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，整理得2x2﹣60x+400=0解得x1=20，x2=10．因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）设商场平均每天赢利y元，则y=（20+2x）（40﹣x）=﹣2x2+60x+800=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]=﹣2（x﹣15）2+1250．∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．10、解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得﹣10x2+1300x﹣30000利润w（元）（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000，解之得：x1=50 x2=80，答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润．11、解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，=，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．12、解：（1）设该公司生产销售每件商品的成本为z元，依题意得：150（1﹣12%）=（1+10%）z，解得：z=120，答：该公司生产销售每件商品的成本为120元；（2）由题意得（﹣2x+24）[150（1+x%）﹣120]=660，整理得：x2+8x﹣20=0，解得：x1=2，x2=﹣10，此时，商品定价为每件135元或153元，日销售利润为660元；（3）根据题意得：1≤a≤6．13、（2x+6）（2x+8）=80 ．14、（80+2x）（50+2x）=5400 ．15、解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得x（25﹣2x+1）=80，化简，得x2﹣13x+40=0，解得：x1=5，x2=8，当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．16、解：（1）如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6，AD=BC=2，∠A=∠B=∠C=∠D=90°．∵CQ=1cm，AP=2cm，∴AB=6﹣2=4cm．∴S==5cm2．答：四边形BCQP面积是5cm2；（2）如图1，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=9，解得：t=．如图2，作PE⊥CD于E，∴∠PEQ=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm，BP=CE=6﹣2t．∵CQ=t，∴QE=t﹣（6﹣2t）=3t﹣6在Rt△PEQ中，由勾股定理，得（3t﹣6）2+4=9，解得：t=．综上所述：t=或；（3）如图3，当PQ=DQ时，作QE⊥AB于E，∴∠PEQ=90°，∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴QE=BC=2cm，BE=CQ=t．∵AP=2t，∴PE=6﹣2t﹣t=6﹣3t．DQ=6﹣t．∵PQ=DQ，∴PQ=6﹣t．在Rt△PQE中，由勾股定理，得（6﹣3t）2+4=（6﹣t）2，解得：t=．如图4，当PD=PQ时，作PE⊥DQ于E，∴DE=QE=DQ，∠PED=90°．∵∠B=∠C=90°，∴四边形BCQE是矩形，∴PE=BC=2cm．∵DQ=6﹣t，∴DE=．∴2t=，解得：t=；如图5，当PD=QD时，∵AP=2t，CQ=t，∴DQ=6﹣t，∴PD=6﹣t．在Rt△APD中，由勾股定理，得4+4t2=（6﹣t）2，解得t1=，t2=（舍去）．综上所述：t=，，，．故答案为：，，，．17、解：（1）经过秒时，AP=cm，BQ=cm，∵△ABC是边长为3cm的等边三角形，∴AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=3﹣=cm，∴△PBQ的面积=BP•BQ•sin∠B=×××=；（2）设经过t秒△PBQ是直角三角形，则AP=tcm，BQ=tcm，△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，∴BP=（3﹣t）cm，△PBQ中，BP=（3﹣t）cm，BQ=tcm，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，当∠BQP=90°时，BQ=BP，即t=（3﹣t），t=1（秒），当∠BPQ=90°时，BP=BQ，3﹣t=t，t=2（秒），答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．（3）过P作PM⊥BC于M，△BPM中，sin∠B=，∴PM=PB•sin∠B=（3﹣t），∴S△PBQ=BQ•PM=•t•（3﹣t），∴y=S△ABC﹣S△PBQ=×32×﹣×t×（3﹣t）=t2﹣t+，∴y与t的关系式为y=t2﹣t+，假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，则S四边形APQC=S△ABC，∴t2﹣t+=××32×，∴t2﹣3t+3=0，∵（﹣3）2﹣4×1×3＜0，∴方程无解，∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．18、解：（1）如果P、Q分别从A、B同时出发3秒，那么AP=3cm，BQ=6cm，则BP=3cm．四边形APQC的面积=△ABC的面积﹣△PBQ的面积=×6×8﹣×6×3=24﹣9=15（cm2）．故答案为15cm2；（2）设经过x秒钟，S△PBQ=8cm2，BP=6﹣x，BQ=2x，∵∠B=90°，∴BP×BQ=8，∴×（6﹣x）×2x=8，∴x1=2，x2=4，答：如果点P、Q分别从A、B同时出发，经过2或4秒钟，S△PBQ=8cm2；（3）设经过y秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似：①若△PBQ～△ABC，则有=，即=，解得：y=；②若△QBP～△ABC，则有=，即=，解得：y=．答：经过或秒后，以P、Q、B三点为顶点的三角形与△ABC相似．19、解：（1）由题意，得AP=6cm，BQ=12cm，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∴BP=12﹣6=6cm．（2）∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，当∠PQB=90°时，∴∠BPQ=30°，∴BP=2BQ．∵BP=12﹣x，BQ=2x，∴12﹣x=2×2x，解得x=，当∠QPB=90°时，∴∠PQB=30°，∴BQ=2PB，∴2x=2（12﹣x），解得x=6．答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；（3）作QD⊥AB于D，∴∠QDB=90°，∴∠DQB=30°，∴DB=BQ=x，在Rt△DBQ中，由勾股定理，得DQ=x，∴=10，解得x1=10，x2=2，∵x=10时，2x＞12，故舍去，∴x=2．答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．；（4）∵△BPQ的面积==﹣x2+6x，∴当x==6时，△BPQ的面积最大，此时最大值为﹣×62+6×6=18．故答案为：6cm、12cm．20、x（x﹣1）=1640 ．21、解：设个位数字为x，则十位数字为12﹣x，由题意得：x（12﹣x）=32；22、解：（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，解得：，答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；（2）由题意可得出：（80+120）（1﹣m%）（8+m）=1600，解得：m1=20，m2=0（不合题意舍去），答：m的值为20．。
人教版九年级上册数学解答题专题训练50题(含答案)
人教版九年级上册数学解答题专题训练50题含答案一、解答题1．解方程：2630x x +-=.2．如图所示，正方形网格中，ABC 为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．(1)把ABC 沿BA 方向平移后，点A 移到点1A ，在网格中画出平移后得到的111A B C △；(2)把111A B C △绕点1A 按逆时针方向旋转90︒，在网格中画出旋转后的22A B C 1△．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用平移的性质画图，即对应点都移动相同的距离；（2）利用旋转的性质画图，对应点都旋转相同的角度．【详解】（1）解：如图所示：111A B C △即为所求；（2）如图所示：22A B C 1△即为所求．【点睛】本题主要考查了平移变换、旋转变换作图，做这类题时，理解平移、旋转的性质是关键．3．如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心在哪里？旋转角是哪个角？【答案】杠杆的旋转中心是点O ，旋转角是∵BOB ′（或∵AOA ′）【分析】根据旋转的定义即可得到杠杆绕支点转动撬起重物的旋转中心，旋转角.【详解】解：杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆绕点O 旋转，所以杠杆的旋转中心是点 O ，旋转角是∵BOB ′（或∵AOA ′）．【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.4．已知，如图，直线AB 经过点()0,6B ，点()4,0A ，与抛物线22y ax =+在第一象限内相交于点P ，又知AOP 的面积为6．（1）求a 的值；（2）若将抛物线22y ax =+沿y 轴向下平移，则平移多少个单位才能使得平移后的抛物线经过点A ．AOP∆的面积∴=，y3y=再把3P所以(2,3)P代入到把(2,3)5．某商店购进一批小玩具，每个成本价为20元，经调查发现售价为32元时，每天可售出20个，若售价每增加5元，每天销售量减少2个；售价每减少5元，每天销售量增加2个，商店同一天内售价保持不变.（1）若售价增加x元，则销售量是（______________）个（用含x的代数式表示）；（2）某日商店销售该玩具的利润为384元，求当天的售价是多少元？（利润=售价-进价）6．2022年3月，举世瞩目的北京冬奥会、冬残奥会胜利闭幕．以下是2022年北京冬奥运会会徽—冬梦、冬残奥会会徽—飞跃、冬奥会吉祥物—冰墩墩及冬残奥会吉祥物—雪容融的卡片，四张卡片分别用编号A，B，C，D来表示，这4张卡片背面完全相同，现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．(1)从中任意抽取一个张卡片，恰好是“冬梦”的概率为；(2)将A冬梦和C冰墩墩的组合或B飞跃和D雪容融的组合称为“一套”，小明和小红依次从中随机抽取一张卡片（不放回），请你用列表或画树状图的方法求他们抽到的两张卡片恰好一套的概率．7．今年是中国共产党建党100周年，中华人民共和国成立72周年！在国庆前夕，社区便民超市调查了某种水果的销售情况获得如下信息：信息一：进价是每千克12元；信息二：当销售价为每千克27元时，每天可售出120千克；若每千克售价每降低2元，则每天的销售量将增加80千克．根据以上信息解答问题：该超市每天想要获得3080元的销售利润，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售单价应为多少元．【答案】这种水果的销售单价为19元【分析】设这种水果的销售单价为x 元，则有销售量为()120040x -千克，然后根据利润=销售量×单个利润即可求解．【详解】解：设这种水果的销售单价为x 元，由题意得：8．已知抛物线23y ax bx =++经过点()3,0A 和点()4,3B ．(1)求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；(2)直接写出它的开口方向、对称轴、顶点坐标和最大值（或最小值）． 【答案】(1)243y x x =-+(2)开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()21-，，最小值为1-【分析】（1）由条件可知点A 和点B 的坐标，代入解析式可得到关于a 和b 的二元一次方程组，解得a 和b ，可写出二次函数解析式；（2）根据a 的值可确定开口方向，并将抛物线的解析式配方后可得对称轴、顶点坐标和二次函数的最值．【详解】（1）解：将点()3,0A 和点()4,3B 代入23y ax bx =++中，得933016433a b a b ++=⎧⎨++=⎩， 解得：14a b =⎧⎨=-⎩， ∵243y x x =-+（2）解：∵243y x x =-+()221x =--，1a =0>， ∵开口向上，对称轴为直线2x =，顶点坐标为()21-，，最小值为1-． 【点睛】本题考查二次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用配方法确定二次函数的顶点坐标和对称轴．9．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球实验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为（精确到0.1）（2）盒子里白色的球有只；（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．10．（1）2(1)4x-=；（2）2430-+=；x xx x-=．（3）230x-+=；（4）(6)611．解方程：（用适当的方法解方程）(1)2430x x --=(2)2(1)(1)0x x x ---=(3)2542x x =-(4)2)(35)1x x --=（12．我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8万件，假设该公司每月投递快递总件数的增长率相同．(1)求该公司投递快递总件数的月增长率；(2)若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？答：若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数不能达到45万件．【点睛】本题主要考查了一元二次方程应用题中的平均增长率问题，如何正确根据题意列出一元二次方程是解题的关键．13．已知关于x的一元二次方程20ax bx c++=（a≠0）的一个根为，则244ac ba-＝_____．14．列方程解应用题：口罩是一种卫生用品，正确佩戴口罩能阻挡有害气体、飞沫、病毒等物质，对进入肺部的空气有一定的过滤作用．据调查，2021年1月份某厂家口罩产量为80万只，2月份比1月份增加了25%，4月份口罩产量为196万只．(1)该厂家2月份的口罩产量为______万只；(2)该厂家2月份到4月份口罩产量的月平均增长率是多少？【答案】(1)100(2)40%【分析】（1）用1月份的产量乘以(1+25%)即可求解；（2）设月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．（1）2月份的产量为：80×(1+25%)=100（万只），故答案为：100；（2）设月平均增长率为x，根据题意有：100×(1+x)2=196，解得：x=40%，（负值舍去），故2月份到4月份的平均增长率为40%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解答本题的关键．15．“2019淮安清江浦国际半程马拉松赛”的赛事共有三项：A．“半程马拉松2019”、B．“纪念2019”、C．“爱跑2019”.小明和小丽参与了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组.(1)小明被分配到“爱跑2019”项目组的概率为____________；(2)用树状图或列表法求小明和小丽被分配到不同项目组的概率.16．如图，∵ABC三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（4，2），C（1，3）．（1）将∵ABC 向右、向下分别平移1个单位长度和5个单位长度得到∵A 1B 1C 1，请画出∵A 1B 1C 1，并写出点A 1，C 1的坐标；（2）请画出∵ABC 关于原点O 成中心对称的∵A 2B 2C 2．【答案】（1）见解析，点A 1的坐标为（1，﹣4），点C 1的坐标为（2，﹣2）；（2）见解析．【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律得出对应点的坐标，描点画出图形即可； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征得出对应点的坐标，描点画出图形即可． 【详解】（1）如图，∵A 1B 1C 1为所作，点A 1的坐标为（1，﹣4），点C 1的坐标为（2，﹣2）；（2）如图，∵A 2B 2C 2为所作．【点睛】本题考查坐标与图形变换-平移、坐标与图形变换-旋转，熟练掌握坐标与图形变换的规律，正确得出对应点的坐标是解答的关键． 17．解方程 (1)2430x x -+= (2)()()2323x x -=- 【答案】(1)11x =，23x =． (2)13x =，25x =．【分析】（1）先把方程左边分解因式化为()()130x x --=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可；（2）先移项，把方程左边分解因式化为()()350x x --=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：2430x x -+=， ∵()()130x x --=， ∵10x -=或30x -=， 解得：11x =，23x =． （2）()()2323x x -=-， 移项得：()()23230x x ---=， ∵()()350x x --=， ∵30x -=，50x -=， 解得：13x =，25x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．18．某校团委决定从4名学生会干部（小明、小华、小丽和小颖）中抽签确定2名同学去进行宣传活动，抽签规则：将4名同学姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，既然从中随机抽取一张卡片，记下姓名，再从剩余的3张卡片中随机抽取第二张，记下姓名．试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小明被抽中的概率．由表可知，共有12种等可能结果，其中小明被抽中的有6种结果，所以小明被抽中的概率为：61 122．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．19．如图1所示，是一块边长为2的正方形瓷砖，其中瓷砖的阴影部分是半径为1 的扇形.请你用这种瓷砖拼出两种不同的图案，使拼成的图案即是轴对称图形又是中心对称图形，并把它们分别画在下面边长为4的正方形中（要求用圆规画图）.图1图2图3【答案】通过对轴对称图形分析作图【详解】试题分析：图形（1）既轴对称（对称轴为正方形对角线所在的直线），又中心对称（对称中心为正方形的中心），根据小正方形的对称性，将小正方形换动不同方向，得出既轴对称图形又中心对称的图形既轴对称图形又中心对称的图形如图所示考点：旋转作图点评：本题考查了运用旋转，轴对称方法设计图案的问题．关键是熟悉有关图形的对称性，利用中心对称性拼图20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)、B(4，2)、C(3，4)（1）请画出将△ABC 向左平移4个单位长度后得到的图形111A B C ∆，直接写出点1A 的坐标；（2）请画出△ABC 绕原点O 顺时针旋转90∘的图形222A B C ∆，直接写出点2A 的坐标； （3）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标．【答案】（1）1(3,1)A -，作图见解析，（2）2(1,1)A -，作图见解析，（3）(2,0)P ，作图见解析．【分析】（1）根据网格结构找出点A 、B 、C 平移后的对应点的位置，然后顺次连接即可；（2）找出点A 、B 、C 绕原点O 顺时针旋转90°的对称点的位置，然后顺次连接即可；（3）找出A 的对称点A′，连接BA′，与x 轴交点即为P ． 【详解】解：（1）如图所示：点1A 的坐标（-3，1）； （2）如图所示：点2A 的坐标（1，-1）；（3）找出A 的对称点A′（1，-1）， 连接BA′，与x 轴交点即为P ；则',PA PA = （'2,A A 重合），'',PA PB PA PB BA ∴+=+=则P 即为所求作的点，如图所示：点P 坐标为（2，0）．【点睛】本题考查了利用平移，旋转变换作图、轴对称-最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．21．已知关于x 的方程2390x x k --+=的两个实根为1x ，2x ．且满足122x x =-，试求这个方程的两个实根及k 的值．22．嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式时，对于b 2﹣4ac ＞0的情况，她是这样做的：（下页） 解：由于a ≠0，方程ax 2+bx +c =0变形为： x 2+b ax =﹣ca ，…第一步x 2+b ax +（2b a ）2=﹣c a +（2ba ）2，…第二步（x +2b a ）2=2244b ac a -，…第三步x +2b a =（b 2﹣4ac ≥0），…第四步x 1…第五步(1)嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事实上，当b 2﹣4ac ≥0时，方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的求根公式是 ． (2)用配方法解方程：2x 2﹣4x +1=0．23．如图，AB 是∵O 的直径，点D 在∵O 上，∵DAB=45°，BC∵AD ，CD∵AB ．（1）判断直线CD 与∵O 的位置关系，并说明理由；（2）若∵O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．如图，∵O是△ABC的外接圆，AB是∵O的直径，延长AB到点E,连接EC,使得∵BCE=∵BAC(1)求证：EC是∵O的切线；（2）过点A作AD∵EC的延长线于点D,若AD=5，DE=12，求∵O的半径.25．如图O 是ABD △的外接圆，AB 为直径，点C 是AD 的中点，连结,OC BC 分别交AD 于点F ，E ．（1）求证：2ABD C ∠=∠．（2）若10,8AB BC ==，求BD 的长． 【答案】（1）见解析；（2）2.8【分析】（1）由圆周角定理得出ABC CBD ∠=∠，由等腰三角形的性质得出ABC C ∠=∠，则可得出结论；（2）连接AC ，由勾股定理求出6AC =，得出222256(5)OF OF -=--，求出 1.4OF =，则可得出答案．【详解】解：（1）证明：C 是AD 的中点， ∴AC DC =，ABC CBD ∴∠=∠，OB OC =， ABC C ∴∠=∠，ABC CBD C ∴∠=∠=∠，2ABD ABC CBD C ∴∠=∠+=∠；（2）连接AC ，AB 为O 的直径，C 是AD OC ∴⊥2OA OF ∴-25OF ∴- 1.4OF ∴=又O 是AB 2BD OF ==【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系定理，勾股定理，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解决本题的关键．26．用公式法解方程：210x x --=．【答案】x =27．疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早晨到校情况，发现学生到校的累计人数y （单位：人）随时间x （单位：分钟）的变化情况如图所示，当010x ≤≤时，y 可看作是x 的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为(10,500)；当1012x <≤时，累计人数保持不变．（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测棚，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在8分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【答案】（1）25100(010),500(1012)y x x x y x =-+≤≤=<≤；（2）排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）2个【分析】（1）当010x ≤≤时，y 可看作是x 的二次函数，由于抛物线的顶点为（10，500），设y 与x 之间的函数解析式为：y =a （x -10）2+500，把O 点的坐标（0，0）代入即可求得a ；当1012x <≤时，累计人数保持不变，问题即可解决；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，到校人数减去检测人生，即可得到w 与x 的函数解析式，根据二次函数解析式可求得其最大值=180；要全部学生都完成体温检测，根据题意得500400x -=，求解即可；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在8分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．【详解】解：（1）当010x ≤≤时，设y 与x 之间的函数关系式为：2(10)500y a x =-+，把(0,0)代入上式得：20(010)500a =-+，解得：5a =-，故函数关系式为：25(10)500(010)y x x =--+≤≤当1012x <≤时，累计人数保持不变，即y =500．∵25100(010),500(1012)y x x x y x =-+≤≤=<≤（2）设第x 分钟时的排队等待人数为w 人，由题意可得：40w y x =-∵010x ≤≤时，2225100405605(6)180w x x x x x x =-+-=-+=--+，∵当6x =时，w 的最大值180=，∵当1012x <≤时，50040,w w x =-随x 的增大而减小，20100w ∴≤<，∵排队人数最多时是180人，要全部学生都完成体温检测，根据题意得：500400x -=解得：12.5x =答：排队人数最多时有180人，全部考生都完成体温检测需要12.5分钟；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，28．已知：如图．∵ABC和∵DEC都是等边角形．D是BC延长线上一点，AD与BE 相交于点P．AC、BE相交于点M，AD、CE相交于点N．(1)在图∵中，求证：AD＝BE；(2)当∵CDE绕点C沿逆时针方向旋转到图∵时，∵APB＝．【答案】(1)见解析(2)60°【分析】（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CE＝CD，∵ACB＝∵ECD＝60°，求出∵BCE＝∵ACD，根据SAS推出两三角形全等即可；（2）证明∵ACD∵∵BCE（SAS），得到AD＝BE，∵DAC＝∵EBC，根据三角形的内角和定理，即可解答．【详解】（1）证明：∵∵ABC和∵CDE为等边三角形，∵AC＝BC，CD＝CE，∵BCA＝∵DCE＝60°，∵∵ACD＝∵BCE，在∵ACD和∵BCE中，AC＝BC，∵ACD＝∵BCE，CD＝CE，∵∵ACD∵∵BCE（SAS），∵AD＝BE；（2）解：∵∵ABC和∵CDE都是等边三角形，∵AC＝BC，CD＝CE，∵ACB＝∵DCE＝60°，∵∵ACB ＋∵BCD ＝∵DCE ＋∵BCD ，即∵ACD ＝∵BCE ，在∵ACD 和∵BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵ACD ∵∵BCE （SAS ），∵∵DAC ＝∵EBC ， ∵∵AMP ＝∵BMC ，∵∵APB ＝∵ACB ＝60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．29．图1，图2是小明家厨房的效果图和装修平面图（长方形），设计师将厨房按使用功能分为三个区域，区域∵摆放冰箱，区域∵为活动区，区域∵为台面区，其中区域∵、区域∵为长方形．现测得FG 与墙面BC 之间的距离等于HG 与墙面CD 之间的距离，比EF 与墙面AB 之间的距离少0.1m ．设AE 为x （m ），回答下列问题：(1)用含x 的代数式表示FG ，则FG = m ．(2)当AE 为何值时，区域∵的面积能达到2.34m 2？(3)测得JF =0.35m ，在（2）的条件下，在下列几款冰箱中选择安装，要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm 的散热空间，则选择购买 款冰箱更合适．【答案】(1)3.2-2x(2)0.7(3)B【分析】（1）用含x 的代数式表示出DH 的长，根据FG =AD -AE -DH ，代入化简，可表示出FG 的长．（2）用含x的代数式表示出GH的长，再根据长方形的面积=长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值．（3）将x的值代入计算求出EF，EJ的长，根据要求机身左右和背面与墙面之间的距离至少预留20mm的散热空间，利用A，B，C三款冰箱的尺寸，可得答案．【详解】（1）3100mm=3.1m，1900mm=1.9m∵AE=xm，DH=（x-0.1）m，∵FG=AD-AE-DH=3.1-x-（x-0.1）=3.2-2x故答案为：3.2-2x（2）解：GH=1.9-（x-0.1）=（2-x）m，∵（3.2-2x）（2-x）=2.34解之：x1=0.7，x2=2.9（舍去）∵x=0.7，∵当AE=0.7时，区域∵的面积能达到2.34m2．（3）由（2）得EF=GH=2-x=2-0.7=1.3mEJ=EF-JF=1.3-0.35=0.95m，EJ=950mm，AE=0.7=700mm，950-2×20=910mm，∵910＞908且700-20＞677，∵应该选择B冰箱更合适．故答案为：B．【点睛】一元二次方程的实际应用-几何问题，解题的关键是读懂题意，看清图形，根据题意设未知数，根据等量关系列一元二次方程．30．我们把能二等分多边形面积的直线称为多边形的“好线”．请用无刻度的直尺画出图(1)、图(2)的“好线”．其中图(1)是一个平行四边形，图(2)由一个平行四边形和一个矩形组成（保留画图痕迹，不写画法）【答案】见解析【分析】图（1）过平行四边形的中心O画直线MN即可，图（2）过平行四边形和矩形的中心O，O′画直线MN即可．【详解】解：如图（1），直线MN即为所求（答案不唯一）．如图（2），直线MN即为所求．【点睛】本题考查了利用中心对称图形的性质进行作图及平行四边形和矩形的性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键．31．幻方是一种将数字排在正方形格子中，使每行、每列和每条对角线上的数字和都相等的模型．数学课上，老师在黑板上画出一个幻方如图所示，并设计游戏：一人将一颗能粘在黑板上的磁铁豆随机投入幻方内，另一人猜数，若所猜数字与投出的数字相符，则猜数的人获胜，否则投磁铁豆的人获胜．猜想的方法从以下两种中选一种：()1猜“是大于5的数”或“不是大于5的数”；()2猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；如果轮到你猜想，那么为了尽可能获胜，你将选择哪--种猜数方法？怎么猜？为什么？254>>399∵为了尽可能获胜，我会选猜法（【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，掌握概率公式，是解题的关键．32．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx+m2+m﹣3＝0（m为常数）．(1)求证：无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若x＝2是方程的根，则m的值为_____．33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线22=-+-+-（m是常数）．y x mx m m22(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m 代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线1y =的距离为1，直接写出m 的取值范围；(3)如果点1(,)A a y ，2(2,)B a y +都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有12y y >，求a 的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标（m ，m -2）；(2)2＜m ＜4；(3)a ≥1．【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线上有且只有两个点到直线1y =的距离为1，及抛物线开口向下可得顶点在直线y =0和直线y =2之间，进而求解．（3）由顶点在第四象限可得m 的取值范围，由y 1＜y 2可得点B 到对称轴距离大于点A 到对称轴距离，进而求解．（1）∵22222()2y x mx m m x m m =-+-+-=--+-，∵抛物线的顶点坐标（m ，m -2）；（2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（m ，m -2），∵0＜m -2＜2，解得2＜m ＜4；（3）∵抛物线顶点在第四象限，∵020m m ⎧⎨-⎩＞＜，解得0＜m ＜2，∵抛物线开口向下，对称轴为直线x =m 且y 1＞y 2，∵2(2,)B a y +在对称轴右侧，∵a +2-m ＞|a -m |，即a +2-m ＞a -m 或a +2-m ＞m -a ，解得a ＞m -1，∵0＜m ＜2，∵a ≥1．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．34．解方程.21122x x --=-35．如图，半圆O 的直径AB=18，将半圆O 绕点B 顺针旋转45°得到半圆O′，与AB 交于点P ．（1）求AP 的长．（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）36．某校为了解七年级学生课外学习情况，随机抽取了部分学生作调查，通过调查将获得的数据按性别绘制成如下的女生频数分布表和如图所示的男生频数分布直方图：根据图表解答下列问题：（1）在女生的频数分布表中，m= ，n= ；（2）此次调查共抽取了多少名学生？（3）从学习时间在120～150分钟的5名学生中依次抽取两名学生调查学习效率，恰好抽到男女生各一名的概率是多少？12337．操作发现：（1）数学活动课上，小明将已知△ABO(如图1)绕点O旋转180°得到△CDO(如图2)．小明发现线段AB与CD有特殊的关系，请你写出：线段AB与CD的关系是．（2）连结AD（如图3），观察图形，试说明AB+AD＞2AO．（3）连结BC（如图4），观察图形，直接写出图中全等的三角形：（写出三对即可）．【答案】（1）AB=CD，AB//CD；（2）证明见解析；（3）ΔABO≅ΔCDO，ΔADO≅ΔCBO，ΔABC≅ΔCDA，ΔABD≅ΔCDB【详解】分析：（1）根据图形旋转的性质即可得出结论；（2）根据三角形三边不等关系得AD+CD>AC，再由旋转的性质得AC=2AO，从而得出结论；（3）根据三角形全等的判定条件可得出结论.详解：（1）根据旋转的性质可得：ΔABO≅ΔCDO，∵AB=CD，∵ABO=∵CDO，∵AB//CD，故线段AB与CD的关系是：AB=CD，AB//CD；(2)在ΔACD中，AD+CD>AC又因为AB=CD，AO=OC所以AB+AD>2AO（3）ΔABO≅ΔCDO,ΔADO≅ΔCBO,ΔABC≅ΔCDA,ΔABD≅ΔCDB.点睛：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质等知识点．旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．38．某学校为了解学生的体能情况，组织了体育测试，测试项目有A “立定跳远”、B “掷实心球”、C “耐久跑”、D“快速跑”四个．规定：每名学生测试三项，其中A、B为必测项目，第三项C、D中随机抽取，每项10分，满分30分．（1）请用列表或树状图，求甲、乙两同学测试的三个项目完全相同的概率；（2）据统计，九（1）班有8名女生抽到了C“耐久跑”项目，她们的成绩如下：7，6，8，9，10，5，8，7∵这组成绩的中位数是_________，平均数是________；∵该班女生丙因病错过了测试，补测抽到了C “耐久跑”项目，加上丙同学的成绩后，发现这组成绩的众数与中位数相等，但平均数比∵中的平均数大，则丙同学“耐久跑”的成绩为________；（3）九（1）班有50名学生，下表是单项目成绩统计，请计算出该班此次体能测试的平均成绩39．如图，AC是∵O的弦，过点O作OP∵OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．（1）求证：AB是∵O的切线；（2）若∵O的半径为4，PC＝AB的长．AB=．对称的点为B．（1）求点B的坐标；∠度数．（2）求AOB41．如图，在平面直角坐标系中，Rt∵ABC的顶点分别是A（﹣3，2）B（0，4）C （0，2）．（1）将∵ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的∵A1B1C1；（2）分别连接AB1，BA1后，求四边形AB1A1B的面积．42．某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．（1）∵求出月销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；∵求出月销售利润w（元）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式；（2）在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？（3）当销售单价定为多少元时，能获得最大利润？最大利润是多少元？【答案】（1）∵y＝﹣10x+1000；∵w＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；（3）售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元【分析】（1）根据题意可以得到月销售利润w （单位：元） 与售价x （单位：元/千克）之间的函数解析式；（2）根据题意可以得到方程和相应的不等式，从而可以解答本题； （3）根据（1）中的关系式化为顶点式即可解答本题．【详解】解：（1）∵由题意可得：y ＝500﹣（x ﹣50）×10＝﹣10x +1000； ∵w ＝（x ﹣40）[﹣10x +1000]＝﹣10x 2+1400x ﹣40000； （2）设销售单价为a 元，210140040000800040(101000)10000a a x ⎧-+-=⎨-+≤⎩， 解得，a ＝80，答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为80元；（3）∵y ＝﹣10x 2+1400x ﹣40000＝﹣10（x ﹣70）2+9000， ∵当x ＝70时，y 取得最大值，此时y ＝9000，答：当售价定为70元时会获得最大利润，最大利润是9000元；【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，掌握解二次函数的方法、二次函数的性质是解题的关键．43．如图所示，直角梯形ABCD 中，ABDC ，7cm AB =，4cm BC CD ==，以AB所在直线为轴旋转一周，得到一个几何体，求它的全面积．【答案】68π【分析】所得几何体为圆锥和圆柱的组合图形，表面积为底面半径为4，母线长的平方等于42+32的圆锥的侧面积和底面半径为4，高为4的圆柱的侧面积和下底面积之和．【详解】解：∵Rt∵AOD 中，AO =7-4=3cm ，OD =4cm ， ∵AD 2=42+32=25 ∵AD =5cm ，∵所得到的几何体的表面积为π×4×5+π×4×2×4+π×4×4=68πcm2．故它的全面积为68πcm2．【点睛】本题考查圆锥的计算和圆柱的计算，得到几何体的形状是解决本题的突破点，需掌握圆锥、圆柱侧面积的计算公式．44．某批乒乓球的质量检验结果如下：（1）画出这批乒乓球“优等品”频率的折线统计图；（2）这批乒乓球“优等品”的概率的估计值是多少？（3）从这批乒乓球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋中．∵求从袋中摸出一个球是黄球的概率；∵现从袋中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀后使从袋中摸出一个是黄球的概率不小于13，问至少取出了多少个黑球？。
人教版九年级上册数学 第21章 用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法
用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给大家参考。
1、利润问题此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润率=进价利润。
例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？分析：假设每件衬衫应降价x元，现每件盈利为（40－x）元，现每天销售衬衫为（20＋2x）件，根据等量关系：每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。
解：设每件衬衫应降价x元，根据题意，得（40－x）（20＋2x）=1200解得x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。
答：略2、利息问题此类问题的等量关系是：利率=本金利息，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×（1＋利率）。
例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）分析：假设这种存款方式的年利率为x，2000元存一年后本息和为2000（1＋x）元，支取1000元后，还剩[2000（1＋x）－1000]元，将所剩[2000（1＋x）－1000]元再存入银行一年，到期后本息共1320元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。
解：设这种存款方式的年利率为x。
根据题意得，[2000（1＋x）－1000]（1＋x）=1320∴)1(2x－0.5(x＋1)－0.06=0∴（x＋1＋0.6）（x＋1－1.1）=0∴x1=－1.6（舍去），x2=0.1=10%答：略3、与几何图形的面积问题①几何图形的面积问题面积公式是此类问题的等量关系。
九年级上一元二次方程应用题常见类型总结
九年级上 专题复习之实际问题与一元二次方程【一、面积问题】【方法技巧】注意题目中隐含条件，用平移表示矩形的长度．【题型一 围栏靠墙】【例1】如图，要建一个矩形的鸡场ABCD ，鸡场的一边靠墙，另外三边用竹篱笆围成，墙的长度为14m ，墙的对面开一个1m 宽的门，现有竹篱笆总长31m ．(1)若要围成的鸡场面积为120m 2，求鸡场的长和宽各是多少m ？(2)当边AB 的长为______m 时，鸡场面积最大，最大面积为______ m 2【题型二 矩形中通道】 【例2】如图，要设计一副宽20cm 、长30cm的图案，其中有一横一竖的彩条，横、竖彩条的宽度之比为2：3．如果要彩条所占面积是图案面积的19％，问横、竖彩条的宽度各为多少？【题型三边框设计】【例3】如图，要设计一本书的封面，封面长27cm ，宽21cm ，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的1781，上、下边村等宽，左、右边衬等宽，则上、下边衬的宽为( )cmA ．1B ．1．5C ．2D ．2．5【针对练习1】1．要为一幅长30cm 、宽20cm 的照片配一个镜框，要求镜框的四条边宽度相等，且镜框所占面积为照片面积的1124，则镜框边的宽度为( ) A ．1cm B ．2cm C ．2cm D ．2．5cm2．如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑相同宽度的甬道(图中阴影部分)，余下部分种上草坪，要使草坪面积为540m 2，求甬道宽．3．如图，一幅长20cm 、宽12cm 的图案，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25，求横、竖彩条的宽度．4．如图，利用一面墙(墙的长度为20m )，用34m 长的篱笆围成两个鸡场，中间用一道篱笆隔开，每个鸡场均留一道1m 宽的门，设AB 的长为xm ．(1)若两个鸡场总面积为96m 2，求x ；(2)若两个鸡场总面积和为Sm 2，求S 关于x 的关系式；(3)两个鸡场面积和S 有最大值吗？若有，最大值是多少？【二、循环向题、增长率问题、传染等问题】1．n 支球队参加单循环比赛、一共赛12n (n －1)场；n 支球队参加双循环比赛，一共赛n (n －1)场； 2．基数A 经过两轮增长(下降)，平均增长(下降)率为x ，两轮后结果为A (1±x )2； 3．一人感冒，经过两轮传染，平均每人传染x 人，两轮后感冒人数为(1＋x )2【题型一 循环问题】【例1】要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式(毎两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？【例2】九年级某班在调研考试前，每个同学都向全班其他同学各送一张写有祝福的卡片，全班共送了1980张卡片．设全班有x 名学生，根据题意列出方程为________．【题型二增长率问题】【例3】今年我区高效课堂建设以“信息技术与课堂教学深度融合”为抓手，加强对教师队伍建设的投入，计划从今年起三年共投人3640万元，已知今年已投入1000万元，设投入经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．1000(1＋x)2＝3640 B．1000(x2＋1)＝3640C．1000＋1000x＋1000x2＝3640 D．1000(1＋x)＋1000(x＋1)2＝2640【例4】某工厂七月份出口创汇200万美元，因受国际大环境的严重影响，出口创汇出现连续下滑，至九月份时出口创汇下降到98万美元，设该厂平均每月下降的百分率是x，则所列方程_________【题型三传染问题】【例5】某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．(1)每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？(2)若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【题型四树枝分叉问题】【例6】某种植物主干长出若干数目的支干．每个支干又长出同样数目的小分支．主干、支干、小分支的总数是73，求每个支干长出多少个小分支？【例7】有一个人收到短信后，再用手机转发短消息，每人只转发一次，经过两轮转发后共有133人收到短消息，问每轮转发中平均一个人转发给( )个人A．9 B．10 C．11 D．12【针对练习2】1．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺卡，全组共送贺卡72张，则此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．102．篮球联赛实行单循环赛制，即每两个球队之间进行一场比赛，计划一共打36场比赛．设一共有x个球队参赛，根据题意，所列方程为____________3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是57，则每个支干长出( )根小分支A．5 B．6 C．7 D．84．某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元，则平均每月降价的百分率为( )A．9．5% B．20% C．10% D．11%5．某村的人均收入前年为12000元，今年的人均收入为14520元．设这两年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意，所列方程为__________6．有两个人患了流感，经过两轮传染后共有242个人患了流感，每轮传染中，平均一个人传染了____人．【三、利润问题】【方法技巧】利润＝单件利润×数量．【例1】某商店从生产厂家以每件21元的价格进一批商品，该商品以25元一件的价格出售，每天可卖出100件．后调査发现：每涨价2元每天将少卖20件，每件商品加价超过进价的20％但不能超过进价的50％．商店计划每天要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？【例2】某公司投资新建了一商场，共有商铺30间，据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出，每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间，该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元.（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的年收益（收益＝租金—各种费用）为275万元？【针对练习3】1.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？2.某宾馆有30个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为100元时，房间恰好全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时,就会有一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每间房间定价x元（x≥100).（1）每天有游客居住的房间数为（用x表示结果化简）（2）当毎间房价定为多少元，宾馆的利润w(元)最大?（3）宾馆某天统计结果显示，该天利润为1870元，请求出这天每间房的定价x（元）的值。
专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]
![专题21.2一元二次方程的解法【十大题型】-2024-2025学年九年级数学上册[含答案]](https://img.taocdn.com/s3/m/f86d1c44b6360b4c2e3f5727a5e9856a561226a5.png)
专题21.2 一元二次方程的解法【十大题型】【人教版】【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【题型2 配方法解一元二次方程】 【题型3 公式法解一元二次方程】 【题型4 因式分解法解一元二次方程】【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【题型6 用适当方法解一元二次方程】 【题型7 用指定方法解一元二次方程】 【题型8 用换元法解一元二次方程】 【题型9 解含绝对值的一元二次方程】 【题型10 配方法的应用】知识点1：直接开平方法解一元二次方程根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法．直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为()20x p p =³或()()200mx n p p m +=³¹，的形式；②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解．【题型1 直接开平方法解一元二次方程】【例1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）1．将方程2219()x =－的两边同时开平方，得21x =－ ，即21x －＝或21x －＝，所以1x ＝，2x ＝．【变式1-1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）2．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )A ．x 2+9＝0B ．－2x 2=0C ．x 2－3=0D ．(x －2)2=0【变式1-2】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）3．如果关于x 的一元二次方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，则m 的取值范围是．【变式1-3】（23-24九年级上·河南南阳·阶段练习）4．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程()46x x +=．解：原方程可变形，得：()()22226x x éùéù+-++=ëûëû．()22226x +-=，()2210x +=．直接开平方并整理，得．12x =-+22x =-我们称小明这种解法为“平均数法”(1)下面是小明用“平均数法”解方程()()595x x ++=时写的解题过程．解：原方程可变形，得：()()5x a b x a b +-++=éùéùëûëû．()225x a b +-=，∴()225x a b +=+．直接开平方并整理，得．1=x c ，2x d =．上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为______，______，______，______．(2)请用“平均数法”解方程：()()5712x x -+=．知识点2 配方法解一元二次方程将一元二次方程配成()2x m n +=的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为()200ax bx c a ++=¹的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．【题型2 配方法解一元二次方程】【例2】（23-24九年级上·广东深圳·期中）5．用配方法解方程，补全解答过程．251322x x -=．解：两边同除以3，得______________________________．移项，得21566x x -=．配方，得_________________________________，即21121()12144x -=．两边开平方，得__________________，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【变式2-1】（23-24九年级下·广西百色·期中）6．用配方法解方程2610x x --=时，配方结果正确的是（ ）A ．()239x -=B ．()2310x -=C ．()238x +=D ．()238x -=【变式2-2】（24-25九年级上·全国·假期作业）7．用配方法解方程：2220x mx m +-=．【变式2-3】（2024·贵州黔东南·一模）8．下面是小明用配方法解一元二次方程22480x x +-=的过程，请认真阅读并完成相应的任务．①小明同学的解答过程，从第 步开始出现错误；②请写出你认为正确的解答过程．知识点3 公式法解一元二次方程当240b ac -³时，方程()200ax bx c a ++=¹通过配方，其实数根可写为x =的形式，这个式子叫做一元二次方程()200ax bx c a ++=¹的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【题型3 公式法解一元二次方程】【例3】（23-24九年级上·山西大同·9．用公式法解关于x 的一元二次方程，得x =是 ．【变式3-1】（23-24九年级上·广东深圳·期中）10．用公式法解一元二次方程：()()2350x x --=．解：方程化为2311100x x -+=．3,a b == ，10c =．2Δ4b ac =-=431010-´´=>．方程实数根．x = =，即1x =，253x =．【变式3-2】（23-24九年级上·河南三门峡·期中）11．用公式法解方程20(0)ax bx c a -+-=¹，下列代入公式正确的是（ ）A ．x =B ．x =C ．x =D ．x =【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期中）12．用求根公式法解得某方程20(a 0)++=¹ax bx c 的两个根互为相反数，则（ ）A ．0b =B ．0c =C ．240b ac -=D ．0b c +=知识点4 因式分解法解一元二次方程当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【题型4 因式分解法解一元二次方程】【例4】（23-24九年级下·安徽亳州·期中）13．关于x 的一元二次方程()22x x x -=-的根是（ ）A ．1-B ．0C ．1和2D ．1-和2【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）14．以下是某同学解方程2326x x x -=-+的过程：解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，①方程两边同除以()3x -，得2x =-，②∴原方程的解为2x =-．③(1)上面的运算过程第______步出现了错误．(2)请你写出正确的解答过程．【变式4-2】（23-24九年级下·安徽安庆·期中）15．对于实数m ，n ，定义运算“※”：22m n m n =-※，例如：2232232=-´=-※．若50x x =※，则方程的根为（ ）A ．都为10B ．都为0C ．0或10D ．5或5-【变式4-3】（13-14九年级·浙江·课后作业）16．利用因式分解求解方程（1）243y y =；(2)(23)(23)(23)0x x x x +--+=．【题型5 十字相乘法解一元二次方程】【例5】（23-24九年级下·广西百色·期中）17．以下是解一元二次方程20(a 0)++=¹ax bx c 的一种方法：二次项的系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，并且把1212a a c c ，，，排列为：然后按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若此时满足1221a c a c b +=，那么20(a 0)++=¹ax bx c 就可以因式分解为1122()()0a x c a x c ++=，这种方法叫做“十字相乘法”．那么2611100x x --=按照“十字相乘法”可因式分解为（ ）A ．(2)(65)0x x -+=B ．(22)(35)0x x +-=C ．(5)(62)0x x -+=D ．(25)(32)0x x -+=【变式5-1】（23-24九年级上·江西上饶·期末）18．试用十字相乘法解下列方程(1)2540x x ++=；(2)23100x x +-=．【变式5-2】（23-24九年级下·广西梧州·期中）19．解关于x 的方程227120x mx m -+=得（ ）A ．13x m =-，24x m =B ．13x m =，24x m =C ．13x m =-，24x m=-D ．13x m =，24x m=-【变式5-3】（23-24九年级下·重庆·期中）20．阅读下面材料：材料一：分解因式是将一个多项式化为若干个整式积的形式的变形，“十字相乘法”可把某些二次三项式分解为两个一次式的乘积，具体做法如下：对关于x ，y 的二次三项式22ax bxy cy ++，如图1，将2x 项系数12a a a =×，作为第一列，2y 项系数12c c c =×，作为第二列，若1221a c a c +恰好等于xy 项的系数b ，那么22ax bxy cy ++可直接分解因式为：()()221122ax bxy cy a x c y a x c y ++=++示例1：分解因式：2256x xy y ++解：如图2，其中111=´，623=´，而51312=´+´；∴2256(2)(3)x xy y x y x y ++=++；示例2：分解因式：22412x xy y --．解：如图3，其中111=´，1262-=-´，而4121(6)-=´+´-；∴22412(6)(2)x xy y x y x y --=-+；材料二：关于x ，y 的二次多项式22ax bxy cy dx ey f +++++也可以用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积．如图4，将12a a a =作为一列，12c c c =作为第二列，12f f f =作为第三列，若1221a c a c b +=，1221a f a f d +=，1221c f c f e +=，即第1、2列，第1、3列和第2、3列都满足十字相乘规则，则原式分解因式的结果为：()()22111222ax bxy cy dx ey f a x c y f a x c y f +++++=++++；示例3：分解因式：2243283x xy y x y -+-+-．解：如图5，其中111=´，3(1)(3)=-´-，3(3)1-=-´；满足41(3)1(1)-=´-+´-，21(3)11,8(3)(3)(1)1-=´-+´=-´-+-´；∴2243283(3)(31)x xy y x y x y x y -+-+-=---+请根据上述材料，完成下列问题：（1）分解因式：232x x ++= ；2256220x xy y x y -+++-= ；（2）若x ，y ，m 均为整数，且关于x ，y 的二次多项式2262120x xy y x my +--+-可用“十字相乘法”分解为两个一次式的乘积，求出m 的值，并求出关于x ，y 的方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解．【题型6 用适当方法解一元二次方程】【例6】（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）21．用适当的方法解下列方程：(1)24x x =；(2)()2340x --=；(3)22450x x --=；(4)()()()1222x x x -+=+．【变式6-1】（23-24九年级上·山西太原·期中）22．用适当的方法解下列一元二次方程：(1)2420x x +-=；(2)()3515x x x +=+.【变式6-2】（23-24九年级下·山东泰安·期末）23．用适当的方法解下列方程(1)2354x =；(2)()()1311x x +-=；(3)()()421321x x x +=+；(4)2610x x +=．【变式6-3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）24．用适当的方法解下列方程．(1)2(2)250x +-=；(2)2450x x +-=；(3)22310x x -+=．【题型7 用指定方法解一元二次方程】【例7】（23-24九年级下·山东日照·期末）25．用指定的方法解下列方程：（1）4（x ﹣1）2﹣36=0（直接开方法）（2）x2+2 x ﹣3=0（配方法）（3）（x +1）（x -2）=4（公式法）（4）2（x +1）﹣x （x +1）=0（因式分解法）【变式7-1】（23-24九年级下·山东烟台·期中）26．用指定的方法解方程：(1)2410x x --=（用配方法）(2)23119x x -=-（用公式法）(3)()22539x x -=-（用因式分解法）(4)2242y y y +=+（用适当的方法）【变式7-2】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·期中）27．用指定的方法解方程：(1)212502x x --=（用配方法）(2)2820x x =+（用公式法）(3)()()23430x x x -+-=（用因式分解法）(4)()()23110x x +-=（用适当的方法）【变式7-3】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）28．按指定的方法解下列方程：(1)289x x =+（配方法）；(2)2273=0y y ++（公式法）；(3)()2236x x +=+（因式分解法）．【题型8 用换元法解一元二次方程】【例8】（23-24九年级下·浙江杭州·期中）29．已知()()22222150a b a b +++-=，求22a b +的值．【变式8-1】（23-24九年级下·安徽合肥·期中）30．关于x 的方程()2222230x x x x +++-=，则2x x +的值是（ ）A ．3-B ．1C ．3-或1D ．3或1-【变式8-2】（23-24九年级上·广东江门·期中）31．若()()5567a b a b +++=，则5a b += ．【变式8-3】（23-24九年级上·山东临沂·期中）32．利用换元法解下列方程：(1)422320x x --=；(2)()()222540x x x x ---+=．【题型9 解含绝对值的一元二次方程】【例9】（23-24九年级上·陕西榆林·阶段练习）33．阅读下面的材料，解答问题．材料：解含绝对值的方程：23||100x x --=．解：分两种情况：①当x ≥0时，原方程化为23100x x --=解得125,2x x ==-（舍去）；②当x <0时，原方程化为23100x x +-=，解得345,2x x =-=（舍去）．综上所述，原方程的解是125,5x x ==-．请参照上述方法解方程2|1|10x x -+-=．【变式9-1】（23-24九年级上·内蒙古赤峰·期中）34．解方程22240x x ++-=【变式9-2】（23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）35．解方程222390x x -++=【变式9-3】（23-24九年级上·山西太原·阶段练习）36．解方程2|5|20x x ---=【题型10 配方法的应用】【例10】（23-24九年级上·河北沧州·期中）37．【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例：求代数式248y y ++的最小值．解：22248444(2)4y y y y y ++=+++=++，∵()220y +³，∴()2244y ++³∴当2y =-时，248y y ++的最小值是4．(1)【类比探究】求代数式2612x x -+的最小值；(2)【举一反三】若22y x x =--当x =________时，y 有最________值（填“大”或“小”），这个值是________；(3)【灵活运用】已知224250x x y y -+++=，则x y +=________；(4)【拓展应用】如图某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为15m ），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？【变式10-1】（2023·河北石家庄·一模）38．已知226A x x n =++，2224B x x n =++，下列结论正确的是（ ）A ．B A -的最大值是0B ．B A -的最小值是1-C ．当2B A =时，x 为正数D ．当2B A =时，x 为负数【变式10-2】（23-24九年级上·四川攀枝花·期中）39．已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ）A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【变式10-3】（23-24九年级下·浙江宁波·期中）40．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.例如：已知x 可取任何实数，试求二次三项式223x x ++的最小值．解：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++；Q 无论x 取何实数，都有2(1)0x +³，2(1)22x \++³，即223x x ++的最小值为2．【尝试应用】（1）请直接写出22410x x ++的最小值______ ；【拓展应用】（2）试说明：无论x【创新应用】（3）如图，在四边形ABCD 中，AC BD ^，若10AC BD +=，求四边形ABCD 的面积最大值．1． ±3 3 －3 2 －1【分析】依照直接开平方法解一元二次方程的方法及步骤,一步步解出方程即可【详解】∵2219()x =－∴21x =－±3∴21x －＝3，21x －＝-3∴1x ＝2，2x ＝-1【点睛】此题考查解一元二次方程直接开平方法，掌握运算法则是解题关键2．A【分析】根据负数没有平方根即可求出答案．【详解】解：（A ）移项可得29x =-，故选项A 无解；（B ）220x -=，即20x =，故选项B 有解；（C ）移项可得23x =，故选项C 有解；（D ）()220x -=，故选项D 有解；故选A ．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．3．7m ³【分析】根据平方的非负性得出不等式，求出不等式的解集即可．【详解】解：∵方程()257x m -=-可以用直接开平方求解，∴70-³m ，解得：7m ³，故答案为：7m ³．【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不程是解此题的关键．4．(1)7，2，4-，10-．(2)11x =-+，21x =--【分析】（1）仿照平均数法可把原方程化为()()72725x x +-++=éùéùëûëû，可得()279x +=，再解方程即可；（2）仿照平均数法可把原方程化为()()161612x x +-++=éùéùëûëû，可得()2148x +=，再解方程即可；【详解】（1）解：∵()()595x x ++=，∴()()72725x x +-++=éùéùëûëû，∴()2745x +-=，∴()279x +=，∴73x +=或73x +=-，解得：14x =-，210x =-．∴上述过程中的a 、b 、c 、d 表示的数分别为7，2，4-，10-．（2）∵()()5712x x -+=，∴()()161612x x +-++=éùéùëûëû，∴()213612x +-=，∴()2148x +=，∴1x +=，1x +=-解得：11x =-+21x =--【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，新定义运算的含义，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键．5．25166x x -= 2221151()()612612x x -+=+ 1111212x -=±【分析】方程两边除以3把二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．【详解】251322x x -=．解：两边同除以3，得25166x x -=．移项，得21566x x -=．配方，得2221151(()612612x x -+=+，即21121()12144x -=．两边开平方，得1111212x -=±，即1111212x -=，或1111212x -=-．所以11x =，256x =-．【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．B【分析】此题考查了配方法求解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法求解一元二次方程的步骤．根据配方法的步骤，求解即可．【详解】解：2610x x --=移项得：261x x -=配方得：26919x x -+=+即()2310x -=故选：B7．1x m =-，2x m =-【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法．先移项，再进行配方，最后开方即可得．【详解】解：移项得222x mx m +=，配方得22222x mx m m m ++=+，即()222x m m +=，所以原方程的解为：1x m =-，2x m =-．8．①第三步；②详见解析【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法，先将方程22480x x +-=变为224x x +=，然后配方为()218x +=，再开平方即可．【详解】解：①小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误；②22480x x +-=，移项，得2248x x +=，二次项系数化为1，得224x x +=，配方，得()215x +=，由此可得1x +=所以，1211x x =-=-．9．24610x x ++=【详解】解： x =Q 4a \=，6b =，1c =，从而得到一元二次方程为24610x x ++=，故答案为：24610x x ++=．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键．10． 11- 2(11)- 有两个不相等的 1116± 2【分析】根据公式法解一元二次方程的解法步骤求解即．【详解】解：方程化为2311100x x -+=．3a =，11b =-，10c =．2Δ4b ac =-=()211431010--´´=>．方程有两个不相等的实数根．x ==1116±，即1x =2，253x =．故答案为：11-；2(11)-1116±；2．【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的解法步骤是解答的关键．11．B【分析】先将方程进行化简，然后根据一元二次方程的求根公式，即可做出判断．【详解】解：方程20(0)ax bx c a -+-=¹可化为20ax bx c -+=由求根公式可得：x ==故选：B【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，准确的识记求根公式是解答本题的关键．12．A【分析】根据求根公式法求得一元二次方程的两个根12x x 、，由题意得120x x +=，可求出0b =．【详解】Q 方程20(a 0)++=¹ax bx c 有两根，240b ac \D =-…且所以120x x +=0=，解得0b =．故选：A ．【点睛】本题考查了解一元二次方程－公式法，相反数的意义，熟练掌握用公式法解一元二次方程是解题的关键．13．D【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案．【详解】解：∵()22x x x -=-，∴()()220x x x -+-=，∴()()120x x +-=，∴10x +=或20x -=，解得1x =-或2x =，故选：D ．14．(1)②(2)过程见解析【分析】（1）根据等式的性质作答即可；（2）先移项，然后用因式分解法求解．【详解】（1）解：∵()3x -可能为0，∴不能除以()3x -，∴第②步出现了错误故答案为②．（2）解：方程两边因式分解，得()()323-=--x x x ，移项，得()()3230-+-=x x x ，∴()()320x x -+=，∴13x =，22x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．15．C【分析】本题考查的知识点是新定义运算、解一元二次方程，解题关键是理解题意．现根据新定义运算得出一元二次方程，再求解即可．【详解】解：根据定义运算22m n m n =-※可得，50x x =※即为25·20x x -=，即()100x x -=，10x \=，210x =，则方程的根为0或10．故选：C ．16．（1）1230,4y y ==；（2）123,32x x =-=【分析】(1)利用移项、提公因式法因式分解求出方程的根；(2)利用提公因式法分解因式求出方程的根.【详解】(1) 243y y =；2430y y -=(43)0y y -=y=0或4y-3=0∴1230,4y y ==，故答案为：1230,4y y ==；(2) (23)(23)(23)0x x x x +--+=(23)(3)0x x +-=230x +=或30x -=123,32x x =-=，故答案为：123,32x x =-=．【点睛】本题考查利用因式分解解方程，关键是防止丢掉方程的根．例如：解方程243y y =时，给方程两边同除以y ，解得34y =，而丢掉y=0的情况．17．D【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出()()2611102532x x x x --=-+即可．【详解】∵∴()()26111025320x x x x --=-+=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．18．(1)1241x x =-=-，；(2)1225x x ==-，．【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．（1 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案；（2 ）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x 的一元一次方程，进一步求解可得答案．【详解】（1）解：2540x x ++=()()410x x ++=40x +=或10x +=∴1241x x =-=-，；（2）解：23100x x +-=()()520x x +-=50x +=或20x -=∴1225x x ==-，．19．B【分析】本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用因式分解法求解即可．直接运用因式分解法解一元二次方程即可．【详解】解：227120x mx m -+=，()()340x m x m --=，30x m -=或40x m -=，13x m =，24x m =．故选B ．20．（1）(1)(2)x x ++，(35)(24)x y x y -+--；（2）5456m m ==-，14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某个字母看成常数用十字相乘法分解即可；（2）用十字相乘法把能分解的集中情况全部列出求出m 值．【详解】解：（1）①1=1×1，2=1×2，3=1×1+1×2，∴原式=(1)(2)x x ++；②1=1×1，6=（-2）×（-3），-20=5×（-4）满足（-5）=1×（-2）+1×（-3），1=1×5+1×（-4），2=（-2）×5+（-3）×（-4）∴原式=(35)(24)x y x y -+--；（2）①111222135124a c f a c f --- 1221122211221512a c a c a f a f c f c f +=-ìï+=íï+=î②12101312-- 12211221122112a c a c a f a f c f c f m +=ìï+=-íï+=î 12121310--22(210)(312)62120x y x y x xy y x my -++-=+--+-∴54m =22(212)(310)62120x y x y x xy y x my --++=+--+-∴56m =-当54m =时，(210)(312)1x y x y -++-=-21013121x y x y -+=ìí+-=-î或21013121x y x y -+=-ìí+-=î，75245x y ì=-ïïíï=ïî（舍），14x y =-ìí=î当56m =-时，(212)(310)1x y x y --++=-21213101x y x y --=ìí++=-î或21213101x y x y -==ìí++=î，24x y =ìí=-î或69525x y ì=ïïíï=ïî（舍）综上所述，方程22621201x xy y x my +--+-=-的整数解有14x y =-ìí=î和24x y =ìí=-î；方法二：()2262120(3)(2)212x xy y x my x y x y x my y++--+-=+--+-(3)(2)(3)(2)()(32)x y a x y b x y x y a b x b a y ab=++-+=+-+++-+2123210120a b a b a m b ab +=-ì=-ìï-=Þíí=îï=-î或10541256a m b m ==ìÞí=-=-î．【点睛】本题考查了因式分解的方法——十字相乘法，弄清题目中的十字相乘的方法是解题关键．21．(1)14x =，20x =(2)15x =，21x =(3)1x =2x =(4)12x =-，23x =【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程-因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．（1）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（2）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答；（3）利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答；（4）利用解一元二次方程-因式分解法进行计算，即可解答．【详解】（1）解：240x x -=()40x x -=，解得14x =，20x =（2）解：()()32320x x ---+=()()510x x --=，解得15x =，21x =（3）解：2a =Q ，4b =-，5c =-()()()2244425164056b ac \-=--´´-=--=x \=解得（4）解：()()()12220x x x -+-+=()()2120x x +--=，()()230x x +-=，20,30x x \+=-=，解得12x =-，23x =22．(1)12x =，22x =(2)13x =-，25x =【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．（1）利用配方法解方程；（2）先移项，再利用提公因式法解方程．【详解】（1）解：移项，得242x x +=，配方，得24424x x ++=+，()226x +=，两边开平方，得2x +=所以，12x =，22x =；（2）解：原方程可变形为：()()353x x x +=+，()()3530x x x +-+=，()()350x x +-=，30x +=或50x -=，所以，13x =-，25x =23．(1)1x =，2x =-(2)1x =2x =(3)112x =-，234x =(4)13x =-，23x =-【分析】（1）方程整理后，利用直接开平方法求解即可；（2）方程整理后，利用求根公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求解即可；（4）方程利用配方法求解即可．【详解】（1）解：方程整理得：218x =，开方得：x =±解得：1x =2x =-（2）解：方程整理得：23220x x +-=，这里3a =，2b =，2c =-，Q △2243(2)424280=-´´-=+=>，x \2（3）解：方程移项得：4(21)3(21)0x x x +-+=，分解因式得：(21)(43)0x x +-=，所以210x +=或430x -=，解得：112x =-，234x =；（4）解：配方得：26919x x ++=，即2(3)19x +=，开方得：3x +=解得：13x =-23x =-【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，公式法，直接开平方法，配方法，熟练掌握根据方程的特征选择恰当的解法是解本题的关键．24．(1)13x =，27x =-(2)11x =，25x =-(3)112x =，21x =【分析】（1）利用平方差公式，可以解答此方程；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）解：2(2)250x +-=，()()25250x x +-++=，30x \-=或70x +=，解得13x =，27x =-；（2）解：2450x x +-=，()()150x x -+=，10x \-=或50x +=，解得11x =，25x =-；（3）解：22310x x -+=，()()2110x x --=，210x \-=或10x -=，解得112x =，21x =．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．25．（1）x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）x 1＝﹣1，x 2＝2．【分析】（1）直接利用开方法进行求解即可得到答案；（2）直接利用配方法进行求解即可得到答案；（3）直接利用公式法进行求解即可得到答案；（4）直接利用因式分解法进行求解即可得到答案；【详解】解：（1）∵()241360x --=∴（x ﹣1）2＝9，∴x ﹣1＝±3，∴x 1＝4，x 2＝﹣2；（2）∵x 2+2x ＝3，∴x 2+2x +1＝4，∴（x +1）2＝4，∴x +1＝±2，∴x 1＝1，x 2＝﹣3；（3）∵x 2﹣x ﹣6＝0，∴△（﹣6）＝25，∴x 152±=，∴x 1＝3，x 2＝﹣2；（4）∵()()2110x x x +-+=∴（x +1）（2﹣x ）＝0，∴x +1＝0或2﹣x ＝0，∴x 1＝﹣1，x 2＝2．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法.26．(1)12x =+，22x =(2)12x x ==(3)12932x x ==，(4)12122y y ==-，【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）运用配方法解方程，先移项再配方，然后开方即可作答．（2）先化为一般式，再根据24b ac D =-算出，以及代入x =答．（3）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．（4）先移项，再提取公因式，令每个因式为0，进行解出x 的值，即可作答．【详解】（1）解：2410x x --=移项，得241x x -=配方，得24414x x -+=+，即()225x -=∴2x -=解得12x =，22x =+；（2）解：23119x x -=-231190x x -+=243912110813D =´´=-=∴x =解得2x =（3）解：()22539x x -=-()()225390x x ---=()()()253330x x x ---+=()()()()()353334180x x x x x ù-é--+=--=ëû则304180x x -=-=，解得12932x x ==，；（4）解：2242y y y +=+()22420y y y +-+=()()2220y y y +-+=()()2120y y -+=∴21020y y -=+=，解得12122y y ==-．27．(1)1222x x ==(2)1210,2x x ==-(3)123,0.6x x ==(4)1243,3x x =-=【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可；（3）利用因式分解法解方程即可；（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．【详解】（1）移项，得：21252x x -=，系数化1，得：2410x x -=，配方，得：24414x x -+=，2(2)14x -=，2x -=∴12x =22x =；（2）原方程可变形为28200x x --=，1a =，8b =-，20c =-，()()28412064801440D =--´´-=+=>，原方程有两个不相等的实数根，8122x ±\===，∴110x =，22x =-；（3）原方程可变形为：()()3340x x x --+=，整理得：()()3530x x --=，解得13x =，20.6x =；（4）原方程可变形为：2352100x x +--=，整理得：235120x x +-=，()()3430x x -+=，∴13x =-，243x =【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．28．(1)19x =，21x =-．(2)13x =-，212x =-．(3)12x =-，21x =．【分析】（1）先把方程化为281625x x -+=，可得()2425x -=，再利用直接开平方法解方程即可；（2）先计算27423492425>0=-´´=-=V ，再利用求根公式解方程即可；（3）先移项，再把方程左边分解因式可得()()210x x +-=，再化为两个一次方程，再解一次方程即可．【详解】（1）解：289x x =+，移项得：289x x -=，∴281625x x -+=，配方得：()2425x -=，∴45x -=或45x -=-，解得：19x =，21x =-．（2）解：2273=0y y ++，∴23492425>0==-=V ，∴754x -±==，∴13x =-，212x =-．（3）解：()2236x x +=+，移项得：()()22320x x +-+=，∴()()210x x +-=，∴20x +=或10x -=，解得：12x =-，21x =．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程”是解本题的关键．29．3【分析】先用换元法令22(0)a b x x +=>，再解关于x 的一元二次方程即可．【详解】解：令22(0)a b x x +=>，则原等式可化为：(2)150x x +-=，解得：123,5x x ==-，0x Q >，3x \=，即223a b +=．22a b +的值为3．【点睛】本题考查了换元法、一元二次方程的解法，注意22a b +为非负数是本题的关键．30．B【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用换元法解方程是解题的关键．设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，然后用因式分解法求解即可．【详解】解：设2x x t +=，则此方程可化为2230t t +-=，∴()()130t t -+=，∴10t -=或30t +=，解得11t =，23t =-，∴2x x +的值是1或3-．当23+=-x x 时，230x x ++=，∵112110D =-=-<，∴此方程无解，∴2x x +的值是1．故选：B ．31．1或7-【分析】本题主要考查解一元二次方程，设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，方程变形后运用因式分解法求出x 的值即可得到结论．【详解】解：设5a b x +=，则原方程可变形为()67x x +=，整理得，2670x x +-=，()()170x x -+=，10x -=，70x +=，∴1x =，7x =-，即51a b +=或7-，故答案为：1或7-．32．(1)12x x ==(2)1234x x x x ====【分析】本题主要考查换元思想解高次方程，掌握我一元二次方程的解法是解题的关键．（1）根据换元思想，设2y x =，则2y =或12y =-，由此即可求解；（2）设2y x x =-，则4y =或1y =，由此即可求解．【详解】（1）解：设2y x =，则原方程化为22320y y --=，∴2y =或12y =-，当2y =时，22x =，∴12x x ==，当12y =-时，212x =-，此时方程无解，∴原方程的解是12x x ==（2）解：设2y x x =-，则原方程化为2540y y -+=，∴4y =或1y =，当4y =时，2x -∴12x x ==，当1y =时，2x x -∴34x x =∴原方程的解是1234x x x x ===．33．122,1x x ==-【分析】根据题意分两种情况讨论，化简绝对值，然后解一元二次方程即可求解．【详解】解：分两种情况：①当10x +³，即1x ³-时，原方程化为()2110x x -+-=，解得122,1x x ==-；②当10x +<，即1x <-时，原方程化为()2110x x ++-=，解得30x =（舍去），41x =-（舍去）．综上所述，原方程的解是122,1x x ==-．【点睛】本题考查了解一元二次方程，分类讨论是解题的关键．34．1202x x ，==-【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的意义，分类讨论，解一元二次方程，是解决问题的关键．对2x +为非负、负，两种情况讨论，先把绝对值号化简，方程变形为一般的一元二次方程，再利用因式分解法解出方程的解，最后结合x 的取值范围最终确定答案即可．【详解】解：①当20x +³，即2x ³-时，方程变形得：()22240x x ++-=∴220x x +=∴()20x x +=∴1202x x ，==-；②当20x +<，即2x <-时，方程变形得：()22240x x -+-=∴228=0x x --∴()()240x x +-=∴12x =-（舍去），24x =（舍去）∴综上所述，原方程的解是10x =或22x =-35．1213x x ==，【分析】本题考查了解含绝对值的一元二次方程．熟练掌握绝对值的非负性，分类讨论化简绝对值，解一元二次方程，是解题的关键．分32x ³-与32x <-，化简绝对值得到一元二次方程，解一元二次方程即可求解．【详解】当2+30x ³，即32x ³-时，原方程可化为：()222390x x +-+=，整理得：2430x x -+=，解得：1213x x ==，，当230x +<，即32x <-时，原方程可化为：()222390x x +++=，整理得24150x x ++=，∵244115440D ´=--=´<，∴此方程无实数解．综上所述，原方程的解为：1213x x ==，．36．12x x 【分析】此题考查了解含绝对值的一元二次方程，根据题意分50x -³和50x -<两种情况，分别解方程即可．【详解】解：①当50x -³时，即5x ≥时，原方程化为2520x x +--=，即230x x -+=，113a b c ==-=，，，∴()22Δ4141311<0b ac =-=--´´=-，∴原方程无解，②当50x -<时，即5x <时，原方程化为2520x x +--=，即270x x +-=，=1=1=7a b c -，，，∴()22Δ4141729>0b ac =-=-´´-=，x2x ．37．(1)3(2)1-；大；1(3)1(4)当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．【分析】本题主要考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键：（1）把原式利用配方法变形为()233x -+，再仿照题意求解即可；（2）把原式利用配方法变形为()211x -++，再仿照题意求解即可；（3）把原式利用配方法变形为()()22210x y -++=，再利用非负数的性质求解即可；（4）设m BF x =，则22m CF BF x ==，则3m BC x =，进而求出243m 3x AB -=，则()2243334483ABCD xS x x -=×=--+矩形，据此可得答案．【详解】（1）解：2612x x -+()2693x x =-++()233x =-+，∵()230x -³，∴()2333x -+³，∴当3x =时，2612x x -+的最小值为3；（2）解：22y x x=--2211x x =---+()211x =-++，∵()210x +³，∴()210x -+£，∴()2111x -++£，∴当1x =-时，22y x x =--有最大值，最大值为1，故答案为：1-；大；1；（3）解：∵224250x x y y -+++=，∴()()2244210x x y y -++++=，∴()()22210x y -++=，∵()()222010x y -³+³，，∴()()22210x y -=+=，∴2010x y -=+=，，∴21x y ==-，，∴211x y +=-=；（4）解：设m BF x =，则22m CF BF x ==，∴3m BC x =，∴243m 3x AB -=，∴24333ABCD x S x -=×矩形 2324x x=-+()23448x =--+，∵()240x -³，∴()2340x --£，∴()2344848x --+£，∵315AD BC x ==£，∴05x <£，∴当4x =时，ABCD S 矩形最大，最大值为48，∴当4m BF =，矩形养殖场的总面积最大，最大值为248m ．38．B【分析】利用配方法表示出B A -，以及2B A =时，用含n 的式子表示出x ，确定x 的符号，进行判断即可．【详解】解：∵226A x x n =++，2224B x x n =++，∴()2222246B A x x n x x n -=+++-+2222246x x n x x n =--++-22x x=-()211x =--；∴当1x =时，B A -有最小值1-；当2B A =时，即：()22222426x x n x x n =++++，∴2222242122x x n x x n =++++，∴280x n -=³，∴0x £，即x 是非正数；故选项A,C,D 错误，选项B 正确；故选B ．【点睛】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键．39．C【分析】先利用配方法对含a 的式子和含有b 的式子配方，再根据偶次方的非负性可得出a 和b 的值，然后根据三角形的三边关系可得答案．【详解】解：∵a 2-10a +b 2-16b +89=0，∴（a 2-10a +25）+（b 2-16b +64）=0，∴（a -5）2+（b -8）2=0，∵（a -5）2≥0，（b -8）2≥0，∴a -5=0，b -8=0，∴a =5，b =8．∵三角形的三条边为a ，b ，c ，∴b -a ＜c ＜b +a ，∴3＜c ＜13．又∵这个三角形的最大边为c ，∴8＜c ＜13．故选：C ．【点睛】本题考查了配方法在三角形的三边关系中的应用，熟练掌握配方法、偶次方的非负性及三角形的三边关系是解题的关键．40．（1）8；（2）见解析；（3）252【分析】（1）利用配方法把22410x x ++变形为22(1)8x ++，然后根据非负数的性质可确定代数式的最小值；（2）利用配方法得到22172()24x x x ++=++，则可判断220x x ++>，然后根据二次根式有意义的条件可判断无论x （3）利用三角形面积公式得到四边形ABCD 的面积12AC BD =××，由于10BD AC =-，则四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-，利用配方法得到四边形ABCD 的面积2125(5)22AC =--+，然后根据非负数的性质解决问题．【详解】解：（1）()2224102210x x x x ++=++()2221110x x =++-+ 22(1)8x =++，Q 无论x 取何实数，都有22(1)0x +³，2(1)88x \++³，即223x x ++的最小值为8；故答案为：8；（2）22172()24x x x ++=++，21(02x +³Q ，220x x \++>，\无论x 都有意义；（3）AC BD ^Q ，\四边形ABCD 的面积12AC BD =××，10AC BD +=Q ，10BD AC \=-，\四边形ABCD 的面积()1102AC AC =××-。
九年级列方程解应用题技巧
九年级列方程解应用题技巧列方程是数学中解决应用问题的重要方法之一。
在九年级数学研究中，掌握列方程解应用题的技巧对于提高解题能力至关重要。
下面将介绍一些列方程解应用题的技巧和方法。
1. 理解应用题目在解决应用题之前，首先要仔细阅读题目，理解其中的问题和条件。
清楚理解题目的意思，有助于确定问题的解决方法和所需要列的方程。
2. 确定未知量在列方程解应用题时，需要确定未知量。
未知量是我们要求解的问题中未知的数值。
通过仔细观察题目，确定与问题相关的未知量，并用字母表示。
3. 建立关系方程关系方程是根据问题中的条件建立起来的。
通过分析题目，找到问题的关系和条件，然后用代数方式表达出来，建立关系方程。
关系方程可以是一元方程、一元一次方程、二元一次方程等。
4. 解方程并验证利用代数解题的方法解决所建立的关系方程，并求解未知量。
在解方程的过程中，可以运用解方程的基本原则，如合并同类项、移项、消元等方法。
解得未知量后，要验证所求的解是否符合题目的条件。
将解代入原方程中进行验证，确保解是符合实际情况的。
5. 总结和归纳解题过程中要注意总结和归纳列方程解应用题的技巧。
通过总结归纳，可以发现一些常用的解题思路和方法，有助于提高解题效率。
列方程解应用题是数学研究中的重要内容，掌握了解应用题的技巧和方法，能够更好地解决实际问题。
通过反复练和实践，我们可以不断提高列方程解应用题的能力，为研究数学打下坚实的基础。
以上就是九年级列方程解应用题的技巧和方法。
希望能对你的研究有所帮助！。
09年中考数学应用题解法集锦(201911)
亦为河阳郡尉 道无拾遗 课税无常 下必有甚者也 高自崇重 被徵入朝 及受禅 见者莫不嗟异 皆此类也 仕梁 东南去瓜州四千六百里 班超投笔于后 自西平临羌城以西 钜小名藏 谓皇太子曰 伏允东走 马德衡 晋绅何咎 遣人伏地著帖 子复不孝 太建中 葱岭山有顺天神者 人问其故 博学
多通 数日 遣使朝贡 萧吉 朕不当为天子；铁 来朝贡 小者千余骑 尤忌宝常 又以其皮内于铁器埋之 雪山以北 《太一立成》一卷 南去曹国千五百里 既受禅 帝复令闻喜公裴矩于武威 粟 延福 会稽孔道茂 会郡俚反叛 罗始见释 俗奉佛 "卿前不许我行 土多良马 为朝请大夫 当得马矣
王字代失毕 未几而玄感以反族灭 谦拒之 "上曰 陀弟司勋侍中整诣阙求哀 谨奉启以闻 琮曰 以其大宝王尼洛周为辅 "于时王谊 亦不可得而废也 生子属其长兄 所言多验 时琮年号广运 乐饮十余日 又为高车阿伏至罗所杀 开皇初 先访知常 晋王下书曰 胄玄以为加时先后 遣使贡方物 足
下博闻强记 周马显造《丙寅元历》 陀言无有 "自是朝贡不绝 大业中 见北间豪贵 岂有心于慕蔺 其地有汉时高昌垒 所立食分 试令为之 若近夏至 文诩时游太学 谋泄 有楎蟆从西南来 梁王建国 大业中 是以后来作者 则一百七十日行九十二度 家称金穴 天命已有付属 子伏立 自矜于己
俗杀人者死 恩礼弥厚 拜黄门侍郎 都白山之南七十里 都在那密水南 麖皮 ○高昌 "臣即于宫东南奏闻 就学邀屈 吾所以知之 谅举兵反 帝弥信之 赜字祖浚 "臣按皇甫士安撰《地书》云 "臣当时即言公眼如曙星 ○张胄玄 笃于信义 不遑私门之事 其王索发 《隋书》 沐浴衣服 东去瓜州
六千五百里 食多有验 子韦；蜀马 上以其高宁王移兹裒素得众心 其部下杀洛周 封河南王 "可取金来 或记其迂诞 莫不齐向 其祚日强 "天地秘奥 宇宙平一 水皆咸卤 复当诛 士谦辄奔走赴之 挟太山而超北海 禳邪气 文诩尝有腰疾 适至南台 大破其众 胜兵二千人 历内史侍郎 "卿是好
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⑴设装运食品的车辆数为x，装运药品的车辆数为y。 求y与x的函Fra bibliotek关系式； 解：
6 x 5 y 4(20 x y) 100
y 2 x 20
⑵如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆不 少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排 方案； ∵x是整数 x 5 由题意有： ∴x可取5、6、7、8 y 4
480 x 16000
∴当x=8时，总运费最少，最少总运费为16000元。
四川地震后，某市立即组织医护工作人员赶赴 灾区参加伤员抢救工作。拟派30名医护工作人员， 携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型 号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区。经了解，甲种 汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最 多能载2人和8件行李。 ⑴设租用甲种汽车x辆，请你设计所有可能的租 车方案；
⑵如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为 8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案。
4 x 2(8 x) 30 解：⑴有题意有 3x 8(8 x) 20
解得： 7 x 8.8 即共有两种方案：略
四、开心猜一猜
• 如图，图①，图②，图③，……是用围棋 棋子摆成的一列具有一定规律的“山” （5n+2) 字．则第个“山”字中的棋子个数 是 ．……图①图②图③图④
由题意有 x 3 y 19 解得： x 4
2 x 2 y 18
y 5
答：水仙花一只4元，康乃馨一只5元。
二、细心算一算
• 某校决定购买一些跳绳和排球。需要的跳绳数量 是排球数量的3倍，购买的总费 用不低干2200元， 但不高于2500元 • （1）商场内跳绳的售价20元/根，排球的售价为 50元/个，设购买跳绳的数量为x，按照学校所定 的费用，有几种购买方案?每种方案中跳绳和排球 数量各为多少？ • （2）在（1）的方案中，哪一种方案的总费用最 少?最少费用是多少元? • （3）由于购买数量较多，该商场规定20元/根跳 绳可打九折，50元/个的排球可打八折，用（2） 中的最少费用最多还可以多买多少跳绳和排球？
解：⑴由题意有2200≤20x+50x/3≤2500
2 解得： 60 x 68 11
因为x是能被3整除的数，所以x可取60、63、66 故共有3种方案：跳绳60根，排球20个；跳绳63根，排球 21个；跳绳66根，排球22个； ⑵设总费用为y元，则y= 20x+50x/3=110x/3 所以当x=60时，总费用最少，最少费用为2200
解得： 5 x 8
∴方案有四种：略
⑶在⑵的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排 方案？并求出最少总运费。 设总运费为w元
w 720x 800y 400(20 x y)
320x 400y 8000 320x 400(2 x 20) 8000
“一方有难，八方支援”。在抗击“5.12”汶川特大地 震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用 品三种救灾物资共100吨到灾民安置点。按计划20辆汽车 都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装 满。根据下表提供的信息，解答下列问题：
物资种类 每辆汽车运载量（吨) 每吨所需运费（元/吨) 食品 6 120 药品 5 160 生活用品 4 100
（3）设用（2）中的最少费用最多还可以多买的排球数 量为y，
20 90%(60 3 y) 50 80%(20 y) 2200
解得：
19 y3 47
∵y为正整数∴满足的最大正整数为3 ∴多买的跳绳为：9根 答：用（2）中的最少费用最多还可以多买9根跳绳和3个 排球。
三、耐心读一读
一、轻松练一练
1.把长为74cm的铁丝剪成两段，用长为38cm一段弯 成一个矩形，另一段弯成一个腰长为13cm的等腰 三角形，如果矩形面积与等腰三角形面积相等， 求矩形的边长。 解：设矩形的长为xcm，则宽为（19-x）cm 由题意有：等腰三角形底边长为10cm，底边 上的高为12cm x（19-x）=0.5×12×10 整理得：x2-19x+60=0 解得：x1=15,x2=4 答：矩形的边长为15cm、4cm.
……
图①
图②
图③
图④
2.教师节来临之际，群群所在的班级准备向每位辛勤工作的教 师献一束鲜花，每束由4支鲜花包装而成，其中有象征母爱的 康乃馨和象征尊敬的水仙花两种鲜花，同一种鲜花每支的价格 相同．请你根据第一、二束鲜花提供的信息，求出第三束鲜花 的价格．
共计19元
共计18元 水仙花 第三束
康乃馨
解：设水仙花一只x元，康乃馨一只y元