数学教育测量与评价

数学教育测量与评价专题讲座第一章均值和方差的检验题一、参数假设检验的几个基本因素关于什么是参数假设检验，我们先看一个实际例子。

“某班语文课教学采用研讨式方法后,对其中10名同学测验,平均成绩为85分。

已知这个班过去测验成绩服从正态分布,其均值保持在82分左右,这意味着总体平均分是给定的,那么现在问采用研讨式方法后,其平均成绩是否和原来一致?” 如果我们假设采用研讨式方法后的平均成绩和采用研讨式方法前的平均成绩一致,则需要判断这种假设对不对? 如果对,对的把握性有多大? 如果不对,那么平均成绩比原来是增加还是减少? 当然,我们不能只看到85分高于82分就认为比原来高了,这是因为抽取样本时受到随机因素的干扰,我们不能以样本参数对总体参数进行单纯比较而简单地下结论。

这个例子所反映问题的是: 总体分布已知,对总体参数作假设,用统计理论来判断这一假设正确与否,统计学上称为参数假设检验。

一般说来，进行假设检验应重点关注以下几个基本因素：其一，假设。

假设分为参数假设和非参数假设.参数假设指总体分布已知,关于未知参数的假设,教育研究中用的最多的是已知总体服从正态分布,对总体均值某校五年级学生期末语文成绩,方差,总体方差做出假设。

例如,在过在原有状况下不变,而均值去常规教学下为82分。

为了提高教学质量,采用新的教学法后抽测10名同学,其平均成绩为85分,这时我们提出采用新教学法后总体均值称为原假设或零假设,相对于为82分的假设,记为,还要给出一个备选假设,记为对这个例子我们不提本均值85大于82。

小于82这样的假设,这是因为这样的假设是没有根据的,原因在于样其二，假设检验。

对于一个假设,我们关心的是“假设”是否成立。

判断假设成立与否的方法叫假设检验，最简单的检验是显著性检验。

例如，已知，对进行检验。

其三，检验水平。

当原假设正确时，若否定原假设犯错误的概率为＝。

，称为检验水平。

一般地，取值为, 和，但常用的是其四，两类错误。

统计学上有两类错误: 第一类错误和第二类错误。

第一类错误是, 实际上,显著性水平是正确的,但检验的结论却是否定,记其概率为就是犯第一类错误的概率,取的越大,否定的可能性就越大。

第二类错误是,是不对的,但检验结论却认为是正确的,记其概率为犯这两类错误的后果通常是不一样的,如检验某人是否患某种疾病,设:该人患有此种疾病，则第二类错误是无病当作有病，但第一类错误却是有病当作无病，有可能使该人延误病情而发生意外。

可见犯第一类错误的后果较第二类错误的后果严重。

最理想的情况是找到一种检验方法使得两类错误的概率都为0，但实际情况是当样本量事先给定的情况下，第一类错误小，第二类错误就大；第二类错误小，第一类错误就大。

也就是说不可能找到一个方法能同时控制两类错误，退而求其次，在样本量给定的情况下，把第一类错误控制在检验水平以内，尽量使第二类小一些。

其五，检验的一般步骤。

第一步：建立原假设备选假设＝not 。

第二步：构造一个检验统计量布。

，在原假设正确的条件下得到的分第三步：观测到的数据可以得到统计量p=P(||≥|t|) 的观测值t，计算p值若p值小于检验水平平，则得出的结论是：原假设是不成立的；若p大于检验水，则需要进一步采取别，则得出的结论是：原假设是成立的；若p等于检验水平的方法来处理一下。

二、总体均值、方差和概率的检验问题总体均值的检验总体均值的检验方法有两种:检验和检验，这里我们主要介绍常用的t检验。

利用服从分布的统计量进行的检验叫做检验.检验根据处理问题的不同主要涉及下面的三类检验问题。

第一，单正态总体，总体方差未知，对总体均值进行检验。

在实际应用中往往只知道总体服从正态分布，参数本方差作为的一个估计，从而构造t检验。

设未知,设假设问题为是未知的，常用的方法就是用样为来自正态总体＝not . 的一个样本, 在成立条件下,T统计量服从t分布，见如下() 其中为样本方差，为样本均值，为自度。

再样本数据计算出T统计量的观测值值,在成立条件下计算p值p＝P(|T|>|t|)。

若p值小于检验水平检验水平，则得出的结论是：总体均值与与有显著差异；若p值大于，，则得出的结论是：总体均值没有显著差异；若p值等于检验水平则需要进一步采取别的方法来处理一下。

例1：已往资料知道某区6岁女童平均体重为,现从某幼儿园抽测10名女童其体重数据为，，，,,,,,,。

问该幼儿园6岁女童平均体重与某区6岁女童平均体重有无显著差异？。

解：为样本量，未知，检验问题为＝not 则T统计量服从自度为9的t分布。

样本数据计算得p＝P(|T|>|t|)＝>. p值大于检验水平说明该幼儿园6岁女童平均体重与本区6岁女童平均体重无显著性差异。

第二，方差，未知，但=，比较两总体均值和。

设样本,记,分别来自正态总体,的两个独立，，检验问题为＝not。

在成立条件下,构造统计量T, () 给定检验水平值p＝P(|T|>|t|)。

,再样本数据计算出T统计量的观测值值,在成立条件下计算p若p值小于检验水平于检验水平，则得出的结论是：总体均值和和有显著差异；若p值大，，则得出的结论是：总体均值没有显著差异；若p值等于检验水平则需要进一步采取别的方法来处理一下。

特别地，当时，称为配对数据，统计量为上一页1 2 3 4 下一页() 专题讲座第一章均值和方差的检验题总体均值的检验例2：从某中学初三学生中随机选定两个组(每组10人)进行语文教学改革试验。

甲组采用讨论式方法,乙组采用讲授式方法,期末测验甲组平均成绩为78分,方差为15分,乙组平均成绩为73分, 方差为16分,问两种方法效果有无差异?(布。

) )(设成绩服从正态分解：,假定两个总体的方差相等。

检验问题为＝not 则T统计量服从自度为18的t分布，样本数据计算出T统计量的观测值值为p值为p＝P(|T|>|t|)＝|t|)＝0附小三年级学生采用结构教材前后成绩使用使用结结构构教材教材后前70 82 60 62 85 75 74 90 58 72 总和74 90 68 64 92 75 70 95 62 78 4 8 4 2 7 0 -4 5 4 6 40 0 4 0 2 3 -4 -8 1 0 2 0 16 0 4 9 16 64 1 0 4 130 解：设采用结构教材前成绩样本,,采用结构教材后。

属同一组对象进行两次实验，故为相关样本。

而差数为D的均值，于服从正态分布，样本均值，未知，故也未知. ，其中为D的方差，检验问题为：=0＝not 在成立条件下，构造T统计量, 则T统计量服从自度为9的t分布，样本数据计算出T统计量的观测值值为其中样本均值为样本方差为p值为p ＝P(|T|>|t|)＝差没有显著性变化. 。

p值大于检验水平说明该幼儿园6岁儿童这项智力测定成绩方检验：利用均值分布统计量进行的检验叫做，检验。

检验用来检验当两正态总体和。

未知，方差未知时比较两正态总体方差设本,记,分别来自正态总体的两个独立样我们在检验中进行双正态总体，未知假定=，，独立样本比较两总体均值和时，。

因此在进行这类问题的检验前，首检先要检验两总体方差是否一致，这就要用到验。

检验问题为＝not 在成立条件下,构造服从自度为和的F分布的统计量其中为第一自度，为第二自度。

给定检验水平,再样本数据计算，则得出的出F统计量的观测值f值,在结论是：总体方差方差和和成立条件下计算p值，若p值小于检验水平有显著差异；若p值大于检验水平，则得出的结论是：总体没有显著差异；若p值等于检验水平，则需要进一步采取别的方法来处理一下。

例6：利用例3的数据，检验问题为＝not 在成立条件下,构造服从自度为＝39和＝29的F分布的统计量样本数据计算出F统计量的观测值f值在成立条件下计算p 值＝> 。

p值大于检验水平说明男、女新生体重的方差无显著性差异。

上一页 1 2 3 4 下一页，单击[OK],执行操作。

单样本t检验实例应用某学校统一考试的高等数学的平均成绩为75分，该校经济学院某班的成绩见下表。

请问该班的成绩与全校的平均成绩的差异显著吗？编 1 2 3 4 5 6 7 8 9 号成97 82 98 87 56 89 60 68 绩90 编10 11 12 13 14 15 16 17 号成96 97 75 60 92 64 83 76 绩编18 19 20 21 22 23 24 25 26 号成74 70 55 85 86 56 71 65 77 绩编号27 成绩56 28 60 29 92 30 54 31 87 32 80 建立SPSS数据文件。

根据该班的高等数学的成绩建立SPSS数据文件。

One-Sample T Test的操作步骤。

①读取数据文件，点击[Analysis]/[Compare Means] /[ One-Sample T Test],打开单样本t检验对话窗口。

②将成绩变量移入[Test Variable]框中。

③在Test Value后的参数栏中键入总体均值75. ④点击[OK],执行操作。

输出结果以及解释单样本t检验的结果输出包括样本的基本描述统计结果与t检验结果。

表1输出的结果从左至右依次为样本的数量、均值、标准差和标准误。

表1 One-Sample Statistics Std. Deviation Std. Error Mean N Mean 成32绩表2输出的结果从左至右依次为t值、自度、双尾检验的p 值、样本均值与总体均值的差值和均值差值的95%臵信区间。

均值插值的95%臵信区间=均值差值〒标准误，即Lower 和Upper两项数值的含义。

在此实验结果中，样本均值与总体均值的差值落在两项数值之间的概率为95%。

表 2 One-Sample Test t df Sig. Test Value = 75 Mean 95% Confidence Interval (2-tailed) 成绩.466 31 .645 Difference of the Difference Lower - Upper 结果的报告T检验结果显示，这个班的高等数学的成绩与该学校高等数学平均成绩之间的差异不显著，t=,df=31,p＞上一页 1 2 3 4 下一页专题讲座第一章均值和方差的检验题Independent-Sample T Test的操作选项依次点击[Analysis]/[Compare Means] /[ Independent-Samples T Test], 打开独立样本t检验的对话窗口。

选择检验变量。

从左侧变量列表中选定进行差异检验的变量，单击向右箭头，将其移入[Test Variable(s)]框中。

选择分租变量并定义组别。

从左侧变量列表中选择一个分组变量，单击向右箭头按钮，将变量移入[Group Variable]框中。