第2章机械信号分

主要研究随机信号中不同强度幅值的分布情况
概率密度函数
概率密度函数定义 对于各态历经过程
P[ x < x (t ) ≤ x + x] p ( x) = lim x → 0 x
Tx 1 p( x) = lim [ lim ] x →0 x T →∞ T
样例信号x(t)的波形和p(x)的计算方法
应用：概率密度函数可用于求得信号幅值落在某一区域的概率
余弦分量 a k =
2 T ∫T / 2
T /2
2 T/2 bk = ∫ f (t) sinkω0tdt = 0 正弦分量 T T / 2
三角波的展开傅立叶级数为
0, k为偶数 T f (t ) cos kω 0 tdt = 2 2 ((1) k 1) = 2T k π k 2π 2 ,k为奇数
特点：频率比不是有理数，不成谐波关系
非确定性信号(随机信号) 非确定性信号(随机信号)
非平稳随机信号
非确定信号——平稳随机信号 非确定信号——平稳随机信号
2.2 信号的描述和分析
时域分析 幅域分析 频域分析 时频域分析
首先应该确定信号的类型，同时应该明确分析的目的 首先应该确定信号的类型，同时应该明确分析的目的
四种时频分析图
2．3 信号的频谱分析
信号频谱分析简介 周期信号频谱分析 非周期信号频谱分析 随机信号的频谱分析 频谱分析的应用
2.3.1信号频谱分析简介 2.3.1信号频谱分析简介
时域信号x(t)的傅氏变换为：
受噪声干扰的多频率成分周期信号波形和频谱
不同音阶的时域波形和频谱
采自电子琴正弦波信号，显示对应频率波形和频谱数据
周期性方波、三角波等是周期信号 简谐信号是简单周期信号
50 Hz正弦波信号10 sin( 2 × π × 50 × t )的波形
复杂周期信号
由两个或两个以上简谐信号叠加而成的信号均称为 复杂周期信号。它具有一个最长的基本周期。 例如：三角波、矩形波均属于复杂周期信号
复杂周期信号实例 实例
某钢厂减速机振动测点布置图
1 1wenku.baidu.com
3000Hz
1000Hz
9000Hz
三角波放大器特性
矩形波放大器特性
jb
2．3．2 周期信号的频谱分析—指数表达式 周期信号的频谱分析—
a e = cos θ ± 复指数函数性质 它的导数和积分与它自身成正比； 线性定常系统对复指数输入的响应也是复指数； 几何意义 e jωt几何意义为复平面上的一个旋转矢量. jb
相关函数曲线的绘制
自相关函数特点
自相关曲线
某吉普车时间历程及自相关图
特点：实函数、偶函数、原点为最大值 周期信号的自相关函数是与原信号周期相同的周期信号； 随机信号的自相关函数是在原点为最大值，随坐标增大而趋于零或平均值； 自相关函数可用于判断信号的性质和检测混于随机噪声中的周期信号
互相关函数
互相关函数定义 相关系数
2.2.1 时域分析
峰值与峰峰值(动态范围) 峰值与峰峰值(动态范围)
峰值 峰峰值
x p p = max {x (t )} min {x (t )}
测试中要求： （1）峰峰值不 能超过测试系统 允许输入的上、 下限； 0 （2）信号在测 试系统线性范围 内。
x p = max {x (t )}
第二章 机械测试信号分析与处理
信号的分类 信号的描述与分析 信号的频谱分析 数字信号处理
2.1 信号的分类
按被测物理量的属性分：机械量、电学量、 按被测物理量的属性分：机械量、电学量、声学量等
按被测物理量的时间取值分：连续性的、 按被测物理量的时间取值分：连续性的、离散性的
按信号随时间变化的特点分：确定性的、 按信号随时间变化的特点分：确定性的、随机性的
对于非周期信号，我们可以认为它是周期无穷大的周期信号。 对于非周期信号，我们可以认为它是周期无穷大的周期信号。根据 周期信号的复指数展开式，可以推导出非周期函数f(t)的傅立叶变换。 周期信号的复指数展开式，可以推导出非周期函数f(t)的傅立叶变换。 已知：
f (t ) =
k = ∞
∑c e
k
∞
jkω 0t
k =1 ∞
c k =
1 1 (a k + jbk ), c k = (a k jbk ) 2 2
[
jkω 0 t
+ ck e
jkω 0 t
]= ∑c e
∞ k = ∞ k
jkω 0 t
,
k = ±1,±2,±3, L
1 ck = 其中: 其中: T
∫
T /2
T / 2
f (t )e jkω 0t dt = ck e jφ ( k )
均方值 有
1 = T
2 x
∫
T
0
x 2 (t )dt
2 x
=σ +
2 x 2 x
σ 2 x
2 x
——描述了信号的波动量 ——描述了信号的波动量 ——描述了信号的静态量 ——描述了信号的静态量
自相关函数
1 T 定义 R x (τ ) = lim ∫ x(t ) x(t τ )dt T →∞ T 0 正弦波信号自相关函数，在τ 正弦波信号自相关函数，在τ＝0、τ=T/4和τ=T/2三个不同 τ=T/4和τ=T/2三个不同 时刻的自相关函数值的计算情况。
测点３振动信号波形
确定性信号: 非周期信号: 确定性信号: 非周期信号:瞬态信号
单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应
x(t) = Aeξ .t .sin( 0t) ω
瞬态信号实例：各种波形的单个脉冲信号、 指数衰减信号等
确定性信号: 非周期信号: 确定性信号: 非周期信号:准周期信号
信号X (t ) = sin(t ) + sin( 2t )的波形
互相关函数图
特点：实函数、不是偶函数也不是奇函数、最大值处表示相关性最大， 两个独立的信号互相关函数为零 互相关信号主要应用于：测量系统响应对于激励的滞后时间 确定信号的传递通道
相关分析的工程运用
机械加工表面粗糙度的自相关分析
地下输油管道漏损位置的探测
2.2.2 幅域分析
概率密度函数
概率分布函数 典型信号的概率密度特征
f (t ) = a 0 + ∑ [a k cos kω 0 t + bk sin kω 0 t ] 1 1 jkω 0 t f (t ) = a 0 + ∑ (a k + jbk )e + (a k jbk )e jkω 0t 2 k =1 2
∞
c0 = a0
f (t ) = c0 + ∑ c k e
常值分量
0, k为偶数 2 T/2 2 b = f (t) sinkω0tdt = (coskπ +1) = 4 正弦分量 k T ∫T / 2 kπ kπ ,k为奇数
1 1 1 f (t) = (sinω0t + sin3ω0t + sin5ω0t +L+ sinkω0t +L ) k 3 5 π 4
f (t ) = a0 + ∑ Ak cos(kω 0t + φ k )
k =1 ∞
2 Ak = ak + bk2 其中， 其中，
， φ k = arctan(bk / ak )
2．3．2 周期信号的频谱分析
F(t) 1 -T/2 0 t -1
1 T/2 a0 = ∫ f (t)dt = 0 T T / 2 2 T/2 余弦分量 ak = T ∫T / 2 f (t) coskω0tdt = 0
均值(直流分量) 均值(直流分量)
定义
1 x = ∫ x(t )dt T 0
T
加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形
方差(波动程度) 方差(波动程度)和均方差
定义
2 1 T 2 σ x = ∫ [x(t) x ] dt T 0
问题：离散信号的方差？
均方值(平均功率)和均方根值(平均能量) 均方值(平均功率)和均方根值(平均能量)
2.1 信号的分类
简单周期信号 周期信号 确定性信号 非周期信号 信 号 瞬态信号 平稳随机信号 随机信号 非平稳随机信号 复杂周期信号 准周期信号
确定性信号: 确定性信号: 周期信号
满足条件： x ( t ) = x ( t + nT ) 式中， ——周期，n=0 式中，T——周期，n=0,±1, …。
k =1 ∞
1 其中，a0 = T 其中，
∫
T /2
T / 2
2 T /2 f (t )dt , a k = ∫T / 2 f (t ) cos(kω 0 t )dt T
,
2 T /2 bk = ∫ f (t ) sin(kω 0 t )dt T / 2 T
ω0 =
2π T
为基波频率， 为正整数。 为基波频率， = 1,2,3,L 为正整数。 k
T 2T 1 1 1 f (t) = 2 (cosω0t + cos3ω0t + cos5ω0t + L+ 2 coskω0t + L) 4 π 9 25 k
(a) 矩形波频谱图
(b) 三角波频谱图
幅值谱: 谐波性 、离散性 、收敛性 问题：1、上述矩形波与三角波的相频特性是什么？ 2、为什么要把一个时间信号转换到频域分析？ 3、准周期信号频谱图是否为离散的？
2.2.3
频域分析
可以了解被测信号的频率构成； 可更好的反映物理量的特征，获得更丰富的信息。 可更好的反映物理量的特征，获得更丰富的信息。
频谱分析的目的：
发动机运行工况的时频域分析
时域波形
频域包络谱图
正 常 情 况
异 常 情 况
2.2.4
时频分析
使用时间和频率的联合函数来表示信号，这简称时频分 析.它的基本思想是设计时间和频率的联合函数。 通过如下途径得到时频分布图：短时傅立叶变换，Gabor 变换，小波变换，威格纳变换及其改进，多项式威格纳分布 等等。
± jθ
j sin θ
jb
j sinθ
e jθ
e
jωt
a
a
cosθ
单位向量 单位旋转矢量
e jω t
根据欧拉公式： 可得： 则根据： 可得： 令： 则:
e± jθ = cosθ ± j sinθ
jω t
1 jω t cos ω t = ( e +e 2
∞ k =1
)
1 jω t e jω t ) sin ω t = j ( e 2
第二章 机械测试信号分析与处理
意义： *了解信号特征，以便选配适当的测量装置 *了解信号特征，分析机械系统运行状态 *掌握信号的分析方法 问题1：对于一个测量精度确定的信号放大器，放大 不同频率的时间信号是否具有同样的动态测量误差? 问题2：某车床车削工件发现形状精度不合格，试分 析是什么原因引起？
1 Rxy (τ ) = lim T →∞ T
∫
T
0
x (t ) y (t τ )dt
ρ xy =
c xy
σ xσ y
=
E ( x x )( y y ) {E[( x x )]2 E[( y y )]2 }1/ 2
变量x 变量x、y间的不同相关情况
互相关函数特点
互相关的两个样本函数
频率
波形
频谱
2．3．2 周期信号的频谱分析
在一个周期内处处连续，或只存在有限个简断点， 在一个周期内处处连续，或只存在有限个简断点，间 断点处函数值有限。则若周期为T 断点处函数值有限。则若周期为T，的函数f(t)
f (t ) = a0 + ∑ (ak cos kω 0t + bk sin kω 0t )
结论：周期信号一定是由有限多个或无限多个简谐信号叠加而成。
2．3．2 周期信号的频谱分析
周期信号的特点： 周期信号的特点： 谐波性； 离散性； 谐波性； 离散性；
收敛性； 收敛性；
2．3．2 周期信号的频谱分析
F(t) 1
三角波
-T/2 0 T/2 t
1 T /2 2 T /2 T 常值分量 a0 = ∫ f (t)dt = ∫ tdt = T T / 2 T 0 4
(k = 0, ± 1, ± 2, L)
次谐波的幅值大小； 次谐波的相位。 c k 模表示了k次谐波的幅值大小； ck 相位表示了k次谐波的相位。
2．3．2 周期信号的频谱分析
时域图
频谱图
2.3.3 非周期信号的频谱分析
非周期信号傅立叶变换介绍 傅氏变换及其性质 典型函数的傅氏变换
非周期信号的傅立叶变换
现在回答前面第1个问题：对于一个测量精度确定的信号放大 现在回答前面第1个问题： 器，放大不同频率的时间信号是否具有同样的动态测量误差?
如果周期性矩形波和三角波的基波圆频率都是1000Hz，选择什么 样的放大器通频带才能使放大误差小于10%（或者说某一次谐波的幅值 减低到基波的1/10以下即可不考虑） 显然,对于该矩形波因直流分量为0，选用交流放大器，其低频截 止频率应小于1000Hz，高频截止频率应大于9000Hz； 对于该三角波，选用直流放大器，其高频截止频率应大于 3000Hz。