信号处理第二章知识点

第二章 连续时间傅里叶变换1 周期信号的频谱分析——傅里叶级数FS(1) 狄义赫利条件：在同一个周期1T 内，间断点的个数有限；极大值和极小值的数目有限；信号绝对可积∞<⎰dt t f T 1)(。

(2) 傅里叶级数：正交函数线性组合。

正交函数集可以是三角函数集}:sin ,cos ,1{11N n t n t n ∈ωω或复指数函数集}:{1Z n e t jn ∈ω，函数周期为T 1，角频率为11122T f π=π=ω。

(3) 任何满足狄义赫利条件周期函数都可展成傅里叶级数。

(4) 三角形式的FS ：(i) 展开式：∑∞=ω+ω+=1110)sin ()(n n n t n b t con a a t f(ii) 系数计算公式：(a) 直流分量：⎰=1)(110Tdt t f T a (b) n 次谐波余弦分量：N n tdt n t f T a Tn ∈ω=⎰,cos )(2111(c) n 次谐波的正弦分量：N n tdt n t f T b Tn ∈ω=⎰1,sin )(211(iii) 系数n a 和n b 统称为三角形式的傅里叶级数系数，简称傅里叶系数。

(iv) 称11/1T f =为信号的基波、基频；1nf 为信号的n 次谐波。

(v) 合并同频率的正余弦项得：(a) ∑∞=ψ+ω+=110)cos()(n n n t n c c t f(b) ∑∞=θ+ω+=110)sin()(n n n t n d d t fn ψ和n θ分别对应合并后n 次谐波的余弦项和正弦项的初相位。

(vi) 傅里叶系数之间的关系：(a) 000d c a ==(b) n n n n n d c a θ=ψ=sin cos (c) n n n n n n d c b θ=ψ-=cos sin (d) 000a d c ==(e) 2222n n n n b a d c +==(f) nnn a b arctg -=ψ(g) nnn b a arctg=θ (5) 复指数形式的FS ：(i) 展开式：∑∞-∞=ω=n t jn n e F t f 1)((ii)系数计算：Z n dt e t f T F Tt jn n ∈=⎰ω-,)(1111(iii) 系数之间的关系：⎪⎩⎪⎨⎧≠-==0),(210,0n jb a n a F n n n **,nn n n F F F F ==--)0(,21212122≠+====-n b a d c F F n n n n n n)0(,≠==+-n d c F F n n nnn n n a F F =+- j b F F n n n /=--)0(4422222≠==+==-n F F F b a d c nn n n n n n(iv) n F 关于n 是共扼对称的，即它们关于原点互为共轭。

(v) 正负n (n 非零)处的n F 的幅度和等于n c 或n d 的幅度。

(6) 奇偶信号的FS ：(i) 偶信号的FS ： ⎰ω=111cos )(2Tn tdt n t f T a ；0sin )(2111=ω=⎰Tn tdt n t f T b ； n n n a d c ==n n n n n F a jb a F -==-=22 (n F 实，偶对称)；0=ψn ；2π=θn (ii) 偶的周期信号的FS 系数只有直流项和余弦项。

(iii)奇信号的FS ：00==n a a ；⎰ω=111sin )(2Tn tdt n t f T b ；n n n n jF b d c 2===；n n n jb F F 21-=-=- (n F 纯虚，奇对称)； 2π-=ψn ；0=θn(iv) 奇的周期信号的FS 系数只有正弦项。

(7) 周期信号的傅里叶频谱：(i) 称{}n F 为信号的傅里叶复数频谱，简称傅里叶级数谱或FS 谱。

(ii)称{}n F 为信号的傅里叶复数幅度频谱，简称FS 幅度谱。

(iii)称{}n ϕ为傅里叶复数相位频谱，简称FS 相位谱。

(iv)周期信号的FS 频谱仅在一些离散点角频率1ωn (或频率1nf )上有值。

(v)FS 也被称为傅里叶离散谱，离散间隔为11/2T π=ω。

(vi)FS 谱、FS 幅度谱和相位谱图中表示相应频谱、频谱幅度和频谱相位的离散线段被称为谱线、幅度谱线和相位谱线，分别表示FS 频谱的值、幅度和相位(vii)连接谱线顶点的虚曲线称为包络线，反映了各谐波处FS 频谱、幅度谱和相位谱随分量的变化情况。

(viii)称n c 为单边谱，表示了信号在谐波处的实际分量大小。

(ix)称n F 为双边谱，其负频率项在实际中是不存在的。

正负频率的频谱幅度相加，才是实际幅度。

(8) 周期矩形脉冲序列的FS 谱的特点：(i) 谱线包络线为Sa 函数；(ii) 谱线包络线过零点：(其中112T π=ω为谱线间隔)： π=πτk T n 1，或τπ=ωk n 21，0,≠∈k Z k 即当τπ=ω=ω/21k n 时，0===n n n F c a 。

(iii) 在频域，能量集中在第一个过零点之内。

(iv) 带宽τπ=βω/2或τ=β/1f 只与矩形脉冲的脉宽τ有关，而与脉高和周期均无关。

(定义τπ/2~0为周期矩形脉冲信号的频带宽度，简称带宽)(9) 周期信号的功率：[]∑∞-∞==n nF t f P 2)((10) 帕斯瓦尔方程：⎰1)(121Tdt t f T 2∑∞-∞==n nF2 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换(FT)(1) 信号f (t )的傅里叶变换：[])()()(t f F dt e t f F t j ∆∞∞-ω-==ω⎰是信号)(t f 的频谱密度函数或FT 频谱，简称为频谱(函数)。

(2) 频谱密度函数)(ωF 的逆傅里叶变换为：[])(ˆ)(21)(1ω=ωωπ=-∞∞-ω⎰F F d eF t f tj (3) 称t j e ω-为FT 的变换核函数，t j e ω为IFT 的变换核函数。

(4) FT 与IFT 具有唯一性。

如果两个函数的FT 或IFT 相等，则这两个函数必然相等。

(5) FT 具有可逆性。

如果[])()(ω=F t f F ，则必有[])()(1t f F F =ω-；反之亦然。

(6) 信号的傅里叶变换一般为复值函数，可写成)()()(ωϕω=ωj e F F(i) 称)(ωF 为幅度频谱密度函数，简称幅度谱，表示信号的幅度密度随频率变化的幅频特性； (ii) 称())()(ω=ωϕF Arg 为相位频谱密度函数，简称相位谱函数，表示信号的相位随频率变化的相频特性。

(7) FT 频谱可分解为实部和虚部：)()()(ω+ω=ωi r jF F F)()(arctan )(,)()()(22ωω=ωϕω+ω=ωr ii r F F F F F()())(sin )()(,)(cos )()(ωϕω=ωωϕω=ωF F F F i r(8) FT 存在的充分条件：时域信号)(t f 绝对可积，即⎰∞∞-∞<dt t f )(。

注意：这不必要条件。

有一些并非绝对可积的信号也有FT 。

(9) FT 及IFT 在赫兹域的定义：⎰∞∞-π-=dt e t f f F ft j 2)()(；⎰∞∞-π=dfef F t f ftj 2)()((10) 比较FS 和FT ：3 典型非周期信号的FT 频谱(1) 单边指数信号：)0()()(>=-a t u e t f atω+====ω⎰⎰⎰∞ω+-∞ω--∞∞-ω-j a dt e dt e e dt e t f F t j a t j at t j 1)()(0)(0幅度谱：221)(ω+=ωa F相位谱：()⎪⎭⎫⎝⎛ω-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛ω+ω-=ω=ωϕa arctg a j a Arg F Arg 22)()( 单边指数信号及其幅度谱、相位谱如图1所示。

ωω|F(ω)|1/aϕ(ω) π/2 -π/2 0 0t 01f (t ) (a )(b )(c )图1 (a)单边指数信号 (b)幅度谱 (c)相位谱(2) 偶双边指数信号：)0()(>=-a e t f t a ⎰⎰⎰∞ω--∞-ω-∞∞-ω-+==ω00)()(dt e e dt e e dt e t f F t j at t j at t j220)(0)(211ω+=ω++ω-=+=⎰⎰∞ω+-∞-ω+--a aj a j a dt e dt e t j a tj a ，为实偶函数。

幅度谱：222)(ω+=ωa a F相位谱：0)(=ωϕ偶双边指数信号及其频谱如图2所示。

ωF(ω) 2/a0 t 0 1f (t ) (a )(b )图2 (a)偶双边指数信号 (b)频谱(3) 矩形脉冲信号：)()(t EG t f τ= (脉宽为τ、脉高为E ) ⎰⎰⎰∞∞-ττ-ττ-ω-ω-ω===ω2/2/2/2/cos )()(tdt E dt Ee dt e t f F t j t j⎪⎭⎫⎝⎛ωτ⋅τ=ωω⋅=ττ-2sin 2/2/Sa E t E ，为实函数。

幅度谱：⎪⎭⎫⎝⎛ωττ=ω2)(Sa E F 相位谱：-∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<ωτπ+<ω<τ+π>ωτπ+<ω<τπ=ωϕZ k F k k F k k )0)(()1(4)12(2,)0)(()12(24,0)(对应对应矩形脉冲信号及其频谱如图3所示。

F (ω)E τ=矩形脉冲面积0 τπ2 τπ4 τπ6 ω-τ/2 0 τ/2 tf (t )=)(t EG τ E(a ) (b )图3 (a)矩形脉冲信号 (b)频谱矩形脉冲FT 的特点：(i) FT 为Sa 函数，原点处函数值等于矩形脉冲的面积； (ii) FT 的过零点位置为)0(/2≠τπ=ωk k ；(iii)频域的能量集中在第一个过零点区间[]τπτπ-∈ω/2,/2之内(iv) 带宽为τπ=ω/2B 或τ=/1f B ，只与脉宽τ有关，与脉高E 无关。

信号等效脉宽：)0(/)0(f F =τ 信号等效带宽：τ=1f B图4 (a)信号的等效脉宽 (b)等效带宽(4) 符号函数：不满足绝对可积条件，但存在FT 。

ω==ω⎰∞∞-ω-j dt et Sgn F tj 2)()(幅度谱：ω=ω2)(F 相位谱：⎩⎨⎧<ωπ>ωπ-=ωϕ0,2/0,2/)(符号函数及其频谱如图5所示。

|F(ω)|-a a ω (b )Sgn(t)10 t-1(a )图5 (a)符号函数 (b)频谱(5) 冲激信号：[]E Ee dt et E t E F j tj ==δ=δω-ω-∞∞-⎰0)()(均匀谱/白色谱：频谱在任何频率处的密度都是均匀的。