数字信号处理知识点

《数字信号处理》辅导

一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号

（1）基本概念

信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。 模拟信号：是连续信号的特例。时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。常见离散信号——序列。 数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。 （2）基本序列（课本第7——10页）

1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩ 2）单位阶跃序列 1,0

()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩

3）矩形序列 1,01

()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n

5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列

1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。

注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）

2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓

设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即

()()i x n x n iL ∞

=-∞

=

-∑

当L N ≥时，()()()N x n x n R n = 当L N <时，()()()N x n x n R n ≠

（4）序列的分解

序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即

()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞

并且

1()[()()]2e x n x n x M n *=+- 1

()[()()]2

o x n x n x M n *=--

（4）序列的运算 1）基本运算

2）线性卷积：

将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和

定义式： 1

2

1

2

()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞

=-∞

=-=*∑

线性卷积的计算：A 、图解 B 、解析法

C 、不进位乘法（必须掌握）

3）单位复指数序列求和（必须掌握）

/2/2/2/2/2/21

/2/2/2/2/2/2

(1)/2

1()()/(2)1()()/(2)

sin(/2)

sin(/2)

j N j N j N j N j N j N j N N j n

j j j j j j j n j N e e e e e e e j e

e e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑

如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有

sin(/2)

(0)(0)(()())sin(/2)

N N k N N k N ωδδω===或

可以结合作业题3.22进行练习

（5）序列的功率和能量

能量：2

|()|

n E x n ∞

=-∞

=

∑

功率：21

lim |()|21N

N n N

P x n N →∞=-=+∑ （6）相关函数——与随机信号的定义运算相同

（二） 离散时间系统

1．系统性质 （1）线性性质

定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即

1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==

统的输对于任意给定的常数a 、b ，下式成立

1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+

则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。 判定系统的线性性质时，直接用定义 （2）时不变性质

统的如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则称该系统是时不变系统。即对任意给定的整数i ，若下式成立：

()[()]y n i T x n i -=-

则称该系统为时不变系统，否则为时变系统。 判定系统的时不变性质时，直接用定义 （3）系统的因果性

定义：如果系统n 时刻的输出序列只取决于n 时刻及以前的输入序列，而与n 时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，即系统是因果系统，否则是非因果系统。

离散时间LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()h n 满足

()0,0h n n =<

（4）系统的稳定性

定义：对任意有界的输入，系统的输出都有界，则该系统是稳定的，否则是不稳定的。

离散时间LTI 系统具有因果性的充要条件是：系统的单位脉冲响应()h n 满足绝对可和，即|()|i h i ∞

=-∞<∞∑

（5）对离散时间LTI 系统的描述 （1）时域：差分方程 （2）Z 域：系统函数()H z 2．信号过系统

()()()y n h n x n =*

用线性卷积的相关知识计算，信号系统学的基本性质可以套用

二、离散时间信号和系统的频域分析 （一） 离散时间信号

1．序列傅里叶变换（Sequence Fourier Transform ）（即本书中的离散时间信号的傅里叶变换） （1）定义

SFT ：()[()](),j j n

n X e SFT x n x n e

ω

ωω∞

-=-∞

==

-∞<<∞∑

ISFT ：1

()[()](),2j j j n x n ISFT X e X e

e d n π

ω

ω

ωπωπ

-

==

-∞<<∞⎰

说明：

1、物理意义：序列傅里叶变换本质上是序列的一种分解，它将一般序列分解为无穷多个数字角频率[,]ππ-中的复指数序列。称()j X e ω为序列()x n 的频谱，其模|()|j X e ω称为幅频特性，其幅角arg[()]()j X e ωθω=称为相频特性。

2、尽管序列()x n 是离散时间信号，但它的序列傅里叶变换对数字角频率ω而言却是连续函数，因此，序列()x n 的傅里叶变换是连续的。

3、(2)

(2)()()()j j n

j n X e

x n e

X e ωπωπω∞

+-+=-∞

=

=∑

由上式可知，序列傅里叶变换()j X e ω是以2π为周期的周期函数，其原因正是由于j n e ω对ω而言以2π为周期，即数字角频率相差2π的所有单位复指数序列等价。因此，对ω-∞<<∞的所有单位复指数序列只有一个周期。对于离散时间信号，由于的周期性，使得02ωπ=或的整数倍都表示信号的直流分量，而π的奇