全国高中数学联赛安徽省初赛试题及详解
2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(参考答案)
2014年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷(参考答案)一、填空题：本大题共8小题,每小题8分,共64分,请将答案填在答题卷的指定位置.1.函数2223()45x x y x R x x ++=∈++的值域是 【解析：】【方法一：】由22223(1)(42)53045x x y y x y x y x x ++=⇒-+-+-=++ (1)1y =时,该方程有解(2)1y ≠时,因为x R ∈,所以22(42)4(1)(53)0420y y y y y ∆=----≥⇒-+≤22y ≤≤所以, 22y ≤≤且1y ≠综合(1)(2) 22y ≤,故答案为[2【方法二：】222223(2)2(2)345(2)1x x x x y x x x +++-++==++++,令2tan x θ+=,则 2222tan 2tan 3sin 2sin cos 3cos 2sin 2cos 2tan 1y θθθθθθθθθ-+==-+=-++2)4πθ=-,故该函数的值域为[2【方法三：】2222223452(1)2(1)14545(1)2(1)2x x x x x x y x x x x x x ++++-++===-++++++++ (1)1x =-时,1y =(2)1x ≠-时,212(1)21y x x =-++++,因为22|(1)||1|1|1|x x x x ++=++≥++所以211x x ++≤-+211x x ++≥+所以2(1)221x x +++≤-+2(1)221x x +++≥+ 所以22(1)21x x ≤≤++++202(1)21x x ≠++++即2112(1)2x ≤≤+++且202(1)21x x ≠++++ 所以, 22y ≤且1y ≠综合(1)(2) 22y ≤,故答案为[2【方法四：】求导2222(21)'(45)x x yx x +-=++,该函数在区间(,1-∞-及[1)-+∞上单调递增,在区间[11--上单调递减,计算即得【答案:】[2解题方法的灵活运用有利于对我们接受知识,应用知识的能力的培养,如限定x 的取值范围方法三,方法四可能更容易解决问题,如[2,2]x ∈-,方法一,二已经较难解决.2.函数tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+在[0,]π中的零点个数为【解析:】tan(2013)tan(2014)tan(2015)y x x x =-+sin 2013sin 2015sin 2014sin 4028sin 2014cos 2013cos 2015cos 2014cos 2013cos 2015cos 2014x x x x x x x x x x x=+-=- 2sin 2014(2cos 2014cos 2013cos 2015)cos 2013cos 2014cos 2015x x x x x x x-= 由于22cos 2014cos 2013cos 2015cos 40281cos 2013cos2015x x x x x x -=+-1sin 2013sin 20150x x =-≠所以,sin 20140x =在[0,]π上的零点个数即是 因为sin 2014y x =的最小正周期为1007π,故[0,]π之间函数sin 2014y x =的图象有1007个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为2015【答案:】20153.设定点(2,1)A ,动点B 在x 轴上,动点C 在直线y x =上,则ABC ∆的周长的最小值是【解析:】(2,1)A 关于x 轴的对称点为1(2,1)A -,关于y x =的对称点为2(1,2)A ,连接12A A 与y 轴及直线y x =交于,B C ,易证,此时ABC ∆的周长最小,且值为12||A A =【答案:4.设12,P P 是平面上的两点,21k P +是2k P 关于1P 的对称点,22k P +是21k P +关于2P 的对称点,*k N ∈,若12||1PP =,则20132014||P P =【解析:】设n P 点对应的复数为n z由题意:2121212222,2k k k k z z z z z z ++++=+=所以,2222122212()2(1)()k k k z z z z z z k z z +-=-⇒=+--211221212[2(1)()](21)2k z z z k z z k z kz +=-+--=--+所以,2221221212()(21)2k k z z z k z z k z kz ++-=+-+--214()k z z =-所以,2122222121|||||4()|4k k k k P P z z k z z k ++++=-=-=,所以, 20132014||4024P P =【答案:】4024本题设点造成纵横坐标运算的繁琐,考虑到复数对应复平面内的点,使得运算简化,5.已知四面体ABCD 的侧面展开图如下图所示,则其体积为【解析:】故顶点在底面的射影为底面三角形的外心,又底面的等腰直角三角形,(即)ACD ∆,所以顶点在底面的射影为CD 的中点,所以该三棱锥的高为2=,又底面积为2112⨯=,故其体积为 121233⨯⨯= 【答案:】236.设复数z 满足1||2z z+≤,则||z 的取值范围是 【解析:】由111||2||||||||2z z z z z z+≤⇒-≤+≤,即12||21||1||z z z -≤-≤⇒≤≤,故答案为11] 【答案:】11]7.设动点(,0),(1,)P t Q t ,其中参数[0,1]t ∈,则线段PQ 扫过的平面区域的面积是【解析:】直线PQ 的方程为2(1)0tx t y t +--=,0t =时,直线方程为0y =1t =时,直线方程为1x =,故不妨设01t <<, 直线方程为1()(2)[(1)]11t x y x t x t t t-=-=--+---, 对每个01x ≤≤,当(0,]t x ∈变化时02y x <≤--,所以,线段PQ扫过的平面区域是函数2y x =--及直线0,1,0x x y ===围成的封闭图形,由积分的几何意义3121200141(2[2(1)]236x dx x x x --=-+-=⎰,故答案为16 【答案:】168.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是【解析:】将这十二个点依次标为1212,,,A A A ,从十二个点中取4个点的方法数为412C ,取出的四个点两两不相邻的包含以下两类,(1)如果不取12A 点,则从1211,,A A A 这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为48C (相当于把4个点插到7个点中 (2)如果取12A 点,由于不能取111,A A ,故从2310,,A A A 这9个点中取三个点,两两不相邻,方法数为37C (相当于把三个点插到6个点中) 故所求概率为4387412733C C C += 【答案:】733解决不相邻问题插空也是常有方法二、解答题：本大题共4小题,共86分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 9(本小题满分21分)已知正实数,,x y z 满足1x y z ++=,求证:0222z y x z y x x y y z z x---++≥+++ 【证明:】【方法一:】由于 111111(333)()[(2)(2)(2)]()9222222x y z x y y z z x x y y z z x x y y z z x ++++=+++++++≥++++++所以,111()()3222x y z x y y z z x ++++≥+++所以,()(2)()(2)()(2)3222z y x y x z y z y x z x x y y z z x-++-++-++++≥+++ 即0222z y x z y x x y y z z x ---++≥+++【方法二:】令2,2,2x y c y z a z x b +=+=+=111(42),(42),(42)999x b c a y c a b z a b c ⇒=+-=+-=+- 所以,1222()2223z y x z y x a b c b c a a c b x y y z z x c a b---+-+-+-++=+++++11[()()()6]6]033a c a b b c c a b a c b =+++++-≥= 由于命题人的疏忽,本题的条件x y z ++=是一个多余的条件,是本题的败笔.不过,利用该条件,可将不等式化为01()z y z y -≥--∑,证明过程略10(本小题满分21分)设数列{}n a 满足2*1131,()2n n na a a n N a ++==∈ (Ⅰ)求证:当2n ≥时,数列{}n a 是严格单调递减数列;(Ⅱ)求证:当*n N ∈时,212|,1n n n a r +-=-其中2r =【证明:】(Ⅰ)由2*1131,()2n n na a a n N a ++==∈,易得0n a >, 所以,1n ≥时,2132n n n na a a ++=≥=即2n ≥时,n a又若n a ,则2111132n n n n a a a a a ---+===⇒=11a =矛盾,故n a ≠所以,n a (也可以根据n a 为有理数,说明n a ≠所以,21302n n n na a a a +--=>,所以, 数列{}n a 是严格单调递减数列 (Ⅱ)由2213(22n n n n na a a a a ++==2132n n n na a a ++== 所以lg |2lg ||=⇒=所以2lg |lg ||2lg(22lg(2n n n =⋅=⋅=所以,2||(2n =2(2n =解得12n a +=其中2r =即12|1na r +=-其中2r =11(本小题满分22分)已知平面凸四边形ABCD 的面积为1.求证:||||||||||||4AB AC AD BC BD CD +++++≥+【证明:】假设凸四边形ABCD 满足 ||||||||||||L AB AC AD BC BD CD =+++++最小,则此时四边形ABCD 一定是菱形.否则,如图所示,可固定两对角点(不妨设为,B D ),过,A C 分别作BD 的平行线,调整另外两个点,A C 的位置,使它们分别位于两平行线上,则ABD ∆和CBD ∆的面积不变,但L 变大,故只有,AB ADCB CD ==类似地,,BA BC DADC ==,故四边形ABCD 为菱形设菱形的两条对角线长分别为,x y ,则由已知,2xy =所以,4L x y =++=+当且仅当x y ==时,等号成立.12(本小题满分22)(Ⅰ)求证:方程310x x --=恰有一个实根ω,并且ω是无理数;(Ⅱ)ω是(Ⅰ)中方程的根,求证:ω不是任何整数系数二次方程20ax bx c ++= (,,,,0)a b c Z a ∈≠的根.【证明:】【方法一:】(Ⅰ)令32()1'()31f x xx f x x =--⇒=-由'()0f x x >⇒<或x >由'()0fx x <⇒<< 所以()f x 在(,-∞上单调增,在(上单调减,在)+∞上单调递增 又(10,10,(2)0f f f =-+<=-<> 故该函数有唯一零点属于区间,即方程310x x --=恰有一个实根ω 若ω为有理数,设(,m m n nω=为正整数,且,m n 互质) 代入到方程中得3230m mn n --=(1)当,m n 均为奇数时,323m mn n --值为奇数不为0,(2)当,m n 一个为奇数,另一个为偶数时, 323m mn n --值为奇数不为0,故ω是无理数.【方法二:】令32()1'()31f x x x f x x =--⇒=-由'()03f x x >⇒<-或3x >由'()033f x x <⇒-<< 所以()f x在(,3-∞-上单调增,在(33-上单调减,在()3+∞上单调递增又(10,(10,(1)10,(2)033f f f f -=-+<=-<=-<> 故该函数有唯一零点属于区间(1,2),即方程310x x --=恰有一个实根ω若ω为有理数,设(,m m n nω=为正整数,且,m n 互质) 代入到方程中得3230m mn n --=即3223()|1m n m n n m n =+⇒⇒=即ω是整数,这与(1,2)ω∈矛盾,因此,ω是无理数.【方法三:】设333333()3x m n x m n mn m n m n mnx =+⇒=+++=++ 即33330x mnx m n ---=,比较方程310x x --=3333331132711mn m n m n m n m n ⎧⎧==⎪⎪⇒⇒+=⎨⎨⎪⎪+=+=⎩⎩即x =所以该方程有唯一实数解, 仍然用反证法证明这个解为无理数,过程同上.(Ⅱ)假设ω还满足方程20(,,,0)ax bx c a b c Z a ++=∈≠,则有230(1)10(2)a b c ωωωω⎧++=⎪⎨--=⎪⎩ 将(1)式乘ω减去(2)式乘以a 得: 220(1)()0(3)a b c b a c a ωωωω⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩ 将(3)乘以a 减去(1)式乘以b 得 222()0a ac b a bc ω+-+-=因为ω是无理数,所以22200a acb a bc ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 由00a bc ≠⇒≠,把2a b c=代入到220a ac b +-=中,得 3()()10a a c c --=,所以a cω=,这与ω是无理数矛盾, 所以, ω不是任何整数系数二次方程20ax bx c ++=的根.。
全国高中数学联赛安徽赛区试卷含解析
全国高中数学联赛安徽初赛试卷一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a =A 、98B 、99C 、100D 、1012．已知lg x 的小数部分为a ，则21lg x 的小数部分为 A 、2a -的小数部分 B 、12a -的小数部分 C 、22a -的小数部分 D 、以上都不正确3．过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上A 、2213,22y x y x ==B 、2235,22y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 4．已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、ED 为边长构成的三角形的最大角是A 、锐角B 、钝角C 、直角D 、不能确定5．将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是 （旁注：这是希望杯的培训题）A 、0B 、5C 、7D 、以上都不正确6．已知圆锥的顶点V 和底面圆心O 的连线垂直于底面（旁注，这句话实际上是废话），一个过VO 中点M 的平面与圆O 相切，与圆锥的交线是一个椭圆，若圆O 半径为1，则椭圆的短轴的长为A、 BCD 、以上结果都不对 二、（每小题9分，共54分）7．设等差数列的首项和公差均为正整数，项数为不小于3的素数，且各项之和为2006，则这样的数列共有_____个．8．已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y +=_____． （旁注：联赛原题） 9．正八边形所有对角线在其内部交点的个数为_____．10．若x 、y 为实数，且223x xy y ++=，则22x xy y -+的最大值和最小值分别为_____．11．一个正方体的8个顶点可以组成_____个非等边三角形．12．若关于x的方程2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是_____．三、论述题（本题满分60分，每小题20分）13．设有2006个互不相同的复数，其中任何两个数的积（包括自乘）是这2006个数之一，求这2006个数的和．14．求3221123nnk k k n n n k k k C n k C n kC ==-+∑∑的值．15．已知数列{}()0n a n ≥满足00a =，对于所有n N +∈，有115n n a a +=+，求n a 的通项公式．全国高中数学联赛安徽初赛参考答案1B2C3B5A6B7(15)8(15)9(65)10(6和2)11(48)12()14(0)15() )2,3[]3,2(⋃--2]2)56()56([nn n a --+=。
2008-2012安徽近四年年高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f−1(−x) (B) g(x)=f−1(x) (C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形 3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）． (A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)20084.四面体的６个二面角中至多可能有（ ）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（ ）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（ ）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ). 8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ). 10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C 在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC 的方程为( )时，DeltaABC 的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan −1−−−−−√](n ≥2)，其中[x]表示不超过x 的最大整数. 证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B 两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D ，直线EF 分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F ，直线CE 与直线DF 相交于G ，证明：A,B,G 三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10]9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.2007 13. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N 时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N 时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m 都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F 四点共圆，以A （或B ）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷 一、填空题（每小题8分，共64分） 1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称.3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分） 1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cos ϕ=，sin ϕ=ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-，故4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-， ∴11yx e --=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=.1=，故t =5.答案：1+提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11333-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分）9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n n a -+=--.…（20分）10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤；（3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤.……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 . 4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n . 5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ .6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 .7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应. 若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分）9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5. 417.6. 2π46r ar +.7. zz z z ++1.第5题第6题8. )3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n na n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k k n k nk a p k k n ====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)fc f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=+⎪⎩可知2(1)1)(0)b f f =--≤)()(3233x x x f -=满足题设，b 的最大可能值为233.12．设),(),(),(2211y x P y x E y x D ，，，直线CD 的方程)2(-=x k y ，则222(2)1x k x --=，所以221212122241451()114k k x x x x x x k k -++==-=-++--， ， ① 1212(1)(1)11y yx y x x x +==-+-， 所以21212121121221212121212211112322341111y y x x x x x x x x x x x y y x x x x x x x x --++-+-+--===-------+-+。
2007-2011安徽高中数学竞赛初赛试题(含答案)
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一 选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862AB C D２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角783660A B C D都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.解 答一、 选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D.1.逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C. 2.令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f .令t x=2，则题设方程为 )()(1t ft f -=-，即 )110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+tt，1)110)(110(=-+tt，2102=t， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x. 从而 1)2(l g l o g )2lg 21(log 22-==x . 答：A. 3. 注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）, ）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以 6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）, 所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）. (2)由（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n .所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200）（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B 60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C.4.易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k .从而b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba)]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k ])([12121b b a a b a k k ⋅--⋅+=++ 233])([1+++=--+=k k k u b a b a ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故 b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ， ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 所以答案为A.5.{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m .又因为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x =5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.）显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B .6.显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2+--=θθθ, 所以+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B)5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，2B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B iA )5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=21)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+=)1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cos i i i i i +-+-+==)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sini +. 因为2A 和2B是实数，所以 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====B A B A . 答：D.二、 填空题（满分54分，每小题9分）7.解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a cb <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.8.注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θc o s 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22c o s 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sinπn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.9.易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8.10. 解：将向量1，，分别记为，，. 2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1， A ++-=1， BD +-=1， DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=22260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33.11.令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ， ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 12.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得CO QO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：13.解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m my y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-.因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线.14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故 ∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n n n x x x ，亦即 80244112006122122007∑=+=-n n x x x ，由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lg lg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .15.证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及 222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而 22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y xP.（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽省高中数学联赛初赛试题1.若函数y=f(x)的图象绕原点顺时针旋转π2后，与函数y=g(x)的图象重合，则（ ）． (A) g(x)=f −1(−x) (B) g(x)=f −1(x)(C) g(x)=−f −1(−x) (D) g(x)=−f −1(x)2.平面中，到两条相交直线的距离之和为１的点的轨迹为（ ） ．(A) 椭圆 (B) 双曲线的一部分 (C) 抛物线的一部分 (D) 矩形3.下列４个数中与cos1∘+cos2∘+...+cos2008∘最接近的是（ ）．yAA 1B 1C 1D 1B CDABCD Q M O F E(A)−2008 (B)−1 (C)1 (D)2008 4.四面体的６个二面角中至多可能有（）个钝角．(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6$5.12008写成十进制循环小数的形式12008=0.000498...625498...625...，其循环节的长度为（）(A)30 (B)40 (C)50 (D)606.设多项式(1+x)^2008=a_0+a_1x+...+a_2008x^2008，则a_0,a_1,...,a_2008中共有（）个是偶数. (A) 127 (B) 1003 (C) 1005 (D) 18817.化简多项式sum_{k=m}^{n}C_n^kC_k^mx^(k-m)(1-x)^(n-k)=( ).8.函数f(x)=frac{3+5sinx}{sqrt(5+4cosx+3sinx)}的值域为( )．9.若数列{a_n}满足a_1>0,a_n=frac{a_1+a_(n-1)}{1-a_1a_(n-1)}(n>=2),且具有最小正周期2008,则a_1=( ).10.设非负实数a_1,a_2,...,a_2008的和等于1，则a_1a_2+a_2a_3+...a_2007a_2008+a_2008a_1的最大值为( )．11. 设点A(1,1),B,C在椭圆x^2+3y^2=4上．当直线BC的方程为( )时，DeltaABC的面积最大$.13.将６个形状相同的小球（其中红色、黄色、蓝色各２个）随机放入３个盒子中，每个盒子中恰放２个小球，记η为盒中小球颜色相同的盒子的个数，求η的分布.14.设a1≥1,an=[nan−1−−−−−√](n≥2)，其中[x]表示不超过x的最大整数.证明：无论a1取何正整数时，不在数列{an}的素数只有有限多个．15.设⊙O1与⊙O2相交于A,B两点，⊙O3分别与⊙O1,⊙O2外切于C,D，直线EF分别与⊙O1,⊙O2相切于点E,F，直线CE与直线DF相交于G，证明：A,B,G三点共线．参考答案1.D2.D3.B4. B5.C6.D7.$C_n^m$8.$(-4/5sqrt10,sqrt10] 9.（错题）10.$1/4$ 11.$x+3y+2=0 12.200713. $P(eta=0)=8/15,P(eta=1)=2/5,P(eta=2)=0,P(eta=3)=1/15$14. 思路：先用反证法证明存在$N,使a_N<=N+1;接着用数学归纳法证n>=N时，n-2<=a_n<=n+1$;$最后证n>=N时，a_n<=a_(n+1)<=a_n+1$.这样由$a_n->+oo(n->+oo)知对一切自然数m(>=a_N),m都在数列{a_n}中，结论正确.15. 利用根轴概念，只需证明$C,D,E,F四点共圆，以A（或B）为中心进行反演不难得证！2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷一、填空题（每小题8分，共64分）1.函数()2f x x =的值域是 .2.函数y = 的图象与xy e =的图象关于直线1x y +=对称. 3.正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 .4.设椭圆22111x y t t +=+-与双曲线1xy =相切，则t = . 5.设z 是复数，则|1||||1|z z i z -+-++的最小值等于 .6.设a ，b ，c 是实数，若方程320x ax bx c +++=的三个根构成公差为1的等差数列，则a ，b ，c 应满足的充分必要条件是 .7.设O 是ABC ∆的内心，5AB =，6AC =，7BC =，OP xOA yOB zOC =++，0,,1x y z ≤≤，动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于 .8.从正方体的八个顶点中随机选取三点，构成直角三角形的概率是 . 二、解答题（共86分）9.（20分）设数列{}n a 满足10a =，121n n a a -=+，2n ≥.求n a 的通项公式.10.（22分）求最小正整数n 使得224n n ++可被2010整除.11.（22分）已知ABC ∆的三边长度各不相等，D ，E ，F 分别是A ∠，B ∠，C ∠的平分线与边BC ，CA ，AB 的垂直平分线的交点.求证：ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积.12.（22分）桌上放有n 根火柴，甲乙二人轮流从中取走火柴.甲先取，第一次可取走至多1n -根火柴，此后每人每次至少取走1根火柴.但是不超过对方刚才取走火柴数目的2倍.取得最后一根火柴者获胜.问：当100n =时，甲是否有获胜策略？请详细说明理由.2010年全国高中数学联赛安徽赛区预赛试卷参考答案及评分标准一、填空题（每小题8分，共64分）1.答案：4⎡⎤-⎣⎦.提示：因04x ≤≤，设22cos x α-=（0απ≤≤），则4cos 2sin 4)4y αααϕ=-+=++（其中cosϕ=，sin ϕ=，ϕ为锐角），所以当0α=时，max 8y =，当αϕπ+=时，min 4y =-4y ⎡⎤∈-⎣⎦.2. 答案：1ln(1)x --提示：因两函数图象关于直线1x y +=对称，所以1x y →-，1y x →-，∴11yx e--=，解得1ln(1)y x =--.3. 答案：13-提示：正八面体由两个棱长都相等的正四棱锥组成，所以任意两个相邻面所成二面角是正四棱锥侧面与底面所成二面角α的两倍.∵tan α=，∴2211cos 1tan 3αα==+，则21c o s 22c o s 13αα=-=-.4.提示：由椭圆方程22111x y t t +=+-知，1t >，设其参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）代入双曲线方程1xy =，得sin 2θ=1=，故t =.5.答案：1提示：在复平面上，设(1,0)A -，(1,0)B ，(0,1)C ，则当Z 为ABC ∆的费马点时，|1||||1|z z i z -+-++取得最小值，最小值为11-++=+6. 答案：213a b =-且3273a a c =-. 提示：设三个根为1α-，α，1α+，则32(1)()(1)x ax bx c x x x ααα+++=-+---，右边展开与左边比较得3a α-=，2(1)(1)(1)(1)31b ααααααα=-++++-=-，(1)(1)c ααα-=-+，消去α得2313273a b a a c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，这就是所求的充要条件. 7.答案：提示：如图，根据向量加法的几何意义，知点P 在图中的三个平形四边形及其内部运动，所以动点P 的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于等于ABC ∆面积的2倍，即 8. 答案：67提示：从正方体的八个顶点中随机选取三点，共有38C 个三角形，其中直角三角形有3412C ⨯个，所求“构成直角三角形”的概率是34381267C C ⨯=. 二、解答题（共86分） 9. 解：特征根法. 又114221n n n a a a --++=+，11111n n n a a a ----=+，…………（10分）得21212222(2)(2)(2)111nnn n n n n a a a a a a ----+++=-⋅=-==----，于是(2)2(2)1n n na -+=--.…（20分） 10. 解： 22010|24n n ++⇔2222240mod 2240mod 3240mod 5240mod 67n n n n n n n n ⎧++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩2220mod 31mod 543mod 67n n n n n n ⎧+=⎪⇔+=⎨⎪+=⎩……（10分） 又20mod30n n n +=⇔=或2mod3，21mod52mod5n n n +=⇔=，243mod6710n n n +=⇔=或56mod67，故所求最小正整数77n =.…………（22分）11. 证明：由题设可证A ，B C ，D ，E ，F 六点共圆. …………（10分）不妨设圆半径为1，则有1(sin 2sin 2sin 2)2ABC S A B C ∆=++，1(sin sin sin )2DEF S A B C ∆=++. 由于sin 2sin 2sin 2A B C ++111(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)(sin 2sin 2)222A B B C C A =+++++ sin()sin()sin()sin()sin()sin()A B A B B C B C C A C A =+-++-++- sin()sin()sin()A B B C C A <+++++sin sin sin A B C =++∴ABC ∆的面积小于DEF ∆的面积. …………（22分）12. 解：把所有使得甲没有有获胜策略的初始火柴数目n 从小到大排序为：1n ，2n ，3n ，…，不难发现其前4项分别为2，3，5，8. 下面我们用数学归纳法证明：（1）{}i n 满足11i i i n n n +-=+；（2）当i n n =时，乙总可取到最后一根火柴，并且乙此时所取的火柴数目1i n -≤； （3）当1i i n n n +<<时，甲总可取到最后一根火柴，并且甲此时所取的火柴数目i n ≤. ……………………………………（10分） 设i k n n =-（4i ≥），注意到212ii i n n n --<<. 当12in k ≤<时，甲第一次时可取k 根火柴，剩余2i n k >根火柴，乙无法获胜. 当12ii n k n -≤<时，21i i n k n --<<，根据归纳假设，甲可以取到第k 根火柴，并且甲此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，乙无法获胜.当1i k n -=时，设甲第一次时取走m 根火柴，若m k ≥，则乙可取走所有剩小的火柴；若m k <，则根据归纳假设，乙总可以取到第k 根火柴，并且乙此时所取的火柴数目2i n -≤，剩余22i i n n ->根火柴，甲无法获胜.综上可知，11i i i n n n +-=+.因为100不在数列{}i n ，所以当100n =时，甲有获胜策略. …………（22分）2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试 题一、填空题（每小题8分，共64分）1．以X 表示集合X 的元素个数. 若有限集合C B A ,,满足20=B A ，30=C B ，40=A C ，则C B A 的最大可能值为 .2．设a 是正实数. 若R ∈++++-=x a ax x a ax x x f ，222252106)(的最小值为10，则=a .3．已知实系数多项式d cx bx ax x x f ++++=234)(满足2)1(=f ，4)2(=f ，6)3(=f ，则)4()0(f f +的所有可能值集合为 .4．设展开式2011)15(10≥+++=+n x a x a a x n n n ， . 若),,,m ax (102011n a a a a =，则=n .5．在如图所示的长方体EFGH ABCD -中，设P 是矩形EFGH 的中心，线段AP 交平面BDE 于点Q . 若3=AB ，2=AD ，1=AE ，则=PQ . 6．平面上一个半径r 的动圆沿边长a 的正三角形的外侧滚动，其扫过区域的面积为 . 7．设直角坐标平面上的点),(y x 与复数i y x +一一对应.若点B A ,分别对应复数1,-z z （R ∉z ），则直线AB 与x 轴的交点对应复数 （用z 表示）.8．设n 是大于4的偶数. 随机选取正n 边形的4个顶点构造四边形，得到矩形的概率为 .二、解答题（第9—10题每题22分，第11—12题每题21分，共86分） 9．已知数列}{n a 满足121==a a ，4121-++-=n n a a a （3≥n ），求n a 的通项公式.10．已知正整数n a a a ,,,21 都是合数，并且两两互素，求证：2111121<+++n a a a . 11．设c bx ax x f ++=3)(（c b a ,,是实数），当10≤≤x 时，1)(0≤≤x f . 求b 的最大可能值.12．设点)0,2()0,1()0,1(C B A ，，-，D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠，直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E . 求证：直线AD 与BE 的交点P 在直线21=x 上.第5题第6题解答1. 10.2. 2.3. {32}.4. 2413.5.417. 6. 2π46r ar +. 7. zz zz ++1. 8.)3)(1(3--n n .9．1221144n n n n a a aa a ---++=-=-1211112222n n n n n a a a a ----⎛⎫⇒-=-== ⎪⎝⎭11212122----=⇒==+=⇒n n n n n n n a n a a .10．设k a 的最小素因子k p ，因为k a 不是素数，所以2k k p a ≥. 于是211222211114(21)114(21)1111242nnk k k kn k nk a p k k n====≤≤+-≤+--=-<∑∑∑∑11．由(0)(1)f c f a b cf c ⎧=⎪⎪=++⎨⎪=⎪⎩可知。
2023全国高中数学联赛安徽省初赛试卷
2023全国高中数学联赛安徽省初赛试卷一、选择题1.下列四个数中，最小的是（）。
A. 0 B. -1 C. 1 D. -22.已知a、b为实数，且满足a^2 + b^2 = 1。
则a + b的取值范围是（）。
A. (-∞, ∞) B. [-∞, ∞] C. [-1, 1] D. (-1, 1)3.若曲线y = f(x)的图象在点(1, 3)处的切线方程是y = 2x + 1，则函数f(x)的解析式是（）。
A. f(x) = 2x + 1 B. f(x) = x + 1 C. f(x) = 2x - 1 D. f(x) = x - 14.在等腰三角形ABC中，角B的度数是60°，BC = 2。
若从点B向侧边AC作高BD，交边AC于点D，那么BD的长度为（）。
A. √3 B. 1 C. 1/√3 D. 2/√3二、填空题1.已知函数f(x) = (x + 1)e^x，则f(-1)的值为______。
2.若函数f(x) = log(a^2x + a^(2x+1))是定义在实数集上的函数，其中a为正实数，则a的取值范围是________。
3.在第一象限内，过点P(2, -3)且与直线2x - 3y + 4 =0垂直的直线方程为________。
4.设a为正实数，若二次函数f(x) = ax^2 - 2ax + a + 1对于任意x都恒大于0，则实数a的取值范围是________。
三、解答题1.设点P(x, y)在椭圆x^2/16 + y^2/4 = 1上，直线y = kx与椭圆交于A、B两点（其中A点在坐标原点的右侧），若A、B两点的横坐标之和为2，则k的取值范围是多少？2.已知数列{an}满足a1 = 3，an+1 = an - 2（n = 1，2，3，…），求a10的值。
3.在下图所示的直角梯形ABCD中，AB // CD，已知AB = 5，BC = 7，DE = 3，EF = 2，求CD的长度。
2022年安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同步满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里旳有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同旳集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
64862A B C D２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一种1203位旳正整数,由从100到500旳全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126旳余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上旳高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 旳通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成旳数列1.3.5.7……删去所有和55互质旳项之后,把余下旳各项按从小到大旳顺序排成一种新旳数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87则():A B =...A B C D 227.边长均为整数且成等差数列,周长为60旳钝角三角形一共有______________种.783660A B C D8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值旳最小正整数,则相应此n 旳n a 为9.若正整数n 正好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发旳三条棱1,,AB AD AA 旳长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体旳四条对角线1111,,,AC BD DB CA 旳长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 旳迭代旳函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩旳解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得旳旋转体旳体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重叠).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试拟定l 旳斜率旳取值范畴.2)设A 有关长轴旳对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点与否共线,并阐明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请阐明理由. 14.数列{}n x 由下式拟定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表达不不小于a 旳最大整数,即a 旳整数部分.)15. 设给定旳锐角ABC 旳三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定旳正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-旳最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 旳取值.安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题1.C.2.A.3.C.4.A.5.B6.D. 第1题解答过程 逐个元素考虑归属旳选择. 元素1必须同步属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一种，但不能同步属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同步不属于A ，也不能同步不属于B .因此4个元素满足条件旳选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.第2题解答过程 令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x . 从而 1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x . 答：A.第3解答过程注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 由于 0≡A （mod2）,）（）（）（）（）（005994201101001+++++++++++++++≡ A 500102101100++++≡ 2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 因此6≡A （mod18）. （1）又由于1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）,因此ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡ 6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ， ,3,2,1=n 因此499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯= A+-⨯++-⨯+-⨯+-⨯=）（）（）（）（1104974981101031041101011021101006118811941200 ）（499500497498103104101102100+++++ 2200499500101102100999999÷⨯+++=）（B 60060200100999999++=B60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.因此A 除以63旳余数为6.由于A 是偶数，因此A 除以126旳余数也为6. 答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为a bq -=旳等比数列旳前1+k 项和.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， 3,2,1=k .即 b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba)]1()()1([111+---++=++b b a a b a k k ])([12121b b a a ba k k ⋅--⋅+=++233])([1+++=--+=k k k u b a ba ， 3,2,1=k . 故答案为A.（易知其他答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=旳等比数列旳前1+k 项和，故 ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，,3,2,1=k . 于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ ,3,2,1=k . 因此答案为A. 第5题解答过程{}n a 可当作是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除旳项之后，把余下旳各项按从小至大顺序排成旳数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除旳项旳个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表达不不小于a 旳最大整数，即a 旳整数部分. 估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=，并且5519不是2，5，11旳倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可当作是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除旳项之后，把余下旳各项按从小至大顺序排成旳数列.由于2，5，11是质数，它们旳最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除旳数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±± ；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除旳数旳个数，等于1，2，3，…，110中与110互质旳数旳个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每持续110个整数，不能被2，5，11整除旳数均有40个.因此，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除旳数有20005040=⨯个.不小于5500中旳数不能被2，5，11整除旳，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….因此5519是第个不能被2，5，11整除旳数，亦即所求旳55192007=a . 答：B .第6题解答过程显然 287cos 127cos 123cos 12++++++=A5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=；287cos 127cos 123cos 12-++-+-=B5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2 --+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2 +--=θθθ,因此+-+-+-=⨯)5.4sin 5.6(sin )5.2sin 5.4(sin )5.0sin 5.2(sin 21sin 2A)5.42sin 5.44(sin -+ 22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=，+-+-+-=⨯)5.6cos 5.4(cos )5.4cos 5.2(cos )5.2cos 5.0(cos 21sin 2B )5.44cos 5.42(cos -+ 22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++= ，2B 5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，++++=+)5.3sin 5.3(cos )5.1sin 5.1(cos 22i i B iA )5.43sin 5.43(cos i ++∑=++=21)2sin 2(cos )5.1sin 5.1(cos k k i i)2sin 2(cos 1)2sin 2(cos 1)5.1sin 5.1(cos 22i i i +-+-+= )2sin 2(cos 1)44sin 44(cos 1)5.1sin 5.1(cosi i i +-+-+=1cos 1sin 21sin 222cos 22sin 222sin 2)5.1sin 5.1(cos 22i i i --+= )1sin 1)(cos 1sin 2()22sin 22)(cos 22sin 2)(5.1sin 5.1(cosi i i i i +-+-+==)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sini +. 由于2A 和2B是实数，因此 1sin 5.22cos 22sin 2=A ，1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====BAB A . 答：D. 第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .此外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检查),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程 注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cosπππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当083sin=πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 旳最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos2008-====ππx a a n . 答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数旳立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数旳乘积21p p （21,p p 为不同旳质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）； 73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8. 第10解答过程解：将向量1AA ，AB ，AD 分别记为a ，b ，c . 2==a 3==b 4==c ，且易见c b a AC ++=1， c b a C A ++-=1， c b a BD +-=1， c b a DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=22260cos )(2ca bc ab c b a +++++=ca bc ab c b a +++++=222244332432222⨯+⨯+⨯+++==55，故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33. 第11题解答过程 令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ， ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为⎪⎩⎪⎨⎧-+=+--+=+--+=+-)3.(1)1(33)3(2)2(,1)1(33)3(2)1(,1)1(33)3(2696969x z z y y x （1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=--=-)6).((3)(2)5(),(3)(2)4(),(3)(2696969y x x z x z z y z y y x因此)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 因此原方程组旳解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 第12题解答过程.以l T V -表达平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 旳中点，因此Q P ,分别是DM BN ,旳中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FNDF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得COQO CF DF V V V V l CQO l CDF l FOQD l NPQD ⨯⨯-⨯⨯=-==-∆-∆--223131ππ梯形平行四边形ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是y 旳一元二次方程，由鉴别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x OB OA ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ， 即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 旳斜率旳取值范畴为)53,53(-. 由于F (1,0),因此）（111,1y x FA --=，）（22,1y x FB -=，从而 12211221)3()3())(1()1(y my y my y x y x +++=---- 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与FB 共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 旳直线与Γ交于A 、B ，且A 有关长轴旳对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）旳证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重叠，从而直线AB 和1AB 重叠，就是AQ 与AP 重叠.因此P 与Q 重叠，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ， 3,2,1=n . 故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1 =n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .第15题解答过程证明：由于△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知222222222222)()()(z c b a y b a c x a c b -++-++-+)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求旳S 旳最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）yy AA 1B 1C 1D 1B CDABCD Q M P N O F E安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =旳图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =旳图象重叠，则（ ） （A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线旳距离之和为1旳点旳轨迹为（ ） （A ）椭圆（B ）双曲线旳一部分（C ）抛物线旳一部分（D ）矩形3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近旳是（ ）（A ）- （B ）-1（C ）1（D ）4.四周体旳6个二面角中至多也许有（ ）个钝角。
安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为( )()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( ) 4.在直角ABC V 中,90C ∠=o ,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则( )5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====L那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==L L 则():A B =7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a +=取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,fx f x f x f f x ==L()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14. 数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时, ,,x y z 的取值.2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题 . . . . . 第1题解答过程 逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A . 同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个. 答：C.第2题解答过程 令)110lg(+=-xy ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f . 令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故 0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ， 2lg 2=t ，解得 2lg 212==t x . 从而 1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x . 答：A.第3解答过程注意 972126⨯⨯=,2,7和9两两互质. 因为 0≡A （mod2）,500102101100++++≡Λ2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）. （1）又因为1103-≡，nn )1(103-≡（mod7）,所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）. 答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯=ΛA60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6. 答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(， Λ3,2,1=k .即 b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba233])([1+++=--+=k k k u b a ba ， Λ3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ， 215-=b . 显然k u 是首项为ka ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，Λ,3,2,1=k . 于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系 ,12k k k u u u +=++ Λ,3,2,1=k . 所以答案为A. 第5题解答过程{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分. 估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故 55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=55501+100+250+551-50=2007，并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a . 答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5 或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a . 答：B . 第6题解答过程 显然287cos 127cos 123cos 12οοοΛ++++++=AοοοοΛ5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=； οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=. 注意到)1sin()1sin(1sin cos 2οοο--+=θθθ， )1cos()1cos(1sin sin 2οοο+--=θθθ,所以)5.42sin 5.44(sin οο-+ οοοο22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=， )5.44cos 5.42(cos οο-+οοοο22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故οοοοοοο5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=. 答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++=Λ，2B οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，=)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sin οοοοi +. 因为2A 和2B是实数，所以οοο1sin 5.22cos 22sin 2=A ， οοο1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====οοοοοοοB A B A . 答：D. 第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a cb <+.易解得 b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形. 答：4.第8题解答过程 注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos)83sin 83(cosπππn i a n n =+=+ 83sin πn i . n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n . 答：-1. 第9题解答过程易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）； 35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8. 第10解答过程解：将向量1AA ，，分别记为，，. 2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1， c b a C A ++-=1， c b a BD +-=1， c b a DB -+=1.)(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++=244332432222⨯+⨯+⨯+++==55， 故551=AC . 类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33.答：55，19，15，33. 第11题解答过程 令tx =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n Λ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，Λ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ，Λ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得 所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ， 2261217=-x , 32331=-x , 31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x . 答：31323-===z y x . 第12题解答过程.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见οο3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FNDF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得 ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN . 又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=， 215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π：第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m . 这是y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则 4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ，得 016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ，即 0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ， 3252>m ， 253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x FA --=，）（22,1y x FB -=，从而 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my . ∴1FA 与共线， 即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+， 22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ，Λ3,2,1=n . 故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x . （*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1Λ=n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得 8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .第15题解答过程证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+. 因此，由平均不等式可知)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤ 222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.yyA A 1B 1C 1 DB CDABCD Q M PN OFE（第13题答图） （第10题答图） （第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ） （A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ） （A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分（C ）抛物线的一部分（D ）矩形3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++o o o L 最接近的是（ ） （A ）-2008 （B ）-1（C ）1（D ）20084.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。
2007-2016年安徽省高中数学竞赛初赛试题及标准答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ )个。
64862A B C D2.设函数()()lg 101x f x -=+，()()122x x f f --=方程的解为（ ) ()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从１０0到500的全体三位数按顺序排列而成那么Ａ除以126的余数是( ）4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D为垂足. ,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,k k k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则（ )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5．在正整数构成的数列1.3.５.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ，易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =.. .A B C D 22７.边长均为整数且成等差数列，周长为60的钝角三角形一共有＿＿＿___＿＿＿_____种.8.设2007n ≥,且n为使得nn a +=取实数值的最小正整数，则对应此n 的n a 为 783660A B C D9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,1０都是奇异数．那么在2７,42,６9，１1１,1２５,13７，３4３,８９９,３５9９,７999这10个数中奇异数有_______＿______＿______个.10．平行六面体1111ABCD A B C D -中，顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序）分别为__＿＿___＿______＿____11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x == ()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n ＝2，3,4… 设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为＿____＿_＿_＿＿___＿_＿１2.设平行四边形ABCD 中,4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为________＿_____＿三．解答题1３.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1）若AOB ∠为钝角或平角（O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题２)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.1４． 数列{}n x 由下式确定: 112,1,2,3,,121n n n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxy p x y z ++=其中p 为给定的正实数，试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当。
安徽省高中数学竞赛初赛试题及答案详解
2007年安徽省高中数学竞赛初赛试题一.选择题1.如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4A B =U {}1A B =I ,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。
２.设函数()()lg 101x f x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++ 3.设100101102499500A =L 是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是()4.在直角ABC V 中,90C ∠=o ,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}k u 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=L L 则()5.……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}n a ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====L 那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 95976.设A B ==L L 则():A B =7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的n a 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个. 10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60o 那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==L()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====L 其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD 绕直线AC 旋转所得的旋转体的体积为_______________三．解答题13.已知椭圆22412:3y x +=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A B Γ过且与交于两点(可以重合). 1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点),4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线请说明理由. 14.数列{}n x 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+L ,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a 的整数部分.)15.设给定的锐角ABC V 的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p 为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s 取此最大值时,,,x y z 的取值.2007年安徽省高中数学竞赛初赛答案一、 选择题A.3.C.4.A.第1题解答过程逐个元素考虑归属的选择. 元素1必须同时属于A 和B .元素2必须至少属于A 、B 中之一个，但不能同时属于A 和B ，有2种选择：属于A 但不属于B ，属于B 但不属于A .同理，元素3和4也有2种选择.但元素2，3，4不能同时不属于A ，也不能同时不属于B .所以4个元素满足条件的选择共有62222=-⨯⨯种.换句话说，“好集对”一共有6个.答：C.第2题解答过程令)110lg(+=-x y ，则0>y ，且y x 10110=+-，11010-=-y x ，)110lg(-=-y x ，)110lg(--=y x .从而)110lg()(1--=-x x f.令t x =2，则题设方程为)()(1t ft f -=-，即)110lg()110lg(--=+t t ，故0)]110)(110lg[(=-+t t ，1)110)(110(=-+t t ，2102=t ，2lg 2=t ，解得2lg 212==t x .从而1)2(lg log )2lg 21(log 22-==x .答：A. 第3解答过程注意972126⨯⨯=,2,7和9两两互质.因为0≡A （mod2）, 500102101100++++≡Λ2401500100÷⨯+≡）（6120300≡≡（mod9）, 所以6≡A （mod18）.（1） 又因为1103-≡，nn)1(103-≡（mod7）,所以ii i A 3400010)500(⨯-=∑=ii i ）（1)500(4000-⨯-≡∑=100)101102()495496()497498()499500(+-++-+-+-≡Λ6300≡=（mod7）.(2)，（1），（2）两式以及7和18互质，知6≡A （mod126）.答：C.另解：632126⨯=，99999963，1109999996-=，）（）（11011066--n ，Λ,3,2,1=n 所以499500104974981010310410101102101006118811941200+⨯++⨯+⨯+⨯=ΛA60060300999999+=B 60360999999+=C ，其中B ，C 为整数.从而6036063+=D A 663+=E ，其中D ，E 为整数.所以A 除以63的余数为6.因为A 是偶数，所以A 除以126的余数也为6.答：C. 第4解答过程易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，1)1(=-a a ，012=--a a ；1)1(=+b b ，012=++b b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和.故ba b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(，Λ3,2,1=k .即b a b a b a b a u u k k k k k k +--++--=++++++22111)()(])()([11212++++----++=k k k k b b a a ba233])([1+++=--+=k k k u b a ba ，Λ3,2,1=k . 故答案为A.（易知其余答案均不成立）另解：易见BD AD CD ⋅=2，即ab b a =-2）（，又已知1=-b a ，故1=ab ，51414)((222=⨯+=+-=+ab b a b a ），5=+b a .解得215+=a ，215-=b .显然k u 是首项为k a ，公比为abq -=的等比数列的前1+k 项和，故b a b a q q a u k k k k k +--=--=+++111)(1)1(])251()251[(5111++--+=k k ，Λ,3,2,1=k .于是数列{}k u 就是斐波那契数列1，2，3，5，8，13，21，…，它满足递推关系,12k k k u u u +=++Λ,3,2,1=k .所以答案为A. 第5题解答过程{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.由三阶容斥原理，1，2，3，4，…，m 中不能被2，5或11整除的项的个数为⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1101022551152m m m m m m m m x m ， 其中⎣⎦a 不表示不大于a 的最大整数，即a 的整数部分.估值：设11010225511522007m m m m m m m m x m -+++---≈=)1111)(511)(211(---⨯=m 11105421⨯⨯⨯=m m 114=，故55194112007≈⨯≈m . 又因⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢+⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-⎥⎦⎥⎢⎣⎢-=1105519105519225519555519115519555192551955195519x=5519-2759-1103-501+100+250+551-50=2007， 并且5519不是2，5，11的倍数，从而知55192007=a .答：B.又解：{}n a 可看成是在正整数数列1，2，3，4，5，6，7，…中删去所有能被2，5或11整除的项之后，把余下的各项按从小至大顺序排成的数列.因为2，5，11是质数，它们的最小公倍数为110.易见，-54，-53，…，0，1，2，3，…，55中不能被2，5，11整除的数为，，；，，，17139731±±±±±±，；2119±±；，，292723±±±，，，；，，474341393731±±±±±±535149±±±，；,共40个.（或由欧拉公式，1，2，3，…，110中不能被2，5，11整除的数的个数，等于1，2，3，…，110中与110互质的数的个数，等于401111511211110110=-⨯-⨯-⨯=∅）（）（）（）（.） 显然1，2，3，…中每连续110个整数，不能被2，5，11整除的数都有40个.所以，1，2，3，…，550050110=⨯中，不能被2，5，11整除的数有20005040=⨯个.大于5500中的数不能被2，5，11整除的，是5500+1，5500+3，5500+7，5500+9，5500+13，5500+17，5500+19，….所以5519是第2007个不能被2，5，11整除的数，亦即所求的55192007=a .答：B. 第6题解答过程显然287cos 127cos 123cos 12οοοΛ++++++=AοοοοΛ5.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos ++++=； οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=.注意到)1sin()1sin(1sin cos 2οοο--+=θθθ，)1cos()1cos(1sin sin 2οοο+--=θθθ,所以)5.42sin 5.44(sin οο-+οοοο22sin 5.22cos 25.0sin 5.44sin =-=， )5.44cos 5.42(cos οο-+οοοο22sin 5.22sin 25.44cos 5.0cos =-=.故οοοοοοο5.22cot )22sin 5.22sin 2(:)22sin 5.22cos 2()21sin 2(:)21sin 2(:==⨯⨯=B A B A12+=.答：D.另解：2A 00005.43cos 5.5cos 5.3cos 5.1cos +++++=Λ，2B οοοοΛ5.43sin 5.5sin 5.3sin 5.1sin ++++=，=)5.22sin 5.22(cos 1sin 22sin οοοοi +. 因为2A 和2B是实数，所以οοο1sin 5.22cos 22sin 2=A ，οοο1sin 5.22sin 22sin 2=B , 122222222145sin 45cos 15.22cos 5.22sin 25.22cos 25.22sin 5.22cos 2:2:2+=+=+=+====οοοοοοοB A B A . 答：D.第7解答过程解：设△ABC 三边长c b a ,,为整数，c b a c b a c b a ,,,,60≥≥=++成等差数列，A ∠为钝角，则必有c a b +=2，222a c b <+.易解得b b b c a b c b a 32)(60=+=++=++=，40,20=+=c a b ；222c a b -<))((c a c a -+=，即c a c a -<-<10),(40202.因此a a c a c a <=-++<25,2)()(50，即26≥a .另外，29,30,260,≤<=+>++=>+a a a a a c b a a c b .易检验),,(c b a)11,20,29(),12,20,28(),13,20,27(),14,20,26(=都是钝角三角形.答：4.第8题解答过程注意到22-=x ，22+=y 满足4)22()22(22=++-=+y x ，0,>y x ，故可令θcos 2=x ，θsin 2=y ，0＜θ＜2π.从而22cos 42-=θ，-2cos 422-=θ，-θπθ2cos 43cos 1cos 2222==-=，故83πθ=，83cos )83sin 83(cos πππn i a n n =+=+ 83sinπn i .n a 取实数，当且仅当083sin =πn ，当且仅当k n 8=，∈k Z.满足此条件且2007≥n 的最小正整数n 为2008，此时1753cos 820083cos 2008-====ππx a a n .答：-1.第9题解答过程 易见奇异数有两类：第一类是质数的立方3p （p 是质数）；第二类是两个不同质数的乘积21p p （21,p p 为不同的质数）.由定义可得3327=是奇异数（第一类）；73242⨯⨯=不是奇异数；23369⨯=是奇异数（第二类）； 373111⨯=是奇异数（第二类）；35125=是奇异数（第一类）；137是质数，不是奇异数；37343=是奇异数（第一类）；221301900899-=-=）（130+=2931130⨯=-）（是奇异数（第二类）； ）（16016013600359922+=-=-=5961160⨯=-）（是奇异数（第二类）； 42119)12020)(120(120180007999233⨯=++-=-=-=是奇异数（第二类）.答：8. 第10解答过程解：将向量1AA ，，分别记为，，.2==a 3==b 4==c ，且易见AC ++=1，A ++-=1，BD +-=1，DB -+=1.所以)(2)(2222⋅+⋅+⋅+++=++=244332432222⨯+⨯+⨯+++==55，故551=AC .类似地，可算得，191=BD ，151=DB ，271=CA =33. 答：55，19，15，33. 第11题解答过程令t x =-3，易见3+=t x ，323)3(232)(+=-+=-=t t x x f ，)32(2)()2(+=t x f 3-32)(,,32)(2+=+=t x f t n n Λ；令s y =+1，易见1-=s y ，2)1(323)(+-=+=s y y g 13-=s ，Λ,132)13(3)(2)2(-=+-=s s y g ，13)()(-=s y g n n ，Λ,3,2,1=n .因此，题设方程组可化为（1）-（2），（2）-（3），（3）-（1）得所以)()23()()23()(2339629696y x x z z y y x -=-=-=-⇒00=-⇒=-z y y x z y x ==⇒.代入（1）得1)1(33)3(269-+=+-x x ，1)1(7293)3(512-+=+-x x ，7287291533512+=-x x ，2261217=-x ,32331=-x ,31323-=x . 所以原方程组的解为31323-===z y x .答：31323-===z y x .第12题解答过程.以l T V -表示平面图形T 绕直线l 所得旋转体体积.记直线AC 为l ，作l DN BM ⊥,，交l 于F E ,，分别交CD ，AB 于N M ,.过O 作l PQ ⊥，分别交CD AB ,于Q P ,.由于O 是BD 的中点，所以Q P ,分别是DM BN ,的中点.由对称性，易见所求旋转体体积为)(2l NPQD l ADN l ABCD V V V V --∆-+==平行四边形平行四边形.由于2324===AD BD AB ，，，易见οο3090=∠=∠DBA ADB ，，73422=+=+=DO AD AO ，72=AC .显然CAB DCA DAC ∠=∠>∠，FN DF >.且21727322==⨯==∆AO DO AD AO S DF ADO ，74716712422==-=-=DF AD AF .从而由圆锥体积公式得ππππ749167716747123312==⨯⨯=⨯⨯⨯==-∆-∆AF DF V V l ADF l ADN .又71074147472=-=-=-=AF AC CF ，7==AO CO ，QO DF CO CF ::=，215171021727=÷⨯=⨯=CF DF CO QO .从而由圆锥体积公式得 ππππ71225657122534310007)2574940(7)72521710712(3=-⨯=-=⨯-⨯=.从而17573021225105772)12256574916(72)7122565774916(2πππππ=⨯=+=+=V . 答：所求体积为1757302π： 第13题解答过程解：I ）可设l ：4+=my x ，与Γ联立得03624)43(22=+++my y m .这是 y 的一元二次方程，由判别式0≥∆解得42≥m .记）（11,y x A ，）（22,y x B ，则4324221+-=+m m y y ，4336221+=m y y . 由题设条件，02121<+=⋅y y x x ，即0)4)(4(2121<+++y y my my ， 得016)(4)1(21212<++++y y m y y m ，即016432444336)1(222<++-⋅++⋅+m mm m m ， 即0)43(424)1(9222<++-+m m m .得02532<+-m ，3252>m ，253)1(2<m ，5353<<-m . 故l 的斜率的取值范围为)53,53(-. 因为F (1,0),所以）（111,1y x --=，）（22,1y x -=，从而 04324343362)(32222121=+-⋅++⋅=++=m mm m y y y my .∴1FA 与FB 共线，即1A 与F 、B 三点共线.III ）假设4≠q ，过)0,(q Q 的直线与Γ交于A 、B ，且A 关于长轴的对称点为1A ，如果1A 、F 、B 三点共线.我们另取点)0,4(P .设直线AP 与Γ交于1B ，那么如II ）的证明，1A 、F 、B 三点必共线.故B 与1B 重合，从而直线AB 和1AB 重合，就是AQ 与AP 重合.所以P 与Q 重合，4=q ，与假设矛盾.这就是说，4≠q 时，三点1A 、F 、B 不能共线. 第14题解答过程 14.解：n n n n n x x x x x 1212121+=+=+，22211441nn n x x x ++=+，)1(4112221+=-+n nn x x x ，Λ3,2,1=n . 故∑∑==++=-20061220061221)1(4)11(n n n nn x x x，亦即80244112006122122007∑=+=-n n x x x ， 由11=x 得80254120061222007∑=+=n n x x .（*）由于112121<+=+n n n x x x ，,,3,2,1Λ=n 且显然0>n x ，故{}n x 是递减数列，且 31122112=+=x x x ，11319231122223=+=+=x x x ， 故∑∑==++=2006322200612)31(1n n n nx x 15120041219911)113(911200632<⨯++=++<∑=n ，由（*）式得8629802515141802522007=+⨯<<x ，,802518629122007<<x 80251lglg 86291lg 22007<<x ， 8025lg lg 28629lg 2007-<<-x ，3lg 242007-<<-x ，23lg 22007-<<-x ，∴⎣⎦2lg 2007-==x k .第15题解答过程证明：因为△ABC 是锐角三角形，其三边c b a ,,满足0,,>c b a ，以及222222222,,,,,c b a b a c a c b c b a b a c b c b >+>+>+>+>+>+.因此，由平均不等式可知)()(21)()(21)()(21222222222222222222222222xy y x z c b a z x x z y b a c y z z y x a c b +-+++-+++-+≤222222222222zy x c y x z b x z y a ++=)(2)(2222abz cay bcx z cxy y bzx x ayz ++-++=， 从而22222222222)(])[(])[(])[(P zcxy y bzx x ayz z c b a y b a c x a c b =++≤-++-++-+， 亦即2)(P S c b a ≤++，cb a P S ++≤2.上式取等式当且仅当222z y x ==，亦即===z y x cb a P++.因此所求的S 的最大值为c b a P ++2，当S 取最大值时，===z y x cb a P++.（第13题答图）（第10题答图）（第12题答图）2008年安徽高中数学竞赛初赛试题一、选择题1.若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（） （A ）()()1g x f x -=- （B ）()()1g x f x -= （C ）()()1g x f x -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（）（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++o o o L 最接近的是（） （A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（）个钝角。
2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题Word版含答案
2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题第Ⅰ卷（共64分）一、填空题（每题8分，满分64分，将答案填在答题纸上）1.设三个复数1，i ，z 在复平面上对应的三点共线，且5z =，则z = ．2.设n 是正整数，且满足5438427732293n =，则n = ．3.函数()()()()sin 2sin 3sin 4f x x x x =++的最小正周期= ．4.设点P ，Q 分别在函数2x y =和2log y x =的图象上，则PQ 的最小值= ．5.从1,2,,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差21s ≤的概率= ．6.在边长为1的正方体1111ABCD A B C D -内部有一小球，该小球与正方体的对角线段1AC 相切，则小球半径的最大值= ．7.设H 是ABC ∆的垂心，且3450HA HB HC ++=，则cos AHB ∠= ．8.把21,2,,n 按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格n T ，第一行是1,2,,n .例如：3123894765T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.设2018在100T 的第i 行第j 列，则(),i j = ．第Ⅱ卷（共86分）二、解答题 （本大题共4小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）9. 如图所示，设ABCD 是矩形，点E ，F 分别是线段AD ，BC 的中点，点G 在线段EF 上，点D ，H 关于线段AG 的垂直平分线l 对称.求证：3HAB GAB ∠=∠.10. 设O 是坐标原点，双曲线2222:1x y C a b-=上动点M 处的切线交C 的两条渐近线于A ，B 两点.（1）求证：AOB ∆的面积S 是定值；（2）求AOB ∆的外心P 的轨迹方程.11. （1）求证：对于任意实数x ，y ，z 都有)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）是否存在实数k >x ，y ，z 下式恒成立？()22223x y z k xy yz zx ++≥++试证明你的结论.12. 在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.2020年全国高中数学联赛安徽赛区初赛试题参考答案一、填空题1.43i -或34i -+2.2133.2π4.()1ln ln 22ln 2+ 5.115 6.465- 7.66- 8.()34,95二、解答题9.解：由E ，F 分别是AD ，BC 的中点，得//EF AB AD ⊥.设P 是E 关于l 的对称点，则//EP AG l ⊥，故四边形AEPG 是等腰梯形. 进而PAG EGA GAB ∠=∠=∠，APG GEA ∠=∠，从而AP HG ⊥.再由HP DE EA PG ===，得HAP PAG GAB ∠=∠=∠.因此3HAB GAB ∠=∠.10.解：（1）()00,M x y 处的切线方程00221x x y y a b -=. 与渐近线方程联立，得()110000,,a b A x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪++⎝⎭，()220000,,a b B x y x y x y a b a b ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪--⎝⎭. 从而，122112S x y x y ab =-=是定值. （2）由（1）可设(),A a b λλ，,a b B λλ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),P x y ，λ为非零常数.由PA PO PB ==，得()()222222a b x a y b x y x y λλλλ⎛⎫⎛⎫-+-=+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 从而有()222ax by a b λ+=+，()2212ax by a b λ-=+. 上述两式相乘，得P 的轨迹方程为()222222214a xb y a b -=+.11.解：（1）由均值不等式，221322x y +≥，221322x z +≥，221322y z +≥.故)22223x y z xy yz zx ++≥++.（2）()222222222232322442k k k k k x y z k xy yz zx x y z y z k yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++=--+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭上式0≥恒成立当且仅当2204k -≥且2222423244k k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≤-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.化简得k ≤326240k k -+≥.显然，2k =>. 12.设N 是此图形中三边颜色都相同的三角形数目，M 是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目，i x 是以第i 个顶点为端点的红色线段数目，则有32018M N C +=，()2018120172i ii x x M =-=∑. 当且仅当每个1008i x =或1009时，N 取得最小值32320181009100910082C C -⨯=.310092N C =是可以取到的，例如把线段()mod201812018,1504i i j i j →±≤≤≤≤染成红色，其它线段染成蓝色.。
高中数学竞赛初赛试题(含答案)
高中数学竞赛初赛试题一 选择题1. 如果集合.A B 同时满足{}1.2.3.4AB ={}1A B =,{}{}1,1A B ≠≠就称有序集对(),A B 为“好集对”。
这里的有序集对(),A B 意指当A B ≠，()(),,A B B A 和是不同的集对，那么“好集对”一共有（）个64862ABCD２.设函数()()lg 101xf x -=+,()()122x x f f --=方程的解为()()()()()2222.log lg21.lg log 101.lg lg21.log log 101A B C D --++3.设100101102499500A =是一个1203位的正整数,由从100到500的全体三位数按顺序排列而成那么A 除以126的余数是( )4.在直角ABC 中, 90C ∠=,CD 为斜边上的高,D 为垂足.,,1AD a BD b CD a b ===-=.设数列{}ku 的通项为()1221,1,2,3,,kk k k k k u a a b a b b k --=-+-+-=则( )2008200720062008200720062008200720082007 2007200820082007.. .. u u u u u u u u u u A B C D =+=-==5.在正整数构成的数列1.3.5.7……删去所有和55互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新的数列{}na ,易见123451,3,7,9,13a a a a a =====那么2007____________a =192759.. 55 .. A B C D 2831 959778366ABCD6.设A B ==1+cos871-cos87 则():A B =...A B C D 22二.填空题7.边长均为整数且成等差数列,周长为60的钝角三角形一共有______________种. 8.设2007n ≥,且n为使得nn a =取实数值的最小正整数,则对应此n 的na 为9.若正整数n 恰好有4个正约数,则称n 为奇异数,例如6,8,10都是奇异数.那么在27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999这10个数中奇异数有_____________________个.10.平行六面体1111ABCD A B C D -中,顶点A 出发的三条棱1,,AB AD AA 的长度分别为2,3,4,且两两夹角都为60那么这个平行六面体的四条对角线1111,,,AC BD DB CA 的长度(按顺序)分别为___________________ 11.函数()(),f x g x 的迭代的函数定义为()()()()()()()12,,f x f x f x f f x ==()()()()()()()()()()()()()()()()()1121,,,n n n n f x f f x g x g x g x g g x g x g g x --====其中n =2,3,4…设()()23,32f x x g x x =-=+,则方程组()()()()()()()()()()()()969696f x g y f y g z f z g x ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩的解为_________________12.设平行四边形ABCD中，4,2,AB AD BD ===则平行四边形ABCD绕直线AC旋转所得的旋转体的体积为_______________ 三解答题 13.已知椭圆22412:3y x+=Γ和点(),0,Q q 直线,l Q A BΓ过且与交于两点(可以重合).1)若AOB ∠为钝角或平角(O 为原点), 4,q =试确定l 的斜率的取值范围.2)设A 关于长轴的对称点为1A ,,4,F q =为椭圆的右焦点试判断1,A F B 和三点是否共线,并说明理由.3)问题2)中,若14,,,q A F B ≠那么三点能否共线?请说明理由.14. 数列{}nx 由下式确定:112,1,2,3,,121nn n x x n x x +===+,试求[]20072007lg lg .x k x =整数部分(注[]a 表示不大于a 的最大整数,即a的整数部分.)15. 设给定的锐角ABC的三边长,,,,,a b c x y z 正实数满足,ayz bzx cxyp x y z++=其中p为给定的正实数,试求()()()222s b c a x c a b y a b c z =+-++-++-的最大值,并求出当s取此最大值时, ,,x y z 的取值.安徽省高中数学联赛初赛试题 一、选择题1. 若函数()y f x =的图象绕原点顺时针旋转2π后，与函数()y g x =的图象重合，则（ ）（A ）()()1g x fx -=- （B ）()()1g x f x -=（C ）()()1g x fx -=--（D ）()()1g x f x -=-2.平面中，到两条相交直线的距离之和为1的点的轨迹为（ ）（A ）椭圆 （B ）双曲线的一部分 （C ）抛物线的一部分 （D ）矩形 3.下列4个数中与cos1cos2cos2008+++最接近的是（ ）（A ）-2008 （B ）-1 （C ）1 （D ）2008 4.四面体的6个二面角中至多可能有（ ）个钝角。