上海市各区2018届高三数学(理科)一模试题分类汇编：三角函数精品

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上海市黄浦区2018届高三一模数学试卷及答案解析.pdf

，A（﹣1.1）=﹣1．若 A（2x•A（x））=5，则正实数 x 的取
第 1页（共 18页）
值范围是
．
12．（3 分）已知点 M（m，0），m＞0 和抛物线 C：y2=4x．过 C 的焦点 F 的直线
与 C 交于 A，B 两点，若 =2 ，且| |=| |，则 m=
．
二、选择题（本大题共有 4 题，满分 12 分．） 13．（3 分）若 x∈R，则“x＞1”是“ ”的（）
（用符
号“＜“连接起来）．
10．（3 分）已知点 O，A，B，F 分别为椭圆
的中心、左
顶点、上顶点、右焦点，过点 F 作 OB 的平行线，它与椭圆 C 在第一象限部分交
于点 P，若
，则实数λ的值为
．
11 ．（ 3 分）已知 x∈R ，定义： A （ x ）表示不小于 x 的最小整数．如
18．（12 分）如图，已知点 A 是单位圆上一点，且位于第一象限，以 x 轴的正半轴为始边，OA 为终边的角设为α，将 OA 绕坐标原点逆时针旋转至 OB．（1）用α表示 A，B 两点的坐标；（2）M 为 x 轴上异于 O 的点，若 MA⊥MB，求点 M 横坐标的取值范围．
19．（14 分）已知函数 g（x）=
∴| ﹣ |=
≥| |﹣1=
﹣1= ﹣1，
∴| ﹣ |的最小值为 ﹣1
8．（3 分）已知函数 y=f（x）是奇函数，且当 x≥0 时，f（x）=log2（x+1）．若函数 y=g（x）是 y=f（x）的反函数，则 g（﹣3）= ﹣7 ．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性． ∴g（﹣3）=﹣g（3）， ∵反函数的定义域是原函数的值域， ∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即 g（3）=7，故得 g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．

(最新整理)2018高三“一模”数学试题汇编(函数)

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2018上海各区高三“一模”数学试题分类(函数）一、填空题： 1．若全集，集合，则U R ={}02A x x x =≤≥或U C A = 2．设集合，,则{2,3,4,12}A ={}0,1,2,3B =A B = 3．已知集合，，若，则{}1,2,5A ={}2,B a ={}1,2,3,5A B = a =4．已知全集，集合，集合，则U N ={}1,2,3,4A ={}3,4,5B =()U C A B = 5．设全集，集合，，则U Z ={}1,2M ={}2,1,0,1,2P =--()U P C M = 6．已知函数，，若，则实数{}2,3A ={}1,2,B a =A B ⊆a =7．已知集合,，则{}03A x x =<<{}24B x x =≥A B = 8．已知集合,，若，则实数{}1,2,A m ={}3,4B ={}3A B = m =9．函数的定义域是()lg(2)f x x =-10．函数的定义域为()f x =11．若行列式，则 124012x -=x =12．不等式的解为 10x x-<13．不等式的解集是 11x<14．不等式的解集是 211x x +>+15．不等式的解集是 2433(1)12(2x x x --->16．不等式的解集为 111x ≥-17．已知是定义在上的奇函数，则()f x R (1)(0)(1)f f f -++=18．已知函数的反函数为，则()21f x x =-1()f x -1(5)f -=19．若函数的反函数的图像经过点，则 ()f x x α=11(,)24a =20．方程的解222log (2)log (3)log 12x x -+-=x =21．已知函数的反函数为，则,则实数2()log ()f x x a =+1()y f x -=1(2)1f -=a =22．已知函数是奇函数，当时,，且，则()y f x =0x <()2x f x ax =-(2)2f =a =23．已知函数，是函数的反函数，若的图像()1log a f x x =+1()y f x -=()y f x =1()y f x -= 过点，则实数的值是(2,4)a 24．已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，()f x R 4[2,4]x ∈43()log ()2f x x =- 则 1(2f =25．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若，()y f x =R [0,)+∞(1)(4)f a f +≤ 则实数的取值范围是a 26．已知，函数在区间上有最小值,且有最大值为13a >()lg(1)f x x a =-+[0,31]a -0，则实数的取值范围是lg(1)a +a 27．若不等式对任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 1(1)(1)31n na n +--⋅<++n a 28．若不等式对满足的任意实数恒成立，则实数的最大值222()x y cx y x -≤-0x y >>,x y c 为29．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是()21f x x x a =--a 30．已知函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩a 31．定义，已知函数、的定义域都是，则下列四个命题中为,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩()f x ()g x R 真命题的是（写出所有真命题的序号)①若、都是奇函数，则函数为奇函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ②若、都是偶函数，则函数为偶函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ③若、都是增函数,则函数为增函数；()f x ()g x ((),())F f x g x ④若、都是减函数，则函数为减函数。

专题10 三角函数综合-2018年上海高考理科数学模拟题分类汇编

专题10 三角函数综合【母题原题1】【2018上海卷，18】设常数a R ∈，函数f x （）22?asin x cos x =+ （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解。

【答案】(1);(2)或或.【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，（2）先求出a 的值，再根据三角形函数的性质即可求出．【详解】∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【点睛】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．【母题原题2】【2017上海卷，18】已知函数，.（1）求的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边，角B所对边，若，求△ABC的面积. 【答案】（1）;（2）若，即有解得，即由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc cos A，化为c2﹣5c+6=0，解得c =2或3，若c =2，则即有B 为钝角，c =2不成立，则c =3，△ABC 的面积为【母题原题3】【2017上海卷，11】设、，且，则的最小值等于________ 【答案】【命题意图】高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查三角函数的性质（周期性、奇偶性、对称性、单调性、最值等），体现数形结合的思想，函数与方程的思想等的应用，均可能出现填空题与解答题中，难度中低档为主，主要有两种考查题型：（1）根据三角函数的解析式确定其性质；（2）根据三角函数的性质求相关的参数值（或取值范围）．【命题规律】1. 高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2. 高考中主要涉及如下题型：(1) 考查周期、单调性、极值等简单性质；(2) 考查与三角函数有关的零点问题；(3) 考查图象的识别．【方法总结】1.根据函数的图象确定函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>中的参数主要方法：（1）A ，B 主要是根据图象的最高点或最低点的纵坐标确定，即2A -=最大值最小值，2B +=最大值最小值；（2）ω的值主要由周期T 的值确定，而T 的值的确定主要是根据图象的零点与最值点的横坐标确定；（3）ϕ值的确定主要是由图象的特殊点（通常优先取非零点）的坐标确定．2.在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．“先平移，后伸缩”主要体现为由函数sin y x =平移得到函数()sin y x ϕ=+的图象时，平移ϕ个长度单位；“先伸缩，后平移” 主要体现为由函数()sin y x ω=平移得到函数()sin y x ωϕ=+的图象时，平移ϕω个长度单位． 3. 利用函数图象处理函数的零点（方程根）主要有两种策略：（1）确定函数零点的个数：利用图象研究与x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断；（2）已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围：通常也转化为两个新函数的交点，即在同一坐标系中作出两个函数的图象，通过观察它们交点的位置特征建立关于参数的不等式来求解． 4. 求解三角函数的周期性的方法：（1）求三角函数的周期，通常应将函数式化为只有一个函数名，且角度唯一，最高次数为一次的形式，然后借助于常见三角函数的周期来求解．（2）三角函数的最小正周期的求法有：①由定义出发去探求；②公式法：化成sin()y A x ωϕ=+，或tan()y A x ωϕ=＋等类型后，用基本结论2||T πω=或||T πω=来确定；③根据图象来判断． 5. 求解三角函数的单调性的方法：（1）三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．（2）已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法：①子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；[ ②反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解．6. 求解三角函数的奇偶性的策略：（1）判断函数的奇偶性，应先判定函数定义域的对称性，注意偶函数的和、差、积、商仍为偶函数；复合函数在复合过程中，对每个函数而言，“同奇才奇、一偶则偶”．一般情况下，需先对函数式进行化简，再判断其奇偶性；（2）两个常见结论：①若函数()()sin f x A x ωϕ=+为奇函数，则()k k Z ϕπ=∈；若函数()()sin f x A x ωϕ=+为偶函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；②若函数()()cos f x A x ωϕ=+为奇函数，则()2k k Z πϕπ=+∈；若函数()()cos f x A x ωϕ=+为偶函数，则()k k Z ϕπ=∈．7. 求解三角函数对称性的方法：（1）求函数sin()y A x ωϕ=+的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由sin y x =的对称中心是(0)k π，，k ∈Z ，所以sin()y A x ωϕ=+的中心，由方程x k ωϕπ+=解出x 即可；②因为sin y x =的对称轴是2x k ππ=+，k ∈Z ，所以可由2x k πωϕπ+=+解出x ，即为函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴；注意tan y x =的对称中心为1(,0)()2k k Z π∈；（2）对于函数sin()y A x ωϕ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验()0f x 的值进行判断． 8. 求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型及求解策略：（1）形如sin cos y a x b x k =++的三角函数化为sin()y A x k ωϕ=++的形式，再利用正弦曲线的知识求最值(值域)；（2）形如2sin sin y a x b x k =++的三角函数，可先设sin x t =，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；（3）形如()sin cos sin cos y a x x b x x c =+±+的三角函数，可先设sin cos t x x =±，化为关于t 的二次函数求值域(最值).1．【上海市浦东新区2018届三模】设函数的图象为，下面结论中正确的是（）A ．函数的最小正周期是B ．图象关于点对称C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ．函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】试题分析：的最小正周期，∵，∴图象关于点对称，∴图象可由函数的图象向右平移个单位得到，函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减.考点：三角函数图象、周期性、单调性、图象平移、对称性.2．【上海市十二校2018届高三联考】已知函数()sincos 212cos2x x f x xωωω=(0)ω>， x R ∈，若函数()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围为（）A ． 10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ． 50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ． ][150,,148⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭ D ． ][1150,,848⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】D本题选择D 选项.点睛：重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 3．【上海市浦东新区2018届高三三模】已知的三边成等比数列,所对的角分别为,则的取值范围是_________.【答案】.【解析】【分析】【点睛】本题考查等比中项的定义和余弦定理、基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．4．【上海市大同中学2018届高三三模】若，，，满足：，，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】首先对所给的方程进行恒等变形，然后结合函数的单调性和角度的范围求得的值，然后求解三角函数值即可.【详解】∵，∴(−2β)3−2sinβcosβ−2λ=0，即(−2β)3+sin(−2β)−2λ=0.由可得.故−2β和是方程x3+sinx−2λ=0的两个实数解.再由，，，所以和的范围都是，由于函数x3+sinx在上单调递增，故方程x3+sinx−2λ=0在上只有一个解，所以，，∴，则的值为.【点睛】本题主要考查函数的单调性，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．【上海市2018年5月高考模拟】已知为常数），若对于任意都有，则方程在区间内的解为__________【答案】或【解析】【分析】由，可知是函数的最小值，利用辅助的角公式求出的关系，然后利用三角函数的图象和性质进行求解即可.【详解】则，由，解得，即，，当时，，当时，，故或，故答案为或.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，以及辅助角公式的应用，属于难题.利用该公式() 可以求出:①的周期;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域（）；④对称轴及对称中心（由可得对称轴方程，由可得对称中心横坐标.6．【上海市浦东新区2018届高三三模】若的图像的最高点都在直线上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为.(1)求和的值：(2)在中，分别是的对边,若点是函数图像的一个对称中心,且,求外接圆的面积.【答案】(1) .(2) .【解析】【分析】【点睛】本题考查了二倍角的正弦函数公式，以及正弦定理的应用，熟练掌握公式是解本题的关键，是中档题．7．【上海市大同中学2018届高三三模】如图一块长方形区域，，，在边的中点处有一个可转动的探照灯，其照射角始终为，设，探照灯照射在长方形内部区域的面积为.（1）当时，求关于的函数关系式；（2）当时，求的最大值；（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（自转到，再回到，称“一个来回”，忽略在及处所用的时间），且转动的角速度大小一定，设边上有一点，且，求点在“一个来回”中被照到的时间.【答案】(1)见解析;(2);(3)2分钟.【解析】【分析】（1）由题意结合三角函数的性质可得：当时，，当时，；（2）结合(1)中函数的解析式和三角函数的性质可得当时，；（3）结合实际问题和三角函数的性质计算可得点被照到的时间为分钟.【详解】【点睛】本题主要考查三角函数的实际应用，三角函数的性质，三角函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．【上海市2018年5月高考模拟】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，如图:点分别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，且两点的距离约为3海里.(1)求两点间的距离；(精确到0.01)(2)某一时刻，我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以18海里/小时的速度接近渔船，其航线为 (直线行进)，而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处，收到信号后赶往救助，其航线为先向正北航行8海里至点处，再折向点直线航行，航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.【答案】（1）14.25（2）渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.【解析】【分析】（1）由题意，,，在中，由正弦定理可求两点间的距离；（2）结合（1）【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及正弦定理与余弦定理的应用，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.9．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知中，角所对应的边分别为，（是虚数单位）是方程的根，.（1）若，求边长的值；（2）求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）解得，所以，，，由正弦定理得；（2）由余弦定理得，根据基本不等式，得，所以面积的最大值等于。

2018年上海市高考数学一模试卷(解析卷)

2018年上海市高考数学试卷一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩C U M {﹣2，﹣1，0} ．【解答】解：C U M={﹣2，﹣1，0}，故P∩C U M={﹣2，﹣1，0}故答案为：{﹣2，﹣1，0}2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=．【解答】解：复数==，∴=，∴=•==，故答案为．3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为2＞23﹣3x，即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，∴x2﹣x﹣6＞0，解得x＜﹣2或x＞3，∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为．【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+，当2x+=2kπ+，k∈Z，即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，故答案为：．5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是x2﹣=1．【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），∴1=λ，∴双曲线方程为：x2﹣=1．故答案为：x2﹣=1．6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．∴圆锥的高h=．∴圆锥的体积V==．故答案为：．7．（5分）设等差数列{a n}的公差d不为0，a1=9d．若a k是a1与a2k的等比中项，则k=4．【解答】解：因为a k是a1与a2k的等比中项，则a k2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．故答案为：4．8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=12．【解答】解：由题意可得a==20，再根据，解得，即≤r≤，∴r=4，此时b=×24=240；∴==12．故答案为：12．9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为．【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，基本事件总数n=6×6=36，两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．故答案为：．10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，故答案为：[1，+∞）．11．（5分）已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=2．【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（a n﹣1+a n+1）+（1﹣a n），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”得出a n﹣1+a n+1+1﹣a n=1，∴a n﹣1+a n+1=a n，∵S n为数列{a n}的前n项和，a1=a2=1，∴数列{a n}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…即数列{a n}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，∵2018=6×336+2，∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．故答案为：2．12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．则m的取值范围是（﹣3，﹣2）．【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，即，可得﹣3＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．故答案为：（﹣3，﹣2）．二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，即a2+2ab+b2＞4ab，则a2﹣2ab+b2＞0，即（a﹣b）2＞0，则a≠b，则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，故选：A．14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f （x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（）A．πB．2πC．2 D．4【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，即===2，故选：C．15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（）A．θn随着n的增大而增大B．θn随着n的增大而减小C．随着n的增大，θn先增大后减小D．随着n的增大，θn先减小后增大【解答】解：分别以和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），设=（x n，y n），∵，，n∈N*，∴x n=n，y n=2n+1，n∈N*，∴=（n，2n+1），n∈N*，∵θn为和的夹角，∴tanθn===2+∴y=tanθn为减函数，∴θn随着n的增大而减小．故选：B．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，以AQ为直径画圆，交圆C1与M、N两点，则四边形AMQN能构成矩形，由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．故选：D．三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，高PA=2，BC=AD=2，AB=1，==1．∴S△ABC故V P==．﹣ABC（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，tanθ==，∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：A为线段BM的中点．【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），∴1=2p，解得p=，∴y2=x，∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，（2）证明：设过点（0，）的直线方程为y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，由题意知A（x1，x1），B（x1，），由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，∴x1+x2=，x1x2=∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，∴A为线段BM的中点．19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，所以∠C=30°，在△PBC中PC=1，BC=2，由余弦定理可得BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°=（2）2+1﹣2×2×1×=7，即BP=；（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，如图所示，在△AMQ中，由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，解得t＜或t＞，所以0≤t≤；②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去．综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，所以两人不能通话的时间为小时．20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为a n，如果A={a1，a2，…，a n}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为S n，求S n的值；（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式S m+S n﹣λS k＞0恒成立，求实数λ的最大值．【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，故a n=2=n，∴a1+a2+a3+…+a n=∵B={﹣，﹣，﹣}，∴A+B中的所有元素之和为S n=3（a1+a2+a3+…+a n）+n（﹣﹣﹣）=3•+n （﹣﹣﹣）=n2，（3）∵∴S m+S n﹣λS k＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，∵m+n=3k，且m≠n，∴==＞，∴λ≤，故实数λ的最大值为21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，可得a﹣1≥，由x＞0时，=≤1，则a﹣1≥1，即a≥2；又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，则＞（a﹣1）x，x=0时，显然成立；x＞0时，a﹣1＜，可得a﹣1≤1，即a≤2．则a=2．。

2018学年上海高三数学一模分类汇编——解析几何,推荐文档

2 （2018崇明一模）.抛物线y2 4x的焦点坐标是_________________2 23 （2018静安一模）•与双曲线——1有公共的渐近线，且经过点A（ 3,2. 3）的双曲线方9 16程是__________5（2018闵行一模）•已知直线l的一个法向量是n （.一3, 1），则I的倾斜角的大小是 _________________ 5（2018青浦一模）.在平面直角坐标系xOy中，以直线y 2x为渐近线，且经过椭圆2X2 y 1右顶点的双曲线的标准方程是42 25（2018金山一模）.已知F1、F2是椭圆——1的两个焦点，P是椭圆上一个动点，则25 9| PF1 | | PF2 |的最大值是_____________6（2018黄浦一模）.过点P（ 2,1）作圆x2 y2 5的切线，则该切线的点法向式方程是___________________2 26（2018徐汇一模）.已知圆O:x y 1与圆0关于直线x y 5对称，则圆0的方程是一7（2018静安一模）.已知点A（2,3）到直线ax （a 1）y 3 0的距离不小于3，则实数a的取值范围是________8（2018金山一模）已知点A（2,3），点B（ 2,3），直线I过点P（ 1,0），若直线I与线段AB 相交，则直线l的倾斜角的取值范围是 _____________2 28（2018松江一模）.若直线ax y 3 0与圆（x 1）（y 2）4相交于A、B两点，且AB 2 . 3，则a __________一X22 28（2018虹口一模）.在平面直角坐标系中，双曲线 p y 1的一个顶点与抛物线y 12x的a焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为_______________2 29（2018宝山一模）•已知抛物线C的顶点为坐标原点，双曲线 - y 1的右焦点是C的焦25 144点F，若斜率为1，且过F的直线与C交于A、B两点，贝U | AB| _______________2 29（2018普陀一模）.若直线l :x y 5与曲线C :x y 16交于两点A（X1,yJ、B（X2,y2）,则为y2 x y1的值为____________9 （2018奉贤一模）•已知A（2,0）, B（4,0），动点P满足PA 2 PB，则P到原点的距离为_______2 210 （2018奉贤一模）.设焦点为F1、F2的椭圆令占1 （a 0）上的一点P也在抛物线a 39 25y2一x上，抛物线焦点为F3，若PF3—，则△ PF1F2的面积为------------4 162 210 （2018虹口一模）.设椭圆乡£ 1的左、右焦点分别为F i、F2，过焦点F i的直线交椭4 3圆于M、N两点，若MNF2的内切圆的面积为，则S MNF2______________210（2018杨浦一模）.抛物线y28x的焦点与双曲线笃 y21的左焦点重合，则这条双曲a线的两条渐近线的夹角为____________2 211 （2018闵行一模）.已知F1、F2分别是双曲线— 2 1 （a 0，b 0 ）的左右焦点，a b过F1且倾斜角为30°的直线交双曲线的右支于P，若PF2 F1F2，则该双曲线的渐近线方程是_________2X 212（2018杨浦一模）.已知点C、D是椭圆y 1上的两个动点，且点M（0,2），若4umu UULUMD MC，则实数的取值范围为___________2X 212（2018普陀一模）.双曲线y 1绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数 f （X）的图3像，关于此函数f （x）有如下四个命题：① f （x）是奇函数；② f （X）的图像过点（乜,3）或（-1, 3）；2 2 2 23 3③ f （x）的值域是（,步屮寺）；④函数y f （x） x有两个零点；则其中所有真命题的序号为___________2 2x y12（2018浦东一模）.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N是双曲线1上2 4UUU UUUU UULT的两个动点，动点P满足OP 2OM ON，直线OM与直线ON斜率之积为2,已知平面内存在两定点F1、F2，使得|| PF1 | | PF2 ||为定值，则该定值为—2 216（2018松江一模）.已知曲线C1 :| y | x 2与曲线C2 ： x y 4恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（）A. （, 1]U[0,1）B. （ 1,1]C. [ 1,1）D. [ 1,0]U（1,）2 2 2 216（2018青浦一模）.在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1： x y 12和C? : x y 14，又点A坐标为（3, 1），M、N是C1 上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（）2 216（ 2018 静安一模）. 若曲线| y | x2_ c x2 与 C:42- 1恰有两个不同交点，则实数 4取值范围为（）A. (, 1]U(1,) B. (,1]C. (1,)D.[1,0)U(1,)218 （ 2018青浦一模）.已知抛物线C: y交于不同两点（1 ）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程; （2）求证：A 为线段BM 的中点•、、卄x y、、、19（ 2018黄浦一模）.已知椭圆E : —221 （ a b 0 ）的右焦点为F （1,0），点B （0,b ）满a b足|FB | 2.（1）求实数a 、b 的值；（2）过点F 作直线l 交椭圆E 于M 、N 两点，若 BFM 与 BFN 的面积之比为2,求直线I 的方程.16（ 2018 崇明一模）. 直线x2与双曲线2x 2 C: y 1的渐近线交于 A 、B 两点，设P 为双4uuu uuu uuu 曲线上任一点，若0P aOA bOB ( a,b R ，O 为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（A. a b 1B.|ab| 1C. |a b| 1D. |a b| 2A. 0个B. 2个C. 4个D.无数个2px 过点P （1,1），过点D （0,-）作直线I 与抛物线C2 N ，过M 作x 轴的垂线分别与直线 OP 、ON 交于点A 、B ，其中O 为坐标原点x 20（ 2018松江一模）.已知椭圆aF （ 3,0），过F 点的直线I 交椭圆于（1）求椭圆E 的方程；（2）过点F 且与I 垂直的直线交椭圆于4若四边形ACBD 的面积为4，求直线I 的方程；3umr uuir uuur uur（3）设 MA 1 AF ，MB ?BF ，求证：12 为定值.20 （ 2018虹口一模）.已知平面内的定点 F 到定直线I 的距离等于p （ p 0 ），动圆M 过点F 且与直线I 相切，记圆心 M 的轨迹为曲线 C ，在曲线C 上任取一点 A ，过A 作I 的垂线，垂足为E . （1）求曲线C 的轨迹方程；（2）记点A 到直线I 的距离为d ，且坐 d 红，求 EAF 的取值范围；4 3（3）判断 EAF 的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由220（ 2018杨浦一模）.设直线I 与抛物线：y 4x 相交于不同两点 A 、B ， O 为坐标原点.（1 ）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）若直线I 又与圆C :（x 5）2 y 2 16相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，求直线I 的方程；uuu uuu（3）若OA OB 0 ,点Q 在线段AB 上，满足OQ AB ，求点Q 的轨迹方程•20（ 2018金山一模）.给出定理：在圆锥曲线中， AB 是抛物线：y 2 2px （ p 0 ）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为 D ，若A 、B 两点纵坐标右 1（ a b 0）经过点（1,，其左焦点为C 、D 两点,点M .A 、B 两点，交y 轴的正2 2a 3ADB的面积S ADB 面，试运用上述定理求解以“弓形”的面积，并求出相应面积F i 、F 2与短轴的一个端点 Q 构成一个等腰直角三角形,互相垂直且与x 轴不重合的两直线 AB 、CD 分别交椭圆别是弦AB 、CD 的中点• （1）求椭圆的标准方程；2（2）求证：直线 MB 过定点R （—,0）；3（3）求MNF 2面积的最大值.20 （2018浦东一模）.已知椭圆:x 2 -y 2 1 （ a b 0）的左、右焦点分别为 F l 、F 2，设之差的绝对值|y A y B | a （ a 0 ），则下各题:（1 ）若p 2 , AB 所在直线的方程为2x 4 , C 是AB 的中点，过C 且平行于x 轴的直线与抛物线的交点为D ，求S ADB（2）已知AB 是抛物线：y 2 2px （0）的一条弦，C 是AB 的中点，过点C 且平行于X轴的直线与抛物线的交点为D ，E 、F 分别为AD 和BD 的中点，过 E 、F 且平行于x 轴的直线与抛物线：y 2 2px （ p 0）分别交于点 M 、N ，若A 、B 两点纵坐标之差的绝对值1 y A y B 1 a( a 0 )，求 S AMD 和 S BND ；（3）请你在上述问题的启发下，设计一种方法求抛物线:2y 2px（p 0 ）与弦AB 围成的2x 20（ 2018普陀一模）.设点F 1、F 2分别是椭圆C:—三 2t圆C 上的点到点F 2的距离的最小值为 2 22，点M 、 uumr uuur且向量F 1M 与向量F 2N 平行•（1）0 ）的左、右焦点，且椭N 是椭圆C 上位于x 轴上方的两点,(2) (3) 求椭圆C 的方程； uuuu uuuu当F i N F 2N 0时，求 F i MN 的面积; luiuir uuuur 当| F ?N | | F i M |.6时，求直线F 2 N 的方程.20（ 2018徐汇一模）.已知椭圆2 X 2a0 ）的左、右焦点分别为 F i 、F 2，且在椭圆上，过点F 2作C 、D ，且 M 、N 分a b2点A（0,b），在AF1F2中，F1AF2 ，周长为4 2 3 .3（1）求椭圆的方程；（2）设不经过点A的直线I与椭圆相交于B、C两点，若直线AB与AC的斜率之和为1，求证：直线I过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为E，点P为椭圆上的一个动点，试根据AEP面积S的不同取值范围，讨论AEP存在的个数，并说明理由•2 2x V 220 （2018闵行一模）•已知椭圆1的右焦点是抛物线：V 2px的焦点，直线I与10 9相交于不同的两点A（x!,y1）、B（x2,y2）.（1 ）求的方程；（2）若直线I经过点P（2,0），求OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；（3）已知点C（1,2），直线I经过点Q（5, 2），D为线段AB的中点，求证：| AB | 2 |CD |.2x 220（2018崇明一模）.在平面直角坐标系中，已知椭圆C:-^ y 1（a 0，a 1）的两个a焦点分别是F1、F2，直线I: y kx m （k,m R）与椭圆交于A、B两点•（1 ）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且MFF2是直角三角形，求a的值；（2）若k 1，且OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；1（3）若a 2，且k oA k oB ，求证：OAB的面积为定值.42 2 2 220（2018 奉贤一模）•设M ｛（ x, y） ||x y | 1｝，N ｛（ x, y） | x y 1｝，设任意一点2 2P （X o ,y 。

2018——2019年上海各区高中数学高三数学一模试卷试题汇总

第一学期教学质量检测高三数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1. 已知全集R U =，集合(][)12,,=-∞+∞A ，则U=A ______________.()12,2. 抛物线24=y x 的焦点坐标为_________.()10, 3. 不等式2log 1021>x 的解为____________.4(,)+∞4. 已知复数z 满足(1i)4i z +⋅=（i 为虚数单位），则z 的模为_________. 225. 若函数()=y f x 的图像恒过点01(,)，则函数13()-=+y fx 的图像一定经过定点____.()13,6. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S .若936=S ，则348++=a a a ________.127. 在△ABC 中，内角,,A B C 的对边是,,a b c .若22)32(b a ⋅+=，c b =，则=A ___.56π 8. 已知圆锥的体积为π33，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为．π3 9.已知二项式n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37，则展开式中的第五项为________.358x 10. 已知函数()2||1=+-f x x x a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围为_____.(,-∞11. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)++=-++n n n na n a n a *()∈n N ，且121,2,a a ==若1lim,+→∞=n n na A a 则=A ___________. 100912. 已知函数()2,24161,22-⎧≥⎪+⎪=⎨⎛⎫⎪< ⎪⎪⎝⎭⎩x ax x x f x x ，若对任意的[)12,∈+∞x ，都存在唯一的()2,2∈-∞x ，满足()()12=f x f x ，则实数a 的取值范围为_________. [)2,6∈-a解：当[)12,∈+∞x 时，1211041616x x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，.当()2,2∈-∞x 时，（1）若2a ≥，则()11=22x aa xf x --⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在(),2-∞上是单调递增函数，所以()2210,2a f x -⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.若满足题目要求，则21100,162a -⎛⎫⎛⎤⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎥ ⎪⎝⎦⎝⎭⎝⎭，，所以24111,24,62162a a a -⎛⎫⎛⎫>=∴-<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.又2a ≥，所以[)2,6a ∈. （2）若2a <，则()1,,21=21, 2.2a xx ax ax a f x a x ---⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎛⎫=⎨ ⎪⎝⎭⎛⎫⎪≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，()f x 在(),a -∞上是单调递增函数，此时()()0,1f x ∈；()f x 在[),2a 上是单调递减函数，此时()21,12a f x -⎛⎤⎛⎫∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦.若满足题目要求，则211,2162aa -⎛⎫≤∴≥- ⎪⎝⎭，又2a <，所以[)2,2a ∈-.综上，[)2,6a ∈-.二、选择题(本大题共有4题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13. “14<a ”是“一元二次方程20-+=x x a 有实数解”的（ A ）（A ）充分非必要条件（B ）充分必要条件（C ）必要非充分条件（D ）非充分非必要条件 14. 下列命题正确的是（ D ）（A ）如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行（B ）如果一条直线垂直于一个平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面（C ）如果一条直线平行于一个平面内的一条直线，那么这条直线平行于这个平面（D ）如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行15. 将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ B ）种.（A ）72 （B ）36 （（D ）81 16. 已知点()()1,2,2,0-A B ，P ⋅AP AB 的取值范围为（ A ）（A ）[]1,7 （B ）[]1,7- （C）1,3⎡+⎣ （D）1,3⎡-+⎣三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分已知直三棱柱ABC C B A -111中，︒=∠===9011BAC ,AA AC AB .（1）求异面直线B A 1与11C B 所成角；（2）求点1B 到平面BC A 1的距离．解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分（2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ，由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ．所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分或者用空间向量：（1）设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,A ，()01111,,C B -=，…………4分A1C CB1B 1A因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分（2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u n =，则B A n ,BC n 1⊥⊥．又()011,,-=，()1011-=,,A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 18．（本小题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）已知函数2()cos 2sin f x x x x =-.（1）若角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，求()f α的值；（2）当[,]63ππ∈-x 时，求()f x 的单调递增区间和值域.解：（1）∵角α的终边与单位圆交于点3455(,)P ，∴43sin =,cos =55αα ……2分2243432()cos 2sin 2()55525αααα=-=⨯-⨯=f …4分（2）2()cos 2sin f x x x x =-2cos21x x =+- …………………6分2sin(2)16x π=+- …………………………8分由222262k x k πππππ-≤+≤+得，36k x k ππππ-≤≤+又[,]63x ππ∈-，所以()f x 的单调递增区间是[,]66x ππ∈-； ………………10分∵[,]63x ππ∈-，∴52666x πππ-≤+≤…………………………12分 ∴1sin(2)126x π-≤+≤，()f x 的值域是[2,1]-. ………………14分19．（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”，规则如下：①3小时以内（含3小时）为健康时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值．．．．．E （单位：exp ）与游玩时间t （小时）满足关系式：22016E t t a =++；②3到5小时（含5小时）为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累积经验．．．．值．不变）； ③超过5小时为不健康时间，累积经验值．．．．．开始损失，损失的经验值与不健康时间成正比例关系，比例系数为50.（1）当1a =时，写出累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的函数关系式()E f t =，并求出游玩6小时的累积经验值．．．．．；（2）该游戏厂商把累积经验值．．．．．E 与游玩时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作()H t ；若0a >，且该游戏厂商希望在健康时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于24，求实数a的取值范围.解：（1）22016,03()85,3533550,5t t t E f t t t t ⎧++<≤⎪==<≤⎨⎪->⎩ （写对一段得1分，共3分）6t =时，(6)35E =    （6分）（2）03t <≤时，16()=20aH t t t++  （8分） 16()244≥⇒+≥aH t t t①0319[,]4164a ⎧<≤⎪⇒∈⎨⎪⎩     （10分） ②39(,)1616343a a⎧>⎪⇒∈+∞⎨+≥⎪⎩    （12分）综上，1[,)4a ∈+∞        （14分）20．（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知双曲线Γ: 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是 1F 、2F ，左、右两顶点分别是 1A 、2A ，弦 AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与 y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点 P （如图）．（1）若(2,3)d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ；（2）若1PA =，5PB = ，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；（3）在（．．1．）的条件下．．．．．，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线:1l x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．解：（1）双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为：即0bx ay ±=，所以3b a =，…………2分从而3tan2θ=22tan 2tan 431tan2θθθ==-，所以arctan 3θ=………………………………………………..4分（2）设 (,)P P P x y ，则由条件知：11()()322P x PB PA PA PB PA =-+=+=，11()()122P y PC PD PC PD PC =+-=-=，即(3,1)P ．…………6分所以(2,1)A ，(3,3)C ，………………………………………………………..…………7分代入双曲线方程知：2751,2781199114222222==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-=-b a ba b a ……9分 127527822=-y x ………………………………………………………………….. 10分（3）因为124A A =，所以2a =，由（1）知，3b =Γ的方程为: 22143x y -=，令00(,)C x y ，所以2200143x y -=，010:(2)2y CA y x x =++，令1x =，所以003(1,)2y M x +， 020:(2)2y CA y x x =--，令1x =，所以00(1,2y N x --， …………12分故以MN 为直径的圆的方程为：200003(1)()()022y y x y y x x --+--=+-，即222000200033(1)()0224y y y x y y x x x -++--=-+-，即22000039(1)()0224y y x y y x x -++--=-+，…………………………………………….14分若以MN 为直径的圆恒经过定点),(y x于是⎪⎩⎪⎨⎧=±=⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=0231049)1(022y x y x y 所以圆过x 轴上两个定点5(,0)2和1(,0)2-……………………………………………16分21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,n A A A A （*n N ∈），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （*n N ∈），使得1k k kA B A -∆*()k N ∈都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1),(2)f f ，并猜想()f n （不要求证明）；（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)mm内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列{}n b满足：11,2n b b +==数列{}n c 满足：111,n nc c +==求证：1()2n n n b f c π+<<.解：（1）(1)1f =，(2)2f =  （2分）猜想()f n n =  （2分）（2）98n a n =-  （5分）由21218899899999m mm m n n --<-<⇒+<<+112191,92,,9---∴=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅m m m n  （6分）21199m m m t --∴=-  （7分） 352211(91)(99)(99)(99)m m m S --∴=-+-+-+⋅⋅⋅+- 352121(9999)(1999)m m --=+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+22129(19)(19)91091191980m m m m +---⋅+=-=-- （9分） 2λ≤m S 对任意*m N ∈恒成立min 12()83λλ⇒≤==⇒≤m S S （10分）.（3）1sin,4b π=记1sin ,4n n b πθθ==，则1sin sin 2n n θθ+== *1()2n n n N πθ+⇒=∈  （12分） 1tan ,4c π=记1tan ,4n n c πϕϕ==，则1sec 1tan tan tan 2n n n n ϕϕϕϕ+-==*1()2n n n N πϕ+⇒=∈  （14分） 11sin,tan ,22n n n n b c ππ++∴==当(0,)2x π∈时，sin tan x x x <<可知： 1111sin()tan ,2222n n n n n n b f c ππππ++++=<=<=  （18分）杨浦区2018学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2018.12.18一、填空题（本大题有12题，满分54分，第1——6题每题4分，第7—12题每题5分） 1、设全集{}1,2,3,4,5U =，若集合{}3,4,5A =，则____u=2、已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为_____ 3、已知双曲线221x y -=，则其两条渐近线的夹角为_____ 4、若()na b +展开式的二项式系数之和为8，则____n = 5、若实数,x y 满足221x y +=，则xy 的取值范围是_____6、若圆锥的母线长()5l cm =，高()4h cm =，则这个圆锥的体积等于_______7、在无穷等比数列{}n a 中，()121lim ,2n n a a a →+∞+++=则1a 的取值范围是____8、若函数()1ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(),1B a a =+，且B A ⊆,则实数a 的取值范围__9、在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则()1y f x =+的零点是____10、已知复数())12cos 2,cos z x f x i z x x i =+=++，（,x R i ∈虚数单位）在复平面上，设复数12,z z 对应的点分别为12,Z Z ，若1290Z OZ ∠=，其中是坐标原点，则函数()f x 的最小正周期______ 11、当0x a <<时，不等式()22112x a x +≥-恒成立，则实数a 的最大值为______ 12、设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前项和n T ，满足()()112nn n n T b n N *+=-∈，且52d a b ==，若实数{}()23,3k k k m P x a x a k N k *-+∈=<<∈≥，则称m 具有性质k P ，若是n H 数列{}n T 的前n 项和，对任意的n N *∈，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为_____二、选题题（本题共有4题，满分20分，每题5分）13、下列函数中既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（）（A ）()arcsin f x x= （B ）lg y x= （C ）()f x x=-（D ）()cos f x x =14、某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（）（A ）310 （B ） 35 （C ） 25 （D ）2315、已知()sin log ,0,2f x x θπθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，设sin cos sin ,,2sin cos a f b f c f θθθθθ+⎛⎫⎛⎫===⎪⎪+⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c ≤≤ （B ）b c a ≤≤ （C ）c b a ≤≤（D ）a b c ≤≤16、已知函数()22x f x m x nx =⋅++，记集合(){}0,A x f x x R ==∈，集合(){}0,B x f x x R ==∈，若A B =，且都不是空集，则m n +的取值范围是（）（ A ）[]0,4 （B ）[]1,4- （C ）[]3,5- （D ）[]0,7三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 17、（本题满分14分，第1题满分6分，第2小题满分8分）如图，,PA ABCD ⊥平面四边形ABCD 为矩形，1PA PB ==，2AD =，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动。

(2021年整理)2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)

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2018年一模汇编—-函数专题一、知识梳理【知识点1】函数的概念与函数三要素【例1】设函数2log ,0()4,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -= 。

【答案】2-。

【解析】()11144f --==，()()1124f f f ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭。

【点评】考察函数的概念。

【例2】函数11,02()1,0x x f x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩，若()f a a >，则实数a 的取值范围是 .【答案】()1a ,∈-∞-. 【解析】①当0a ≥时,112a a ->，2a <-（舍）；② 当0a <时,1a a>，1a >（舍）或1a <-；综上,所以()1a ,∈-∞-.【点评】考察分段函数的概念.【知识点2】函数的奇偶性【例1】已知()f x 、g()x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且()g()2x f x x x -=+，则(1)g(1)f += .【答案】12-。

【解析】()()()2x f x g x x ----=+-，根据奇偶性可得,()()2x f x g x x -+=-,所以()()1111212f g -+=-=-.【点评】考察函数的奇偶性，利用奇偶性求解析式。

2018年上海市15区高考高三一模数学试卷合集带答案

8
第 2 卷 2018 年崇明区一模
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，其中 1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分）
1、已知集合 A {1, 2, 5}, B {2, a} ，若 A B {1, 2, 3, 5} ，则 a
；
2、抛物线 y2 4x 的焦点坐标是
Sn ，首项 a1
1，公比为
a
3 2
，且
lim
n
S
n
a
，则
a ________.
11.从 5 男 3 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人志愿者服
务，要求服务队中至少有 1 名女生，共有
种不同的选法.（用数字作答）
12.在 ABC 中， BC 边上的中垂线分别交 BC, AC 于点 D, E .若 AE BC 6 ， AB 2 ，
f (C) 1 ，求 ABC 面积的最大值，并指出此时 ABC 为何种类型的三角形. 2
19. 设数列{an} ，{bn} 及函数 f (x) （ x R ）， bn f (an ) （ n N * ）. （1）若等比数列{an} 满足 a1 1， a2 3 ， f (x) 2x ，求数列{bnbn1} 的前 n （ n N * ）项和；（2）已知等差数列{an} 满足 a1 2 ， a2 4 ， f (x) (q x 1) （、 q 均为常数， q 0 且 q 1）， cn 3 n (b1 b2 bn ) （ n N * ），试求实数对 (, q) ，使得{cn} 成等比数列.
x 1 5. 若 z 2 3i （其中 i 为虚数单位），则 Im z
i 6. 若从五个数 1 ，0，1，2，3 中任选一个数 m ，则使得函数 f (x) (m2 1)x 1 在 R 上

2018年上海市高三一模数学试题完整解析

2018年高三一模数学试题解析目录2018年杨浦区高三一模试题分析 (1)2018年松江区高三一模试题分析 (10)2018年青浦区高三一模试题分析 (20)2018年虹口区高三一模试题分析 (31)2018年普陀区高三一模试题分析 (42)2018年徐汇区高三一模试题分析 (56)2018年长宁、嘉定区高三一模试题分析 (67)2018年浦东新区高三一模试题分析 (77)2018年崇明区高三一模试题分析 (87)2018年静安区高三一模试题分析 (96)2018年闵行区高三一模试题分析 (105)2018年黄浦区高三一模试题分析 (117)2018年三区高三一模填选难题试题分析 (127)2018年杨浦区高三一模试题分析一、填空题的结果是 1 ．1.计算∞【考点】极限及其运算.=1．【分析】由n→+∞，→0，即可求得∞=1，故答案为：1．【解答】解：当n→+∞，→0，∴∞【点评】本题考查极限的运算，考查计算能力，属于基础题．2.已知集合A={1，2，m}，B={3，4}，若A∩B={3}，则实数m= 3 ．【考点】交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，m}，B={3，4}，A∩B={3}，∴实数m=3．故答案为：3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．3.已知，则= ﹣．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值.【分析】由已知利用诱导公式即可化简求值得解．【解答】解：∵θ，∴θπ=θ．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．4.若行列式，则x= 2 ．【考点】二阶矩阵.【分析】先根据行列式的计算公式进行化简，然后解指数方程即可求出x的值．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4=0即x﹣1=1，∴x=2，故答案为：2【点评】本题主要考查了行列式的基本运算，同时考查了指数方程，属于基础题．5.已知一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，则x+y= 6 ．【考点】增广矩阵的概念.【分析】由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，由此能求出x+y．【解答】解：∵一个关于x、y的二元一次方程组的增广矩阵是，∴由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，∴x+y=6．故答案为：6．【点评】本题考查两数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意增广矩阵的合理运用．6.在的二项展开式中，常数项等于﹣160 ．【考点】二项式定理．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r ，令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160，故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．7.若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．【解答】解：基本事件共6×6个，点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，故P==．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，难度不大，属于基础题．8.数列{a n}的前n项和为S n，若点(n，S n)(n∈N*)在函数y=log2(x+1)的反函数的图象上，则a n= 2n﹣1．【考点】反函数．【分析】先利用点（n，S n）都在f（x）的反函数图象上即点（S n，n）都在f（x）的原函数图象上，得到关于S n的表达式；再利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法即可求数列{a n}的通项公式；【解答】解：由题意得n=log2（S n+1）⇒s n=2n﹣1．n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=s1=21﹣1=1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1；故答案为：2n﹣1【点评】本小题主要考查反函数、利用已知前n项和为S n求数列{a n}的通项公式的方法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．9.在△ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列，则角B的最大值为．【考点】余弦定理.【分析】由sinA、sinB、sinC依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB的范围，利用余弦函数的性质可求B的最大值．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，∴sin 2B=sinAsinC ，利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB==≥=（当且仅当a=c 时取等号），则B 的范围为（0，π]，即角B 的最大值为π．故答案为：π．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．10.抛物线y 2=﹣8x 的焦点与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近线的夹角为．【考点】双曲线的性质.【分析】由已知条件推导出a 2+1=4，从而得到双曲线的渐近线方程为y=，由此能求出这条双曲线的两条渐近线的夹角．【解答】解：∵抛物线y 2=﹣8x 的焦点F （﹣2，0）与双曲线﹣y 2=1的左焦点重合，∴a 2+1=4，解得a= ，∴双曲线的渐近线方程为y=，∴这条双曲线的两条渐近线的夹角为π ，故答案为：π．【点评】本题考查双曲线的两条渐近线的夹角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线性质的合理运用．11.已知函数，x ∈R ，设a ＞0，若函数g （x ）=f （x+α）为奇函数，则α的值为2k πα=【考点】三角函数中的恒等变换应用.【分析】首先通过三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．【解答】()cos (sin )sin(2)3f x x x x x π=+，()sin(22)3g x x πα=++为奇函数，且0α>，∴23k παπ+=，26k ππα=-，k ∈*N .【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用．12.已知点C 、D 是椭圆上的两个动点，且点M （0，2），若，则实数λ的取值范围为1[,3]3λ∈.【考点】椭圆的性质.【分析】数形结合，取极端情况，考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 【解答】数形结合，取极端情况. 作CE ⊥y 轴，DF ⊥y 轴，3MD MF MB MC ME MA λ==≤=，同理13λ≥ 当D 点位于(0,1)-，C 点位于(0,1)时，λ等于3；当D 点位于(0,1)，C 点位于(0,1)-时，λ等于13，∴1[,3]3λ∈.【点评】本题考查椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．二、选择题13.在复平面内，复数对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】直接由复数的除法运算化简，求出复数对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：∵=，∴复数对应的点的坐标为(﹣1,﹣2），位于第三象限．故选：C ．【点评】本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 14.给出下列函数:①y=log 2x;②y=x 2；③y=2|x|；④y=arcsinx ．其中图象关于y 轴对称的函数的序号是( ) A.①②B.②③C.①③D.②④【考点】函数奇偶性的性质与判断.【分析】根据函数奇偶性的定义进行判断即可．【解答】解：①y=log 2x 的定义域为（0，+∞），定义域关于原点不对称，则函数为非奇非偶函数； ②y=x 2；是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件．③y=2|x|是偶函数，图象关于y 轴对称，满足条件． ④y=arcsinx 是奇函数，图象关于y 轴不对称，不满足条件，故选：B ．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，利用函数奇偶性的定义和性质是解决本题的关键 15.“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在(﹣∞，+∞)内存在零点”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．由此能求出结果．【解答】解：t ≥0⇒△=t 2+4t ≥0⇒函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点，函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点⇒△=t 2+4t ≥0⇒t ≥0或t ≤﹣4．∴“t ≥0”是“函数f （x ）=x 2+tx ﹣t 在（﹣∞，+∞）内存在零点”的充分非必要条件．故选：A ．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.设A 、B 、C 、D 是半径为1的球面上的四个不同点，且满足•=0，•=0，•=0，用S 1、S 2、S 3分别表示△ABC 、△ACD 、△ABD 的面积，则S 1+S 2+S 3的最大值是( )A.B.2C.4D.8【考点】平面向量数量积的性质及其运算；棱柱、棱锥的体积.【分析】由题意可知，三棱锥的顶点的三条直线AB ，AC ，AD 两两垂直，可以扩展为长方体，对角线为球的直径，设出三边，表示出面积关系式，然后利用基本不等式，求出最大值．【解答】解：设AB=a ，AC=b ，AD=c ，因为AB ，AC ，AD 两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，所以a 2+b 2+c 2=4R 2=4 所以S △ABC +S △ACD +S △ADB =（ab+ac+bc ）≤（a 2+b 2+c 2）=2即最大值为：2故选：B ．【点评】本题是基础题，考查球的内接多面体，基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解题的关键．三、解答题17.如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【考点】基本不等式及其应用.【分析】（1）由题意设长方形场地的宽为x ，则长为l ﹣3x ，表示出面积y ；由x ＞0，且l ﹣3x ＞0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】解：（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，所以场地面积(3)y x l x =-，(0,)3lx ∈（2）222(3)33()612ll y x l x x lx x =-=-+=--+，(0,)3l x ∈,所以当且仅当6l x =时，2max 12l y = 综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l【点评】此题是一道实际应用题，考查函数的最值问题，解决此类问题要运用基本不等式，这也是高考常考的方法．18.如图，已知圆锥的侧面积为15π，底面半径OA和OB互相垂直，且OA=3，P是母线BS的中点．（1）求圆锥的体积；（2）求异面直线SO与PA所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【考点】旋转体（圆柱、圆锥）；异面直线及其所成的角.【分析】（1）推导出BS=5，从而SO=4，由此能求出圆锥的体积．（2）取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角，由此能求出异面直线SO与PA所成角．解：（1）由题意，π•OA•SB=15π，解得BS=5，故从而体积πππ．（2）如图，取OB中点H，连结PH、AH．由P是SB的中点知PH∥SO，则∠APH（或其补角）就是异面直线SO与PA所成角．∵SO⊥平面OAB，∴PH⊥平面OAB，∴PH⊥AH．在△OAH中，由OA⊥OB，得，在Rt△APH中，∠AHP=90 O，，…则∠，∴异面直线SO与PA所成角的大小．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19.已知函数的定义域为集合A，集合B=(a,a+1),且B⊆A.（1）求实数a的取值范围；（2）求证:函数f(x)是奇函数但不是偶函数．【考点】集合的包含关系判断及应用；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）由对数的真数大于0，可得集合A，再由集合的包含关系，可得a的不等式组，解不等式即可得到所求范围；（2）求得f（x）的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到所求结论．【解答】解：（1）令＞，解得﹣1＜x＜1，所以A=（﹣1，1），因为B⊆A，所以，解得﹣1≤a≤0，即实数a的取值范围是[﹣1，0]；（2）证明:函数f(x)的定义域A=(﹣1,1)，定义域关于原点对称，f(﹣x)=ln=ln（）﹣1=﹣ln=﹣f(x)，而，，所以，所以函数f（x）是奇函数但不是偶函数．【点评】本题考查函数的定义域和集合的包含关系，考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．20.设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．【考点】直线与抛物线的综合.【分析】（1）根据题意，由抛物线的方程分析可得p的值，即可得答案；（2）根据题意，设直线的方程为x=my+b，分m=0与m≠0两种情况讨论，分析m的取值，综合可得m可取的值，将m的值代入直线的方程即可得答案；（3）设直线AB：x=my+b，将直线的方程与抛物线方程联立，结合OQ⊥AB，由根与系数的关系分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，抛物线Ω的方程为y2=4x，则p=2，故抛物线Ω的焦点到准线的距离为2；（2）设直线l：x=my+b,当m=0时，x=1和x=9符合题意；当m≠0时，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2．△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，所以，所以线段AB的中点M（2m2+b，2m），因为k AB•k CM=﹣1，，所以，得b=3﹣2m2 ，所以△=16（m2+b）=16（3﹣m2）＞0，得0＜m2＜3因为，所以m2=3（舍去）综上所述，直线l的方程为：x=1，x=9（3）设直线AB：x=my+b，A（x1，y1）、B（x2，y2）的坐标满足方程组，所以y2﹣4my﹣4b=0的两根为y1、y2，△=16（m2+b）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4b所以，得b=0或b=4b=0时，直线AB过原点，所以Q（0，0）；b=4时，直线AB过定点P（4，0）设Q（x，y），因为OQ⊥AB，所以，，（x≠0），综上，点Q的轨迹方程为x2﹣4x+y2=0【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，（2）中注意设出直线的方程，并讨论m的值．21.若数列A：a1，a2，…，a n（n≥3）中（1≤i≤n）且对任意的2≤k≤n﹣1，a k+1+a k﹣1＞2a k恒成立，则称数列A为“U﹣数列”．（1）若数列1，x，y，7为“U﹣数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“U﹣数列”A：a1，a2，…，a n中，a1=1，a n=2017，求n的最大值；（3）设n0为给定的偶数，对所有可能的“U﹣数列”A：a1，a2，…，，记，，，，其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数，求M的最小值．【考点】数列与不等式的综合.【分析】（1）根据“U﹣数列”的定义可得：x=1时，＞＞；x=2时，＞＞；x≥3时，＞＞，解出即可得出．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n ﹣1，令b i=a i+1﹣a i，可得b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，利用裂项求和方法可得b i≥i﹣1．（2≤i≤n﹣1）．即b i≥i ﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥，即，解得n≤65．另一方面，取b i=i﹣1（1≤i≤64），可得对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，进而得出．（3）M的最小值为，分析如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：a1+a2m﹣（a m+a m+1）≥m（m﹣1），即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）可得M≥．又，可得，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，且a1=a m﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=m（m﹣1）+1．此时．即可得出．【解答】解：（1）x=1时，＞＞，所以y=2或3；x=2时，＞＞，所以y=4；x≥3时，＞＞，无整数解；所以所有可能的x，y为，或．（2）n的最大值为65，理由如下：一方面，注意到：a k+1+a k﹣1＞2a k⇔a k+1﹣a k＞a k﹣a k﹣1．对任意的1≤i≤n﹣1，令b i=a i+1﹣a i，则b i∈Z且b k＞b k﹣1（2≤k≤n﹣1），故b k≥b k﹣1+1对任意的2≤k≤n﹣1恒成立．（*）当a1=1，a n=2017时，注意到b1=a2﹣a1≥1﹣1=0，得︸个（2≤i≤n﹣1）即b i≥i﹣1，此时a n﹣a1=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）=b n﹣1+b n﹣2+…+b1≥0+1+2+…+（n﹣2）=，（**）即，解得：﹣62≤n≤65，故n≤65．另一方面，为使（**）取到等号，所以取b i=i﹣1（1≤i≤64），则对任意的2≤k≤64，b k＞b k﹣1，故数列{a n}为“U﹣数列”，此时由（**）式得，所以a65=2017，即n=65符合题意．综上，n的最大值为65．（3）M的最小值为，证明如下：当n0=2m（m≥2，m∈N*）时，一方面：由（*）式，b k+1﹣b k≥1，b m+k﹣b k=（b m+k﹣b m+k﹣1）+（b m+k﹣1﹣b m+k﹣2）+…+（b k+1﹣b k）≥m．此时有：（a1+a2m）﹣（a m+a m+1）=（a2m﹣a m+1）﹣（a m﹣a1）=（b m+1+b m+2+…+b2m﹣1）﹣（b1+b2+…+b m﹣1）=（b m+1﹣b1）+（b m+2﹣b2）+…+（b2m+1﹣b m﹣1）≥m+m+…+m=m（m﹣1）．即（a1+a2m）≥（a m+a m+1）+m（m﹣1）故，因为，所以，另一方面，当b1=1﹣m，b2=2﹣m，…，b m﹣1=﹣1，b m=0，b m+1=1，b2m﹣1=m﹣1时，a k+1+a k﹣1﹣2a k=（a k+1﹣a k）﹣（a k﹣a k﹣1）=b k﹣b k﹣1=1＞0，取a m=1，则a m+1=1，a1＞a2＞a3＞…＞a m，a m+1＜a m+2＜…＜a2m，，此时．综上，M的最小值为．【点评】本题考查了新定义、等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题2018年松江区高三一模试题分析一、填空题1.计算：∞= ．【考点】极限及其运算．【分析】∞=∞，当n→∞，→0，即可求得∞=．【解答】解：∞=∞=，故答案为：【点评】本题考查极限的运算，考查计算转化思想，属于基础题．2.已知集合A={x|0＜x＜3}，B={x|x2≥4}，则A∩B= {x|2≤x＜3} ．【考点】交集及其运算.【分析】根据题意，B为一元二次不等式的解集，解不等式可得集合B；又由交集的性质，计算可得答案．【解答】解：由已知得：B={x|x≤﹣2或x≥2}，∵A={ x|0＜x＜3}，∴A∩B={x|0＜x＜3}∩{ x|x≤﹣2或x≥2}={x|2≤x＜3}为所求．故答案为：{x|2≤x＜3}．【点评】本题考查交集的运算，解题的关键在于认清集合的意义，正确求解不等式．3.已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S10= 100 ．【考点】等差数列的前n项和.【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a9=18，a4=7，∴，解得d=2，a1=1．则S10=10+=100．故答案为：100．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，则实数a= 3 ．【考点】反函数.【分析】直接利用反函数值域和定义域的关系求出结果．【解答】解：函数f（x）=log2（x+a）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（2）=1，解得：a=3．故答案为：3．【点评】本题考查的知识要点：反函数的应用．5.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，则cos2α等于﹣．【考点】二倍角的三角函数.【分析】由角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，可得：r=1，cosα=，从而可求cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．【解答】解：∵角α的终边与单位圆x2+y2=1交于，，∴可得：r=1，cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2×﹣1=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题主要考察了三角函数的定义，二倍角的余弦公式的应用，属于基本知识的考查．6.如图是一个算法的程序框图，当输入的值x为8时，则其输出的结果是 2 ．【考点】循环结构.【分析】x=8＞0，不满足条件x≤0，则执行循环体，依此类推，当x=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，从而求出最后的y值即可．【解答】解：x=8＞0，执行循环体，x=x﹣3=5﹣3=2＞0，继续执行循环体，x=x﹣3=2﹣3=﹣1＜0，满足条件，退出循环体，故输出y=0.5﹣1=2．故答案为：2【点评】本题主要考查了当型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．7.函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是 4 ．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象.【分析】直接利用三角方程求出结果．【解答】解：由于函数y=sin2x与y=cosx有交点，则：sin2x=cosx，整理得：sinx=或cosx=0所以：在[0，2π]范围内，x=π，π，π，π，故答案为：4．【点评】本题考查的知识要点：正弦函数的图象和余弦图象的应用．8.设直线ax﹣y+3=0与圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a= 0 ．【考点】直线与圆的位置关系.【分析】由弦长公式可得圆心到直线的距离为，再由点到直线的距离公式可得=1，由此求得a的值．【解答】解：由于圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=4的圆心C（1，2），半径等于2，且圆截直线所得的弦AB的长为2ax﹣y+3=0的距离为，即=1，解得a=0，故答案为 0．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，弦长公式、点到直线的距离公式的应用，属于中档题． 9.在△ABC 中，∠A=90°，△ABC 的面积为1，若=，=4，则的最小值为．【考点】平面向量数量积的性质及其运算.【分析】通过建系设出B ，C 坐标，化简的表达式，利用三角形面积求解表达式的最小值．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设B （10x ，0），C （0，10y ），若 = ， =4，则M （5x ，5y ），N （2x ，8y ），由题意△ABC 的面积为1，可得50xy=1，=10x 2+40y 2≥2 xy=，当且仅当x=2y=时取等号．故答案为：．【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查转化思想以及计算能力．10.已知函数f （x ）=x|2x ﹣a|﹣1有三个零点，则实数a 的取值范围为（2 ，+∞）．【考点】函数的零点与方程根的关系；研究曲线上某点切线方程. 【分析】转化方程的根为两个函数的图象的交点，利用数形结合．【解答】分类讨论，设()|2|g x x x a =-，可以看作()g x 与1y =有三个交点，当0a <，()g x 图像如图所示，易知与1y =只有1个交点，不符；当0a>，()g x 图像如图所示，要与1y =有3个交点，需满足()14af >，即a >解法二：根据题意，可以看作()|2|g x x a =-与1()h x x=有三个交点，结合图像可知，当2ax >时，()g x 与()h x恒有一个交点，∴当2ax <时，()g x 与()h x 有两个不同交点，即12a xx-=在(0,)x∈+∞有两个解，2210x ax-+=，280a∆=->，且0a>，∴a>【点评】本题考查函数的零点的判断，考查数形结合的应用，是中档题．11.定义，＞，已知函数f（x）、g（x）的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是②③④（写出所有真命题的序号）①若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））为奇函数；②若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数；③若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数；④若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】由已知中：，＞，结合具有奇偶性及单调性的图象特征，可得答案．【解答】解：，＞，若f（x）、g（x）都是奇函数，则函数F（f（x），g（x））不一定是奇函数，如y=x与y=x3，故①是假命题；若f（x）、g（x）都是偶函数，则函数F（f（x），g（x））为偶函数，故②是真命题；若f（x）、g（x）都是增函数，则函数F（f（x），g（x））为增函数，故③是真命题；若f（x）、g（x）都是减函数，则函数F（f（x），g（x））为减函数，故④是真命题．故答案为：②③④．【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数单调性的判断与证明，难度中档．12.已知数列{a n}的通项公式为a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），若对任意m，n∈N*都有，，则实数q的取值范围为（﹣，0）.【考点】数列递推式.【分析】由a n=2q n+q，a1=3q＜0，由，，则a n＜0，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最大值及最小值分别为和，即可求q的取值范围．【解答】解：由a n=2q n+q（q＜0，n∈N*），因为a1=3q＜0，且对任意n∈N*，∈（，6）故a n＜0，特别地2q2+q＜0，于是q∈（﹣，0），此时对任意n∈N*，a n≠0．当﹣＜q＜0时，a2n=2|q|2n+q＞q，a2n﹣1=﹣2|q|2n﹣1+q＜q，由指数函数的单调性知，{a n}的最大值为a2=2q2+q，最小值为a1=3q，由题意，的最小值及最大值分别为=和=．由＞及＜6，解得﹣＜q＜0．综上所述，q的取值范围为（﹣，0），故答案为：（﹣，0）．【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列与函数关系，考查计算能力、转化思想，属于中档题．二、选择题13.若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为( )A.﹣5B.5C.﹣3D.3【考点】复数的运算.【分析】直接利用实系数一元二次方程的虚根成对原理及根与系数的关系求解．【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．【点评】本题考查实系数一元二次方程的虚根成对原理，考查复数模的求法，是基础题．14.已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】充分条件、必要条件、充要条件.【分析】“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f(x1)﹣f(x2)=0”，“f(x1)﹣f(x2)=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”或者其他情况，∴“x1+x2=0”是“f(x1)﹣f(x2)=0”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．15.若存在x∈[0，+∞）使＜成立，则实数m的取值范围是( )A.(﹣∞，1）B.(﹣1，+∞）C.(﹣∞，﹣1]D.[1，+∞）【考点】存在量词和特称命题.【分析】推导出2x•m＞2x•x﹣1，从而m＞x﹣，再由x∈[0，+∞），能求出实数m的取值范围．【解答】解：存在x∈[0，+∞）使＜成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查实数值的取值范围的求法，考查二阶行列式、不等式、指数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．16.已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是( )A ．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B ．（﹣1，1]C ．[﹣1，1）D ．[﹣1，0]∪（1，+∞）【考点】双曲线的性质.【分析】利用绝对值的几何意义，由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2，函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则两曲线无其它交点．x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，分类讨论，可得结论，根据对称性，同理可得y ＜0时的情形．【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y ≥0时，x=y ﹣2；y ＜0时，x=﹣y ﹣2， ∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y 2+λx 2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y ﹣2代入方程y 2+λx 2=4，整理可得（1+λ）y 2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C 1：|y|﹣x=2与曲线C 2：λx 2+y 2=4恰好有两个不同的公共点， ∴△＞0，2是方程的根，∴λ λ＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选：C ．【点评】本题考查曲线的交点，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题17.在△ABC 中，AB=6，AC=3 ，=﹣18．（1）求BC 边的长；（2）求△ABC 的面积．【考点】三角形中的几何计算.【分析】（1）直接利用向量的数量积和余弦定理求出BC 的长．（2）进一步利用余弦定理和三角形的面积公式求出结果．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3 ，所以：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA ，解得：BC=3 （2）在△ABC 中，BA=6，AC=3 ，BC=3 ，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：11sin 6922ABCSAB AC A ∆=⋅⋅=⋅⋅【点评】本题考查的知识要点:向量的数量积的应用，余弦定理的应用，三角形面积公式的应用． 18.已知函数（x ≠0，常数a ∈R ）．（1）讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由；（2）当a ＞0时，研究函数f （x ）在x ∈（0，+∞）内的单调性．【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.【分析】（1）根据函数奇偶性定义，可得当a=0时，函数f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，f （x ）在（0，a ）上为减函数，在（a ，+∞）上为增函数；【解答】解：（1）当a=0时，函数f （x ）=1（x ≠0）,满足f （﹣x ）=f （x ），此时f （x ）为偶函数；当a ≠0时，函数f （a ）=0，f （﹣a ）=2，不满足f （﹣x ）=f （x ），也不满足f （﹣x ）=﹣f （x ），此时f （x ）为非奇非偶函数；（2）当a ＞0时，若x ∈（0，a ），则＞，为减函数；若x ∈[a ，+∞]，则＜，为增函数；故f （x ）在（0，a ）上为减函数，在[a ，+∞）上为增函数；【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． 19.松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t （单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t 相关，当10≤t ≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t ＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t ）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p （t ）．（1）求p （t ）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【考点】根据实际问题选择函数类型.【分析】（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），结合p （2）=272求得k=2，则p （t ）的表达式可求，进一步求得p （6）；（2）写出分段函数Q=，＜，，利用基本不等式及函数的单调性分段求出最大值，取两者中的最大者得答案．【解答】解：（1）由题意知，p （t ）= ，＜，（k 为常数），∵p(2)=400﹣k(10﹣2)2=272，∴k=2．∴24002(10)210()4001020t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩． ∴p(6)=400﹣2(10﹣6)2=368(人)；（2）由，可得Q=，＜，，当2≤t ＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t ≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．【点评】本题考查函数模型的性质及应用，考查简单的数学建模思想方法，是中档题．20.已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，，其左焦点为，，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【考点】椭圆的性质.【分析】（1）由c=，由a2=b2+c2=b2+3，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|AB|及|CD|，则四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|=，即可求得k的值，求得直线l的方程；（3）由向量的坐标运算，表示出λ1和λ2，有（2）即可求得λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将，代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3）λ，λ，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣=﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．。

2018年上海高三一模真题汇编——函数专题(教师版)

【点评】考察解指对数方程.
【知识点 9】新定义
【例 1】在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数 y f (x) 的图像恰好经过 k 个格点，则称函数 y f (x) 为 k 阶格点函数，已知函数： ① y x2 ；② y 2sin x ；③ y x 1 ；④ y cos(x ) ；其中为一阶格点函数的序号为
6
6
x 3 2k ，显然 x 不可能为整数；综上，该函数图像只经过一个格点. 2
函数③：借助 y x 的图像来看，因为底数为，所以当 x 0 时， y 才有可能取整数 1， y x 1 是
y x 向下平移一个单位，所以只经过格点（0，0），所以是一阶格点函数；
3
一阶格点函数.
【点评】考察函数的新定义题型，重点是对题意的理解.
【例 2】设函数 y （f x）的定义域为 D，如果存在非零常数 T，对于任意 x∈D，都有（f x） T T • f (x) ，则称函数 y （f x）是“似周期函数”，非零常数 T 为函数 y （f x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周
y

x2
1 ；③
y

ex
1 ；④
y

ln
x
0
x0 ，其中“ H 函数”的序号是
x0
.
【答案】①③.
【解析】 x1 f
x1 x2 f
x2
x1 f
x2 x2 f
x1 可转化成
f
x1 f x2 0 ，即
x1 x2
f
x 为单调递增的函数，
3
___________.（注：把你认为正确的序号都填上）【答案】②③.

2018届上海市高考一模汇编三角函数

2018届高中数学·一模汇编三角函数一、填空题1、函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[0,2]π上交点的个数是2、在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对边分别是a 、b 、c ，若::2:3:4a b c =，则cos C =3、已知sin y x =和cos y x =的图像的连续的三个交点A 、B 、C 构成三角形ABC ∆，则ABC ∆的面积等于4、已知3cos 5θ=-，则sin()2πθ+=5、在ABC ∆中，若sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则角B 的最大值为6、函数2()3sin cos cos f x x x x =+的最大值为7、若1sin 4θ=，则3cos()2πθ+= 8、已知函数3()cos (sin 3cos )2f x x x x =+-，x R ∈，设0a >，若函数()()g x f x α=+为奇函数，则α的值为9、已知tan 2θ=-，且⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则cos θ=_______ 10、已知函数()()sin f x x ωϕ=+()0,02ωϕπ>≤<是R 上的偶函数，图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43πM 对称，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π是单调函数，则符合条件的数组(),ωϕ有________对. 11、已知4sin 5α=，则cos()2πα+=12、已知34sin (cos )i 55αα-+-（）是纯虚数（i 是虚数单位），则sin()4απ+= 13、在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()()a b c a b c ac ++-+=，则B =14、在坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点13(,)22A -，将OA 绕原点按顺时针方向旋转2π，得到OA '，则OA '的坐标为15、已知函数()sin f x x ω=（0ω>），将()f x 的图像向左平移2πω个单位得到函数()g x 的图像，令()()()h x f x g x =+，如果存在实数m ，使得对任意的实数x ，都有()()(1)h m h x h m ≤≤+成立，则ω的最小值为若函数)0(1)3sin(2>+-=ωπωx y 的最小正周期是π，则=ω16、某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30°方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距海里（精确到0.1海里）二、选择题：17、已知a 是ABC ∆的一个内角，则“2sin 2α=”是“45α=︒”的（）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 18、给出下列四个命题：（1）函数arccos y x =（11x -≤≤）的反函数为cos y x =（x R ∈）；（2）函数21mm y x +-=（m N ∈）为奇函数；（3）参数方程2221121t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t R ∈）所表示的曲线是圆；（4）函数221()sin ()32x f x x =-+，当2017x >时，1()2f x >恒成立；其中真命题的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 19、已知函数()2sin()25f x x ππ=+，若对任意实数x ，都有12()()()f x f x f x ≤≤，则21||x x -的最小值是（）A. πB. 2πC. 2D. 420、关于x 的方程2arcsin(cos )0x x a ++=恰有3个实数根1x 、2x 、3x ，则222123x x x ++=（）A. 1B. 2C. 22π D. 22π三、解答题:21、如图，某公园有三条观光大道AC BC AB ,,围成直角三角形，其中直角边m BC 200=，斜边m AB 400=．（1）若甲乙都以每分钟m 100的速度从点B 出发，甲沿BA 运动，乙沿BC 运动，乙比甲迟2分钟出发，求乙出发后的第1分钟末甲乙之间的距离；（2）现有甲、乙、丙三位小朋友分别在点F E D ,,．设θ=∠CEF ，乙丙之间的距离EF 是甲乙之间距离DE 的2倍，且3π=∠DEF ，请将甲乙之间的距离DE y =表示为θ的函数，并求甲乙之间的最小距离．22、已知函数33()sin cos 22f x x x ωω=+（其中0ω>）．（1）若函数()f x 的最小正周期为3π,求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间；（2）若2ω=，0α<<π，且3()2f α=，求α的值．23、在ABC ∆中，6AB =，32AC =，18AB AC ⋅=-. （1）求BC 边的长；（2）求ABC ∆的面积.24、已知1cos 2cos sin 32)(2-+=x x x x f 。

2018届上海市高考模拟数学试卷及答案

上海市2018学年度高考数学模拟试卷一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1.函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域为2.复数z 满足iiz 1=i +1，则i z 31-+= 3.底面边长为2m ，高为1m 的正三棱锥的全面积为 m 2 4.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产5.若非零向量,a b 满足32a b a b ==+,则,a b 夹角的余弦值为_______6.已知圆O ：522=+y x ，直线l ：)20(1sin cos πθθθ<<=+y x ，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k = 7.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为8.已知{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且2n n S a =+*()n ∈N ，则数列{}n a 的通项公式为9.设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时a 的取值范围为_____________10.已知F 是抛物线42y x =的焦点，B A ,是抛物线上两点，线段AB 的中点为)2,2(M ，则ABF ∆的面积为 11.如图,已知树顶A 离地面212米，树上另一点B 离地面112米，某人在离地面32米的C 处看此树，则该人离此树米时，第11题图看A 、B 的视角最大12.将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为13.如图，矩形n n n n D C B A 的一边n n B A 在x 轴上，另外两个顶点n n D C 在函数)0(1)(>+=x xx x f 的图象上.若点n B 的坐标),2)(0,(+∈≥N n n n ，记矩形n n n n D C B A 的周长为n a ，数列{}n a 的前m ()+∈N m 项和为m S ，则2limnmn a S +∞→= 14.已知定义域为R 的偶函数)(x f ，对于任意R x ∈，满足)2()2(x f x f -=+。

2018年上海高三一模真题汇编——三角比三角函数专题(教师版)

3
6
33
【解析】由 f (x) 2 cos2 x 2 3 sin x cos x 1 cos 2x 3 sin 2x 2sin(2x 5 ) .所以函数 f (x) 的最 6
小正周期为；最大值为 2；单调递增区间满足 2x 5 [2k ， 2k ](k Z ) ，即
点代入表达式求得.
【例 3】已知函数 f (x) 2sin( x) ，其中常数 0 ．若 y f (x) 在[ , 2 ] 上单调递增，则的取值范
43
围为_______.
【答案】[ , 2 ] . 43
【解析】因为

0
，根据题意有
24322
【例 2】在△ABC 中， a, b, c 分别是 A, B, C 对边的长.已知 a, b, c 成等比数列，且 a 2 c 2 ac bc ，
求 A 的大小及 b sin B 的值. c
【答案】 A ， b sin B =
3
.
3c2
【解析】由 a, b, c 成等比数列得 b2 ac ，则 a 2 c 2 ac bc 化成 b2 c 2 a 2 bc ，由余弦定理得
【点评】判断三角形形状一般有两种思路，一是通过角的转化，二是用边的关系。此题也可以通过正余弦定理转化为边的关系去解题.
【知识点 6】解三角形应用题
【例1】如图，旅客从某旅游区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A沿直线步行到
C ，另一种从A沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C . 现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC
定理解题.
【知识点 5】判断三角形形状
【1】在△ABC 中，若 2 cos B sin A sin C ，则△ABC 的形状一定是（）

(11套)2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总(打包下载)

（11套）2018年上海市含所有区高考数学一模试卷汇总2018年上海市崇明区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为．3．（4分）不等式＜0的解是．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是．（用数字作答）6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为cm2．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=．S11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种不同的选法．（用数字作答）12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市崇明区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，5}，B={2，a}，若A∪B={1，2，3，5}，则a=3．【解答】解：∵集合A={1，2，5}，B={2，a}，A∪B={1，2，3，5}，∴a=3．故答案为：3．2．（4分）抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0）．【解答】解：∵抛物线y2=4x是焦点在x轴正半轴的标准方程，p=2∴焦点坐标为：（1，0）故答案为：（1，0）3．（4分）不等式＜0的解是（﹣1，0）．【解答】解：不等式＜0，即x（x+1）＜0，求得﹣1＜x＜0，故答案为：（﹣1，0）．4．（4分）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z=1﹣i．【解答】解：由iz=1+i，得z==1﹣i故答案为：1﹣i．5．（4分）在代数式（x﹣）7的展开式中，一次项的系数是21．（用数字作答）【解答】解：（x﹣）7的展开式的通项为=，由7﹣3r=1，得r=2，∴一次项的系数是．故答案为：21．6．（4分）若函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是π，则ω=2．【解答】解：根据正弦函数的图象与性质，知函数y=2sin（ωx﹣）+1（ω＞0）的最小正周期是T==π，解得ω=2．故答案为：2．7．（5分）若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则a=．【解答】解：若函数f（x）=x a的反函数的图象经过点（，），则：（，）满足f（x）=xα，所以：，解得：，故答案为：．8．（5分）将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体的体积为27πcm3，则该几何体的侧面积为18πcm2．【解答】解：将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得几何体是圆柱体，设正方形的边长为acm，则圆柱体的体积为V=πa2•a=27π，解得a=3cm；∴该圆柱的侧面积为S=2π×3×3=18πcm2．故答案为：18π．9．（5分）已知函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，且f（2）=2，则a=﹣．【解答】解：∵函数y=f（x）是奇函数，当x＜0 时，f（x）=2x﹣ax，∴x＞0时，﹣f（x）=2﹣x﹣a（﹣x），∴f（x）=﹣2﹣x﹣ax，∵f（2）=2，∴f（2）=﹣2﹣2﹣2a=2，解得a=﹣．故答案为：﹣．10．（5分）若无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，且=a，则a=2．S【解答】解：无穷等比数列{a n}的各项和为S n，首项a1=1，公比为a﹣，=a，且S可得=a，即有=a，即为2a2﹣5a+2=0，解得a=2或，由题意可得0＜|q|＜1，即有0＜|a﹣|＜1，检验a=2成立；a=不成立．故答案为：2．11．（5分）从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有780种不同的选法．（用数字作答）【解答】解：根据题意，要求服务队中至少有 1 名女生，则分3种情况讨论：①、选出志愿者服务队的4人中有1名女生，有C53C31=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，②、选出志愿者服务队的4人中有2名女生，有C52C32=30种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有30×12=360种不同的选法，③、选出志愿者服务队的4人中有3名女生，有C51C33=5种选法，这4人选2人作为队长和副队有A42=12种，其余2人为普通队员，有1种情况，此时有5×12=60种不同的选法，则一共有360+360+60=780；故答案为：780．12．（5分）在ABC中，BC边上的中垂线分别交BC，AC于点D，E．若•=6，||=2，则AC=4．【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，设B（﹣a，0），C（a，0），E（0，b），∠ABC=α，由||=2，知A（﹣a+2cosα，2sinα），∴=（a﹣2cosα，b﹣2sinα），=（2a，0），∴•=2a（a﹣2cosα）+0=2a2﹣4acosα=6，∴a2﹣2acosα=3；又=（2a﹣2cosα，﹣2sinα），∴=（2a﹣2cosα）2+（﹣2sinα）2=4a2﹣8acosα+4=4（a2﹣2acosα）+4=4×3+4=16，∴||=4，即AC=4．故答案为：4．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）13．（5分）展开式为ad﹣bc的行列式是（）A．B．C．D．【解答】解：根据叫做二阶行列式，它的算法是：ad﹣bc，由题意得，=ad﹣bc．故选B．14．（5分）设a，b∈R，若a＞b，则（）A．＜B．lga＞lgb C．sin a＞sin b D．2a＞2b【解答】解：由a＞b，利用指数函数的单调性可得：2a＞2b．再利用不等式的性质、对数函数的定义域与单调性、三角函数的单调性即可判断出A，B，C不正确．故选：D．15．（5分）已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，则“d＞0”是“S4+S6＞2S5”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵S4+S6＞2S5，∴4a1+6d+6a1+15d＞2（5a1+10d），∴21d＞20d，∴d＞0，故“d＞0”是“S4+S6＞2S5”充分必要条件，故选：C16．（5分）直线x=2与双曲线﹣y2=1的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上任一点，若=a+b（a，b∈R，O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≥1 B．|ab|≥1 C．|a+b|≥1 D．|a﹣b|≥2【解答】解：双曲线﹣y2=1的渐近线为：y=±x．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A（2，1），B（2，﹣1）．=a+b=（2a+2b，a﹣b）．代入双曲线方程可得：﹣（a﹣b）2=1，化为ab=．∴=ab，化为：|a+b|≥1．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17．（14分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，A1C与底面ABCD所成的角为60°，（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1D1所成角的大小．【解答】解：（1）∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，∴AA1⊥平面ABCD，AC==2，∴∠A1CA是A1C与底面ABCD所成的角，∵A1C与底面ABCD所成的角为60°，∴∠A1CA=60°，∴AA1=AC•tan60°=2•=2，=AB×BC=2×2=4，∵S正方形ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积：V===．（2）∵BD∥B1D1，∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成角（或所成角的补角）．∵BD=，A1D=A1B==2，∴cos∠A1BD===．∴∠A1BD=arccos．∴异面直线A1B与B1D1所成角是arccos．18．（14分）已知f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．（1）求f（x）的最大值及该函数取得最大值时x的值；（2）在△ABC 中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若a=，b=，且f（）=，求边c的值．【解答】解：f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）（1）当2x+=时，即x=（k∈Z），f（x）取得最大值为2；（2）由f（）=，即2sin（A+）=可得sin（A+）=∵0＜A＜π∴＜A＜∴A=或∴A=或当A=时，cosA==∵a=，b=，解得：c=4当A=时，cosA==0∵a=，b=，解得：c=2．19．（14分）2016 年崇明区政府投资8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长50%．记2016 年为第 1 年，f （n）为第 1 年至此后第n （n∈N*）年的累计利润（注：含第n 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 f （n）为正值时，认为该项目赢利．（1）试求 f （n）的表达式；（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．【解答】解：（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×=（千万元）．∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利；方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．∴该项目将从第8年开始并持续赢利．答：该项目将从2023年开始并持续赢利．20．（16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆C：+y2=1 （a＞0，a≠1）的两个焦点分别是F1，F2，直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆交于A，B两点．（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，求a的值；（2）若k=1，且△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，求a与m满足的关系；（3）若a=2，且k OA•k OB=﹣，求证：△OAB的面积为定值．【解答】解：（1）∵M为椭圆短轴上的一个顶点，且△MF1F2是直角三角形，∴△MF1F2为等腰直角三角形，∴OF1=OM，当a＞1时，=1，解得a=，当0＜a＜1时，=a，解得a=，（2）当k=1时，y=x+m，设A（x1，y1），（x2，y2），由，即（1+a2）x2+2a2mx+a2m2﹣a2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+m（x1+x2）+m2=，∵△OAB是以O为直角顶点的直角三角形，∴•=0，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴a2m2﹣a2+m2﹣a2=0∴m2（a2+1）=2a2，（3）证明：当a=2时，x2+4y2=4，设A（x1，y1），（x2，y2），∵k OA•k OB=﹣，∴•=﹣，∴x1x2=﹣4y1y2，由，整理得，（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．∴x1+x2=，x1x2=，∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=++m2=，∴=﹣4×，∴2m2﹣4k2=1，∴|AB|=•=•=2•=∵O到直线y=kx+m的距离d==，=|AB|d==•==1∴S△OAB21．（18分）若存在常数k（k＞0），使得对定义域D内的任意x1，x2（x1≠x2），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；（2）判断函数f（x）=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f（x）（x∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1．【解答】解：（1）若函数f（x）=，（1≤x≤4）是“k﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥=恒成立．∵1≤x2＜x1≤4，∴＜＜，∴k的最小值为．（2）f（x）=log2x的定义域为（0，+∞），令x1=，x2=，则f（）﹣f（）=log2﹣log2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x1﹣x2|=，∴f（x1）﹣f（x2）＞2|x1﹣x2|，∴函数f（x）=log2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f（x）的最大值为M，最小值为m，在一个周期[0，2]内f（a）=M，f（b）=m，则|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b）≤|a﹣b|．若|a﹣b|≤1，显然有|f（x1）﹣f（x2）|≤|a﹣b|≤1．若|a﹣b|＞1，不妨设a＞b，则0＜b+2﹣a＜1，∴|f（x1）﹣f（x2）|≤M﹣m=f（a）﹣f（b+2）≤|a﹣b﹣2|＜1．综上，|f（x1）﹣f（x2）|≤1．2018年上海市虹口区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则=．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=．5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是．7．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC 的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=．11．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣115．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+12018年上海市虹口区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为（﹣∞，2）．【解答】解：要使函数有意义，可得2﹣x＞0，即x＜2．函数f（x）=lg（2﹣x）定义域为：（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．2．（4分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣1）+f（0）+f（1）=0．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（0）=0，即f（﹣1）+f（0）+f（1）=0，故答案为：0．3．（4分）首项和公比均为的等比数列{a n}，S n是它的前n项和，则= 1．【解答】解：根据题意，等比数列{a n}的首项和公比均为，则其前n项和S n==1﹣（）n，则=1；故答案为：1．4．（4分）在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，如果a：b：c=2：3：4，那么cosC=﹣．【解答】解：因为a：b：c=2：3：4，所以设a=2k，b=3k，c=4k，则根据余弦定理得：cosC===﹣．故答案为：﹣5．（4分）已知复数z=a+bi（a，b∈R）满足|z|=1，则a•b的范围是[，] ．【解答】解：∵z=a+bi（a，b∈R），且|z|=1，∴，即a2+b2=1，令a=cosθ，b=sinθ，则ab=cosθ•sinθ=，∴ab∈[，]．故答案为：．6．（4分）某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是18．【解答】解：根据题意，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，分2种情况讨论：①、从物理、化学、生物这三门中选1门，政治、历史、地理这三门选2门，有C31C32=9种选法，②、从物理、化学、生物这三门中选2门，政治、历史、地理这三门选1门，有C31C32=9种选法，则一共有9+9=18种选法；故答案为：187．（5分）已知M、N是三棱锥P﹣ABC的棱AB、PC的中点，记三棱锥P﹣ABC的体积为V1，三棱锥N﹣MBC的体积为V2，则等于．【解答】解：如图，设三棱锥P﹣ABC的底面积为S，高为h，∵M是AB的中点，∴，∵N是PC的中点，∴三棱锥N﹣MBC的高为，则，，∴=．故答案为：．8．（5分）在平面直角坐标系中，双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为．【解答】解：根据题意，抛物线y2=12x的焦点为（3，0），若双曲线的一个顶点与抛物线y2=12x的焦点重合，则双曲线的顶点坐标为（±3，0），则有a2=9，则双曲线的方程为：﹣y2=1，双曲线的焦点在x轴上，则其渐近线方程为故答案为：9．（5分）已知y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC，则△ABC的面积等于．【解答】解：由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形，∵底边长为一个周期T=2π，高为，∴△ABC的面积=2=，故答案为：．10．（5分）设椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，过焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，若△MNF 2的内切圆的面积为π，则=4．【解答】解：∵椭圆+的左右焦点分别为F1，F2，a=2，过焦点F1的直线交椭圆于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，△MNF2的内切圆的面积为π，∴△MNF2内切圆半径r=1．∴△MNF2面积S=×1×（MN+MF2+MF2）=2a=4，故答案为：411．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，点列P n（n∈N*）在线段AC上，且满足，若a1=1，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：如图所示，∵D是BC的中点，∴=+=+，又=+，，∴+=+a n（+），）+，化为：=（1﹣a n﹣a n+1∵点列P n（n∈N*）在线段AC上，+=1，∴1﹣a n﹣a n+1化为：a n=﹣，又a1=1，+1则数列{a n}是等比数列，首项为1，公比为﹣．∴a n=．故答案为：．12．（5分）设f（x）=x2+2a•x+b•2x，其中a，b∈N，x∈R，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））都有零点且它们的零点完全相同，则（a，b）为（0，0）或（1，0）．【解答】解：根据题意，函数y=f（x）的零点为方程x2+2a•x+b•2x=0的根，如果函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，则有f（x）=x，即x2+2a•x+b•2x=x，方程x2+2a•x+b•2x=x的根就是函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点，则有，解可得x=0，即x2+2a•x+b•2x=0的1个根为x=0，分析可得b=0，则f（x）=x2+2a•x，解可得x1=0或x2=﹣2a，f（f（x））=（x2+2a•x）2+2a（x2+2a•x），若函数y=f（x）与函数y=f（f（x））的零点完全相同，分析可得a=0或a=1，则（a，b）为（0，0）或（1，0）；故答案为（0，0）或（1，0）．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）异面直线a和b所成的角为θ，则θ的范围是（）A．B．（0，π） C．D．（0，π]【解答】解：∵异面直线a和b所成的角为θ，∴θ的范围是（0，]．故选：C．14．（5分）命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为（）A．若x≠1，则x≠1或x≠﹣1 B．若x=1，则x=1或x=﹣1C．若x≠1，则x≠1且x≠﹣1 D．若x=1，则x=1且x=﹣1【解答】解：命题：“若x2=1，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”；即“若x≠1，则x≠1且x≠﹣1”．故选：C．15．（5分）已知函数，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=（）A．2017 B．1513 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2017）=1009×f（﹣1）+1008×f（0）=1009×2﹣1+1008×20=．故选：D．16．（5分）已知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=6，在三角形所在的平面内有两个动点M和N，满足，，则的取值范围是（）A．B．[4，6]C．D．【解答】解：以AB，AC为坐标轴建立坐标系，则B（4，0），C（0，6），∵||=2，∴M的轨迹是以A为圆心，以2为半径的圆．∵，∴N是MC的中点．设M（2cosα，2sinα），则N（cosα，sinα+3），∴=（cosα﹣4，sinα+3），∴||2=（cosα﹣4）2+（sinα+3）2=6sinα﹣8cosα+26=10sin（α﹣φ）+26，∴当sin（α﹣φ）=﹣1时，||取得最小值=4，当sin（α﹣φ）=1时，||取得最大值=6．故选B．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．（1）求证：PM⊥平面ABC；（2）求直线PB和平面ABC所成的角的大小．【解答】证明：（1）在三棱锥P﹣ABC中，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点．∴PM⊥AC，AB⊥平面PAC，∴PM⊥AB，∵AB∩AC=A，∴PM⊥平面ABC．解：（2）连结BM，∵PM⊥平面ABC，∴∠PBM是直线PB和平面ABC所成的角，∵PA=AC=PC=AB=a，PA⊥AB，AC⊥AB，M为AC的中点，∴PM==，BM===，∴tan∠PBM===，∴．∴直线PB和平面ABC所成的角为arctan．18．（14分）已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．（1）求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在的最大值和最小值．【解答】解：函数=sinωx+cosωx=2sin （ωx），（1）∵函数的最小正周期等于π．即∴ω=2．可得f（x）=2sin（2x），由2x，k∈Z得：≤x≤故得函数的单调递增区间为[，]，k∈Z（2）∵f（x）=2sin（2x），当，（2x）∈[]∴当2x=时，函数f（x）取得最大值为2．当2x=时，函数f（x）取得最小值为﹣1．19．（14分）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2km，宽为1km的矩形，矩形两边AB、AD紧靠两条互相垂直的路上，现要过点C修一条直线的路l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点P和Q．（1）设AQ=x（km），将△APQ的面积S表示为x的函数；（2）求△APQ的面积S（km）的最小值．【解答】解：（1）设AQ=x，则由得：即AP=故S==（x＞1）；（2）由（1）得：S′=（x＞1）；当x∈（1，2）时，S′＜0，当x∈（2，+∞）时，S′＞0，故x=2时，S min=4．20．（16分）已知平面内的定点F到定直线l的距离等于p（p＞0），动圆M过点F且与直线l相切，记圆心M的轨迹为曲线C，在曲线C上任取一点A，过A 作l的垂线，垂足为E．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）记点A到直线l的距离为d，且，求∠EAF的取值范围；（3）判断∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由．【解答】解：（1）如图，以FK的中点为坐标原点O，FK所在的直线为x轴，过O的垂线为y轴建立直角坐标系，即有F（，0），直线l：x=﹣，动圆M过点F且与直线l相切，可得|AE|=|AF|，由抛物线的定义可得曲线C的轨迹为F为焦点、直线l为准线的抛物线，可得方程为y2=2px；（2）点A到直线l的距离为d，可得|AE|=|AF|=d，且，设A（x0，y0），可得y02=2px0，即有d=x0+，则x0=d﹣，即有|EF|2=p2+y02=p2+2p（d﹣）=2pd，在△EAF中，cos∠EAF==1﹣，可得﹣≤cos∠EAF≤，可得arccos≤π﹣arccos，则∠EAF的取值范围是[arccos]；（3）∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．设A（x0，y0），可得y02=2px0，当A与O重合时，显然一个交点；当A不与O重合，由∠EAF的平分线交x轴于M，连接EM，可得∠AMF=∠MAF，即有|MF|=|AF|=d，四边形AEMF为菱形，EF垂直平分AM，可得∠AMF+∠EFM=90°，tan∠AMF=cot∠EFM==，可设y0＞0，则直线AM的方程为y﹣y0=（x﹣x0），则y0y﹣y02=px﹣px0，化为y0y=px+px0，代入抛物线的方程y2=2px，消去x可得，y2﹣2y0y+2px0=0，即为（y﹣y0）2=0，可得y=y0，x=x0，即∠EAF的平分线所在的直线与曲线的交点个数为1．21．（18分）已知无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．（1）如果a2=2，且对于一切正整数n，均有，求S n；（2）如果对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，求S n；（3）如果对于一切正整数n，均有a n+a n=3S n，证明：a3n﹣1能被8整除．+1【解答】解：（1）∵无穷数列{a n}的各项均为正数，其前n项和为S n，a1=4．a2=2，且对于一切正整数n，均有，∴==1，=，由此猜想=23﹣n．再利用数学归纳法证明：①当n=1时，=4，成立．②假设n=k时，成立，即，则a k+1====2（6﹣2k）﹣（4﹣k）=22﹣k=23﹣（k+1）．由①②得，∴{a n}是首项为4，公比为的等比数列，∴S n==8（1﹣）．（2）∵对于一切正整数n，均有a n•a n+1=S n，∴S n=a n a n+1，S n﹣1=a n﹣1a n，∴a n=a n（a n+1﹣a n﹣1），∴a n+1﹣a n﹣1=1．a1=4，由a n•a n+1=S n，得a2=1，a3=5，a4=3，…∴当n为偶数时，+===．当n为奇数时，S n=++==．证明：（3）∵对于一切正整数n，均有a n+a n+1=3S n，∴a n+a n+1=3S n，a n﹣1+a n=3S n﹣1，∴a n+1﹣a n﹣1=3a n，a1+a2=3a1，a2=2a1=8，能被8整除，a3﹣a1=3a2，a3=28，假设a3k﹣1=8m，m∈N*．=3a2k+1+a3k=3（3a3k+a3k﹣1）+a3k则a3k+2=10a3k+a3k﹣1=40p+24q，p，q∈N*能被8整除，综上，a3n能被8整除．﹣12018年上海市黄浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A=．2．（3分）函数的定义域是．3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为．8．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是（用符号“＜“连接起来）．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是．12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．二、选择题（本大题共有4题，满分12分．）13．（3分）若x∈R，则“x＞1”是“”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．（3分）已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A．B．C．D．15．（3分）一个算法的程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A．4 B．5 C．6 D．716．（3分）已知a1，a2，a3，a4是各项均为正数的等差数列，其公差d大于零，若线段l1，l2，l3，l4的长分别为a1，a2，a3，a4，则（）A．对任意的d，均存在以l1，l2，l3为三边的三角形B．对任意的d，均不存在以为l1，l2，l3三边的三角形C．对任意的d，均存在以l2，l3，l4为三边的三角形D．对任意的d，均不存在以l2，l3，l4为三边的三角形三、解答题（本大题共有5题，满分74分．）17．（12分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=4，BC=3，E，F分别是所在棱AB，BC的中点，点P是棱A1B1上的动点，联结EF，AC1．如图所示．（1）求异面直线EF，AC1所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求以E，F，A，P为顶点的三棱锥的体积．18．（12分）如图，已知点A是单位圆上一点，且位于第一象限，以x轴的正半轴为始边，OA为终边的角设为α，将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB．（1）用α表示A，B两点的坐标；（2）M为x轴上异于O的点，若MA⊥MB，求点M横坐标的取值范围．19．（14分）已知函数g（x）=，x∈R，函数y=f（x）是函数y=g（x）的反函数．（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出定义域D；（2）设h（x）=，若函数y=h（x）在区间（0，1）内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h（x）在区间（﹣1，0）内必有唯一的零点（假设为t），且﹣1．20．（18分）（理科）定义：若各项为正实数的数列{a n}满足，则称数列{a n}为“算术平方根递推数列”．，x n）在二次函数f（x）=2x2+2x 已知数列{x n}满足，且，点（x n+1的图象上．（1）试判断数列{2x n+1}（n∈N*）是否为算术平方根递推数列？若是，请说明你的理由；（2）记y n=lg（2x n+1）（n∈N*），求证：数列{y n}是等比数列，并求出通项公式y n；}中依据某种顺序自左至右取出其中的项，（3）从数列{y把这些项重新组成一个新数列{z n}：．若数列{z n}是首项为、公比为的无穷等比数列，且数列{z n}各项的和为，求正整数k、m的值．21．（18分）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．2018年上海市黄浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分.其中第1～6题每题满分36分，第7～12题每题满分36分）1．（3分）已知全集U=R，集合，则（∁U B）∩A= {x|﹣1＜x≤} ．【解答】解：A={x|﹣1＜x＜1}，∁U B={x|x≤}，则（∁U B）∩A={x|﹣1＜x≤}，故答案为：{x|﹣1＜x≤}，2．（3分）函数的定义域是（1，+∞）．【解答】解：要使函数有意义，需满足解得x＞1故答案为：（1，+∞）3．（3分）若复数z满足（i为虚数单位），则z=1+2i．【解答】解：由，得z=1+2i．故答案为：1+2i．4．（3分）已知sin（α+）=，α∈（﹣，0），则tanα=﹣2．【解答】解：∵sin（α+）=cosα，sin（α+）=，∴cosα=，又α∈（﹣，0），∴sinα=﹣，∴tanα==﹣2．故答案为：﹣2．5．（3分）若无穷等比数列中任意一项均等于其之后所有项的和，则其公比为．【解答】解：设数列中的任意一项为a，由无穷等比数列中的每一项都等于它后面所有各项的和，得a=，即1﹣q=q∴q=．故答案为：．6．（3分）若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=1．【解答】解：作函数y=sinx在区间[π，2π]上的图象如下，，结合图象可知，若函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a﹣1=0，故a=1；故答案为：1．7．（3分）已知向量=（x，y）（x，y∈R），=（1，2），若x2+y2=1，则|﹣|的最小值为﹣1．【解答】解：设O（0，0），P（1，2），∴|﹣|=≥||﹣1=﹣1=﹣1，∴|﹣|的最小值为﹣18．（3分）已知函数y=f（x）是奇函数，且当x≥0时，f（x）=log2（x+1）．若函数y=g（x）是y=f（x）的反函数，则g（﹣3）=﹣7．【解答】解：∵反函数与原函数具有相同的奇偶性．∴g（﹣3）=﹣g（3），∵反函数的定义域是原函数的值域，∴log2（x+1）=3，解得：x=7，即g（3）=7，故得g（﹣3）=﹣7．故答案为：﹣7．9．（3分）已知m，n，α，β∈R，m＜n，α＜β，若α，β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，则m，n，α，β四个数按从小到大的顺序是α＜m＜n ＜β（用符号“＜“连接起来）．【解答】解：∵α、β是函数f（x）=2（x﹣m）（x﹣n）﹣7的零点，∴α、β是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与函数y=7的交点的横坐标，且m、n是函数y=2（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点的横坐标，故由二次函数的图象可知，α＜m＜n＜β；故答案为：α＜m＜n＜β．10．（3分）已知点O，A，B，F分别为椭圆的中心、左顶点、上顶点、右焦点，过点F作OB的平行线，它与椭圆C在第一象限部分交于点P，若，则实数λ的值为．【解答】解：如图，A（﹣a，0），B（0，b），F（c，0），则P（c，），∴，，由，得，即b=c，∴a2=b2+c2=2b2，．则．故答案为：．11．（3分）已知x∈R，定义：A（x）表示不小于x的最小整数．如，A（﹣1.1）=﹣1．若A（2x•A（x））=5，则正实数x的取值范围是（1，] ．【解答】解：当A（x）=1时，0＜x≤1，可得4＜2x≤5，得2＜x≤，矛盾，故A（x）≠1，当A（x）=2时，1＜x≤2，可得4＜4x≤5，得1＜x≤，符合题意，故A（x）=2，当A（x）=3时，2＜x≤3，可得4＜6x≤5，得＜x≤，矛盾，故A（x）≠3，由此可知，当A（x）≥4时也不合题意，故A（x）=2∴正实数x的取值范围是（1，]故答案为：（1，]12．（3分）已知点M（m，0），m＞0和抛物线C：y2=4x．过C的焦点F的直线与C交于A，B两点，若=2，且||=||，则m=．【解答】解：由题意可知：F（1，0），由抛物线定义可知A（x1，y1），可知B（x2，y2），∵=2，可得：2（x2﹣1，y2）=（1﹣x1，﹣y1），可得y2=﹣，x2=，，解得x1=2，y1=±2．||=||，。

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷

2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B=．2．（4分）不等式的解集为．3．（4分）已知，则=．4．（4分）=．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．2018年上海市长宁区、嘉定区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，则A∩B={2，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，B={2，4，5}，∴A∩B={2，4}．故答案为：{2，4}．2．（4分）不等式的解集为（﹣1，0] ．【解答】解：∵，∴或，解得：﹣1＜x≤0，故答案为（﹣1，0]．3．（4分）已知，则=．【解答】解：∵sinα=，∴cos（+α）=﹣sinα=﹣．故答案为：﹣4．（4分）=．【解答】解：==，∴=，故答案为：．5．（4分）已知球的表面积为16π，则该球的体积为．【解答】解：一个球的表面积是16π，所以球的半径为：2，所以这个球的体积为：=．故答案为：．6．（4分）已知函数f（x）=1+log a x，y=f﹣1（x）是函数y=f（x）的反函数，若y=f ﹣1（x）的图象过点（2，4），则a的值为4．【解答】解：∵y=f﹣1（x）的图象过点（2，4），∴函数y=f（x）的图象过点（4，2），又f（x）=1+log a x，∴2=1+log a4，即a=4．故答案为：4．7．（5分）若数列{a n}为等比数列，且a5=3，则=18．【解答】解：根据题意，=a2•a8﹣a3•（﹣a7）=a2•a8+a3•a7，又由数列{a n}为等比数列，且a5=3，则有a2•a8=a3•a7=9，则=9+9=18；故答案为：18．8．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，则B=．【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，∵（a+b+c）（a﹣b+c）=ac，即a2+c2﹣b2=﹣ac，又cosB==﹣，∴B=，故答案为：．9．（5分）若的二项展开式中的所有二项式系数之和等于256，则该展开式中常数项的值为1120．【解答】解：由题意可知，2n=256，解得n=8．∴=，其展开式的通项=，令8﹣2r=0，得r=4．∴该展开式中常数项的值为．故答案为：1120．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，∴，又当x∈[2，4]时，，∴f（）=f（）=．故答案为：．11．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n•a n+1（n∈N*）．若b n=（﹣1）n，则数列{b n}的前n项和T n=﹣1+．【解答】解：∵2S n=a n•a n+1（n∈N*）．=a n﹣1•a n，当n≥2时，2S n﹣1∴2a n=2S n﹣2S n﹣1=a n（a n+1﹣a n﹣1），∵a1=1，∴a n≠0﹣a n﹣1=2，∴a n+1﹣a n）+（a n﹣a n﹣1）=2，∴（a n+1∴a n﹣a n﹣1=1，∴数列{a n}是以1为首项，以1为公差的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）=n，∴b n=（﹣1）n=（﹣1）n•=（﹣1）n•（+），数列{b n}的前n项和T n=﹣（1+）+（+）﹣（+）+…+（﹣1）n•（+），当n为偶数时，T n=﹣1+，当n为奇数时，T n=﹣1+﹣（+）=﹣1﹣，综上所述T n=﹣1+，故答案为：﹣1+．12．（5分）若不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，则实数c的最大值为2﹣4．【解答】解：∵不等式x2﹣2y2≤cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴c≤=，令，∴=f（t），f′（t）==，当t时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，=2﹣4．∴实数c的最大值为2﹣4．故答案为：﹣4．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）设角α的始边为x轴正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵角α的始边为x轴正半轴，∴“α的终边在第一、二象限”⇒“sinα＞0”，“sinα＞0”⇒“α的终边在第一、二象限或α的终边在x轴正半轴”，∴“α的终边在第一、二象限”是“sinα＞0”的充分非必要条件．故选：A．14．（5分）若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（）A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交【解答】解：A．l与l1，l2可以相交，如图：∴该选项错误；B．l可以和l1，l2中的一个平行，如上图，∴该选项错误；C．l可以和l1，l2都相交，如下图：，∴该选项错误；D．“l至少与l1，l2中的一条相交”正确，假如l和l1，l2都不相交；∵l和l1，l2都共面；∴l和l1，l2都平行；∴l1∥l2，l1和l2共面，这样便不符合已知的l1和l2异面；∴该选项正确．故选：D．15．（5分）对任意两个非零的平面向量和，定义，其中θ为和的夹角，若两个非零的平面向量和满足：①；②和的夹角；③和的值都在集合中，则的值为（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵=cosθ=，=cosθ=，m∈N，由与的夹角θ∈（0，），知cos2θ=∈（，1），故mn=3，m，n∈N，∵，∴0＜=＜1，∴m=1，n=3，∴=，故选：B．16．（5分）已知函数，且f1（x）=f（x），f n（x）=f（f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．则满足方程f n（x）=x的根的个数为（）A．2n个B．2n2个C．2n个D．2（2n﹣1）个【解答】解：当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x=x，解得x=0；当x∈（，1]时，f1（x）=f（x）=2﹣2x=x，解得x=，∴f的1阶根的个数是2．当x∈[0，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=4x=x，解得x=0；当x∈（，]时，f1（x）=f（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x，解得x=；当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x，解得x=；当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x，解得x=．∴f的2阶根的个数是22．依此类推∴f的n阶根的个数是2n．故选：C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，设长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，AA1=4．（1）求四棱锥A1﹣ABCD的体积；（2）求异面直线A1B与B1C所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】解：（1）∵A1到平面ABCD的距离d=AA1=4，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=3，=AB×BC=3×3=9，∴S正方体ABCD∴四棱锥A1﹣ABCD的体积V==．（2）∵A1B∥D1C，∴∠D1CB1是异面直线A1B与B1C所成角（或所成角的补角），∵B1D1==3，B1C=D1C==5，∴cos∠D1CB1===，∴∠D1CB1=arccos．∴异面直线A1B与B1C所成角为．18．（14分）已知复数z满足，z2的虚部为2．（1）求复数z；（2）设z、z2、z﹣z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），由已知可得：，即，解得或．∴z=1+i或z=﹣1﹣i；（2）当z=1+i时，z2=2i，z﹣z2=1﹣i，∴A（1，1），B（0，2），C（1，﹣1），故△ABC的面积S=×2×1=1；当z=﹣1﹣i时，z2=2i，z﹣z2=﹣1﹣3i，∴A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（﹣1，﹣3），故△ABC的面积S=×2×1=1．∴△ABC的面积为1．19．（14分）一根长为L的铁棒AB欲通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽AC=BD=2m．（1）设∠BOD=θ，试将L表示为θ的函数；（2）求L的最小值，并说明此最小值的实际意义．【解答】解：（1）∵走廊的宽AC=BD=2m．∠BOD=∠BAC=θ，∴；（2）∵∴．∵θ∈（0，），L′＜0，L为减函数；θ∈（，），L′＞0，L为增函数；∴θ=时，L取最小值4，该最小值表示：超过则无法通过．20．（16分）已知函数f（x）=2x+2﹣x．（1）求证：函数f（x）是偶函数；（2）设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af（x）在x∈[0，+∞）时的值域g （a）表达式；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立，求实数m的取值范围．【解答】证明：（1）∵函数f（x）=2x+2﹣x的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=2﹣x+2x=2x+2﹣x=f（x），故函数f（x）是偶函数；解：（2）令t=f（x）=2x+2﹣x．则t≥2，22x+2﹣2x=t2﹣2y=22x+2﹣2x﹣2af（x）=t2﹣2at﹣2，当a≤2时，当t=2时，函数取最小值2﹣4a，无最大值；此时函数的值域为[2﹣4a，+∞），a＞2时，当t=a时，函数取最小值﹣a2﹣2，无最大值；此时值域为[﹣a2﹣2，+∞）；（3）若关于x的不等式mf（x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m（2x+2﹣x）≤2﹣x+m﹣1在x∈（0，+∞）时恒成立即m≤=1﹣=1﹣在x∈（0，+∞）时恒成立当x=1时，2﹣x=，此时（2﹣x）2﹣2﹣x+1取最小值，故取最大值，故1﹣取最小值﹣故．21．（18分）已知数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，且满足，试确定b1的值，使得数列{b n}为等差数列；（3）将数列中的部分项按原来顺序构成新数列{c n}，且c1=5，求证：存在无数个满足条件的无穷等比数列{c n}．【解答】解：（1），则﹣=4，n∈N*∴数列{}是以1为首项，以4为公差的等差数列，则=1+4（n﹣1）=4n﹣3，∴，∴数列{a n}的通项公式；（2）由（1）可得，=（4n+1）S n+16n2﹣8n﹣3，∵，∴（4n﹣3）S n+1∴﹣=1，∴数列{}是等差数列，首项为S1，公差为1．∴=b1+n﹣1，∴S n=（b1+n﹣1）（4n﹣3），当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（b1+n﹣1）（4n﹣3）﹣（b1+n﹣2）（4n﹣7），化为b n=4b1+8n ﹣11，若数列{b n}为等差数列，则上式对于n=1时也成立，∴b1=4b1﹣3，解得b1=1．∴b n=8n﹣7为等差数列．∴b1=1，数列{b n}为等差数列；（3）证明：由（1）可得=4n﹣3．解法1：令等比数列{c n}的公比q=4m（m∈N*），则c n=c1q n﹣1=5×4m（n﹣1），设k=m（n﹣1），因为1+4+42+…+4k﹣1=，所以5×4m（n﹣1）=5×[3（1+4+42+…+4k﹣1）+1]，=3[5（1+4+42+…+4k﹣1）+2]﹣1，…（14分）因为5（1+4+42+…+4k﹣1）+2为正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）解法2：设c2=4k2﹣3（k2≥3），所以公比q=．因为等比数列{b n}的各项为整数，所以q为整数，取k2=5m+2（m∈N*），则q=4m+1，故c n=5•（4m+1）n﹣1，由4k n﹣3=5•（4m+1）n﹣1得，k n=[5（4m+1）n﹣1+3]（n∈N*），而当n≥2时，k n﹣k n﹣1=[（4m+1）n﹣1﹣（4m+1）n﹣2]=5m（4m+1）n﹣2，即k n=k n﹣1+5m（4m+1）n﹣2，…（14分）又因为k1=2，5m（4m+1）n﹣2都是正整数，所以k n也都是正整数，所以数列{c n}是数列{a n}中包含的无穷等比数列，因为公比q=4m+1（m∈N*）有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列，故无穷等比数列{c n}有无数个．…（16分）。

2018上海高三一模函数汇编

普陀区6．〔4分〕函数的值域为．12．〔5分〕双曲线绕坐标原点O旋转适当角度可以成为函数f〔x〕的图象，关于此函数f〔x〕有如下四个命题：①f〔x〕是奇函数；②f〔x〕的图象过点或；③f〔x〕的值域是；④函数y=f〔x〕﹣x有两个零点；则其中所有真命题的序号为．14．〔5分〕“m＞0”是“函数f〔x〕=|x〔mx+2〕|在区间〔0，+∞〕上为增函数”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件16．〔5分〕定义在R上的函数f〔x〕满足，且f〔x﹣1〕=f〔x+1〕，则函数在区间[﹣1，5]上的所有零点之和为〔〕A．4 B．5 C．7 D．818．〔14分〕某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买x台机器人的总成本p〔x〕=+x+150万元．〔1〕假设使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？〔2〕现按〔1〕中的数量购买机器人，需要安排m人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣〔如图〕，经实验知，每台机器人的日平均分拣量q〔m〕=〔单位：件〕，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19．〔14分〕设函数f〔x〕=sin〔ωx+φ〕〔ω＞0，〕，已知角φ的终边经过点，点M〔x1，y1〕、N〔x2，y2〕是函数f〔x〕图象上的任意两点，当|f〔x1〕﹣f〔x2〕|=2时，|x1﹣x2|的最小值是．〔1〕求函数y=f〔x〕的解析式；〔2〕已知△ABC面积为，角C所对的边，，求△ABC的周长．浦东新区3．〔4分〕已知函数f〔x〕=2x﹣1的反函数是f﹣1〔x〕，则f﹣1〔5〕=．8．〔5分〕已知函数y=f〔x〕是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞〕上增函数，假设f〔a+1〕≤f〔4〕，则实数a的取值范围是．11．〔5分〕已知函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕，将f〔x〕的图象向左平移个单位得到函数g〔x〕的图象，令h〔x〕=f〔x〕+g〔x〕，如果存在实数m，使得对任意的实数x，都有h〔m〕≤h〔x〕≤h〔m+1〕成立，则ω的最小值为．21．〔18分〕已知函数f〔x〕的定义域为D，值域为f〔D〕，即f〔D〕={y|y=f〔x〕，x∈D}，假设f〔D〕⊆D，则称f〔x〕在D上封闭．〔1〕分别判断函数f〔x〕=2017x+log2017x，在〔0，1〕上是否封闭，说明理由；〔2〕函数的定义域为D=[a，b]，且存在反函数y=f﹣1〔x〕，假设函数f〔x〕在D上封闭，且函数f﹣1〔x〕在f〔D〕上也封闭，求实数k的取值范围；〔3〕已知函数f〔x〕的定义域为D，对任意x，y∈D，假设x≠y，有f〔x〕≠f 〔y〕恒成立，则称f〔x〕在D上是单射，已知函数f〔x〕在D上封闭且单射，并且满足f x〔D〕⊊D，其中f n+1〔x〕=f〔f n〔x〕〕〔n∈N*〕，f1〔x〕=f〔x〕，证明：存在D的真子集，D n⊊D n﹣1⊊…⊊D3⊊D2⊊D1⊊D，使得f〔x〕在所有D i〔i=1，2，3，…，n〕上封闭．闵行区16．〔5分〕已知函数〔n＜m〕的值域是[﹣1，1]，有以下结论：①当n=0时，m∈〔0，2]；②当时，；③当时，m∈[1，2]；④当时，m∈〔n，2]；其中结论正确的所有的序号是〔〕A．①②B．③④C．②③D．②④17．〔14分〕已知函数〔其中ω＞0〕．〔1〕假设函数f〔x〕的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕假设ω=2，0＜α＜π，且，求α的值．21．〔18分〕对于函数y=f〔x〕〔x∈D〕，如果存在实数a、b〔a≠0，且a=1，b=0不同时成立〕，使得f〔x〕=f〔ax+b〕对x∈D恒成立，则称函数f〔x〕为“〔a，b〕映像函数”．〔1〕判断函数f〔x〕=x2﹣2是否是“〔a，b〕映像函数”，如果是，请求出相应的a、b的值，假设不是，请说明理由；〔2〕已知函数y=f〔x〕是定义在[0，+∞〕上的“〔2，1〕映像函数”，且当x∈[0，1〕时，f〔x〕=2x，求函数y=f〔x〕〔x∈[3，7〕〕的反函数；〔3〕在〔2〕的条件下，试构造一个数列{a n}，使得当x∈[a n，a n+1〕〔n∈N*〕时，2x+1∈[a n，a n+2〕，并求x∈[a n，a n+1〕〔n∈N*〕时，函数y=f〔x〕的解析+1式，及y=f〔x〕〔x∈[0，+∞〕〕的值域．静安区7．〔5分〕设函数f〔x〕=sin〔πx〕，假设存在x0∈〔﹣1，1〕同时满足以下条件：①对任意的x∈R，都有f〔x〕≤f〔x0〕成立；②x02+[f〔x0〕]2＜m2，则m的取值范围是．10．〔5分〕如图，正方形ABCD的边长为2，O为AD的中点，射线OP从OA出发，绕着点O顺时针方向旋转至OD，在旋转的过程中，记∠AOP为x〔x∈[0，π]〕，OP所经过正方形ABCD内的区域〔阴影部分〕的面积S=f〔x〕，那么对于函数f〔x〕有以下三个结论：①f〔〕=；②任意x∈[0，]，都有f〔﹣x〕+f〔+x〕=4；③任意x1，x2∈〔，π〕，且x1≠x2，都有＜0．其中所有正确结论的序号是．19．〔18分〕设集合M a={f〔x〕|存在正实数a，使得定义域内任意x都有f〔x+a〕＞f〔x〕}．〔1〕假设f〔x〕=2x﹣x2，试判断f〔x〕是否为M1中的元素，并说明理由；〔2〕假设，且g〔x〕∈M a，求a的取值范围；〔3〕假设〔k∈R〕，且h〔x〕∈M2，求h〔x〕的最小值．黄浦区2．〔3分〕函数的定义域是．6．〔3分〕假设函数y=a+sinx在区间[π，2π]上有且只有一个零点，则a=．8．〔3分〕已知函数y=f〔x〕是奇函数，且当x≥0时，f〔x〕=log2〔x+1〕．假设函数y=g〔x〕是y=f〔x〕的反函数，则g〔﹣3〕=．19．〔14分〕已知函数g〔x〕=，x∈R，函数y=f〔x〕是函数y=g〔x〕的反函数．〔1〕求函数y=f〔x〕的解析式，并写出定义域D；〔2〕设h〔x〕=，假设函数y=h〔x〕在区间〔0，1〕内的图象是不间断的光滑曲线，求证：函数y=h〔x〕在区间〔﹣1，0〕内必有唯一的零点〔假设为t〕，且﹣1．虹口区1．〔4分〕函数f〔x〕=lg〔2﹣x〕定义域为15．〔5分〕已知函数，则f〔1〕+f〔2〕+f〔3〕+…+f〔2017〕=〔〕A．2017 B．1513 C．D．18．〔14分〕已知函数，其中x∈R，ω＞0，且此函数的最小正周期等于π．〔1〕求ω的值，并写出此函数的单调递增区间；〔2〕求此函数在的最大值和最小值．崇明区6．〔4分〕假设函数y=2sin〔ωx﹣〕+1〔ω＞0〕的最小正周期是π，则ω=．7．〔5分〕假设函数f〔x〕=x a的反函数的图象经过点〔，〕，则a=．9．〔5分〕已知函数y=f〔x〕是奇函数，当x＜0 时，f〔x〕=2x﹣ax，且f〔2〕=2，则a=．21．〔18分〕假设存在常数k〔k＞0〕，使得对定义域D内的任意x1，x2〔x1≠x2〕，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f〔x〕在其定义域D上是“k﹣利普希兹条件函数”．〔1〕假设函数f〔x〕=，〔1≤x≤4〕是“k﹣利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；〔2〕判断函数f〔x〕=log2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，假设是，请证明，假设不是，请说明理由；〔3〕假设y=f〔x〕〔x∈R 〕是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x1，x2，都有|f〔x1〕﹣f〔x2〕|≤1．长宁区、嘉定区6．〔4分〕已知函数f〔x〕=1+log a x，y=f﹣1〔x〕是函数y=f〔x〕的反函数，假设y=f﹣1〔x〕的图象过点〔2，4〕，则a的值为．10．〔5分〕已知函数f〔x〕是定义在R上且周期为4的偶函数，当x∈[2，4]时，，则的值为．16．〔5分〕已知函数，且f1〔x〕=f〔x〕，f n〔x〕=f〔f n﹣1〔x〕〕，n=1，2，3，…．则满足方程f n〔x〕=x的根的个数为〔〕A．2n个B．2n2个C．2n个D．2〔2n﹣1〕个20．〔16分〕已知函数f〔x〕=2x+2﹣x．〔1〕求证：函数f〔x〕是偶函数；〔2〕设a∈R，求关于x的函数y=22x+2﹣2x﹣2af〔x〕在x∈[0，+∞〕时的值域g 〔a〕表达式；〔3〕假设关于x的不等式mf〔x〕≤2﹣x+m﹣1在x∈〔0，+∞〕时恒成立，求实数m的取值范围．青浦区4．〔4分〕函数f〔x〕=sinxcosx+cos2x的最大值为．10．〔5分〕已知函数f〔x〕=有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是．14．〔5分〕已知函数f〔x〕=2sin〔x+〕，假设对任意实数x，都有f〔x1〕≤f〔x〕≤f〔x2〕，则|x2﹣x1|的最小值是〔〕A．πB．2πC．2 D．421．〔18分〕对于定义在[0，+∞〕上的函数f〔x〕，假设函数y=f〔x〕﹣〔ax+b〕满足：①在区间[0，+∞〕上单调递减，②存在常数p，使其值域为〔0，p]，则称函数g〔x〕=ax+b是函数f〔x〕的“逼进函数”．〔1〕判断函数g〔x〕=2x+5是不是函数f〔x〕=，x∈[0，+∞〕的“逼进函数”；〔2〕求证：函数g〔x〕=x不是函数f〔x〕=〔〕x，x∈[0，+∞〕的“逼进函数”〔3〕假设g〔x〕=ax是函数f〔x〕=x+，x∈[0，+∞〕的“逼进函数”，求a的值．松江区4．〔4分〕已知函数f〔x〕=log2〔x+a〕的反函数为y=f﹣1〔x〕，且f﹣1〔2〕=1，则实数a=．7．〔5分〕函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象在区间[0，2π]上交点的个数是．10．〔5分〕已知函数f〔x〕=x|2x﹣a|﹣1有三个零点，则实数a的取值范围为．11．〔5分〕定义，已知函数f〔x〕、g〔x〕的定义域都是R，则以下四个命题中为真命题的是〔写出所有真命题的序号〕①假设f〔x〕、g〔x〕都是奇函数，则函数F〔f〔x〕，g〔x〕〕为奇函数；②假设f〔x〕、g〔x〕都是偶函数，则函数F〔f〔x〕，g〔x〕〕为偶函数；③假设f〔x〕、g〔x〕都是增函数，则函数F〔f〔x〕，g〔x〕〕为增函数；④假设f〔x〕、g〔x〕都是减函数，则函数F〔f〔x〕，g〔x〕〕为减函数．14．〔5分〕已知f〔x〕是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f〔x1〕﹣f〔x2〕=0”的〔〕A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件18．〔14分〕已知函数〔x≠0，常数a∈R〕．〔1〕讨论函数f〔x〕的奇偶性，并说明理由；〔2〕当a＞0时，研究函数f〔x〕在x∈〔0，+∞〕内的单调性．19．〔14分〕松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t〔单位：分钟〕满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与〔10﹣t〕的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p〔t〕．〔1〕求p〔t〕的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；〔2〕假设该线路每分钟的净收益为〔元〕，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？杨浦区11．〔5分〕已知函数，x∈R，设a＞0，假设函数g〔x〕=f〔x+α〕为奇函数，则α的值为．14．〔5分〕给出以下函数：①y=log2x；②y=x2；③y=2|x|；④y=arcsinx．其中图象关于y轴对称的函数的序号是〔〕A．①②B．②③C．①③D．②④15．〔5分〕“t≥0”是“函数f〔x〕=x2+tx﹣t在〔﹣∞，+∞〕内存在零点”的〔〕A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．〔14分〕如下图，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．〔1〕设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；〔2〕怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？19．〔14分〕已知函数的定义域为集合A，集合B=〔a，a+1〕，且B ⊆A．〔1〕求实数a的取值范围；〔2〕求证：函数f〔x〕是奇函数但不是偶函数．。

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上海市各区2018届高三数学（理科）一模试题分类汇编三角函数2018.01.23（普陀区2018届高三1月一模，理）3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .3. 4；（长宁区2018届高三1月一模，理）7、设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ］上单调递增，则ω的取值范围是_________. 7、]23,0(（徐汇区2018届高三1月一模，理）4. 已知3sin 5x =，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x = .（结果用反三角函数表示）（嘉定区2018届高三1月一模，理）6．已知θ为第二象限角，54sin =θ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πθ____________．6．71-（杨浦区2018届高三1月一模，理）9. 已知函数()1cos sin )(2-+=x x x f ωω的最小正周期为π，则=ω _________． 9. 理1±；（浦东新区2018届高三1月一模，理）4.已知tan tan αβ、是方程2670x x ++=的两根，则tan()αβ+=_______. 4. 1（长宁区2018届高三1月一模，理）9、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c.若bc b a 322=-，B C sin 32sin = ，则角A ＝._________9、6π （浦东新区2018届高三1月一模，理）9.在锐角ABC 中,4,3AC BC ==，三角形的面积等于33，则AB 的长为___________. 9. 13（徐汇区2018届高三1月一模，理）2. 函数x x y 2cos 2sin =的最小正周期是 .（普陀区2018届高三1月一模，理）17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .17 C （徐汇区2018届高三1月一模，理）16. 为了得到函数2sin ,36x y x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2sin ,y x x R =∈的图像上所有的点--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（）(A) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） (B) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）(C) 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）(D) 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）（16. B浦东新区2018届高三1月一模，理）16. 方程5log sin x x 的解的个数为（）(A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 16. B（长宁区2018届高三1月一模，理）17、已知△ABC 为等边三角形,=2AB ,设点P,Q 满足=AP AB λ,=(1)AQ AC λ-,R λ∈,若3=2BQ CP ⋅-,则=λ（）A ．12B ．122± C ．1102± D ．3222-± 17、A（嘉定区2018届高三1月一模，理）17．将函数x y 2sin =（R ∈x ）的图像分别向左平移m （0>m ）个单位，向右平移n（0>n ）个单位，所得到的两个图像都与函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin πx y 的图像重合，则n m + 的最小值为……………………………………………………………………………（） A ．32π B ．65π C ．π D ．34π17．C（杨浦区2018届高三1月一模，理）17. 设锐角ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 1=a ，A B 2=, 则b 的取值范围为 ………（）. )(A ()3,2 ． )(B ()3,1 ．)(C()2,2 ． )(D ()2,0 ．17. A ；（普陀区2018届高三1月一模，理）20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值；（2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值. 20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分 621521322335+=⨯+⨯=………………14分（杨浦区2018届高三1月一模，理）21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分9分．某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点)1,0(F ，0=⋅BD AC ，点E 为y 轴上一点，记α=∠EFA ，其中α为锐角． (1) 求抛物线Γ方程；(2) 如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？21. 【解】理科（1）由抛物线Γ焦点)1,0(F 得,抛物线Γ方程为y x 42= ……5分（2）设m AF =，则点)1cos ,sin (+-ααm m A ……6分所以，)cos 1(4)sin (2ααm m +=-，既04cos 4sin 22=--ααm m ……7分解得 αα2sin )1(cos 2+=AF ……8分同理： αα2cos )sin 1(2-=BF ……9分 αα2cos )sin 1(2+=DF ……10分 αα2sin )cos 1(2-=CF ……11分 “蝴蝶形图案”的面积2)cos (sin cos sin 442121αααα-=⋅+⋅=+=∆∆DF CF BF AF S S S CFD AFB 令 ⎝⎛⎥⎦⎤∈=21,0,cos sin t t αα, [)+∞∈∴,21t ……12分则121141422-⎪⎭⎫⎝⎛-=-=t t t S , 21=∴t 时,即4πα=“蝴蝶形图案”的面积为8……14分（长宁区2018届高三1月一模，理）20.（本题满分14分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分8分）在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =. (1)求证tan 3tan B A =; （2）若5cos C =求角A 的大小. 20、(1)∵3AB AC BA BC =,∴cos =3cos AB AC A BA BC B , 即cos =3cos AC A BC B . …………2分由正弦定理,得=sin sin AC BCB A,∴sin cos =3sin cos B A A B . …………4分又∵0<A B<π+,∴cos 0 cos 0A>B>，.∴sin sin =3cos cos B AB A即tan 3tan B A =. …………6分(2)∵ 5cos 0C <C <π=,∴2525sin 1=5C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.∴tan 2C =.…………8分 ∴()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦,即()tan 2A B +=-.∴tan tan 21tan tan A BA B+=--. …………10分由 (1) ,得24tan 213tan A A =--,解得1tan =1 tan =3A A -，. …………12分∵cos 0A>,∴tan =1A .∴=4A π. …………14分（浦东新区2018届高三1月一模，理）19. （本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分）如图，四棱锥S ABCD -的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，2SD AD ==（1）求证：AC SB ⊥；（2）求二面角C SA D --的大小. 19.解:（1）连接BD ，∵SD ⊥平面ABCDAC ⊆平面ABCD∴AC ⊥SD ………………4分又四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ∴AC ⊥平面SBD∴AC⊥SB. ………………6分（2）设SA 的中点为E ，连接DE 、CE ， ∵SD=AD,CS=CA, ∴DE ⊥SA, CE ⊥SA.∴CED ∠是二面角C SA D --的平面角. …………9分计算得：DE 2，CE 6，CD ＝2，则CD ⊥DE.3cos 3CED ∠=, 3arccos 3CED ∠= 所以所求二面角的大小为3arccos3.………12分（嘉定区2018届高三1月一模，理）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．已知函数3cos 32cos sin 2)(2-+=x x x x f ，R ∈x ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间；（2）在锐角三角形ABC 中，若1)(=A f ，2=⋅AC AB ，求△ABC 的面积．20．（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）（1）⎪⎭⎫⎝⎛+=+=-+=32sin 22cos 32sin )1cos 2(3cos sin 2)(2πx x x x x x x x f ， ………………………………………………（2分）所以，函数)(x f 的最小正周期为π． ………………………………………………（1分）由223222πππππ+≤+≤-k x k （Z ∈k ）， ………………………………………（2分）得12125ππππ+≤≤-k x k （Z ∈k ）， …………………………………………（2分）所以，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k （Z ∈k ）． ……………（1分）（2）由已知，132sin 2)(=⎪⎭⎫⎝⎛+=πA A f ，所以2132sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ， ……………（1分）因为20π<<A ，所以34323πππ<+<A ，所以6532ππ=+A ，从而4π=A ． …（2分）又2cos ||||=⋅⋅=⋅A AC AB AC AB ，，所以，2||||=⋅AC AB ， ………………（1分）所以，△ABC 的面积2222221sin ||||21=⨯⨯=⋅⋅⋅=A AC AB S ． …………（2分）。

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