发电机最优励磁控制系统设计

发电机最优励磁控制系统设计1 线性最优控制理论1.1 线性最优控制原理线性最优控制理论所研究的核心问题是选取最优的控制规律，使控制系统在特定指标下的性能为最优。

控制系统框如图1所示。

图1 最优控制框图线性定常系统状态空间方程的一般形式为：()X t AX BU =+ （1）式中，A 为状态系数矩阵；B 为控制系数矩阵；X 为n 维状态向量；U 为r 维控制向量。

如图1所示，如果要改善系统性能，可以引入状态反馈构成闭环系统。

反馈系统的状态向量为：U KX =- （2）式中，K 为状态反馈增益矩阵。

将式（1）和式（2）合并，可以得到：()()X AX B KX A BK X =+-=- （3）可见，最优控制的本质就是如何选取反馈矩阵K ，以使它在给定控制规律下达到特定条件下的最优。

1.2 二次型性能指标假定()y t 为系统的实际响应，()t ξ为系统预期的响应。

最优控制性能指标是使两者的偏差最小，即[]2min 0()()J t y t dt J ξ∞=-=⎰ （4）式中，J 是随函数()y t 而变化的一个泛函数，是在0∞时间内求取偏差平方的积分，称为二次型指标。

如果以()X t 为实际状态向量，以ˆ()Xt 为预期状态向量，则要求状态向量偏差最小的二次型性能指标为：ˆˆ()()()()TJ X t X t X t X t dt ∞⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦⎰（5）在二次型性能指标中，也需要引入对控制量的约束。

如果没有这个约束，所设计的控制器中，控制量的变化范围可能会很大，难以实现。

引入控制量约束的二次型指标为：{}ˆˆ()()()()()()TT J X t X t Q X t X t U t RU t dt ∞⎡⎤⎡⎤=--+⎣⎦⎣⎦⎰（6） 式中Q 和R 表示状态向量和控制向量的权矩阵。

为了便于分析，通常把系统平衡点置于状态空间的原点，即ˆ()0Xt =，则式（6）可以变换为：0()()()()T TJ X t QX t U t RU t dt ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰ （7） 以上式作为性能指标设计最优控制系统，可以证明这个最优控制规律是存在且唯一的，表达式为：1()()()T U t R B PX t KX t -=-=- （8）式中，K 为最优反馈增益矩阵。

P 为n n ⨯维对称常矩阵，矩阵P 是黎卡梯方程：10T T A P PA PBR B P Q -+-+=的解。

2 单机无穷大系统数学模型与无穷大系统并联运行的同步发电机的基本数学模型包括4个部分：与系统并联的同步发电机基本方程组，发电机电势、定子电压和电流之间的联系方程，功率方程以及转子绕组动态方程。

2.1与系统并联的同步发电机基本方程组与系统并联的同步发电机基本方程组决定了运行中的发电机的稳态与过渡过程的全部动力学特性。

转子运动方程的形式如下：222m e D H d P P P f dtδπ=-- （9）式中，H 用秒，δ用弧度，t 用秒，m P 、e P 、D P 均为标幺值。

在实用计算中，一般采用02D D d P f dtδπ=，这里的D 是机组的阻尼系数，用标幺值，单位用弧度。

2.2发电机电势、定子电压和电流之间的联系方程将观察发电机的坐标系从abc 坐标系转换到dq0坐标系，可以极大地简化发电机的数学模型。

这是因为abc 坐标系固定在三相对称的定子上，由于转子的旋转，对于每一坐标轴方向上的磁路磁导率都是时间t 的周期函数，不便于计算和分析。

而dq0坐标系是固定在转子上，坐标轴与磁路相对静止，这样磁导率就是一常数，因而惦记的各个参数也会成为与时间t 无关的常数。

由发电机电势与电流矢量图可以直接得到如下关系式组：()cos sin q sq d dqq d d d qtq d d sq q d d sq q d d sd q q sq s sd s s E V I x E E I x x E V I x V E I x V E I x V I x V V V V V δδ∑∑∑=+⎧⎪''=+-⎪''⎪=+⎪=-⎪⎪''=-⎨⎪=⎪=⎪⎪=⎪⎪=⎩（10） 由上述的发电机定子电势、电压和电流的关系式组，可以解出定子电流为：cos q s d d E V I x δ∑-=（11）sin s q q V I x δ∑=（12） cos qs d d E V I x δ∑''-=' （13） 由矢量图又可以得到：cos tq s d s V V I x δ=+ （14） sin tq s q s V V I x δ=+ （15）t V = （16）代入式（11）和（12），可以解得：t V =（17）2.3 功率方程与无穷大系统并联的发电机有功功率的表达式为：2sin sin 22q s d q s e q sq d sd d d q E V x x V P I V I V x x x δδ∑∑∑∑∑-=+=+ （18）以qE '和δ为自变量的电磁功率e P 表达式如下： 2sin sin 22q s dq s e d dq E V x x V P x x x δδ∑∑∑∑∑''-=+'' （19）2.4 转子绕组动态方程在列写转子绕组的实用动态方程时，忽略阻尼绕组，只列写励磁绕组动态方程。

另外假设定子绕组中磁链式可以突变的，励磁绕组磁链守恒，这是因为定子绕组中暂态电流的非周期分量比励磁绕组非周期分量衰减快得多。

带负载的发电机在转子d 轴上的总磁链为：0fd d fl ad f ad f fl d ad i L i L I L ψψψψ=+-=+- （20）式中，0d ψ是有用磁通；fl ψ是转子漏磁通；ad ψ是电枢反应磁通；ad L 是励磁绕组与定子d 轴绕组的互感；fl L 是励磁绕组的漏感。

假定过渡过程中转速标幺值为*1ω=，式（20）可以写为：fd f ad f fl d ad i x i x I x ψ=+- （21）可以求得：fd d adf fI x i x ψ+=（22）此处，f ad fl x x x =+为励磁绕组的自感抗。

假设定子d 轴总磁链与端电压q 轴分量标幺值相等。

类似于转子绕组，可以得到：2()ad adtq fdd d f fx x V I x x x ψ=-- （23） 这里d ad l x x x =+为发电机d 轴同步电抗，其中l x 是定子漏电抗；2add d fx x x x '=-为d 轴暂态电抗；adqfd fx E x ψ'=称为d 轴暂态电抗后电势。

由励磁绕组等值电路可得回路方程式：f f f f fdi V i R x dt=+ （24）以adfx R 乘以上式，可得在空载情况下励磁绕组的动态方程： 0q f q d dE E E T dt=+ （25）上式中，0f d fx T R =为定子绕组开路时励磁绕组的时间常数。

若以adfx R 乘以式（24），可得： 0q f q d dE E E T dt'=+ （26）以上就是得到了主发电机励磁绕组的动态方程。

2.5 基本方程组的偏差化与线性化由式（9）可以得到偏差方程：22m e D m e H DP P P P P ff ωδππ∆=∆-∆-∆=∆-∆-∆ （27） 根据式（18）和式（19），将电磁功率方程进行偏差化和线性化，可得：e E E q P S R E δ∆=∆+∆ （28）e E E qP S R E δ'''∆=∆+∆ （29） 式中，2cos cos2q s d q E sd d q E V x x S Vx x x δδ∑∑∑∑∑-=-；2cos cos2q s d q E s d d q E V x x S V x x x δδ∑∑'∑∑∑''-=-''；sin s E d V R x δ∑=；sin s E dVR x δ∑='。

将式（28）和（29）代入式（27），得到线性化的转子运动方程：0022m E E q H D P S R E f f ωδωππ∆=∆-∆-∆-∆ （30） 022m E E qH DP S R E f f ωδωππ'''∆=∆-∆-∆-∆ （31） 由t t t q qV VV E E δδ∂∂∆=∆+∆∂∂，可得到运行角偏差δ∆和机端电压偏差t V ∆表示的电磁功率偏差：e V V t P S R V δ∆=∆+∆ （32）其中，tV E VV S S R δ∂=-∂，E V t q R R V E =∂∂。

于是转子的运动偏差方程有：0022m V V t H D P S R V f f ωδωππ∆=∆-∆-∆-∆ （33） 励磁绕组的动态偏差方程为：0f q d qE E T E '∆=∆+∆ （34） 3 最优励磁控制系统设计由式（33）和式（34）可以得到系统状态方程为：0000010000011001100E E E E R q q d E d d f f e e DS R H H H S SV E E T R T T E E T T ωωδδωω''⎡⎤⎢⎥⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥∆⎡⎤---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥=+∆-⎢⎥⎢⎥'⎢⎥∆'∆⎢⎥'⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（35） 由于qE '不便于测量，所以采用机端电压t V ∆来代替q E '，即 E E V qt E E S S RE V R R δ'''-'∆=∆+∆ （36）又由于在实际系统中采用的是e P ∆、ω∆、t V ∆和f E ∆的一组状态量，通过状态变量置换，再结合式（35），可以得到e P ∆、ω∆、t V ∆和f E ∆所表示的状态方程：0000000001100E VV E E E d Vd V de e RE V E VE E t t d V V V d V d V f f e e S S R S R S T S T S T P P D H H V S S S S S R V V T R S R T S T R E E T T ωωω''''-⎡⎤-⎢⎥''⎢⎥⎡⎤∆⎡⎤∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+∆⎢⎥--⎢⎥∆∆⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'∆∆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（37） 如果发电机采用可控硅励磁系统，则可以忽略励磁时间常数0e T ≈，那么控制量U 就是励磁绕组电压f E ∆，系统状态方程可以表示为X AX BU =+形式的三阶形式：00000E V V E E E d Vd V de ef t t E E VE VE d V d V VV d V S S R S S R T ST S T P P D E H H V V RS S S S S T R T R S R T S ωωω''''-⎡⎤-⎡⎤⎢⎥''⎢⎥⎢⎥⎡⎤∆∆⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆=--∆+∆⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∆∆⎣⎦⎣⎦⎢⎥--⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥'⎣⎦（38） 最优控制量U kX =-4 最优控制设计算例发电机电气参数：隐极机纵轴电抗 2.5d X =，纵轴暂态电抗0.5d X '=，纵轴开环时间常数010d T s =，8H s =，综合阻尼系数 5.0D =；变压器参数：0.01T X =；线路参数：11.52L X =⨯；系统参数：1s V =。