2009年天津市高考数学试卷(理科)

故选C
9.(5分)(2009?天津)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△
ACF的面积之比=()
A.B.C.D.
【分析】根据=,进而根据两三角形相似,推断出=,根据抛物线的定义求得
=,根据|BF|的值求得B的坐标,进而利用两点式求得直线的方程,
【解答】解:结论的否定形式为:2x2﹣1>0
∴原命题的否定为:D.
故选D.
4.(5分)(2009?天津)设函数f(x)= x﹣lnx(x>0),则y=f(x)()
A.在区间(,1),(l,e)内均有零点
B.在区间(,1),(l,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(l,e)内有零点
D.在区间(,1)内有零点,在区间(l,e)内无零点
专业应抽取40名学生.
【分析】根据全校的人数和A,B两个专业的人数,得到C专业的人数,根据总体个数和要抽取的样本容量,得到每个个体被抽到的概率,用C专业的人数乘以
每个个体被抽到的概率,得到结果.
【解答】解:∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400,
由分层抽样原理,应抽取名.
故答案为:40
12.(4分)(2009?天津)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=.
【解答】解:由题得不等式(x﹣b)2>(ax)2即
(a2﹣1)x2+2bx﹣b2<0,它的解应在两根之间,
因此应有a2﹣1>0,解得a>1或a<﹣1,注意到0<b<1+a,从而a>1,故有△
=4b2+4b2(a2﹣1)=4a2b2>0,
不等式的解集为或(舍去).
不等式的解集为,
又由0<b<1+a得,
在△AF1C的外接圆上,求的值.
22.(14分)已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0),等比数列{b n}的公比为q(q
>1).设s n=a1b1+a2b2+⋯+a n b n,T n=a1b1﹣a2b2+⋯+(﹣1)n﹣1anbn,n∈
N+,(1)若a1(2)=b1(3)=1,d=2,q=3,求S3的值;
A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
B.(﹣1,2)
C.(﹣2,1)
D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
【分析】由题义知分段函数求值应分段处理,利用函数的单调性求解不等式.
【解答】解:
由f(x)的解析式可知,f(x)在(﹣∞,+∞)上是单调递增函数,在由f(2﹣a2)>f(a),得2﹣a2>a
即a2+a﹣2<0,解得﹣2<a<1.
三、解答题(共6小题,满分76分)
17.(12分)已知:△ABC中,BC=1,AC=,sinC=2sinA
(1)求AB的值.
(2)求的值.
18.(12分)在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品.从这10
件产品中任取3件,求:
(I)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;
(II)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
【解答】解:因为3a?3b=3,所以a+b=1,
,
当且仅当即时“=成”立,
故选择B.
7.(5分)(2009?天津)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正
周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象() A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度
故,,这三个整数解必为﹣2,﹣1,0
2(a﹣1)<b≤3(a﹣1),
注意到a>1,并结合已知条件0<b<1+a.
故要满足题设条件,只需要2(a﹣1)<1+a,即a<3即可,
解得1<a<3.
故选:C.
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
11.(4分)(2009?天津)某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C
故选C.
5.(5分)(2009?天津)阅读程序框图,则输出的S=()
wenku.baidu.comA.26
B.35
C.40
D.57
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+⋯+14的值.
【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用,
再根据流程图所示的顺序,可知:
2009年天津市高考数学试卷(理科)
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)i是虚数单位,=()
A.1+2i
B.﹣1﹣2i
C.1﹣2i
D.﹣1+2i
2.(5分)设变量x,y满足约束条件:,则目标函数z=2x+3y的最
小值为()
A.6
B.7
C.8
D.23
3.(5分)命题“存在x0∈R,2x2﹣1≤0”的否定是()
离即可.
【解答】解析:由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0,
故它与l2的距离为.
故答案为
14.(4分)(2009?天津)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的
长为,则a= 1.
【分析】画出草图,不难得到半径、半弦长的关系,求解即可.
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
8.(5分)已知函数f(x)=若f(2﹣a2)>f(a),则实数a的
取值范围是()
A.(﹣∞,﹣1)∪(2,+∞)
B.(﹣1,2)
C.(﹣2,1)
D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
9.(5分)设抛物线y2=2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于
【分析】该几何体是放倒的三棱柱,依据所给数据求解即可.
【解答】解:由已知可知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为a的等腰三角形,
所以有.
故答案为:
13.(4分)(2009?天津)设直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为.
【分析】先求出直线的普通方程,再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距
D.在区间(,1)内有零点,在区间(l,e)内无零点
5.(5分)阅读程序框图,则输出的S=()
A.26
B.35
C.40
D.57
a与3b的等比中项,则的最小值为() .(分)设
65a>0,b>0.若是3
A.8
B.4
C.1
D.
7.(5分)已知函数f(x)=sin(ωx+)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象()
A.不存在x0∈R,2x02﹣1>0
B.存在x0∈R,2x02﹣1>0
C.对任意的x∈R,2x2﹣1≤0
D.对任意的x∈R,2x2﹣1>0
4.(5分)设函数f(x)= x﹣lnx(x>0),则y=f(x)()
A.在区间(,1),(l,e)内均有零点
B.在区间(,1),(l,e)内均无零点
C.在区间(,1)内无零点,在区间(l,e)内有零点
11.(4分)某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤
工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取名学生.
12.(4分)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是,则a=.
.(分)设直线
2009年天津市高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)(2009?天津)i是虚数单位,=()
A.1+2i
B.﹣1﹣2i
C.1﹣2i
D.﹣1+2i
【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数,化简即可.
【解答】解:,
故选D.
2.(5分)(2009?天津)设变量x,y满足约束条件:,则目标函数
(Ⅱ)当时,求函数f(x)的单调区间和极值.
21.(14分)已知椭圆的两个焦点分别为F1(﹣c,0)和F2 (c,0)(c>0),过点的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,
|F1A|=2|F2B|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)求直线AB的斜率;
(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)
(Ⅱ)若b1(6)=1,证明(1﹣q)S2n﹣(1+q)T2n,∈()
=n10
N+;
(Ⅲ)若正数n满足2≤n≤q,设k1,k2,⋯,k n和l1,l2,⋯,l n是1,2,⋯,n
的两个不同的排列,c1=a k1b1+a k2b2+⋯+a kn b n,c2=a l1b1+a l2b2+⋯+a ln b n证明c1≠c2.
z=2x+3y的最小值为()
A.6
B.7
C.8
D.23
【分析】本题考查的知识点是线性规划,处理的思路为:根据已知的约束条件.画出满足约束条件的可行域,再用角点法,求出目标函数的最小值.
【解答】解:画出不等式.表示的可行域,如图,
让目标函数表示直线在可行域上平移,
知在点B自目标函数取到最小值,
解方程组得(2,1),
l 1的参数方程为(t为参数),直线l2的方程为y=3x+4
134
则l1与l2的距离为.
14.(4分)若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0(a>0)的公共弦的长为,则a=.
15.(4分)在四边形ABCD中,==(1,1),,则四边形ABCD的面积是.
16.(4分)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有个(用数字作答)
19.(12分)如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD, M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD,
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(2)证明平面AMD⊥平面CDE;
(3)求二面角A﹣CD﹣E的余弦值.
20.(12分)已知函数f(x)=(x2+ax﹣2a2+3a)e x(x∈R),其中a∈R.
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【分析】由周期函数的周期计算公式:,算得ω=2.接下来将f(x)的表
达式转化成与g(x)同名的三角函数,再观察左右平移的长度即可.
【解答】解:由题知ω=2,
所以,
故选择A.
.(分)(天津)已知函数
f(x)=2)>f(a),
852009?若f(2﹣a
则实数a的取值范围是()
【分析】先对函数f(x)进行求导,再根据导函数的正负情况判断原函数的增减
性可得答案.
【解答】解:由题得,令f′(x)>0得x>3;
令f′(x)<0得0<x<3;f(′x)=0得x=3,
故知函数f(x)在区间(0,3)上为减函数,在区间(3,+∞)为增函数,
在点x=3处有极小值1﹣ln3<0;又,,.
所以z min=4+3=7,
故选B.
3.(5分)(2009?天津)命题“存在x0∈R,2x2﹣1≤0”的否定是()
A.不存在x0∈R,2x02﹣1>0
B.存在x0∈R,2x02﹣1>0
C.对任意的x∈R,2x2﹣1≤0
D.对任意的x∈R,2x2﹣1>0【分
析】命题的否定只否定结论即可,不要与否命题混淆.
∴|AF|=|AA1|=.
故===.故选A.
10.(5分)(天津)<<,若关于
x
的不等式(
x﹣b)
2>(ax)2的
2009?0b1+a
解集中的整数恰有3个,则()
A.﹣1<a<0
B.0<a<1
C.1<a<3
D.2<a<3
【分析】要使关于x的不等式(x﹣b)2>(ax)2的解集中的整数恰有3个,那么此不等式的解集不能是无限区间,从而其解集必为有限区间,
A、B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=2,则△BCF与△ACF的面积之比
=()
A.B.C.D.
10.(5分)<<,若关于
x
的不等式(
x﹣b)
2>(ax)2的解集中的整数
0b1+a
恰有3个,则()
A.﹣1<a<0
B.0<a<1
C.1<a<3
D.2<a<3
二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
把x=代入,即可求得A的坐标,进而求得
的值,则三角形的面积之比可得.
【解答】解:如图过B作准线l:x=﹣的垂线,垂足分别为A1,B1,
∵=,
又∵△B1BC∽△A1AC、
∴=,
由拋物线定义==.
由|BF|=|BB1|=2知x B=,y B=﹣,
∴AB:y﹣0=(x﹣).
把x=代入上式,求得y A=2,x A=2,
该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+⋯+14的值
∵S=2+5+8+⋯+14=40.
故选C.
.(分)(天津)设>,>.若a与3b的等比中项,则的652009?a0b0是3
最小值为()
A.8
B.4
C.1
D.
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1,代入中,将其变为2+,利用基本不等式就可得出其最小值