LC 谐振电路

⋅
(1) 回路谐振电导

1 r r = 2 ≈ ge0 = 2 Re 0 r + ( w0 L) ( w0 L) 2 1 ) (2) 回路总导纳 Y = g e 0 + j ( wc − wL 1 1 (3) 谐振频率ω0= 或f 0 = LC 2π LC
(4) 回路两端谐振电压U00= (5) 回路空载Q值Q0=
1 Re0 = g e 0 w0 L w0 L
而回路有载Ｑ值
1 Re 0 Q0= g w L = w L 0 ∑ 0
1 其 中 回 路 总 电 导 gΣ=gs+gL+ge0= R∑
， 回路总电阻
RΣ=Rs‖RL‖Re0，ｇs和ｇL分别是信号源内电导和负载电导。 可见，Ｑ e＜Ｑ0，且并联接入的Ｒs和ＲL越小，则Ｑ e越 小，回路选择性越差。 另外， 由式（１．２．４）可知，谐 振电压Ｕ00也将随着谐振回路总电阻的减小而减小。实际上， 信号源内阻和负载不一定是纯电阻，可能还包括电抗分量。 如要考虑信号源输出电容和负载电容，由于它们也是和回路 电容Ｃ并联的，所以总电容为三者之和，这样还将影响回路 的谐振频率。因此， 必须设法尽量消除接入信号源和负载对 回路的影响。
N( f ) =
1
2 1 + Q0 (
2 ∆f 2 ) f0
1 Hale Waihona Puke Baidu 2
可得
2∆f Q0 = ±1 f0 2( f 2 − f 0 ) Q0 =1 f0 2( f1 − f 0 ) Q0 = −1 f0
将式（１．２．１１）减去式（１．２．１２）， 可得到:
2( f 2 − f1 ) Q0 =2 f0
谐振频率f 0=
1
2π LC I 1 = 单位谐振函数N(f)= 2 I 00 1 + Q0 ε 2
f0 通频带BW 0.7= Q0
其中Ｉ是任意频率时的回路电流， Ｉ00是谐振时 00 的回路电流。
1.2.3串、 并联谐振回路阻抗特性比较 串 并联谐振回路阻抗特性比较
串联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式 分别为： Z=r+j r 2 + ( wL − 1 )2 wc 1 wL − wc ϕ = arctan r 并联谐振回路空载时阻抗的幅频特性和相频特性表达式分 别为： 1 z= 1 2 2 g e 0 + ( wc − ) wL
所以 N(f) =
1
2 1 + Q0 (
2∆f 2 ) f0
根据式（１．２．１０）可作出单位谐振曲线Ｎ（ｆ）。 该曲线如图１．２．２所示。 (7) 通频带、选择性、矩形系数。 由图１．２．２可知，Ｑ 0 越大，谐振曲线越尖锐，选择 性越好。 为了衡量回路对于不同频率信号的通过能力，定义 1 单位谐振曲线上Ｎ（ｆ）≥ 所包含的频率范围为回路的通频 2 带， 用ＢＷ0.7表示。在图上ＢＷ0.7＝ｆ2－ｆ1，取
1.2 LC谐振回路的选频特性 谐振回路的选频特性 谐振回路的选频特性
1.2.1并联谐振回路 并联谐振回路
图1.21(a)是电感L、电容C和外加信号源 I S 组成的并联谐 振回路。r是电感L的损耗电阻，电容的损耗一般可以忽略。 (b) 图是其等效转换电路，ge0 和Re0 分别称为回路谐振电导和回路 谐振电阻。 根据电路分析基础知识， 可以直接给出LC并联谐振回路 的某些主要参数及其表达式：
例１．２ 某接收机输入回路的简化电路如图例1.2所示。 已知Ｃ1=5pF，Ｃ2=15pF，Ｒs=75 ，ＲL=300 。为了使电路 匹配，即负载ＲL等效到ＬＣ回路输入端的电阻Ｒ′L＝Ｒs， 线 圈初、次级匝数比Ｎ1／Ｎ2应该是多少？ 解： 由图可见， 这是自耦变压器电路与电容分压式电路 的级联。 ＲL等效到Ｌ两端的电阻 R″L=
串、并联回路的导纳特性曲线正好相反。 前者在谐振频 率处的导纳最大，且相频特性曲线斜率为负；后者在谐振频率 处的导纳最小，且相频特性曲线斜率为正。读者可自己写出相 应的幅频和相频特性表达式， 画出相应的曲线。

1.3 变压器或ＬＣ分压式阻抗变换电
考虑信号源内阻Ｒs和负载电阻ＲL后，并联谐振回路的电 路如图１．３．１所示。由式（１．２．５）可知，回路的空 载Ｑ值 Q0=
1 f 2 2 f 1 + Q0 ( − ) f0 f0 f f 定义相对失谐ε= f − f ， 当失谐不大时，即ｆ与ｆ0相差 0 0 ( f + f 0 ) ( f − f 0 ) 2( f − f 0 ) 2∆f f f 很小时, ε＝ − = ≈ = f0 f0 f0 f f0 f0
所以
Ｎ(f)=
采用阻抗变换电路可以改变信号源或负载对于回路的等效 阻抗。若使Ｒs或ＲL经变换后的等效电阻增加，再与Ｒ e0并联， 可使回路总电阻ＲΣ减小不多，从而保证Ｑ e 与Ｑ 0 相差不大； 若信号源电容与负载电容经变换后大大减小，再与回路电容Ｃ 并联， 可使总等效电容增加很少，从而保证谐振频率基本保持 不变。 下面介绍几种常用的阻抗变换电路。
1.3.1自耦变压器电路 自耦变压器电路
图1．3．2(a)所示为自耦变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考 虑次级后的初级等效电路，Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。 在 图中，负载ＲL经自耦变压器耦合接到并联谐振回路上。设自 耦变压器损耗很小，可以忽略，则初、次级的功率P1、P2近似 相等，且初、次级线圈上的电压U1和U2之比应等于匝数之比。 设初级线圈与抽头部分次级线圈匝数之比Ｎ1∶Ｎ 2＝１∶ｎ， 则有： Ｐ1=Ｐ2， U1／U2＝１／ｎ 因为 P1=′
1 g e 0 w0 L
1 = w0c / g e 0 g e 0 w0 L
(6) 单位谐振曲线。 谐振时，回路呈现纯电导，且谐振导纳最小（或谐振阻抗 最大）。回路电压U与外加信号源频率之间的幅频特性曲线称 为谐振曲线。谐振时，回路电压U00最大。任意频率下的回路 电压U与谐振时回路电压U00之比称为单位谐振函数，用Ｎ（ｆ） 表示。Ｎ（ｆ）曲线称为单位谐振曲线。 Ｎ（ｆ）＝
U = U 00 1 1 2 2 1 + (2πfc − ) / ge0 2πfL
由Ｎ（ｆ）定义可知， 它的值总是小于或等于１。 由式（１．２．３）和式（１．２．５）可得:
w0 L 1 wcw0 L − wc − wL wL = ge0 g e 0 w0 L w w0 f f0 = Q0 ( − ) = Q0 ( − ) w0 w f0 f
为了衡量实际幅频特性曲线接近理想幅频特性曲线的程度， 提出了“矩形系数”这个性能指标。 矩 形 系 数 Ｋ 0.1 定 义 为 单 位 谐 振 曲 线 Ｎ （ ｆ ） 值 下 降 到 ０．１时的频带范围ＢＷ0.1与通频带ＢＷ0.7之比， 即:
BW0.1 K 0.1 = BW0.7
由定义可知，Ｋ01是一个大于或等于１的数， 其数值越小， 则对应的幅频特性越理想。 例１．１ 求并联谐振回路的矩形系数。
第1章 LC谐振回路 章 谐振回路
1.1 概述 1.2 ＬＣ谐振回路的选频特性 ＬＣ谐振回路的选频特性 1.3 变压器或LC分压式阻抗变换电路 变压器或 分压式阻抗变换电路 1.4 LC选频匹配网络 选频匹配网络 1.5 章末小结
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第1章 LC写真
1.1 概 述
LC谐振回路是高频电路里最常用的无源网络， 包括并联 回路和串联回路两种结构类型。 利用LC谐振回路的幅频特性和相频特性，不仅可以进行 选频，即从输入信号中选择出有用频率分量而抑制掉无用频率 分量或噪声(例如在选频放大器和正弦波振荡器中)，而且还可 以进行信号的频幅转换和频相转换(例如在斜率鉴频和相位鉴 频电路里)。另外，用L、 C元件还可以组成各种形式的阻抗变 换电路和匹配电路。所以，LC谐振回路虽然结构简单，但是 在高频电路里却是不可缺少的重要组成部分，在本书所介绍的 各种功能的高频电路单元里几乎都离不开它。
1 ′ = 2 RL或g ′ = n 2 g L RL L n
1.3.3电容分压式电路 电容分压式电路
图1．3．4（ａ）是电容分压式阻抗变换电路，（ｂ）是 ＲL等效到初级回路后的初级等效电路。 利用串、并联等效变换公式，在ω2R2L(C1+C2)2>>1时， 可以推导出ＲL折合到初级回路后的等效电阻
1.2.2串联谐振回路 串联谐振回路 串联谐振回路
图１．２．３是串联ＬＣ谐振回路的基本形式， 其中ｒ是 电感Ｌ的损耗电阻，ＲL是负载电阻。 下面按照与并联ＬＣ回路的对偶关系， 直接给出串联ＬＣ 回路的主要基本参数。 回路总阻抗 回路空载Ｑ值 回路有载Ｑ值
1 Z＝RL+r+j ( wL − ) wc w0 L Q0= r w0 L Qe= R + r L
1.3.2变压器阻抗变换电路 变压器阻抗变换电路
图1．3．3（ａ）为变压器阻抗变换电路，（ｂ）为考虑 次级后的初级等效电路， Ｒ′L是ＲL等效到初级的电阻。若 Ｎ1、 Ｎ2分别为初、次级电感线圈匝数，则接入系数ｎ＝Ｎ2 ／Ｎ1。 利用与自耦变压器电路相同的分析方法， 将其作为无损 耗的理想变压器看待，可求得ＲL折合到初级后的等效电阻
′ RL = 1 C1 C +C 2 1
2
RL =
1 RL 2 n
其中ｎ是接入系数， 在这里总是小于１。如果把RL折合 到回路中1，2两端，则等效电阻
C2 ′ RL = RL C1
2
1.3.4电感分压式电路 电感分压式电路
图1．3．5（ａ）所示为电感分压式阻抗变换电路， 它与 自耦变压器阻抗变换电路的区别在于Ｌ1与Ｌ2是各自屏蔽的， 没有互感耦合作用。 （ｂ）图是Ｒ L 等效到初级回路后的初级等效电路，Ｌ＝ Ｌ1＋Ｌ2。 ＲL折合到初级回路后的等效电阻 1 1 ′= RL RL = 2 RL 2 n L2 L +L 2 1 其中ｎ是接入系数， 在这里总是小于１。
1 U12 2 RL
2 1 U2 P2 = 2 RL
所以
′ RL U1 1 = = RL U 2 n
R′L=
2
2
1 RL或g ′ = n 2 g L L n2
对于自耦变压器，ｎ总是小于或等于１, 所以, ＲL等效到 , , L 初级回路后阻值增大，从而对回路的影响将减小。ｎ越小, 则 Ｒ′L越大，对回路的影响越小。所以，ｎ的大小反映了外部接 入负载（包括电阻负载与电抗负载）对回路影响大小的程度， 可将其定义为接入系数。
所以
f0 BW 0.7=f2-f1= Q0
(1.2.13)
可见， 通频带与回路Ｑ值成反比。 也就是说， 通频带与 回路Ｑ值(即选择性)是互相矛盾的两个性能指标。 选择性是指 谐振回路对不需要信号的抑制能力， 即要求在通频带之外， 谐振曲线Ｎ（ｆ）应陡峭下降。所以，Ｑ值越高，谐振曲线越 陡峭， 选择性越好，但通频带却越窄。一个理想的谐振回路， 其幅频特性曲线应该是通频带内完全平坦，信号可以无衰减通 过，而在通频带以外则为零，信号完全通不过，如图 １．２．２所示宽度为ＢＷ0.7、高度为１的矩形。
1 wc − wL ϕ = − arctan ge0
图１．２．４（ａ）、 （ｂ）分别是串联谐振回路与并 联谐振回路空载时的阻抗特性曲线。由图可见，前者在谐振频 率点的阻抗最小，相频特性曲线斜率为正； 后者在谐振频率 点的阻抗最大，相频特性曲线斜率为负。所以，串联回路在谐 振时，通过电流Ｉ00最大； 并联回路在谐振时，两端电压U 00最大。 在实际选频应用时，串联回路适合与信号源和负载 串联连接，使有用信号通过回路有效地传送给负载；并联回路 适合与信号源和负载并联连接，使有用信号在负载上的电压振 幅增大。
解： 取
N( f ) = 1 2 ∆f 2 1+ Q ( ) f0
2 0
=
1 10
利用图1.2.2，用类似于求通频带ＢＷ0.7的方法可求得:
f0 BW0.1 = f 4 − f 3 = 10 − 1 Q0
2
BW0.1 K 0.1 = = 102 − 1 ≈ 9.95 BW0.7
由上式可知， 一个单谐振回路的矩形系数是一个定值， 与其回路Ｑ值和谐振频率无关，且这个数值较大，接近１０， 说明单谐振回路的幅频特性不大理想。