运输问题的匈牙利解法和表上作业法

运输问题的解法

运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许

多其它问题也归结到这一类问题中。正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。

§1 运输问题的数学模型及其特性

1.1 运输问题的数学模型

设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销

地或收地）

，各个发点需要调出的物资量分别为

个单位，各个

收点需要调进的物资量分别为 个单位。已知每个发点

到每个收点

的物

资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。我们把它列在一张表上（称为

运价表）。设

表示从产地

运往

销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…，

）。

表3-1

如果（总发量）

（总收量），我们有如下线性规划问题：

m m

A A A ,,,21 n n

B B B ,,,21 m

a a a ,,,21 n

b b b ,,,21 i

A j

B ij

c ij

x i

A j

B i m j

n

（3.1）

（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。当（总发量）

（总收量）

时。即当产大于销（

）时，其数学模型为

（3.2）

当销大于产（

）时，其数学模型为

（3.3）

因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。

运输问题有个未知量,个约束方程。例如当≈40,=70时（3.1）式就有

2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。我们必须寻找特殊解法。

∑∑===m i n

j ij

ij x c z 11

min ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(1

1n j m i x n j b x m I a x ij j m

i ij i n

j ij ∑∑==≠n

j j

m i i b

a 1

1

∑∑==>n

j j

m i i b

a 1

1

∑∑===m i n

j ij

ij x c z 11

min ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧

==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(1

1n j m i x n j b x m I a x ij j m

i ij i n

j ij ∑∑==

j j

m i i b

a 1

1

∑∑===m i n

j ij

ij x c z 11

min ⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(1

1n j m i x n j b x m I a x ij j m

i ij i n

j ij mn n m +m n

1.2 运输问题的特性

由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一

定可以在基可行解中找到。因此，我们先求运输问题（3.1）的约束方程组的系数矩阵的秩()等于多少。

（3.1）式有个约束，将前个约束相加得

, （3.4）

将后个约束相加，得

, （3.5）

因为，

,

所以，（3.4）式与（3.5）式是相同得。由此可见，这个约束不是独立的。我们可以证明：当所有的

，

都大于零时，任何个约束都是相互独立的。即，系数矩阵

A 的秩，事实上，

… … … …

注意到在中去掉第1行而取出第2，第3，…，第行，又取出与

所对对应的列，则由这些取出的行和列的交叉处的元素构成

的一个级子式

r A n m +m ∑∑∑====m

i i

m i n

j ij

a x

1

11

n ∑∑∑====n

i j

n j m

i ij

b x

1

11

∑∑===n

j j

m

i i b

a 1

1

n m +i

a j

b 1-+n m 1)(-+=n m A r 11x 12x n x

121x 22x n x 21m x 2m x mn x ⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=111111111111111111 A A n m +1

312111211,,,,,,,m n x x x x x x A 1-+n m D

所以 ，由此可知，运输问题的任何一组基都由 个变量组成。

第一

，所有未划去的行列中找出最小元素（若有几个元素同时最小，则可任取其一），在该元素所在的变量处填上尽可能大的数字，并作上标记；

第二，划去已被满足的行或列的空格，若表中某一变量处填入一数后，使该变量所在之行和所在之列同时被满足，遇只能划去一行或一列，而不能将两者同时划去；

第三.上述步骤，直至所有的空格都已填数或被划去为止。

§2 运输问题的表上作业法

2.1 初始解的求法

同单纯形法一样，首先要求初始调运方案必须是一个基可行解，初始解一般来说不是最优解，主要希望给出求初始解的方法简便可行，且有较好的效果。这种方法很多，最常 见的是左上角法（或西北角法）、最小元素法和Vogl 近似法(VAM)。后两法的效果较好，在此我们仅对最小元素法加以介绍。

最小元素法的所谓元素就是指单位运价。此法的基本思想是：运价最便宜的优先调运，现通过例子来说明。

例1 设有某种物质要从

三个仓库运往四个销售点

。各发点

（仓库）的发货量、各收点（销售点）的收货量以及

到

的单位运费

如表3-2（ =1,2,3； =1,2,3,4）.组织运输才能使总运费最少？

表3-2

11

1111

11

11≠=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=

D 1)(-+=n m A r 1-+n m 3

21,,A A A .

,,,4321B B B B i

A j

B ij

C i

j