1 Zoutendijk可行方向法
zoutendijk可行方向法例题
zoutendijk可行方向法例题摘要：1.介绍zoutendijk 可行方向法2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性正文：1.介绍zoutendijk 可行方向法zoutendijk 可行方向法是一种用于解决运输问题的优化算法，它的核心思想是寻找一条最短路径，使得该路径上的运输成本最小。
这种方法主要应用于物流和运输领域，可以帮助企业有效地规划运输路线，降低运输成本，提高运输效率。
2.阐述zoutendijk 可行方向法的应用zoutendijk 可行方向法在实际应用中具有广泛的应用价值。
例如，在物流配送中，该方法可以帮助企业找到最佳的配送路线，减少运输时间和成本。
在运输规划中，zoutendijk 可行方向法可以协助企业优化运输网络，提高运输能力。
此外，在供应链管理中，该方法也有助于企业降低库存成本，提高库存周转率。
3.分析zoutendijk 可行方向法的优势和局限性zoutendijk 可行方向法具有以下优势：首先，该方法可以快速找到最短路径，计算速度快；其次，zoutendijk 可行方向法可以处理大规模的运输问题，具有较强的实用性；最后，该方法可以有效地降低运输成本，提高运输效率。
然而，zoutendijk 可行方向法也存在一定的局限性。
首先，该方法需要预先设定运输成本，对于不同成本的运输问题，需要分别计算；其次，zoutendijk 可行方向法对于某些特殊情况的运输问题可能无法找到最优解；最后，该方法需要较大的计算资源，对于计算能力有限的企业可能不太适用。
4.总结zoutendijk 可行方向法的重要性总之，zoutendijk 可行方向法是一种重要的运输优化算法，它的应用可以帮助企业降低运输成本，提高运输效率。
(完整)zoutendijk 可行方向法的matlab实现
(一) 、基本思想是：给定一个可行点)(k x 之后，用某种方法确定一个改进的可行方向k d ，然后沿方向k d ，求解一个有约束的线搜索问题，得极小点k λ，令k k k k d x x λ+=+)()1(，如果)1(+k x 不是最优解，则重复上述步骤。
可行方向法就是利用线性规划方法来确定k d 的。
1) 、线性约束问题：设x 是问题⎪⎩⎪⎨⎧∈=≤nR f x e Ex b,Ax x s.t.)( min 的一个可行解，假定11b x A =，22b x A <，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21A A A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21b b b则一个非零向量d 是在点x 点的一个可行方向，当且仅当0d A 1≤，0=Ed ；如果0(T <∇x)d f ,则d 是一改进方向。
2) 、非线性约束问题设x 是问题⎪⎩⎪⎨⎧∈=≤n i R m i f x x x,,2,1 0,)(g s.t.)( min 的一个可行解,令{}0)(,|≤∈=x x x i n g R S ,{}0)(|==x x i g I ，即I 是S ∈x 点紧约束的指标集,设f 和)(I i g i ∈在x 点可微，)(I i g i ∉在x 点连续，如果0(T <∇x)d f ，)(0)(T I i g i ∈≤∇d x ，则d 是一改进的可行方向。
(二) 、算法1) 、线性不等式约束的Zoutendijk 方法的计算步骤：1。
求一初始可行解0x 。
，令k ＝1，转2。
2.对于可行点k x ,设11k A x b =,22k A x b <,12(,)T T T A A A =, 12(,)T T T b b b =求解问题()11min . 0 011,1,,T j z f x d s t A d P Ed d j n⎧=∇⎪≤⎪⎨=⎪⎪-≤≤=⎩，得最优解k d ，如果()Tk f x d ∇=0，计算结束，k x 是K —T 点；否则转3。
可行方向法_143802687
Zoutendijk可行方向法
一．线性约束的情形
可行方向法
min f ( x) s.t. Ax b Ex e
(1)
其中f ( x)可微，Amn，El n，xn1，bm1，el1 S {x | Ax b, Ex e} 可行域
f ( x)，设x E 是任给一点， 定义: 对 min n
min f ( x ) s.t. Ax b Ex e
设x 是问题(1)的可行解, 在x 点处, 有 定理1： A1 x b1 , A2 x b2 A1 b1 其中A , b , 则非零向量d是x 处的可行方向 A2 b2 的充要条件是A1d 0, Ed 0. min f ( x )
(0, 0) ,
T
2 1
2 2
1 1 1 5 A 1 0 0 1
x (1)
T
f ( x) (4 x1 2 x2 4, 4 x2 2 x1 6)
第一次迭 代
1 0 1 1 0 2 A1 0 1 , A2 1 5 , b1 0 , b2 5 , fk )
其中max
问题(1)初始可行解的确定
引入人工变量(向量)和，解辅助线性规划问题：
l m min i i i 1 i 1 s.t. Ax b Ex e , 0
如果有最优解( x , , ) ( x ,0,0), 则x 为(1)的一个可 行解。
证明：“ ”d 是x 处的可行方向，则 0，对 (0, )， 有 A( x d ) b, E ( x d ) e A1 ( x d ) b1 , Ex Ed e x 为可行解，且A1 x b1，Ex e， A1d 0， Ed 0， 0， A1d 0，Ed 0。
最优化：可行方向法
2.线性搜索—计算步长
为确保
x x tdD 关于t的计算, 我们考虑三种情:形
情 1 ： i形 I(x )及 j E ,
由于 aiTd 0,i I(x) aTj d 0,j E
对任意的 t 0,我们有 aiT (x td) aiT x taiTd bi, i I(x) aTj (x td) aTj x taTj d bj 0,j E
|| d ||1
情形1：f (x)Td 0,则d 0,
(13.2)
显然,d是f在x处的一个下降可行 ; 方向
情2形 ： f(x)Td0,则 d0,这说x明 处在 不存在 可行,方 即向 线性系统：
f (x)T d 0
aiTd 0,iI(x) 无非零解
aTj d
0,
j E
x是问题(13.1) 的KKT点
最优化：可行方向法
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第十三章 约束问题算法(II) —— 可行方向法
一、Zoutendijk可行方向法 二、投影梯度法 三、既约梯度法
思想 构造可行点{序 xk}列 使得目标函数
列{f (xk)}单调下,降 且xk KK点 T
思想
取负梯度方向为搜索向方 ; 否则, 将负 梯度在可行方向集的影投作为搜索方
向, 即取负梯度在有效约的束梯度的零
空间的投影为搜索方 . 向
x 2 f (x)
xd ● D
o
x1
首先,我们介绍投影的概念：
定义13.2.1 设Rn是闭凸集.对xRn,若向量P(x) 满足:
||P(x)x|| min{||y-x|| | y} 则称P(x)是x在中的投影. 为计算向量在集合中 投的 影,我们引入投影矩. 阵
最优化：可行方向法概要
x是问题(13.1) 的KKT点
由上面的分析, 我们有下列结论：
定理13.1.1 设x D, d是线性规划问题 (13.2)的解 , 则 (1) 若f ( x ) T d 0, 即d 0, 则x是问题 (13.1)的KKT点; (2) 若f ( x )T d 0, 即f ( x )T d 0, 则d是函数 f在可行 点x处的一个下降可行方向 .
情形2 ： i I \ I ( x ), 但a d 0
T i
显然, 对任意的t 0, 我们有 aiT ( x td ) aiT x taiT d bi , i I \ I ( x )
情形3 ： i I \ I ( x ), 但a d 0.
若要使 bi aiT x t , T ai d bi aiT x T t min T i I \ I ( x ), ai d ai d
由定理13.1.1知, 当(13.2)的解d 0时, x不是KKT点, 我们 需计算新的可行点 : x x td D 其中t由线性搜索产生的步长
2.线性搜索—计算步长
为确保 x x td D 关于t的计算, 我们考虑三种情形 :
情形1 ：i I ( x )及 j E ,
min s.t. f ( x ) T d aiT d 0, i I ( x ) aT j d 0, j E || d || 1
(13.2)
确保目标函数有界
约束 || d || 1也可写成如 || d || 1等其它有界形式
设(13.2)的最优解为d , 则f ( x ) d 0.
第七章 可行方向法
−1 −2 ∴ λmax = min , = 1 −1 −2
进行一维搜索, 进行一维搜索 解
min
0≤ λ ≤1
f ( x 1 + λ d 1 ) = 2λ 2 − 6λ + 6
2 1 1 1
得步 长 λ 1 = 1
1 所以 x = x + λ d = 1 同样,进行第二次迭代 进行第二次迭代: 同样 进行第二次迭代
Cd k = 0 ，即约束条件
C ( x k + td k ) = Cx k + tCd k = Cx k = e
总是成立。 总是成立。
设在点 x k 处有 A1 x k = b1 , A2 x k > b2 , 其中 A A = 1 ,b = A2 b1 b 2
则约束条件 A ( x k + td k ) ≥ b 可以改写为
A1 ( x k + td k ) b1 ≥ k k A2 ( x + td ) b2
因为 A1 x k = b1 , A1 d k ≥ 0 , t ≥ 0，所以不等式约束 A1 ( x k + td k ) ≥ b1自然成立。 自然成立。
( 5 ) 利用（ *）式计算 t max ，求解一维搜索问题 利用（
min s .t . f ( x k + td k ) 0 ≤ t ≤ t max
解 得 极 小 值 点 t k ， 令 x k + 1 = x k + t k d k 。 令 k := k + 1， 返 回 （2） 。
例
用 Zoutendijk 方 法 解 ： min
(2)
最优化方法 第三章(可行方向法)
又 f ( x k )T d * * 0,
d * 是可行下降方向。
改进方法具有全局收敛性。
一、Zoutendijk法
Frank Wolfe 方法 min f ( x )
给定线性规划问题
Ax b s .t . x0
f ( x k )T d k 0 gi ( x k )T d k 0 , i I ( x k )
1 di 1, i 1, 2,
,n
������ = 0 , 则 ������ ������ 处不存在可行下降方向 , ������ ������ 已是 ������−������ 点. 有例子表明上述方法不一定收敛到 ������−������ 点，即总有������ < 0 .
如果可行点为内点， 可取������ = −������������(������ )计算。
一、Zoutendijk法 非线性约束模型的可行方向确定方法
min s.t.
z f ( x )T d z 0 gi ( x) d z 0, i I
T
一、Zoutendijk法 线性约束模型的可行方向
min f ( x ) Ax b s .t . Cx e
紧约束
A1 b1 定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中A , b ， A2 b2 则非零向量 d 是 x 处的可行方向的充分必要条件是
定理 设 f ( x )可微， x k D, 如果y k 是上述线性规划的最优解,则有
(1) 当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则x k 是(1)的K -T点；
最优化：可行方向法
若情形3 不存在, 自然令 t max 然后我们通过求解 min f ( x td )
0t tmax
来计算步长 t. 在上面分析的基础上, 我们得到如下的可行方向法 :
算法13.1 (Zoutendij k算法) 步0 ： 选取初始点x0 D, 精度 0.令k : 0; 步2：求解下列关于 d 的线性规划问题 min s.t. f ( xk ) T d aiT d 0, i I ( xk ) aT j d 0, j E || d || 1 得解d k 步3 ： 若 | f ( x k ) T d k | , 则得解xk , STOP. 否则转下一步. 步4：由(13.3) 计算t max , 其中x x k , d d k . 求解
考虑到(1)和(2), 我们先介绍线性约束问题的可行 方向法, 然后将其适当推广到非线性约束问题.
第一节 Zoutendijk 算法
一. 线性约束情形
考虑线性约束问题 min f ( x) s.t. g i ( x ) aiT x bi 0, i I h j ( x) a T j x b j 0, j E 记可行域 D {x | g i ( x ) 0, i I ; h j ( x ) 0, j E } x D, 在x处的有效集为 A( x ) I ( x ) E {i | g i ( x ) 0, i I } E (.)
1、下降可行方向
由于(13.1)的约束是线性的, x D, 在x处的可行方向集 S ( x ) {d R n | aiT d 0, i I ( x ); a T j d 0, j E} 而在x处的目标函数的下降方向满足： f ( x ) T d 0 因此, 在x处, 我们通过求解下列线性规划问题来计算下 降可行方向 :
浅谈Zoutendijk可行方向法对焊接工字钢的优化设计
解； 对于非线性优化 问题 ， 当方 向 Ｐ 接近 于零时 ， 可 以认 ’ 则
为 目标 函 数 不 再 改 进 ， 找 到 最 优 解 。 即
数法快 ， 在对 钢筋混凝土结构 、 钢结构 、 钢一 混组合结构 等 多 目标的截面设计 中 ， 具有较好 的经 济性 与较广泛 的适用性 。
心 受压 焊接 工 字 钢 进 行 截 面 优 化 ， 立 评 价 模 型 ， 出经 济 合 理 的尺 寸 大 小 。 建 找
【 关键词 】 Ｚｕ ｎｉ ｏｔ ｄｋ可行 方向法 ； 轴心受压 ； 焊接 工字钢 ｅ ｊ 【 中图分 类号 】 Ｔ ３２ １ Ｕ１ ．
结构优化设计 是满足力学和现行规 范的要求 ， 把参 与计
标函数下降 的可行 方向 ， 并将此方 向的寻求 转化为一 个线性
规 划 问 题 。文 中 的 可 行 方 向法 是 从 经 济 的 角 度 对 焊 接 ＿ 字 Ｔ
钢截面进行优化 ， 使构 件在 满足 规范 和安 全要求 的同时 ， 达
到 节 省 材 料 的 目的 。这 种方 法 效 率 很 高 ， 收 敛 速 度 比 罚 函 其
２３ ． 目标 函 数
（） １ 首先确 定 一个满 足约 束条 件 的可行 点 ∞ ， 按照 并 沿 目标 函数 负梯 度 方 向 寻求 新 的点 ， 用梯 度 法 求 下一 点， 即 ‘ ： ’ ’ （ ”） 其 中初始 步长 ’ ∞ 一 ｖ厂 “ ， 为按新 求 出的 “ 落在所有约束边界上 ， 令所 有约束 等于零 所取得 的最小 正根 ， 这样保证 ” 与 ’ 较近 ， ｇ （ ’ ≤Ｏ 使 ” ） 。 （） ２ 当点落在约束边界后寻找问题 提 出 ．
１ Ｚ ｕｅｄｊ ｏｔ ｉ ｎ ｋ可行 方 向法
zoutendijk可行方向法例题
zoutendijk可行方向法例题引言本文主要讨论zo ut en d ij k可行方向法在优化问题中的应用。
我们将通过一个例题来详细说明该方法的具体步骤和计算过程。
问题描述假设我们有一个目标函数f(x)和一组约束条件g(x)，其中x是一个n维向量。
我们的目标是找到使得目标函数最小化的变量向量x，在满足约束条件的前提下。
使用zo ut en di jk可行方向法来解决这个问题。
步骤一初始化首先，我们需要初始化一些参数。
假设初始点为x_0，初始目标函数值为f_0=f(x_0)，初始梯度为g_0=∇f(x_0)，初始可行方向为d_0=-g_0。
步骤二判断终止条件在每次迭代中，我们需要判断是否满足终止条件。
常见的终止条件包括：目标函数值的变化量小于某个阈值、梯度的模小于某个阈值、迭代次数达到某个限制等。
如果满足终止条件，则停止迭代并输出最优解，否则进行下一步。
步骤三线搜索在z ou te nd ij k可行方向法中，我们需要进行一维线搜索来确定每一步的步长。
常见的线搜索方法有A rm ij o准则、W ol fe准则等。
假设经过线搜索得到步长为α，更新后的变量向量为x_ne w=x_ol d+α*d_ol d，对应的目标函数值为f_n ew=f(x_n ew)，梯度为g_ne w=∇f(x_ne w)。
步骤四更新可行方向根据zo ut en di jk可行方向法的原理，我们需要根据梯度的变化来更新可行方向。
定义p=g_n ew-g_o ld和q=d_o ld。
根据z ou te n di jk可行方向法的更新公式，可行方向的更新公式为：d_ne w=-g_n ew+β*p，其中β=||g_n ew||^2/||g_o ld||^2。
步骤五迭代更新根据更新后的可行方向，我们继续迭代更新。
将更新后的变量向量、目标函数值、梯度和可行方向保存，返回步骤二进行判断终止条件。
例题分析现在，让我们通过一个例题来具体说明zo u te nd ij k可行方向法的求解过程。
12可行方向法
a i d 0 , i I ( x )； f ( x ) d 0
T
则 d 是可行下降方向
.
可行方向法思路：
从当前迭代点 x 出发，沿着可行下降方 ˆ x , 使得 向 d 搜索，
得到一个新的可行点
ˆ f (x) f (x)
问题：可行下降方向d不唯一，怎么选择？ －－－－选择目标函数值下降最快的方向
(k )
D,d
(k )
是x
(k )
处的可行下降方向，令
x x
(k )
d
(k )
考虑约束条件
T T
d
(k )
是问题 ( 1 )或 ( 2 )或 ( 3 )的解
bi a i d
T (k )
a i x bi a i x a i x bi a i x
T T
(k )
0, 0,
定理 1
.
线性化可行方向
件是
设 x D , 则 d 为 x 处的可行方向的充要条 a i d 0, i E ;
T T
a i d 0 , i I ( x ).
定义 2
设 x D , 若 d 是 x 处的可行方向，又是 .
x 处的下降
方向，则称 d 是 x 处的可行下降方向
若 d 满足 a i d 0, i E ;
T
a 3 x b3 x1 0,
T
a 4 x b4 x 2 0,
T
取初始点 x
(1 )
( 0 ,0 ) .
T
二、投影梯度法 无约束问题最速下降法：任取一点，若其梯度不为0，则沿 负梯度方向前进，总可以找到一个新的使函数值下降的点。 对约束问题，若再沿负梯度方向前进，可能是不可行的； 解决方法：把负梯度方向投影到可行方向上去！ 1.投影矩阵
可行方向法工研
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
(*)
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法 Definition
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法 Theorem
投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法 Proof
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投影梯度法(Rosen,1960) 投影梯度法
（Reduced Gradient Method,Wolfe,1963） ）
简约梯度法 Questions 何谓简约梯度？ 何谓简约梯度？ 如何构造可行下降方向？ 如何构造可行下降方向？
简约梯度法
*） （*）
简约梯度法
简约梯度法
简约梯度法
简约梯度法
简约梯度法 Remark
简约梯度法 Definition
简约梯度法
（5） ）
简约梯度法
简约梯度法
简约梯度法的步骤
简约梯度法的步骤
简约梯度法的步骤
简约梯度法的步骤
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简约梯度法
最优化各算法介绍
最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。
沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。
其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。
从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。
优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。
2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。
缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。
共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。
1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。
基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。
有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。
许金伟-可行方向法
（1）如果 0，那么 x 是KT 点； （2）如果 0，不妨设i <0,那么先从A1去掉i所对应 的行，得到新的 A1 ,然后令 ~ ~ _ ~ ~ T ~ ~ T ~ ~ A 1 M 1 ， P I M ( M M ) M , d P f ( x ), E 那么，d 是下降可行方向。
其中f ( x), gi ( x)是连续可微的函数
可行方向法
基本概念
有效约束：起到限制性作用的约束； 可行方向：当前点 xk 是在可行域内的点，沿d方向迭代后的新的 点 xk 1
xk d 也是可行域内的点，则搜索方向成为可
行方向； 可行下降方向：使目标函数下降的可行方向，称为可行下降方向。
I ( xk ) {i | gi ( xk ) 0}.
k 若 I ( xk ) 且 f ( x ) 1 ，停算，得到近似极小点
xk
；否则，
k 若 I ( xk ) ，但 f ( x ) 1 ，则取搜索方向dk f ( xk ) ，转步
4。反之，若 I ( xk ) ，转步2. 步2 步3 步4 求解线性规划问题，得最优解dk 和最优值 zk . 若 zk 2 ，停算，输出 xk 作为近似极小点；否则，以 dk 作 首先由式（3）计算，然后做一维搜索
为搜索方向，转步4.
min f ( xk dk )
s.t .
0
—
求得最优解 k 。 步5 置 xk 1 xk k dk , k k 1, 转步1.
目录
基本思想
Zoutendijk可行方向法
线性约束下的可行方向法 非线性约束下的可行方向法 梯度投影法 简约梯度法
一、可行方向法的基本思想可行方向...
第7章约束问题的优化方法第一节可行方向法第一节可行方向法一、可行方向法的基本思想可行方向法可看作无约束下降迭代算法的自然推广：从可行点出发，沿着下降可行方向进行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点。
考虑最简单的情况，只含线性约束的非线性规划：（1）为非线性函数，。
若所有约束都是线性约束，则优化问题（1）的可行方向集、线性化可行方向集以及序列化可行方向集是等同的。
对于线性约束的非线性规划问题。
搜索方向选择方式不同形成不同的可行方向法：（1）Zoutendijk可行方向法（2）Rosen梯度投影法（3）Wolfe既约梯度法可行方向的判定：定理1：设是问题（1）的可行解，在点处有，，其中则非零向量为处的可行方向的充要条件是证明——必要性：设非零向量是处的可行方向。
根据可行方向的定义，，使得对每个，有为可行点，因此，，，即由于，因此，。
又由，以及，得到。
充分性：设，。
由于，则，使得对于所有的，成立。
根据假设及，得到。
上述两式组合起来就是。
又由及可知表明是可行点，因此是处的可行方向。
二、Zoutendijk可行方向法（一）Zoutendijk子问题根据定理1，如果非零向量同时满足，，，则是处的下降可行方向。
Zoutendijk子问题给出了一个搜索方向：（2）问题（2）的意义就是：保证可行移动的同时，寻找一个下降最快的方向。
显然是可行解，因此目标函数最优值必定小于或等于零。
若目标函数最优值小于零，则得到下降可行方向；否则，目标函数最优值为零，是KKT点。
定理2：考虑问题（1），设是可行解，在点处有，，其中。
则为KKT点的充要条件是问题（2）的目标函数最优值为零。
（二）一维搜索步长的确定设为处一个下降可行方向，则迭代公式：的取值原则（1）保持迭代点的可行性；（2）使目标函数值尽可能减小。
根据上述原则，可以通过求解一维搜索问题来确定步长：（3）由于是可行方向，因此（3）式中等式约束自然成立，可以不再考虑。
而点处的不等式约束可分为起作用约束和不起作用约束：，。
动态规划问题
第一节 Zoutendijk可行方向法
KuhnTucker 条件
定理1 设 x0 是问题(5.1)的可行点, f(x)、gi(x) (i I(x0) )
在 x0 点可微, gi(x) (i I(x0) )在 x0 点连续, gi(x0) (iI(x0) )线
性无关, 若 x0 是问题的局部极小点, 则 存在非负数 ui (iI(x0) ),
求解上述联立方程组（若原问题含有等式约束，还要把各等式
约束也作为方程加到联立方程组中）即可求出u1 , u2 , x1 , x2 , 得 到K—T点。
解上述方程组的关键是确定点x0处两个不等式约束中哪个是不
起作用的约束，以便得出相应的uj=0。下面分四种情况讨论：
第一节 Zoutendijk可行方向法
(2) 设 u 0，此时K-T条件成为
2( x1 3) 2ux1 2v 0
2( x2 1) u v 0
x12
x2
0
2x1 x2 3 0
第一节 Zoutendijk可行方向法
x1 1
x
2
1
,
u 1
v 1
x1 3
x2
9
u 11
（舍去），则KT点 x (1 , 1)T
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v( ai xi i 1
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第一节 Zoutendijk可行方向法
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Step4 Step5 Step6
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
Zoutendijk法的改进 Topkis-Veinott 可行方向法 法的改进– 法的改进 简介
为防止锯齿现象， 为防止锯齿现象，还可考虑起作用约束和不起作用约束在 确定搜索方向中都起作用． 确定搜索方向中都起作用． 这种全作用约束方向法是Topkis和Veinott (1967)提出并保证 和 这种全作用约束方向法是 提出并保证 收敛于Fritz-John点． 收敛于 点
对于线性和非线性不等式约束问题，前面我们仅使用起作用约 对于线性和非线性不等式约束问题， 束来确定搜索方向．当某迭代点在一个约束的边界上时， 束来确定搜索方向．当某迭代点在一个约束的边界上时，如果可 行方向取得不恰当， 行方向取得不恰当，那么沿该方向可能因接近另一个约束边界而 只能作一个微小的移动，否则，就会使迭代点跑出边界． 只能作一个微小的移动，否则，就会使迭代点跑出边界．为防止 这一现象发生，设想在约束条件的边界上设立一道“安全带” 这一现象发生，设想在约束条件的边界上设立一道“安全带”， 迭代点进入“安全带”时，只允许它往可行域内部移动，而不许 迭代点进入“安全带” 只允许它往可行域内部移动， 向边界靠近． 起作用约束的概念， 向边界靠近．为此引入 ε起作用约束的概念，即在构造可行方向 起作用约束的概念 既把通过当前迭代点的约束边界看作起作用约束， 时，既把通过当前迭代点的约束边界看作起作用约束，也把充分 家近当前这代点的边界约束考虑在内． 家近当前这代点的边界约束考虑在内．
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理 (2) 确定一维搜索步长 (a)
简化 (a)
(9.1.5)
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理
分两种情况讨论(9.1.5) :
(2) 确定一维搜索步长
(9.1.14)的 的 约束条件 问题(9.1.11) 问题 一维搜索问题
基本原理
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
Zoutendijk法的改进 Topkis-Veinott 可行方向法 法的改进– 法的改进 基本原理
结论
Zoutendijk法的改进 Topkis-Veinott可行方向算法步骤 法的改进 可行方向算法步骤 可行方向 Step1 Step2
Step3 Step4
线性约束情形 Step1 Step2 Step3
算法步骤
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 举例 参见P243 例9.1.1 参见 非线性约束情形
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
非线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
定理1.2.3 定理 定理3.3.2 定理 点 x 处的可行下 降方向d 满足： 降方向 满足：
线性规划问题
(9.1.22)
结论
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
非线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
(2) 确定一维搜索步长
非线性约束情形 Step1 Step2 Step3
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
(2) 确定一维搜索步长
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理 (2) 确定一维搜索步长
带约束的 一维优化 问题
利用可行方向条件与 利用可行方向条件与 可行方向条件 起作用约束简化 简化(9.1.11) 起作用约束简化
算法步骤 束
Step4 Step5
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
非线性约束情形 算法特点
计算实践和理论分析表明，该算法可能失效或出现锯齿现象， 计算实践和理论分析表明，该算法可能失效或出现锯齿现象， 使算法收敛很慢甚至不收敛到最优点或K—T点． 使算法收敛很慢甚至不收敛到最优点或 点
Zoutendijk法的改进 问题的提出 法的改进
改进 在罚函数法的基础上，借助Lagrange乘子 广义乘子法: 在罚函数法的基础上，借助 乘子 来构造罚函数. 来构造罚函数
第九章 可行方向法 (Feasible Direction Methods)
可行方向法是其中的一类求解(线性 约束最优化问题的方法． 可行方向法是其中的一类求解 线性)约束最优化问题的方法． 是其中的一类求解 线性 约束最优化问题的方法 此类方法可看做无约束下降算法的自然推广． 此类方法可看做无约束下降算法的自然推广． 可行方向法的基本思想是从可行点出发， 可行方向法的基本思想是从可行点出发，沿可行下降方向进 行搜索， 出使目标函数值下降的新的可行点． 行搜索，求出使目标函数值下降的新的可行点． 算法包括选择搜索方向和确定搜索步长两个主要方面． 算法包括选择搜索方向和确定搜索步长两个主要方面． 选择搜索方向 两个主要方面 搜索方向的选择方式不同就形成不同的可行方向法． 搜索方向的选择方式不同就形成不同的可行方向法．
第九章 可行方向法
Zoutendijk可行方向法 可行方向法 梯度投影法(Gradient Projection Method) 既约梯度法 (Reduced Gradient Method) Frank-Wolfe方法 方法
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
简介 Zoutendijk可行方向法是 可行方向法是Zoutendijk于1960年提出的. 年提出的 可行方向法是 于 年提出 Zoutendijk可行方向法中选择搜索方向包括 可行方向法中选择搜索方向包括: 可行方向法中选择搜索方向包括 起作用约束构造可行方向和 起作用约束构造可行方向 起作用约束构造可行方向. 起作用约束构造可行方向和ε起作用约束构造可行方向 Zoutendijk可行方向法可以求解线性约束优化问题和 可行方向法可以求解线性约束 可行方向法可以求解线性约束优化问题和 非线性约束优化问题 优化问题. 非线性约束优化问题
第四部分 约束最优化问题的解法
第九章 可行方向法 第十章 罚函数法和广义乘子法
第四部分 约束最优化问题的解法
可行方向法： 可行方向法：在可行域内寻找使目标函数下降的 点列. 点列 罚函数法: 罚函数法 利用原问题的目标函数和约束条件构造 新的目标函数--罚函数 罚函数, 新的目标函数 罚函数 把约束最优化问题转化为 相应的罚函数的无约束最优化问题来求解. 相应的罚函数的无约束最优化问题来求解
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形
考虑线性约束问题
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
线性约束情形 基本原理 (1) 利用起作用约束构造可行下降方向
线性 规划 问题
Zoutendijk可行方向法 可行方向法
Zoutendijk法的改进 ε 起作用约束可行方向法 法的改进– 法的改进 定义
εtendijk法的改进 ε起作用约束可行方向算法步骤 法的改进 起作用约束可行方向算法步骤 Step1 Step2 Step3