全等三角形题型归类与解析

B C

全等三角形难题题型归类及解析

一、角平分线型

角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，

常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平

分线上一点作两边的垂线 。另外掌握两个常用的结论：角平分

线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角

形。

1. 如图，在ΔABC 中，D 是边 BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在 AB 上截取 AE=AC ，

连结 DE ，已知 DE=2cm ，BD=3cm ，求线段 BC 的长。

A

E

D

2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点 P 在 BD 上，PM⊥AD 于 M ，

•PN⊥CD 于 N ，判断 PM 与 PN 的关系．

A

M D

P N

C

B

3. 已知：如图 E 在△ABC 的边 AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ；

(2) 若∠BAE 的平分线 AF 交 BE 于 F ，FD∥BC 交 AC 于 D ，设 AB=5，AC=8，求 DC 的长。

．

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2

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延长线于M，求证：2∠M=（∠ACB-∠B）

A

12

E P

B

F

D C M

6、如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一点，CE⊥BD于E．

1

（1）若BD平分∠ABC，求证CE=BD；

（2）若D为AC上一动点，∠AED如何变化，若变化，求它的变化范围；

若不变，求出它的度数，并说明理由。

C

D E

B A

8、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，

求证：AC=AE+CD．

二、中点型

由中点应产生以下联想：

1、想到中线，倍长中线

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2、利用中心对称图形构造 8 字型全等三角形

3、在直角三角形中联想直角三角形斜边上的中线

4、三角形的中位线

2、已知：如图，△ABC 中，∠ABC = 45°，CD ⊥ AB 于 D ，BE 平分 ∠ABC ，且 BE ⊥ AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H 是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G ． （1）求证： BF = AC ； （2）求证： C E = 1

BF

2

A

D

G

B

H

F E

C

3、如图，△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥DF ，试判断 BE+CF 与 EF 的大小关 系，并证明你的结论。

△4、如图，已知在 ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，E 是 AD 上的一点，且 BE=AC ，延长 BE 交

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AC于F，求证：AF=EF

B

D

E

A

F

C 三、多个直角型

在多个直角的问题中很容易找的条件是直角相等以及边相等，而最难找的是锐角相等，所以“同角的余角相等”这个定理就显得非常重要，它是证明多个直角问题中锐角相等的有利工具。

1、如图,已知:AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:BE∥CF．

2、如图,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求证：AC=EF．

F

A

G

B E D C

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B

C

3、如图，∠ABC=90°，AB=BC ，BP 为一条射线，AD⊥BP ，CE⊥PB ，若 AD=4，EC=2. 求 DE 的长。

4、如图，ΔABC 的两条高 AD 、BE 相交于 H ，且 AD=BD ，试说明下列结论成立的

理由。

（1）∠DBH=∠DAC ； （2）ΔBDH≌ΔADC 。

A

H

E

D

4. 如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE 于 D ，AD=2、5cm ，DE=1.7cm,求 BE

的长

5. 如图①，E 、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE ⊥AC 于 E ，BF ⊥AC 于 F ，

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若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

6.如图(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是过A的一条直线,且B、

C在A、E的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E

(1)试说明:BD=DE+CE.

(2)若直线AE绕A点旋转到图(2)位置时(BD

(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时(BD>CE),其余条件不变,问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果,不需说明.

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（4）归纳前二个问得出BD、DE、CE关系。用简洁的语言加以说明。

四、等边三角形型

由于等边三角形是轴对称图形，所以很多时候利用其轴对称性进行构造全等三角形，另外等边三角形又具有60度和120度的旋转对称性，所以经常利用旋转全等的知识进行解答，同时等边三角形具有丰富的边角相等的性质，因此当我们看到有60度的角的时候经常构造等边三角形解题。

1、如图，已知∆ABC为等边三角形，D、E、F分别在边BC、CA、AB上，且∆DEF也是等边三角形．

（2）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；

（3）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？写出变化过程．A

E

F

B D C

2、已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

3、如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

A E .下载可编辑.

D