实验七 用Matlab解决概率统计基本

实验七 用Matlab解决概率统计基本问题
实验目的:
1、熟悉Matlab中有关概率统计的命令,掌握用 Matlab软件解决概率统计基本问题的方法。 2、学习并掌握用Matlab进行数据分析的方法。 3、学习Matlab的各种数据分析函数。
实验内容:
数据统计被越来越多地用于各个领域的科学研究和 工程计算;统计数据的处理量大而繁琐,而处理大量繁琐 的数据正是计算机的优势所在. Matlab有专门处理统计 数据的工具箱-----统计工具箱(Statistics Toolbox),本实 验主要介绍一些常用的命令与函数. 数据的最大值、 一、数据的最大值、最小值与排序 有关数据的最大值、最小值、排序等有关命令见表１
二、求和与乘积
1.对向量与矩阵求和 对向量与矩阵求和的函数见表2 函数及调用格式 sum(x) sum(A) cumsum(x) cumsum(A) cumsum(A,dim)
说明
求向量x所有元素的和 x 求矩阵A的各列元素和 求向量x的元素累计和向量 求矩阵A的各列累计和矩阵 计算由参数dim指定维数的累计和 矩阵，dim=1时求各列累计和矩阵， dim=2时求各行累计和矩阵
1
几种重要的连续型随机变量及其分布函数 (一)均匀分布 1 ,a < x < b f (x ) = b − a 设连续型随机变量X具有概率密度 0, 其它 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，记为X~U(a,b). (二)指数分布 1 −x /θ e ,x > 0 f (x ) = θ 设连续型随机变量X的概率密度为 0, 其它 其中 θ > 0 为常数，则称X服从参数为 θ 的指数分布。 我们可以算出随机变量X的分布函数为
3.连续型随机变量及其概率密度 如果对于随机变量X的分布函数 F (x) ,存在非负函数 x f (x) ,使对于任意实数 x 有 F ( x ) = ∫− ∞ f (t )dt ,则称X为连续 型随机变量,其中函数 f (x ) 称为X的概率密度函数,简称 概率密度.
概率密度 f ( x )具有以下性质 (1 ) f (x ) ≥ 0
例：珠海市2009年4月下旬的每日高温(单位为 o C )用向量x 表示，x=[22 24 19 21 20 25 26 21 28 23],求对４月下旬 的气温进行排序（从低到高）并求最高气温和最低气温． 解：在命令窗口输入： >> x=[22 24 19 21 20 25 26 21 28 23] >>sort(x) %对４月下旬的气温进行排序 ans = 19 20 21 21 22 23 24 25 26 28 >>[y,ind]=sort(x) %对４月下旬的气温进行排序,并给出下标向量． y= 19 20 21 21 22 23 24 25 26 28 ind = 3 5 4 8 1 10 2 6 7 9 >>xmax=max(x) xmax =28 >>xmin=min(x) xmin =19
P { X = k} =
λ k e−λk!, k = 0,1, 2, L
其中λ > 0 是常数.则称X服从参数为 λ 的泊松分布,记为 例如某一医院在一天内的急诊病人数服从泊松分布.
X ~ π (λ )
2.随机变量的分布函数 设X是一个随机变量,x是任意实数,函数 F ( x ) = P{ X ≤ x} 称为X的分布函数. 对任意实数 x1 , x 2 (x1 < x 2 ) ,有
四、常见的概率分布函数
1.离散型随机变量及其分布律 有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是 有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随 机变量． ) 设离散型随机变量Ｘ所有可能取的值为 xk ( k = 1, 2,L， Ｘ取各个可能值的概率，即事件 ( X = x k ) 的概率， 为 P( X = xk ) = pk , k =1,2,L ，称上式为离散型随机变量Ｘ的分 布律，分布律也可以用表格的形式来表示：
cumprod(x) cumprod(A) cumprod(A,dim)
例:设A=[2 1 3 6;2 3 5 9;3 7 2 4;7 1 8 9]，求A的各列元素积 向量、各列元素累计积矩阵、各行元素积向量和各行元素累计 积矩阵。 解：输入命令： >>A =[2 1 3 6;2 3 5 9;3 7 2 4;7 1 8 9] A= 2 1 3 6 2 3 5 9 3 7 2 4 7 1 8 9 >>prod(A) %计算A的各列元素积向量。 ans = 84 21 240 1944
函数名称 binocdf poisscdf unifcdf expcdf normcdf tcdf Fcdf chi2cdf 函数说明 二项分布B(n,p)的分布函数F(x) 泊松分布P(λ)的分布函数F(x) 均匀分布U[a,b]的分布函数F(x) 指数分布E(λ)的分布函数F(x) 正态分布N(µ,σ2)的分布函数F(x) t(n)分布的分布函数F(x) F(n1,n2)分布的分布函数F(x)
%求矩阵A的各列元素和向量 28
A= 2 2 3 7
1 3 7 1
3 5 2 8
6 9 4 9
>>cumsum(A) ans = 2 1 3 6 4 4 8 15 7 11 10 19 14 12 18 28
练习：x=[0:2:20],求向量x的元素和，累计和向量
2.元素乘积与元素累计乘积 向量与矩阵元素乘积函数的调用格式见表3
P {x 1 < X ≤ x 2 } = P {X ≤ x 2 } − P {X ≤ x 1 } = F ( x 2 ) − F ( x 1 )
因此,若已知X的分布函数,我们就知道X落在任一 区间 (x1 , x2 ]上的概率.如果将X看作是数轴上的随机点 的坐标,那么,分布函数 F (x ) 在 x 处的函数值就表示X 落在 (− ∞, x] 上的概率.
2π σ
∫
特别，当 µ = 0,σ = 1时称 X服从标准正态分布，其 概率密度和分布函数 用ϕ (x ), Φ (x )表示，即有 ϕ (x ) = 1 2π e
−t 2 / 2
−∞
, Φ (x ) =
1 2π
∫
x
e
−t 2 / 2
dt
−∞
对于计算常见的分布函数， Matlab提供了相应的 函数，见下表5
>>mean(A,1) %计算列元素算术平均数． ans = 5.5000 6.5000 7.5000 8.5000 >>median(A,2) %计算行元素中位数． ans = 2.5000 5.5000 8.5000 11.5000 >>std(A,1) %计算列元素标准差． ans = 3.3541 3.3541 3.3541 3.3541 练习：计算向量x=[1.2 3.4 5.6 2.3 4.3 5.8],求它的元 素算术平均数、元素中位数和元素标准差．
X pk x1 p1 x2 L xn L p2 L pn L
几种重要的离散型随机变量及其分布律 (一)0-1分布 设随机变量X只可能取0和1两个值,它的分布律是 1−k P( X = k) = pk (1− p) , k = 0,1 ( 0 < p <1) 则称X服从(0-1)分布或两点 分布. 例如”抛硬币”实验 (二)二项分布 n n−k P { X = k} = p k (1 − p ) , k = 0,1,L, n ,称随机变量 设随机变量X满足 k X X服从参数为n,p的二项分布. n,p . (三)泊松分布 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2,…,而取各个值的概率为
表１
函数及调用格式 sort(x) [y,ind]=sort(x) [B,ind]=sort(A) max(x) max(A) [y,ind]=max(A) min(x) 说明 将向量x的元素按递增排列．如果元素是复数，则按 它们的模排列，即sort(abs(x)) 将向量x的元素按递增排列为y向量，同时输出一个下 标向量ind 将矩阵Ａ的列元素按递增排列为B，矩阵ind是Ａ每一 列的列下标向量． 求向量x中的最大元素．如果元素是复数，则求最大 模． 求矩阵Ａ中每一列中最大值组成的行向量． 求矩阵Ａ中每一列中最大值组成的行向量y，并给出 最大值的行下标向量． 求向量x中的最小元素值，如果元素是复数，则求最 小模．
>>cumprod(A) %计算A的各列元素累计积矩阵 ans = 2 1 3 6 4 3 15 54 12 21 30 216 84 21 240 1944 >>prod(A,2) %计算A的各行元素积向量 ans = 36 270 168 504 >>cumprod(A,2) %计算A的各行元素累计积矩阵
计算参数dim指定维数的矩阵A的标准差。dim=1时计 算列标准差，dim=2计算行标准差。 计算向量x中相邻元素之间的偏差
注意:1.中位数的概念:将所有的数按从小到大顺序排列,如果有奇数个数 处于中间位置的值就是中位数,如果一共有偶数个数，中位数就是中间两个 数的平均数。 − 1 n x= xi 2.平均数的计算
函数及调用格式 prod(x) prod(A) prod(A,dim) 说明 计算向量x中各元素的乘积 计算矩阵A中各列元素的乘积向量 计算参数dim指定维数的元素乘积。 dim=1时求各列元素积向量；dim=2时求 各行元素积向量 计算向量x的累计积向量 计算矩阵A各列的累计积矩阵 计算参数dim指定维数的元素累计乘积。 dim=1时求各列元素累计积向量；dim=2 时求各行元素累计积向量
ans = 2 2 3 7
2 6 6 30 21 42 7 56
36 270 168 504
练习：x=[1:10],求向量x的元素积和累计元素积向量。
三、计算数据的平均值、中值和标准差的函数