金属棒在匀强磁场中的运动

对E＝BLv 的理解

利用公式E＝BLv求电动势这类习题在中学物理中是常见的，但利用此公式时应注意以下几点。

1. 此公式的应用对象是一部分导体在磁场中做切割磁感线运动时产生感应电动势的计算，一般用于匀强磁场（或导体所在位置的各点的磁感应强度相同）。

2. 此公式一般用于导体各部分切割磁感线速度相同的情况，如果导体各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势。

例1. 如图1所示，导体棒AB长为L，在垂直纸面向里的匀强磁场中以A点为圆心做匀速圆周运动，角速度为。磁感应强度为B，求导体棒中感应电动势的大小。

图1

解析：导体棒AB在以A点为圆心做匀速圆周运动过程中，棒上每一点切割磁感线的线速度是不同的，我们可以求出导体棒切割磁感线的平均速度为：

则导体棒中感应电动势为：

3. 此公式中的L不是导体棒的实际长度，而是导体切割磁感线的有效长度，所谓有效长度，就是产生感应电动势的导体两端点的连线在切割速度v的垂直方向上投影的长度。

例2. 如图2甲、乙、丙所示，导线均在纸面内运动，磁感应强度垂直纸面向里，其有效长度L分别为：

甲图：

乙图：沿方向运动时，L＝MN，沿方向运动时，L＝0

丙图：沿方向运动时，，沿方向运动时，L＝0，沿方向运动时，L＝R

甲乙丙

图2

4. 在匀强磁场里，若切割速度v不变，则电动势E为恒定值，若v为时间t里的平均速度，则E为时间t里的平均电动势。若v为瞬时值，则E为瞬时电动势。

5. 若v与导体棒垂直但与磁感应强度B有夹角时，公式中的v应是导体棒的速度在垂直于磁场方向的分速度。此时，公式应变为：。

例3. 如图3所示，磁感应强度为B，方向竖直向下。一导体棒垂直于磁场放置，导体棒的速度方向与磁场方向的夹角为，大小为v。求导体棒上感应电动势的大小。

图3

解析：把导体棒的速度v沿垂直于磁场方向和平行磁场方向进行分解，得到分速度v1、v2，

且。则导体棒上的感应电动势为：。

6. E＝BLv公式中的速度v应是导体棒相对于磁场的速度。

我们常见的是磁场静止，对于这一种情况，公式中的v就是导体棒的速度v。

例4. 如图4所示，水平面上有两根很长的平行直导轨，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B＝2T，磁场运动的速度，方向向左。导轨上有

金属棒MN以速度向左运动。设两根直导轨间距L＝1m，求金属棒MN 上产生的感应电动势的大小，问哪一端的电势高？

图4

解析：在本题中，磁场的运动速度为，方向向左，金属棒的速度为，方向向左，侧金属棒相对于磁场的速度为v＝2m/s，方向向右。则金属棒上产生的感应电动势为：

即金属棒上产生的感应电动势为4V，由右手定则可判定M点的电势高。

对E＝BLv 的应用

金属棒在匀强磁场中的运动，是电磁感应中极其重要的物理模型，是近年高考的热点问题之一。分析其运动问题的关键是弄清金属棒运动过程中的受力情况。结合受力情况的变化对其运动过程作动态分析，并确定金属棒的最终运动状态。分析运动中牵涉到的动力学知识、能量守恒、电磁学知识等的综合应用，能较全面地考查学生综合应用知识的能力。因此，掌握此类运动模型的分析方法尤为重要。本文就几种常见的金属棒在匀强磁场中的运动问题，进行分类探讨。

1. 金属棒在倾斜轨道上的运动

例1. 如图1所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速

度会趋近一个最大速度v

m ，则（）

A. 如果B增大，v

将变大

m

将变大

B. 如果α增大，v

m

将变大

C. 如果R增大，v

m

将变大

D. 如果m减小，v

m

图1

解析：将导体棒受力的三维图转化为二维图（如图2所示），利用右手定则可知，感应电流方向如图中所示，利用左手定则可知磁场力沿斜面向上，开始时棒的速度由0增大，磁场力F也由0增大，由牛顿第二定律可知，加速度a将减小，当a减小到0时，棒以最大速度v m

做匀速直线运动，即，要使v m增大，正确选项为B、C。

图2

点评：对于金属棒在磁场中的运动这类问题，一般要对杆列出牛顿第二定律的方程，讨论加速度和速度的变化时，注意加速度为零时速度最大是运动的转折点。

2. 金属棒在圆环轨道上的运动

例2. 如图3所示，粗细均匀的电阻为R的金属环放在磁感应强度为B的垂直环面的匀强磁场中，圆环直径为d。长也为d、电阻为R/2的金属棒ab中点与环相切，使ab始终以垂直棒的速度v向左运动，当到达圆环直径位置时，ab棒两端的电势差大小为多少。

图3

解析：ab到达虚线所示直径位置时，由于金属棒切割磁感线产生电动势等效于电源，等效

全电路如图4所示，则

图4

点评：当导体切割磁感线平动时，导体中产生感应电动势，导体相当于电源。在处理电磁感应这类问题时，明确等效电源和内外电路，准确地画出等效电路，是迅速获解的关键所在。

3. 金属棒在角形轨道上的运动

例3. 如图5所示，三角形导轨COD上放一根导体MN，拉动MN使它以速度v匀速平动。如果导轨与棒都是同种材料同种规格的均匀导体，匀强磁场垂直于轨道

平面，那么棒MN运动过程中，闭合回路的（）

A. 感应电动势保持不变

B. 感应电流保持不变

C. 感应电动势逐渐增大

D. 感应电流逐渐增大

图5

解析：在时间t内棒从O前进的距离为vt，设∠COD=2θ，各段导体的电阻率均为，横截面积为S，棒与轨道的接触点为A、B。则∠COD内的棒长为

，则回路中的感应电动势，

由全电路欧姆定律及，可得

故正确答案为B、C。

点评：棒在角形框架上滑动时，要注意审题，整个棒产生的电动势和闭合回路中产生的电流是不同的，前者变大，后者不变。

4. 金属棒在轨道上涉及能量转化的运动

例4. 如图6所示，MN和PQ为竖直方向的两平行长直

金属导轨，间距为0.40m，电阻不计。导轨所在平面

与磁感应强度B为0.50T的匀强磁场垂直。质量m为

6.0×10-3kg，电阻为1.0Ω的金属杆ab始终垂直于导

轨，并与其保持光滑接触。导轨两端分别接有滑动变

阻器和阻值为3.0Ω的电阻R

。当杆ab达到稳定状态

1

时以速率v匀速下滑，整个电路消耗的电功率P为

0.27W，重力加速度取10m/s2，试求速率v和滑动变阻

器接入电路部分的阻值R

。

2

图6

解析：由功率表达式得：

代入数据得：

又

设电阻R1与R2的并联电阻为，ab棒的电阻为r，有

，代入数据得：

点评：电磁感应与直流电路结合的题目，首先要明确内外电路，以及外电路各部分电阻间的串并联关系。然后利用能量守恒和全电路欧姆定律综合去处理。

例5. 如图7所示，平行导轨MN和PQ相距0.5m，电阻可忽略。其水平部分是粗糙的，置于0.60T竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分的导轨是光滑的，且该处没有磁场。导体棒a和b的质量均为0.20kg，电阻均为0.15Ω，a、b相距足够远，b放在水平导轨上，a从斜轨上高0.050m处无初速释放。求：

（1）回路中的最大感应电流是多少？