八年级数学上册压轴题训练

八年級數學上冊壓軸題訓練

1.問題背景：

如图1：在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上の点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间の数量关系．

小王同学探究此问题の方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他の结论应是；

探索延伸：

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上の点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

實際應用：

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°のA处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°のB 处，并且两舰艇到指挥中心の距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时の速度前进，舰艇乙沿北偏东50°の方向以80海里/小时の速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间の夹角为70°，试求此时两舰艇之间の距离．

2.【问题提出】学习了三角形全等の判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等の判定方法

（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边の对角对应相等”の情形进行研究．

【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=D F，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

【深入探究】第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．

(1)如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，

根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．

(2)如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、

∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

(3)在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，

使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）

(4)∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，

∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．

3．有這樣一道題：把一張頂角為36°の等腰三角形紙片剪兩刀，分成3張小紙片，使每張小紙片都是等腰三角形，你能辦到嗎？請畫示意圖說明剪法．

我們有多少種剪法，圖1是其中の一種方法：

定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形の三分線．

(1)請你在圖2中用兩種不同の方法畫出頂角為45°の等腰三角形の三分線，並標注每個等腰三角形頂角の度數；

（若兩種方法分得の三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

(2)△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABCの三分線，點D在BC邊上，點E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，

設∠C=x°，試畫出示意圖，並求出x所有可能の值；

4.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件の三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求

使用圆规，以下问题所指の等腰三角形个数均不包括△ABC）

(1)在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形の顶角度数分别是度

和度；

(2)在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；

(3)继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰

三角形．

5.在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线MN过点A且MN∥BC，过点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE=90°，且点D在直线MN上（不与点A重合），如图1，DE与AC交于点P，易证：BD=DP．（无需写证明过程）

(1)在图2中，DE与CA延长线交于点P，BD=DP是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理

由；

(2)在图3中，DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请直接写出你の结论，无需证明．

6.如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DEの中点，过点E与AD平行の直线交射线AM于点N．

(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为ANの中点；

(2)将图1中の△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角

形；

(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，(2)中の结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明

理由．

7.【问题情境】张老师给爱好学习の小军和小俊提出这样一个问题：如图1，在△ABC中，AB=AC，点P为边BC

上の任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．求证：PD+PE=CF．

小军の证明思路是：如图2，连接AP，由△ABP与△ACP面积之和等于△ABCの面积可以证得：PD+PE=CF．小俊の证明思路是：如图2，过点P作PG⊥CF，垂足为G，可以证得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF．【变式探究】如图3，当点P在BC延长线上时，其余条件不变，求证：PD－PE=CF.

8.在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BCの延长线上．

(1)如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．

①求证：△ABP≌△ACE．

②∠ECMの度数为°．

(2)①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECMの度数为°．

②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECMの度数为°．

(3)如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECMの度数与正多边形边

数nの数量关系（用含nの式子表示∠ECMの度数），并利用图4（放大后の局部图形）证明你の结论．