高中数学直线与方程习题及解析

1．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标． 解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0

－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x

，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ，

即3x ＋1＝13－x

，解得x ＝2，即P (2,0)． 2．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上，

求边AB 与AC 所在直线的斜率．

解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°，

∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°，

∴k AB ＝tan 150°＝－

33， k AC ＝tan 30°＝33. 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c

的大小． 解 画出函数的草图如图，f (x )x

可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a

.

4．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD .

(2)已知直线l 1的斜率k 1＝34

，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值．

(1)证明 由斜率公式得：

k AB ＝6－3

10－5＝35， k CD ＝11－(－4)－6－3

＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD .

(2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，

即34×a 2＋1－(－2)0－3a

＝－1，解得a ＝1或a ＝3.

5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状．

解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0＝t ， k QR ＝2－(2＋t )－2t －(1－2t )＝－t －1＝t ，k OR ＝2－0－2t －0

＝－1t ， k PQ ＝2＋t －t

1－2t －1＝2－2t

＝－1t . ∴k OP ＝k QR ，k OR ＝k PQ ，从而OP ∥QR ，OR ∥PQ .

∴四边形OPQR 为平行四边形．

又k OP ·k OR ＝－1，∴OP ⊥OR ，

故四边形OPQR 为矩形．

6．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )，B (5，－1)，C (4，2)，D (2,2)，求m 和n 的值，使

四边形ABCD 为直角梯形．

解 ∵四边形ABCD 是直角梯形，

∴有2种情形：

(1)AB ∥CD ，AB ⊥AD ，

由图可知：A (2，－1)．

(2)AD ∥BC ，AD ⊥AB ， ⎩⎪⎨⎪⎧

k AD ＝k BC k AD ·k AB ＝－1 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n －2m －2＝3－1n －2m －2·n ＋1m －5＝－1

∴⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.

综上⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝－1或⎩⎨⎧ m ＝165n ＝－85.

7．已知直线l 1与l 2的方程分别为7x ＋8y ＋9＝0,7x ＋8y －3＝0.直线l 平行于l 1，直线l 与l 1

的距离为d 1，与l 2的距离为d 2，且d 1∶d 2＝1∶2，求直线l 的方程．

解 因为直线l 平行l 1，设直线l 的方程为7x ＋8y ＋C ＝0，则d 1＝

|C －9|72＋82，d 2＝|C －(－3)|72＋8

2. 又2d 1＝d 2，∴2|C －9|＝|C ＋3|.

解得C ＝21或C ＝5.

故所求直线l 的方程为7x ＋8y ＋21＝0或7x ＋8y ＋5＝0

8．△ABC 中，D 是BC 边上任意一点(D 与B ，C 不重合)，且|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |.求证：

△ABC 为等腰三角形．

证明 作AO ⊥BC ，垂足为O ，以BC 所在直线为x 轴，以OA 所在直线为y 轴，建立直角坐标系(如右图所示)．

设A (0，a )，B (b,0)，C (c,0)，D (d,0)．

因为|AB |2＝|AD |2＋|BD |·|DC |，所以，由距离公式可得

b 2＋a 2＝d 2＋a 2＋(d －b )(

c －

d )，

即－(d －b )(b ＋d )＝(d －b )(c －d )．

又d －b ≠0，故－b －d ＝c －d ，即－b ＝c .

所以|AB |＝|AC |，即△ABC 为等腰三角形．

9．一束平行光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反

射光线与直线l 的交点坐标．

解 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上

得

⎩⎨⎧ b a ·⎝⎛⎭⎫－43＝－18×a 2＋6×b 2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝4

b ＝3， ∴A 的坐标为(4,3)．

∵反射光线的反向延长线过A (4,3)，

又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y ＝3.

由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝38x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝78y ＝3， ∴反射光线与直线l 的交点坐标为⎝⎛⎭⎫78，3.