2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题附答案

2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.

1.已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N = ，则x 的值为()A.3

B.2

C.1

D.0

2.设1

,(1)()2,(1)

x f x x

x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为()

A.0

B.1

C.2

D.-1

3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(

)

A.圆柱

B.三棱柱

C.球

D.四棱柱

4.函数2cos ()y x x R =∈的最小值是（）

A.2

- B.1

- C.1

D.2

5.已知(1,2)a = ，(,4)b x = ，且//a b

，则实数x 的值为（

）

A .

2

- B.2 C.8 D.8

-6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()

A.15,5,25

B.15,15,15

C.10,5,30

D.15,10,20

7.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为()

A.

15 B.

14

C.

49

D.

59

8.已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是(

)

A.1

B.2

C.3

D.5

9.已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（）

A .

22(2)(1)5

x y +++= B.22(2)(1)5x y -+-=C.22(2)(1)10

x y -+-= D.22(2)(1)10

x y +++=10.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B 到点C 的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B 两点间的距离为（

）

A.

km

B.

km

C.1.5km

D.2km

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.

11.计算：22log 1log 4+=

12.已知1，x ，9成等比数列，则实数x=

．

13.经过点A （0，3）

，且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是．

14.某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为_________.

15.已知向量a 与b 的夹角为4

π

，若2a ||=4a b ⋅= ，则||b = _______.

三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知1cos ,(0,2

2

παα=∈.（1）求tan α的值；（2）求sin()6

π

α+

的值.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.

（1）试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？

18.如图，

在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为45 ，点,E F 分别是,AC AD 的中点.

（1）求证：//EF 平面BCD ；（2）求三棱锥A BCD -的体积.

19.已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈.（1）求1a ，2a 及通项n a ；

（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.

20.已知函数()22x x

f x λ-=+⋅()R λ∈.

（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值；（3）若不等式

1

()42

f x ≤≤在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.

2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B 10.【答案】A

二、填空题

11.【答案】212.【答案】±313.【答案】y=x+3

14.【答案】15.【答案】4

三、解答题

16.【答案】

（12）1【详解】（1）1cos ,(0,)22

π

αα=∈Q ，

sin 2

α∴==，sin tan

cos α

αα

∴=

=，