2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题附答案
湖南省邵阳市普通高中2019年数学学业水平模拟考试试卷
湖南省邵阳市普通高中2019年数学学业水平模拟考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
(共10题；共40分) 1．（4分）如图，一个几何体的三视图都是半径为1的圆，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球2．（4分）已知集合A={-1，0，2}，B={x，3}，若A∩B={-1}，则x的值为（）A．3B．2C．0D．-13．（4分）执行如图所示的程序框图，若输入x的值为2，则输出的y值为（）A．2B．3C．4D．54．（4分）函数y=sinx，x∈R的最小正周期是（）A．1B．2C．πD．2π5．（4分）下列函数中，在区间（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=( )x B．y=log2x C．y=x2D．y=cosx 6．（4分）在长度为6的线段AB上任取一点C，则AC之间的距离小于2的概率为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，在△ABC中，=（）A．B．C．0D．8．（4分）已知直线l过点（2，0），且与直线y=-2x+1平行，则直线/的方程为（）A．y=2x-4B．y=2x+4C．y=-2x+4D．y=-2x-49．（4分）如图，在△ABC中，AB=2，AC=1，∠A=120°，则BC长为（）A．B．C．D．10．（4分）实数x，y满足不等式组则z=x-y的最大值为（）A．2B．1C．-2D．-1二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
(共5题；共20分)11．（4分）已知sinθ=cosθ，则tanθ的值为。
12．（4分）不等式x（x-1）<0的解集为。
13．（4分）已知x0是函数f（x）=2x-4的零点，则实数x0的值为。
14．（4分）为调查学校新生的运动时间，该收有学生1800人，教师200人，现用分层指样的方法抽取20人作样本，则从教师中应抽取人.15．（4分）已知直线l：3x-4y+6=0，圆C：（x-1）2+（y-1）2=P（G>0），若直线l与圆C相切，则圆C的半径r=.三、解答题：本大题共5小题，共40分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学及详细解析(湖南卷·理)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择）题两部分，满分150分.考试用时120分钟.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋i 4的值是 （ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．i2．函数f (x )＝x21-的定义域是（ ）A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．（－∞，0）D ．（－∞，＋∞）3．已知数列{log 2(a n －1)}（n ∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则nn n a a a a a a -++-+-+∞→12312lim111(= （ ）A ．2B ．23C ．1D ．21 4．已知点P （x ，y ）在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-022,01,02y x y x 表示的平面区域上运动，则z ＝x －y 的取值范围是（ ）A ．[－2，－1]B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．[1，2]5．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则O 到平面AB C 1D 1的距离为 （ ） A ．21 B ．42C ．22D ．23 6．设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2019(x )＝（ ） A ．sinxB ．－sinxC ．cos xD ．－cosx7．已知双曲线22a x －22by ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角为（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º8．集合A ＝｛x |11+-x x ＜0＝，B ＝｛x || x -b|＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠φ”的充分条件， 则b 的取值范围是（ ）A ．－2≤b ＜0B ．0＜b ≤2C ．－3＜b ＜－1D ．－1≤b ＜29．4位同学参加某种形式的竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲．乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得100分，答错得－100分；选乙题答对得90分，答错得－90分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 （ ）A ．48B ．36C ．24D ．1810．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCAS S ∆∆， λ3＝ABC PAB S S ∆∆，定义f (P)=(λ1, λ, λ3),若G 是△ABC 的重心，f (Q)＝（21，31，61），则（ ）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分（第15小题每空2分），共20分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11．一工厂生产了某种产品16800件，它们来自甲．乙．丙3条生产线，为检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽样，已知甲．乙．丙三条生产线抽取的个体数组成一个等差数列，则乙生产线生产了 件产品.12．在（1＋x ）＋（1＋x ）2＋……＋（1＋x ）6的展开式中，x 2项的系数是 .（用数字作答）13．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则⋅＝ .14．设函数f (x )的图象关于点（1，2）对称，且存在反函数f －1(x )，f (4)＝0，则f －1(4)＝ .15．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0，nπ]上的面积为n 2（n ∈N *），（i ）y ＝sin3x 在[0,32π]上的面积为 ；（ii ）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π，34π]上的面积为 .三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分） 已知在△ABC 中，sinA （sinB ＋cosB ）－sinC ＝0，sinB ＋cos2C ＝0，求角A 、B 、C 的大小. 17．（本题满分12分） 如图1，已知ABCD 是上．下底边长分别为2和6，高为3的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1折成直二面角，如图2. （Ⅰ）证明：AC ⊥BO 1；（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小.18．（本小题满分14分） 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f (x )＝x 2－3ξx ＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A ，求事件A的概率.图1 图219．（本小题满分14分）已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设AM ＝λAB .（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形. 20．（本小题满分14分）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0.不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c. （Ⅰ）求x n+1与x n 的关系式；（Ⅱ）猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）（Ⅱ）设a ＝2，b ＝1，为保证对任意x 1∈（0,2），都有x n ＞0，n ∈N *，则捕捞强度b 的 最大允许值是多少？证明你的结论.21．（本小题满分14分） 已知函数f (x )＝ln x ，g(x )＝21ax 2＋b x ，a ≠0. （Ⅰ）若b ＝2，且h (x )＝f (x )－g(x )存在单调递减区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数f (x )的图象C 1与函数g(x )图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点作x 轴的垂线分别交C 1，C 2于点M 、N ，证明C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线不平行.2019年普通高等学校招生统一考试（湖南，理科）解析第Ⅰ卷1.[答案]：B [评述[：本题考查复数，复数的意义及其运算。
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(湖南.文)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．不等式2x x >的解集是（ ） A ．(0)-∞，B ．(01)，C ．(1)+∞，D ．(0)(1)-∞+∞，，2．若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ ） A ．EF OF OE =+ B ．EF OF OE =- C ．EF OF OE =-+D ．EF OF OE =--3．设2:40p b ac ->（0a ≠），:q 关于x 的方程20ax bx c ++=（0a ≠）有实数，则p是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4．在等比数列{}n a （n ∈N*）中，若11a =，418a =，则该数列的前10项和为（ ） A ．4122-B ．2122-C ．10122-D ．11122-5．在(1)nx +（n ∈N*）的二次展开式中，若只有3x 的系数最大，则n =（ ） A ．8B ．9C ．10D ．116．如图1，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E F ，分别是1AB ，1BC 的中点，则以下结论中不成立．．．的是（ ） A ．EF 与1BB 垂直 B ．EF 与BD 垂直 C ．EF 与CD 异面D ．EF 与11A C 异面7．根据某水文观测点的历史统计数据，得到某条河流水位的频率分布直方图（如图2）．从图中可以看出，该水文观测点平均至少一百年才遇到一次的洪水的最低水位是（ ） A ．48米 B ．49米 C ．50米 D ．51米ABC 1A 1C1D1BDEF8．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点，P 是其右准线上纵坐标（c 为半焦距）的点，且122||||F F F P =，则椭圆的离心率是（ ）AB ．12CD．210．设集合{123456}M =，，，，，， 12k S S S ，，，都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i S a b =，，{}j j j S a b =，（i j =，{123}i j k ∈、，，，，），都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭，，（min{}x y ，表示两个数x y ，中的较小者），则k 的最大值是（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．圆心为(11)，且与直线4x y -=相切的圆的方程是 ．12．在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，若1a =，c =π3C =，则A = ． 13．若0a >，2349a =，则14log a = ． 14．设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，（1）b 的取值范围是 ；频率水位（米）图2（2）若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 ．15．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积是 ；设E F ，分别是该正方体的棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．求： （I ）函数()f x 的最小正周期； （II ）函数()f x 的单调增区间．17．（本小题满分12分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．（I ）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；（II ）任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培养的概率． 18．（本小题满分12分） 如图3，已知直二面角PQ αβ--，A PQ ∈，B α∈，C β∈，CA CB =，45BAP ∠=，直线CA 和平面α所成的角为30． （I ）证明BC PQ ⊥；（II ）求二面角B AC P --的大小．19．（本小题满分13分）已知双曲线222x y -=的右焦点为F ，过点F 的动直线与双曲线相交于A B ，两点，点C 的坐标是(10)，．（I ）证明CA ，CB 为常数；ABCQαβ P（II ）若动点M 满足CM CA CB CO =++（其中O 为坐标原点），求点M 的轨迹方程． 20．（本小题满分13分）设n S 是数列{}n a （n ∈N*）的前n 项和，1a a =，且22213n n n S n a S -=+，0n a ≠，234n =，，，．（I ）证明：数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列；（II ）试找出一个奇数a ，使以18为首项，7为公比的等比数列{}n b （n ∈N*）中的所有项都是数列{}n a 中的项，并指出n b 是数列{}n a 中的第几项． 21．（本小题满分13分） 已知函数3211()32f x x ax bx =++在区间[11)-，，(13]，内各有一个极值点． （I ）求24a b -的最大值；（II ）当248a b -=时，设函数()y f x =在点(1(1))A f ，处的切线为l ，若l 在点A 处穿过函数()y f x =的图象（即动点在点A 附近沿曲线()y f x =运动，经过点A 时，从l 的一侧进入另一侧），求函数()f x 的表达式．2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．D 2．B 3．A 4．B 5．C 6．D 7．C 8．C 9．D 10．B 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在横线上． 11．22(1)(1)2x y -+-= 12．π613．314．（1）[2)+∞，（2）9215．3π三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．解：ππ()cos(2)sin(2)44f x x x =+++πππ))2442x x x =++=+=． （I ）函数()f x 的最小正周期是2ππ2T ==；（II ）当2ππ22πk x k -≤≤，即πππ2k x k -≤≤（k ∈Z ）时，函数()2f x x=是增函数，故函数()f x 的单调递增区间是π[ππ]2k k -，（k ∈Z ）．17．解：任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =，()0.75P B =． （I ）解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是1()()()0.40.250.1P P A B P A P B ===⨯=所以该人参加过培训的概率是1110.10.9P -=-=．解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是2()()0.60.250.40.750.45P P A B P A B =+=⨯+⨯=该人参加过两项培训的概率是3()0.60.750.45P P A B ==⨯=． 所以该人参加过培训的概率是230.450.450.9P P +=+=．（II ）解法一：任选3名下岗人员，3人中只有2人参加过培训的概率是22430.90.10.243P C =⨯⨯=．3人都参加过培训的概率是330.90.729P ==．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是450.2430.7290.972P P +=+=． 解法二：任选3名下岗人员，3人中只有1人参加过培训的概率是1230.90.10.027C ⨯⨯=．3人都没有参加过培训的概率是30.10.001=．所以3人中至少有2人参加过培训的概率是10.0270.0010.972--=． 18．解：（I ）在平面β内过点C 作CO PQ ⊥于点O ，连结OB ． 因为αβ⊥，PQ αβ=，所以CO α⊥，又因为CA CB =，所以OA OB =．而45BAO ∠=，所以45ABO ∠=，90AOB ∠=，从而BO PQ ⊥，又CO PQ ⊥， 所以PQ ⊥平面OBC ．因为BC ⊂平面OBC ，故PQ BC ⊥． （II ）解法一：由（I ）知，BO PQ ⊥，又αβ⊥，PQ αβ=，BO α⊂，所以BO β⊥．过点O 作OH AC ⊥于点H ，连结BH ，由三垂线定理知，BH AC ⊥． 故BHO ∠是二面角B AC P --的平面角．由（I ）知，CO α⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=，不妨设2AC =，则AO =3sin 302OH AO ==． 在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO == 于是在RtBOH △中，tan 22BOBHO OH∠===． 故二面角B AC P --的大小为arctan 2．解法二：由（I ）知，OC OA ⊥，OC OB ⊥，OA OB ⊥，故可以O 为原点，分别以直线OB OA OC ，，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系（如图）． 因为CO a ⊥，所以CAO ∠是CA 和平面α所成的角，则30CAO ∠=． 不妨设2AC =，则AO =1CO =．AB CQαβ POH在Rt OAB △中，45ABO BAO ∠=∠=，所以BO AO == 则相关各点的坐标分别是(000)O ，，，0)B ，，(0A ，(001)C ，，．所以(3AB =，，(0AC =-，． 设1n {}x y z =，，是平面ABC 的一个法向量，由1100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得00z =+=⎪⎩，取1x =，得1n =．易知2(100)n =，，是平面β的一个法向量．设二面角B AC P --的平面角为θ，由图可知，12n n θ=<>，．所以1212cos ||||5n n n nθ===． 故二面角B AC P --的大小为 19．解：由条件知(20)F ，，设11()A x y ，，22()B x y ，．（I ）当AB 与x 轴垂直时，可设点A B ，的坐标分别为(2，(2，， 此时(12)(12)1CA CB =-=-，，． 当AB 不与x 轴垂直时，设直线AB 的方程是(2)(1)y k x k =-≠±．代入222x y -=，有2222(1)4(42)0k x k x k -+-+=．则12x x ，是上述方程的两个实根，所以212241k x x k +=-，2122421k x x k +=-，于是212121212(1)(1)(1)(1)(2)(2)CA CB x x y y x x k x x =--+=--+--2221212(1)(21)()41k x x k x x k =+-++++2222222(1)(42)4(21)4111k k k k k k k +++=-++-- Q22(42)411k k =--++=-．综上所述，CA CB 为常数1-．（II ）解法一：设()M x y ，，则(1)CM x y =-，，11(1)CA x y =-，，22(1)CB x y =-，，(10)CO =-，，由CM CA CB CO =++得： 121213x x x y y y -=+-⎧⎨=+⎩，即12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，于是AB 的中点坐标为222x y +⎛⎫⎪⎝⎭，． 当AB 不与x 轴垂直时，121222222yy y y x x x x -==+---，即1212()2y y y x x x -=--． 又因为A B ，两点在双曲线上，所以22112x y -=，22222x y -=，两式相减得12121212()()()()x x x x y y y y -+=-+，即1212()(2)()x x x y y y -+=-．将1212()2yy y x x x -=--代入上式，化简得224x y -=． 当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 所以点M 的轨迹方程是224x y -=．解法二：同解法一得12122x x x y y y +=+⎧⎨+=⎩，……………………………………①当AB 不与x 轴垂直时，由（I ） 有212241k x x k +=-．…………………②21212244(4)411k ky y k x x k k k ⎛⎫+=+-=-= ⎪--⎝⎭．………………………③ 由①②③得22421k x k +=-．…………………………………………………④241ky k =-．……………………………………………………………………⑤ 当0k ≠时，0y ≠，由④⑤得，2x k y+=，将其代入⑤有2222244(2)(2)(2)1x y x y y x x yy +⨯+==++--．整理得224x y -=． 当0k =时，点M 的坐标为(20)-，，满足上述方程．当AB 与x 轴垂直时，122x x ==，求得(20)M ，，也满足上述方程． 故点M 的轨迹方程是224x y -=．20．解：（I ）当2n ≥时，由已知得22213n n n S S n a --=．因为10n n n a S S -=-≠，所以213n n S S n -+=． …………………………① 于是213(1)n n S S n ++=+． …………………………………………………②由②－①得：163n n a a n ++=+．……………………………………………③ 于是2169n n a a n +++=+．……………………………………………………④ 由④－③得：26n n a a +-=．…………………………………………………⑤ 即数列2{}n n a a +-（2n ≥）是常数数列． （II ）由①有2112S S +=，所以2122a a =-． 由③有1215a a +=，所以332a a =+，而⑤表明：数列2{}k a 和21{}k a +分别是以2a ，3a 为首项，6为公差的等差数列．所以22(1)6626k a a k k a =+-⨯=-+，213(1)6623k a a k k a +=+-⨯=+-，k ∈N*．由题设知，1187n n b -=⨯．当a 为奇数时，21k a +为奇数，而n b 为偶数，所以n b 不是数列21{}k a +中的项，n b 只可能是数列2{}k a 中的项．若118b =是数列2{}k a 中的第n k 项，由18626k a =-+得036a k =-，取03k =，得3a =，此时26k a k =，由2n k b a =，得11876n k -⨯=，137n k -=⨯∈N*，从而n b 是数列{}n a 中的第167n -⨯项．（注：考生取满足36n a k =-，n k ∈N*的任一奇数，说明n b 是数列{}n a 中的第126723n a-⨯+-项即可）。
2009-2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案
湖南省2009年普通高中学业水平考试数 学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} 2.若运行右图的程序，则输出的结果是 （ ） A.4， B. 9 C. 13 D.223.将一枚质地均匀的 子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ） A.31 B.41 C.51 D.614.4cos4sinππ的值为（ ）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ） A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=-4x+7 D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ⊥，则实数x 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表： 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为 （ ） A.（1，2） B.（2，3） C.(3,4) D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1= D.y=cosx10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（ ）A.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________. 14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，若,AM AC AB λ=+则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.2 223 3ABMC17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题：（1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.分组 频数 频率 [0,1) 10 0.1 [1,2) a 0.2 [2,3) 30 0.3 [3,4) 20 b [4,5) 10 0.1 [5,6) 10 0.1 合计10010 1 2 3 4 5 60.3 0.4 频率/组距 月均用水量BCDAP19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元， 请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围.AEx参考答案 一、选择题二、填空题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a=20,b=0.2 (2)2.5吨 18.（1）略 （2）450 19.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 20.(1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。
湖南省2019年普通高中学业水平考试仿真试卷(四)数学试题 含解析
2019年湖南省普通高中学业水平考试仿真试卷（专家版四）数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知0x >，数列4，x ，9是等比数列，则x =（ ） A. 5 B. 6C. 7D. 8【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可构造方程求得结果. 【详解】由题意得：24936x =⨯= 又0x >，解得：6x = 本题正确选项：B【点睛】本题考查等比中项的应用，属于基础题.2.在区间[1,5]内任取一个实数，则此数大于2的概率为（ ）A.25B.12C.35D.34【答案】D 【解析】 【分析】根据几何概型长度型直接求解即可.【详解】根据几何概型可知，所求概率为：523514p -==- 本题正确选项：D【点睛】本题考查几何概型概率问题的求解，属于基础题.3.已知集合{1,2,3}M =，{2,3,4}N =，{3,5}P =，则()MN P =（ ）A. {3}B. {2,3}C. {}2,3,5D. {1,2,3,4,5}【答案】C 【解析】【分析】求解出M N ⋂后，根据并集定义求得结果. 【详解】由题意得：{}2,3M N ⋂=，则(){}2,3,5M N P =本题正确选项：C【点睛】本题考查集合运算中的交集和并集运算，属于基础题.4.如图是一个算法流程图.若输入α的值为60︒，则输出y 的值为（ ）3 B. 13 D.22【答案】A 【解析】 【分析】运行程序框图，根据条件可知tan y α=，计算可得结果. 【详解】运行程序框图，输入：60α= 由45α>得：tan 603y ==3y =本题正确选项：A【点睛】本题考查程序框图中的条件结构计算输出值的问题，属于基础题.5.已知a ，b 为不同直线，α、β、γ为不同的平面.在下列命题中，正确的是（ ） A. 若直线//a 平面α，直线//a 平面β，则//αβB. 若平面α内有无穷多条直线都与平面β平行，则//αβC. 若直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α，则//αβD. 若平面//α平面γ，平面//β平面γ，则//αβ 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中平行关系的判定和性质依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】//a α且//a β，α和β平行或相交，A 错误；平面α内的无数条相互平行的直线均平行于平面β，α和β可能相交，B 错误；若//a b ，此时直线a α⊂，直线b β⊂，且//a β，//b α，α和β可能相交，C 错误； 由平面平行的性质可知，平行于同一平面的两平面互相平行，D 正确. 本题正确选项：D【点睛】本题考查空间中的平行关系，涉及到线线关系、线面关系、面面关系.6.已知2tan 3α=，则tan(2)πα-=（ ） A. 23-B. 23C. 32-D.32【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式可得()tan 2tan παα-=-，代入求得结果. 【详解】由题意得：()2tan 2tan 3παα-=-=- 本题正确选项：A【点睛】本题考查利用诱导公式求值，属于基础题.7.在四边形ABCD 中，若AB DC =，且0AB AD ⋅=，则四边形ABCD 是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形【答案】A【分析】根据向量相等可知四边形ABCD 为平行四边形；由数量积为零可知AB AD ⊥，从而得到四边形为矩形. 【详解】AB DC =，可知//AB CD 且AB CD = ∴四边形ABCD 为平行四边形由0AB AD ⋅=可知：AB AD ⊥ ∴四边形ABCD 为矩形 本题正确选项：A【点睛】本题考查相等向量、垂直关系的向量表示，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A. 6B. 442+C. 642+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由三视图可还原几何体为三棱柱，则表面积为两个底面面积与三个侧面面积之和. 【详解】由三视图可知几何体为三棱柱∴几何体表面积1221222226422S =⨯⨯⨯+⨯+⨯=+本题正确选项：C【点睛】本题考查空间几何体的表面积的求解，关键是能够根据三视图判断出原几何体为三棱柱.9.已知函数22()log (2)log (6)f x x x =+⋅+，则(2)f =（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 32【答案】C【分析】将2x =代入函数解析式求得结果即可.【详解】由题意得：()222log 4log 8236f =⋅=⨯= 本题正确选项：C【点睛】本题考查函数值的求解问题，涉及到对数的运算，属于基础题.10.不等式()(2)0x y x y -+->表示的平面区域（用阴影表示）为（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据()()20x y x y -+->得到不等式组，再确定0x y -=与20x y +-=交点位置即可判断出平面区域.【详解】由()()20x y x y -+->得：020x y x y ->⎧⎨+->⎩或020x y x y -<⎧⎨+-<⎩由020x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得交点坐标为：()1,1由此可得平面区域为：本题正确选项：B【点睛】本题考查一元二次不等式所表示的平面区域的求解问题，属于基础题.二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.11.经过点(,3)P m -，(1,)Q m 的直线的斜率为3，则实数m =________. 【答案】3- 【解析】 【分析】利用两点连线斜率公式构造方程即可解得结果. 【详解】由题意得：331m m-=+，解得：3m =- 本题正确结果：3-【点睛】本题考查两点连线斜率公式的应用，属于基础题.12.已知三点(0,0)O ，(2,2)A ，(5,6)B ，则OB OA -=________. 【答案】5 【解析】 【分析】由向量运算可知()3,4OB OA AB -==，根据模长的定义可求得结果. 【详解】由题意得：()3,4OB OA AB -==9165OB OA AB ∴-==+=本题正确结果：5【点睛】本题考查向量模长的运算，涉及到向量的坐标运算问题.13.当0x >时，函数2()2xf x x =-的所有零点之和为________. 【答案】6 【解析】 【分析】令22x x =解得0x >时方程的根，作和即为所求零点之和. 【详解】令22x x =，当0x >时，解得：2x =或4x =∴所求零点之和为：246+=本题正确结果：6【点睛】本题考查函数零点的求解问题，属于基础题.14.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .已知60B =︒，3b =，6c =则A =________. 【答案】75︒ 【解析】 【分析】由正弦定理求得sin C ；根据三角形大边对大角的原则可求得45C =；利用三角形内角和求得A .【详解】由正弦定理sin sin b c B C =得：sin 6sin 602sin 2c B C b === 又c b <，则C B < 45C ∴=18075A B C ∴=--=本题正确结果：75【点睛】本题考查正弦定理解三角形，涉及到大边对大角的应用、三角形内角和的应用问题.15.已知样本1x ，2x ，3x ，4x ，5x 的平均数为1，方差为2，则13x +，23x +，33x +，43x +，53x +的平均数和方差分别是________.【答案】4,2 【解析】 【分析】根据平均数和方差的性质直接求解即可.【详解】由平均数的性质知：每个数加上同一个数，平均数也加上同一个数 134x ∴=+= 由方差的性质知：每个数加上同一个数，方差不变 22s ∴= 本题正确结果：4，2【点睛】本题考查平均数和方差的性质应用，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知数列{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，11n n n n a b b nb ++-=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和. 【答案】（1）21n a n =+；（2）1122n --. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式直接求得结果；（2）利用11n n n n a b b nb ++-=可整理得：112n n b b +=，从而可知{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列，根据等比数列前n 项和公式求得结果.【详解】（1）数列{}n a 的通项公式为：()()1132121n a a n d n n =+-=+-=+（2）由（1）和11n n n n a b b nb ++-=得：12n n nb nb +=，即：112n n b b += ∴数列{}n b 是首项为1，公比为12的等比数列 记{}n b 的前n 项和为n S ，则1111221212nn n S -⎛⎫- ⎪⎝⎭==-- 【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比数列前n 项和的求解，考查对于公式的掌握情况.17.某公司随机收集了该公司所生产的四类产品的有关售后调查数据，经分类整理得到下表：使用满意率是指：一类产品销售中获得用户满意评价的件数与该类产品的件数的比值.（1）从公司收集的这些产品中随机选取1件，求这件产品是获得用户满意评价的丙类产品的概率； （2）假设该公司的甲类产品共销售10000件，试估计这些销售的甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数.【答案】（1）0.32；（2）1000件. 【解析】 【分析】（1）根据表中数据求得产品总件数和丙类产品中获得用户满意评价的产品件数，根据古典概型求得概率；（2）首先确定甲类产品中不能获得用户满意评价的件数占比，根据用样本估计总体的方法可求得结果.【详解】（1）由题意知，样本中公司的产品总件数为：10050200150500+++= 丙类产品中获得用户满意评价的产品件数为：2000.8160⨯=∴所求概率为：1600.32500p == （2）在样本100件甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：()10010.910⨯-= 则不能获得用户满意评价的件数占比为：10110010= 该公司的甲类产品共销售了10000件∴这些甲类产品中，不能获得用户满意评价的件数是：110000100010⨯=件 【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解、用样本估计总体的问题，属于基础题.18.已知a R ∈，对于函数3()31xf x a =-+. （1）判断函数()f x 的单调性，并简要说明；（2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值. 【答案】（1）()f x 在(,)-∞+∞上是减函数；（2）32. 【解析】 【分析】（1）根据()3xg x =单调递增可得()331xu x =+单调递减，又a R ∈，可知()f x 为减函数；（2）利用奇函数的定义()()0f x f x -+=构造方程可求得a .【详解】（1）函数()f x 在(),-∞+∞上是减函数，理由如下：()3x g x =在(),-∞+∞上单调递增，且310x +> ()331xu x ∴=+在(),-∞+∞上单调递减，又a R ∈，且为常数 故函数()331xf x a =-+在(),-∞+∞上是减函数 （2）若函数()f x 为奇函数，则()()0f x f x -+=即：3303131x x a a --+-=++，化简得：333201331x x xa ⋅+-=++， 即：320a -=，解得：32a =∴存在32a =使得()f x 为奇函数 【点睛】本题考查函数单调性的判断、奇偶性的应用，属于基础题.19.已知函数()3sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）填写下表，用“五点法”画()3sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象.（2）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间. 【答案】（1）见解析；（2）π，3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】 分析】（1）根据特殊角三角函数值和“五点法”作图方法可补全表格并画出函数图象；（2）根据2T πω=求得最小正周期；将24x π-整体放入sin x 单调递增区间中，求得x 的范围即为所求的单调递增区间.【详解】（1）填表和作图如下.（2）函数()f x 的最小正周期为：22T ππ== 令222242k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：388k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴函数()f x 的单调递增区间为：3,88k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈ 【点睛】本题考查三角函数中的“五点法”作图、正弦型函数的最小正周期和单调区间的求解问题.求解单调区间的关键是采用整体对应的方式.20.如图，已知圆O 的方程为222x y +=，M 是直线2x =-上的任意一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别是P ，Q ，线段PQ 的中点为N .（1）当点M 运动到x 轴上时，求出点P ，Q 的坐标；（2）当点M 在x 轴上方运动且60PMQ ∠=︒时，求直线PQ 的方程； （3）求证：2OM ON OP ⋅=，并求点N 的轨迹方程.【答案】（1）(1,1)-，(1,1)--；（2）10x y -+=；（3）证明见解析，220(0)x y x x ++=≠. 【解析】 【分析】（1）由题意可求得2OP =2OM =，根据OP MP ⊥，求得2MP OP ==，可知直线PQ 垂直平分线段OM ，得到,P Q 的横坐标，代入圆的方程可求得结果；（2）设M 的坐标为()()2,0m m ->，可求得222OM OP ==m ；根据OP OQ =，MP MQ =可知PQ OM ⊥，从而得到直线PQ 的斜率；再根据点()0,0O 到直线PQ 的距离为2，利用点到直线距离公式，结合斜率可写出直线PQ 方程；（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n -，由PQ OM ⊥和OP MP ⊥可得三角形相似关系，利用对应边成比例可证得22242n x y ++=；又//OM ON ，可得()20yn x x=-≠；两式整理即可得到所求轨迹方程.【详解】（1）当M 运动到x 轴上时：2OP =2OM =由OP MP ⊥得：2MP OP ==∴直线PQ 垂直平分线段OM ∴则点,P Q 的横坐标为1-又,P Q 在圆222x y +=上可知点P 的坐标为()1,1-，点Q 的坐标为()1,1-- （2）连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上 设M 的坐标为()()2,0m m ->60PMQ ∠= 30OMP ∴∠=，则：222OM OP ==2=2m =，即()2,2M -∴直线OM斜率为1-，又OP OQ =，MP MQ =PQ OM ∴⊥，则直线PQ 的斜率为1设直线PQ 的方程为：y x b =+，又30OMP ∠=60POM ∴∠=，122ON OP ==即点()0,0O 到直线PQ 的距离为2222=，解得：1b =或1b =-（舍去） ∴直线PQ 的方程为：10x y -+=（3）设点N 的坐标为()(),0x y x <，M 的坐标为()2,n - 连接OM ，OP ，OQ ，则点N 在OM 上由（2）知PQ OM ⊥，又OP MP ⊥，可知：PNO MPO ∆∆即OP ONOM OP=，即：2OM ON OP ⋅= 22242n x y ++=……① 又//OM ON ，则2nx y =-，即：()20yn x x=-≠……② 将②代入①，得22x y x +=0x <化简得点N 的轨迹方程为：()2200x y x x ++=≠【点睛】本题考查直线和圆的综合应用问题，涉及到直线与圆相切位置关系的应用、直线方程的求解问题、轨迹方程的求解问题，属于中档题.。
2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷Word版含答案
2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有1 A C 2A C 3A 4 A 5A C 6A 7A 8的是A C 9．将函数x y sin =的图象向左平移3π个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为A ．)3sin(π+=x yB ．)3sin(π-=x y（第8题图）DC ．)32sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y 10．如图，长方形的面积为2，将100颗豆子随机地撒在长方形内，其中恰好有60颗豆子落在阴影部分内，则用随机模拟的方法可以估计图中阴影部分的面积为AC 11．121314．αcos 15A16．（1（2（第16题图）一批食品，每袋的标准重量是50g，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g），并得到其茎叶图（如图）．（1）求这10袋食品重量的众数，并估计这批食品实际重量的平均数；（218．2．（1（2已知向量a =（x sin ，1），b =（x cos ，1），∈x R ． （1）当4π=x 时，求向量a + b 的坐标；（2）若函数=)(x f |a + b |2m +为奇函数，求实数m 的值． 20．（本小题满分10分）已知数列{n a }的前n 项和为a S n n +=2(a 为常数，∈n N *)． （1）求1a ，2a ，3a ；（2）若数列{n a }为等比数列，求常数a 的值及n a ；（3）对于（2）中的n a ，记34)(112-⋅-⋅=++n n a a n f λλ，若0)(<n f 对任意的正整数n 恒成立，求实数λ的取值范围．2018年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案111617， （218．（（19所以a + b )2,2()2,cos (sin =+=x x ； …………………4分 （2）因为a + b )2,cos (sin x x +=，所以m x m x x x f ++=+++=52sin 4)cos (sin )(2， ……………6分因为)xf--，f=(xf为奇函数，所以)(x()即m2-5sin2+)5sin(，解得5mx+x--=-m．……………8分-=注：由))0(=f，解得5f为奇函数，得0(xm同样给分．=-20由由（又故（3令t设g当λλ当>λ当<。
2019年普通高中学业水平合格性考试(会考)数学试卷三(含答案)
2019年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(考试时间:90分钟满分:100分)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页。
考生注意:1.答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷答题卡上。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷(选择题45分)一、选择题(本大题有15小题，每小题3分，共45分。
每小题只有一个选项符合题目要求)1.已知集合U={1,2，3,4,5,6,7}，A={2,3,4,5}，B={2,3,6,7}，则B∩C uA=9)A.{1，6}B.{1，7}C.{6，7}D.{1,6，7}2.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，...1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验。
若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生3.等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.44.甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.135.幂函数y=f(x)的图象经过点(8,22)，则f(x)的图象是()6.经过点A(8，-2)，斜率为.−12的直线方程为()A.x+2y-4=0B.x-2y-12=0C.2x+y-14=0D.x+2y+4=07.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=e-X-1.则当x<0时，f(x)=()A.e-X-1B.e-X+1C.-e-X-1D.-e-X+18.在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB =(1,-2)，AD =(2，1)，则AB ·AD =()A.5B.4C.3D.29.函数f(x)=1X—x3的图像关于()A.x轴对称B.y轴对称C.直线y=x对称D.坐标原点对称10.以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于()A.2πB.πC.2D.111.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是()A.若m⊥n，n//α，则m⊥αB.若m//β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β,n⊥β，n⊥α,则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β,β⊥α，则m⊥α12.直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是()A.-2或12B.2或一12C.-2或-12D.2或1213.在区间[o，2]上随机地取一个数x，则事件“-1≤log1（x+12)≤1发生的概率为()2A.34B.23C.13D.1414.为了得到函数y=sin2x的图象，只要把函数y=sin x的图象上所有点()A.横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变D.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变15.已知{a n}是首项为1的等比数列，s n是{a n}的前n项和，且9S3=S6，则数列{1a n}的前5项和为()A.158或5B.3116或5C.3116D.158第Ⅱ卷(非选择题55分)二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)16.函数y=7+6x−x2的定义域是。
2019年高考数学湖南(理科卷)(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分。
参考公式：（1）()()()P AB P B A P A =，其中,A B 为两个事件，且()0P A >， （2）柱体体积公式V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高。
（3）球的体积公式343V R π=，其中R 为求的半径。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若,a b R ∈，i 为虚数单位，且()a i i b i +=+则A ．1a =，1b = B. 1,1a b =-= C.1,1a b =-=- D. 1,1a b ==- 2.设集合{}{}21,2,,M N a ==则 “1a =”是“N M ⊆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A. 9122π+B. 9182π+C. 942π+D. 3618π+4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：由()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++算得，()22110403020207.860506050k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.参照附表，得到的正确结论是A ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B ． 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”5.设双曲线()222109x y a a -=>的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为 A.4 B.3 C.2 D.1 6.由直线,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为A.12B.1C.7.设m ＞1，在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数Z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为A.（1，1 B.（1+∞） C.（1,3 ） D.（3，+∞）8.设直线x=t 与函数2()f x x = ()ln g x x = 的图像分别交于点M,N,则当MN 达到最小时t 的值为A.1B. 12C. 2D. 2填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
2009年-2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题及答案
湖南省2009年普通高中学业水平考试数 学一、选择题1. 已知集合A={-1，0，1，2}，B={-2，1，2}则A B=（ ）A{1} B.{2} C.{1，2} D.{-2，0，1，2} 2.若运行右图的程序，则输出的结果是 （ ） A.4， B. 9 C. 13 D.223.将一枚质地均匀的 子抛掷一次，出现“正面向上的点数为6”的概率是（ ） A.31 B.41 C.51 D.61 4.4cos4sinππ的值为（ ）A.21B.22C.42D.25.已知直线l 过点（0，7），且与直线y=-4x+2平行，则直线l 的方程为（ ） A.y=-4x-7 B.y=4x-7 C.y=-4x+7 D.y=4x+76.已知向量),1,(),2,1(-==x b a 若b a ⊥，则实数x 的值为（ ） A.-2 B.2 C.-1 D.17.已知函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：A.（1，2）B.（2，3）C.(3,4)D. (4,5)8.已知直线l ：y=x+1和圆C ：x 2+y 2=1,则直线l 和圆C 的位置关系为（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不能确定 9.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ） A.xy )31(= B.y=log 3x C.xy 1=D.y=cosx 10.已知实数x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+,0,0,1y x y x 则z=y-x 的最大值为（ ）A.1B.0C.-1D.-2 二、填空题11.已知函数f(x)=⎩⎨⎧<+≥-),0(1)0(2x x x x x 则f(2)=___________.12.把二进制数101（2）化成十进制数为____________.13.在△ABC 中，角A 、B 的对边分别为a,b,A=600,a=3,B=300,则b=__________. 14.如图是一个几何体的三视图，该几何体的体积为_________.15.,AM λ=则实数λ=________.三、解答题16.已知函数f(x)=2sin(x-3π), (1)写出函数f(x)的周期；（2）将函数f(x)图像上所有的点向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图像，写出函数g(x)的表达式，并判断函数g(x)的奇偶性.17.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理.为了较合理地确定居民日常用水量的标准，有关部门抽样调查了100位居民.右表是这100位居民月均用水量（单位：吨）的频率分布表，根据右表解答下列问题： （1）求右表中a 和b 的值；（2）请将下面的频率分布直方图补充完整，并根据直方图估计该市每位居民月均用水量的众数.B18.在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，且PA=AB. （1）求证：BD ⊥平面PAC ； （2）求异面直线BC 与PD 所成的角.19.如图，某动物园要建造两间完全相同的矩形熊猫居室，其总面积为24平方米，设熊猫居室的一面墙AD 的长为x 米（2≤x ≤6）. (1)用x 表示墙AB 的长；（2）假设所建熊猫居室的墙壁造价（在墙壁高度一定的前提下）为每米1000元， 请将墙壁的总造价y(元)表示为x(米)的函数； （3）当x 为何值时，墙壁的总造价最低？月均用水量BCDAPEx20.在正项等比数列{a n }中，a 1=4,a 3=64. (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)记b n =log 4a n ,求数列{b n }的前n 项和S n ;(3)记y=-λ2+4λ-m,对于（2）中的S n ,不等式y ≤S n 对一切正整数n 及任意实数λ恒成立，求实数m 的取值范围. 参考答案 一、选择题11.2 12.5 13.1 14.3π 15.2 三、解答题 16.（1）2π（2）g(x)=2sinx ,奇函数. 17.（1）a=20,b=0.2 (2)2.5吨 18.（1）略 （2）450 19.（1）AB=24/x; (2)y=3000(x+x16) (3)x=4,y min =24000. 20.(1)a n =4n ; (2)S n =2)1(+n n (3)m ≥3.2010年湖南省普通高中学业水平考试试卷数 学本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共3页。
湖南省2019年普通高中学业水平考试模拟试卷二(附中版)数学试题
湖南省2019年普通高中学业水平考试模拟试卷二（附中版）科目：数学（试题卷）注意事项：1．答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2．必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3．答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．姓名________________准考证号_________________祝你考试顺利！湖南省2019年普通高中学业水平考试模拟试卷二（附中版）数学本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量90分钟，满分100分．一、选择题本大题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{2,4,5},{1,3,5,7}A B ==，则A B =∩（）A ．{5}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{2,4,5,6}2．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-r r ，且a b r r ∥，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-3．计算机执行如图的程序段后，输出的结果是（）A ．2,3B ．2,2C ．0,0D ．3,24．已知等差数列{}n a 中，22,2a d ==，则5S =（）A ．40B ．30C ．20D ．105．已知函数25,1,()21,1,x x f x x x +>⎧=⎨+≤⎩则(1)f =（） A ．3 B ．13 C ．8D ．18 6．sin 210︒的值等于（）A ．12B ．12- C D ．7．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（）A ．2x y =B ．2y x -=C ．2log y x =D ．21y x =+ 8．若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD 中，其中2,1AB BC ==，则质点落在以AB 为直径的半圆内的概率是（）A ．8πB ．4πC ．5πD ．2π 9．函数1()lg f x x x =-的零点所在的区间是（） A ．(0,1) B ．(1,10) C ．(10,100) D ．(100,)+∞10．已知0.322log 0.3,2,0.3a b c ===，则,,a b c 三者的大小关系是（）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a >>二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．11．在ABC △中，已知2,3,120AB AC A ==∠=︒，则ABC △的面积为_____________．12．高一某班有学生50人，其中男生30人．年级组为了调查该班学生的学习情况，现采用分层抽样（按男、女分层）从该班抽取一个容量为10的样本，则应抽取男生的人数为__________．13．函数()sin 2cos 2f x x x =+的最小正周期为_____________．14．已知实数对(,)x y 满足2,1,0,x y x y ⎧⎪⎨⎪-⎩„……则2x y +的最小值是_________．15．若圆锥的侧面展开图是半径为1cm 、圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的轴截面面积等于_______．三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且2344,24a a a =+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．17．设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+． （1）当()f x 为奇函数时，求a 的值；（2）证明：对于任意 ,()a f x 在R 上为增函数．18．己知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160．现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．（1）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（2）设抽出的7名同学分别用,,,,,,A B C D E F G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作． （i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率．19．已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最大值及相应的x 的值；（2）求函数()f x 的单调增区间．20．已知圆22:414450C x y x y +--+=．（1）求圆的圆心C 的坐标和半径长；（2）若直线7:2l y x =与圆C 相交于A B 、两点，求AB 的长； （3）若直线:350n kx y k +--=与圆C 相交于,D E 两点，求直线n 的方程，使CDE △的面积最大．。
高中学业水平考试数学试题,无参考解答,19级
高中学业水平考试数学试题,无参考解答,19级2019年湖南省高中学业水平考试数学试题 (无参考解答) 复制下面的链接能直接打开本套试题的参考解答：/s?__biz=MzU5NDgxMDc1OQ==&mid=2247488171&idx=2&sn=a1aa12452645c68f9f98c0e4d ce99a74&chksm=fe7ad043c90d5955c99b2cd5121d53b5b69e8ba67046e428384ae725bdb9ccd516053207208a&token=206142 4830〈=zh_CN#rd 重新设置页面宽度是方便在手机上阅读。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分) 1.下列几何体为圆锥的是( ) A B C D 2.已知集合，，则( ) A. B. C. D. 3.函数的最小正周期是( ) A. B. C. D. 4.执行如图所示的程序框图，若输入的值为，则输出的值为( ) 否是结束输出开始输入 A. B. C. D. 5.某班有男生人，女生人，现用分层抽样的方法从中抽取人参加一项活动，则抽取的男生人数为( ) A. B. C. D. 6.已知向量，，则( ) A. B. C. D. 答案：C 解：，故选C。
7.已知，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 8.函数的图象大致为( ) 9.设的内角所对的边分别为，若，，则( ) A. B. C. D. 10.已知直线与圆心在的圆相切，则圆的方程为( ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，满分20分) 11.已知直线，若，则。
12.若，则。
13.已知，则。
14.如下图所示，将一个圆八等分，假设在该圆内随机撤一粒豆子，则豆子落在阴影部分的概率为。
15.若关于的不等式的解集为，则。
三、解答题(本大题共5小题，满分40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本题满分6分) 已知为锐角，且。
2019年湖南省普通高中学业水平考试数学模拟试题(五)
6
得|
→AB＋ →AC|
2
=6，即
→AB2
＋→AC2＋ 2→AB· →AC=6
∴2＋ →AC2＋ 2=6 ∴→AC2=2 ∴ | →AC|= 2 ∴Δ ABC是边长为 2的正三角形 3
∴Δ ABC的面积为 2 ．…………… 10 分
6/6
2
. …………… 8 分
2
20．解：（ 1）由已知 →AB·→CA＝ →BA·→CB．得 →AB· →CA－ →BA·→CB＝ 0
即→AB·（→CA＋ →CB）＝ 0．设 AB的中点为 D，则 →CA＋ →CB=2→CD，
所以 →AB·2→CD＝ 0，∴ →AB⊥→CD， AB⊥CD，又∵ D为 AB的中点，
（ 1）通话时间为 6 分钟，通话费用是多少？
（ 2）写出程序中所表示的函数 .
INPUT
x
IF x 3 THEN
y 0.3
ELSE
y 0.3 0.1*( x 3)
END IF
y
END
17．（本小题 8 分）已知数列 { an} 的通项公式 an
2n 6(n
*
N )。
（ 1）求 a2 ， a5 ；
3
3
三、解答题：本大题共 5 小题，共 40 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
0.3当x 3 16．（ 1） x 6, y 0.6 ；（ 2） y=
0.3 0.1( x 3)当x 3
17. 解：（ 1） a 2 2 ， a5 4 ……………………………………… 4 分
（ 2）由题意知：等比数列 { bn} 中， b1 a2 2, b2 a5 4 ，
C ．六棱台
D
2019年湖南普通高中会考数学真题及答案
2019年湖南普通高中会考数学真题及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是( )A ．圆柱B ．三棱柱C ．球D ．四棱柱4．函数2cos ()y x x R =∈的最小值是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知(1,2)a =，(,4)b x =，且//a b ，则实数x 的值为（ ） A ．2-B ．2C ．8D ．8-6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为( ) A ．15,5,25 B ．15,15,15 C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( ) A ．15B ．14C ．49D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点，则以线段为直径的圆的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A ，B 到点C 的距离AC ＝BC ＝1 km ，且C ＝120°，则A ，B 两点间的距离为（ ）A 3kmB 2kmC ．1.5kmD ．2km11．计算：22log 1log 4+=12．已知1，x ，9成等比数列，则实数x= ．13．经过点A （0，3），且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是 ．14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为_________ .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，若2a ||=，且4a b ⋅=，则||b =_______. 16．已知1cos ,(0,)22παα=∈.（1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.（1）试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数； （2） 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？ 18．如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为45，点,E F 分别是,AC AD 的中点.（1）求证：//EF 平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.19．已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a ，2a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．已知函数()22x xf x λ-=+⋅()R λ∈.（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点； （2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值； （3）若不等式1()42f x ≤≤在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.参考答案1．A 【解析】 【分析】根据并集的概念求解． 【详解】∵{0,1,2}M =，{}N x =，{0,1,2,3}M N =，∴3x =．故选：A ．本题考查并集的概念，属于简单题． 2．A 【解析】 【分析】 选取解析式1()f x x=代入可得结论． 【详解】 由题意1(1)11f ==． 故选：B ． 【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算． 3．A 【解析】 【分析】由三视图可直接得出答案. 【详解】由三视图可知该几何体是圆柱 故选：A 【点睛】本题考查的是三视图，较简单. 4．A 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质，得到1cos 1x -≤≤，即可求得函数的最小值，得到答案. 【详解】由题意，根据余弦函数的性质，可得1cos 1x -≤≤， 当cos 1x =-时，函数2cos y x =取得最小值，最小值为2-.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键，着重考查了计算能力. 5．B 【解析】 【分析】直接利用向量的平行的坐标运算，求出x 的值即可. 【详解】解：已知(1,2)a =，(,4)b x =，且//a b ， 则24=x ，所以2x =. 故选：B. 【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力. 6．D 【解析】 【分析】算出高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例即可. 【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800， 所以高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例分别为13，29，49所以从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为15,10,20故选：D 【点睛】本题考查的是分层抽样，较简单. 7．C 【解析】样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案. 【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点, 故所求概率为49, 故选：C . 【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题. 8．D 【解析】 【分析】由z x y =+可得y x z =-+，表示的是斜率为1的直线，然后结合图形可得答案. 【详解】由z x y =+可得y x z =-+，表示的是斜率为1的直线， 由图可得当直线y x z =-+过点()3,2时z 最大，最大值为5故选：D 【点睛】本题考查的是线性规划，考查了数形结合的思想，属于基础题. 9．B 【解析】依题意，两点的中点为，其到点的距离为，故圆的方程为.点睛：本题主要考查中点坐标公式，考查圆的标准方程.圆的一般方程为，标准方程为，这两个方程都有三个系数要待定，故要有个条件才可以求出圆的方程.本题中第一个条件是利用两点求中点的坐标，得到圆心，再用两点间的距离公式得到半径，从而得到圆的方程. 10．A 【解析】在ABC 中，由余弦定理可得222222cos 1+121AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠=-⨯⨯1132⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 所以3km AB =．故选A ．【解题必备】当AB 的长度不可直接测量时，求A ，B 之间的距离有以下三种类型． （1）如图1，A ，B 之间不可达也不可视，计算方法：测量AC ，BC 及角C ，由余弦定理可得AB =222cos AC BC AC BC C +-⋅．（2）如图2，B ，C 与点A 可视但不可达，计算方法：测量BC ，角B ，角C ，则A B C π=--，由正弦定理可得sin sin BC CAB A=．（3）如图3，C ，D 与点A ，B 均可视不可达，计算方法：测量,,,,.CD BDC ACD BCD ADC ∠∠∠∠在ACD 中由正弦定理求AC ，在BCD 中由正弦定理求BC ，在ABC 中由余弦定理求AB ．图1 图2 图3 11．2 【解析】试题分析：22222log 1log 4log 1log 2022+=+=+=考点：对数运算 12．±3【解析】解：∵1，x ，9成等比数列，∴x 2=9， 解得x=±3． 故答案为：±3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 13．y=x+3 【解析】试题分析：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m ，把点A （0，3）代入解出m 即可． 解：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m ， 把点A （0，3）代入可得：3=0+m ，解得m=3． ∴要求的直线方程为：y=x+3． 故答案为y=x+3．考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系． 142 【解析】 【分析】若输入的x 的值为2，满足0x >，则2y . 【详解】若输入的x 的值为2，满足0x >，则y ，故输出的y【点睛】本题考查的是程序框图，较简单. 15．4 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即求解. 【详解】由题意，向量a 与b 的夹角为4π，若2a ||=， 则2cos 2442a b a b b π⋅=⋅=⨯⨯=，解得4b =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.16．（12）1 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求解即可； （2）根据两角和的正弦公式计算求解. 【详解】 （1）1cos ,(0,)22παα=∈，sin 2α∴===， sintan cos ααα∴==，注：也可直接由1cos ,(0,)22παα=∈得3πα=，直接计算tan α=（2）11sin()sin cos cos sin 166622πππααα+=+=+⨯=. 也可sin()sin()sin 16362ππππα+=+==. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的同角基本关系，两角和正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.17．（1）0.15a =；5；（2）200.【解析】【分析】（1）由题意结合频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1即可求得0.15a =；利用众数的概念即可求得众数；（2）由频率分布直方图计算出职员早餐日平均费用不少于8元的频率，用样本频率乘以总人数即可得解.【详解】（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以()0.050.100.100.050.0521a +++++⨯=，解得0.15a =； 该公司职员早餐日平均费用的众数为4652+=； （2）由频率分布直方图可知，职员早餐日平均费用不少于8元的频率为()0.050.0520.2+⨯=，又因为该公司有1000名职员，所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有10000.2200⨯=（人）.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质与应用，考查了运算求解能力和数据处理能力，属于基础题.18．（1）证明见解析；（2）8.【解析】【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得//EF CD ，由线面平行的判定即可得证；（2）由AB ⊥平面BCD 可得ADB ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角，进而可得AB ，利用三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）证明：点,E F 分别是,AC AD 的中点，∴//EF CD ，又CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，∴//EF 平面BCD ；（2）AB ⊥平面BCD ，∴ADB ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角，AB BD ⊥， ∴45ADB ∠=，∴4AB BD ==，BC BD ⊥，∴1134622BCD S BC BD =⋅=⨯⨯=△， ∴三棱锥A BCD -的体积1164833BCD V S AB =⋅=⨯⨯=△. 【点睛】本题考查了线面平行的判定及线面角、线面垂直的相关问题，考查了棱锥体积的求解，属于基础题.19．（1）121a =-，217a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，为66-【解析】【分析】（1）直接计算得到12,a a ，判断数列为等差数列，计算得到答案.（2）610a =-<，730a =>，故6S 最小，根据公式计算得到答案.【详解】（1）14n n a a -=+，当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-. 14n n a a --=，故数列为首项是21-，公差为4的等差数列，故425n a n =-.（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式，和的最值，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20．（1）0；（2）1；（3）1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由题意结合函数零点的概念，解方程即可得解；（2）由题意结合偶函数的性质可得(1)(22)0x x λ---=，即可得解； （3）由题意将条件转化为221222422x x x x λ-+⋅≤≤-+⋅在[0,1]x ∈上恒成立，结合换元法与二次函数的性质分别求出21222x x -+⋅的最大值，2242x x -+⋅的最小值即可得解. 【详解】（1）当1λ=-时，()22x xf x -=-，令()220x x f x -=-=即22-=x x ，由指数函数的性质可得x x =-，解得0x =， 所以当1λ=-时，函数()f x 的零点为0；（2）因为函数()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=即2222x x x x λλ--+⋅=+⋅， 所以(1)(22)0x x λ---=，又22x x --不恒为0，所以10λ-=即1λ=；（3）因为1()42f x ≤≤在[0,1]x ∈上恒成立， 所以12242x x λ-≤+⋅≤在[0,1]x ∈上恒成立， 由20x ->可得221222422x x x x λ-+⋅≤≤-+⋅在[0,1]x ∈上恒成立， 令2x t =，所以22142t t t t λ-+≤≤-+在[]1,2t ∈上恒成立， 设()[]21,1,22g t t t t =-+∈，()[]24,1,2h t t t t =-+∈， 由()221112416g t t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭可得当1t =时，()max 12g t =-， 由()()22424h t t t t =-+=--+可得当1t =时，()min 3h t =， 所以132λ-≤≤，所以实数λ的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了函数零点和奇偶性的应用，考查了换元法、二次函数性质的应用及恒成立问题的解决，属于中档题.。
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2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.
1.已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N = ，则x 的值为()A.3
B.2
C.1
D.0
2.设1
,(1)()2,(1)
x f x x
x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为()
A.0
B.1
C.2
D.-1
3.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是(
)
A.圆柱
B.三棱柱
C.球
D.四棱柱
4.函数2cos ()y x x R =∈的最小值是（）
A.2
- B.1
- C.1
D.2
5.已知(1,2)a = ，(,4)b x = ，且//a b
，则实数x 的值为（
）
A .
2
- B.2 C.8 D.8
-6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()
A.15,5,25
B.15,15,15
C.10,5,30
D.15,10,20
7.某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为()
A.
15 B.
14
C.
49
D.
59
8.已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是(
)
A.1
B.2
C.3
D.5
9.已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（）
A .
22(2)(1)5
x y +++= B.22(2)(1)5x y -+-=C.22(2)(1)10
x y -+-= D.22(2)(1)10
x y +++=10.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B 到点C 的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B 两点间的距离为（
）
A.
km
B.
km
C.1.5km
D.2km
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.
11.计算：22log 1log 4+=
12.已知1，x ，9成等比数列，则实数x=
．
13.经过点A （0，3）
，且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是．
14.某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为_________.
15.已知向量a 与b 的夹角为4
π
，若2a ||=4a b ⋅= ，则||b = _______.
三、解答题：本大题共5小题，满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.已知1cos ,(0,2
2
παα=∈.（1）求tan α的值；（2）求sin()6
π
α+
的值.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.
（1）试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？
18.如图，
在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为45 ，点,E F 分别是,AC AD 的中点.
（1）求证：//EF 平面BCD ；（2）求三棱锥A BCD -的体积.
19.已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈.（1）求1a ，2a 及通项n a ；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
20.已知函数()22x x
f x λ-=+⋅()R λ∈.
（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值；（3）若不等式
1
()42
f x ≤≤在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.
2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷
一、选择题
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B 10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】212.【答案】±313.【答案】y=x+3
14.【答案】15.【答案】4
三、解答题
16.【答案】
（12）1【详解】（1）1cos ,(0,)22
π
αα=∈Q ，
sin 2
α∴==，sin tan
cos α
αα
∴=
=，
注：也可直接由1cos ,(0,)2
2
παα=∈得3
π
α=，直接计算tan α=
（2）11sin(sin cos cos sin 16662222
πππααα+=+=⨯⨯=.也可sin(sin()sin 16362
ππππα+
=+==.17.【答案】
（1）0.15a =；5；（2）200.【详解】（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以()0.050.100.100.050.0521a +++++⨯=，解得0.15a =；该公司职员早餐日平均费用的众数为46
52
+=；（2）由频率分布直方图可知，
职员早餐日平均费用不少于8元的频率为()0.050.0520.2+⨯=，又因为该公司有1000名职员，
所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有10000.2200⨯=（人）.18.【答案】
（1）证明见解析；（2）8.【详解】（1）证明： 点,E F 分别是,AC AD 的中点，
∴//EF CD ，
又CD ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD ，
∴//EF 平面BCD ；
（2） AB ⊥平面BCD ，∴ADB ∠即为直线AD 与平面BCD 所成的角，AB BD ⊥，
∴45ADB ∠= ，∴4AB BD ==， BC BD ⊥，∴11
34622BCD S BC BD =
⋅=⨯⨯=△，∴三棱锥A BCD -的体积11
64833
BCD V S AB =⋅=⨯⨯=△.
19.【答案】
（1）121a =-，217a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，为66-【详解】（1）14n n a a -=+，当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-.
14n n a a --=，故数列为首项是21-，公差为4的等差数列，故425n a n =-.
（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，。