减治法

原问题 的规模是n
子问题 的规模是n/2 子问题的解
原问题的解
图5.1 减治法的典型情况（减半技术）
对于给定的整数a和非负整数n，计算an的值。
利用减治法，如果n=1，可以简单地返回a的值，如果n是偶数并且n>1，可 以把该问题的规模减半，即计算an/2的值，而且规模为n的解an和规模减半 的解an/2之间具有明显的对应关系：an＝(an/2)2，如果n是奇数并且n>1，可 以先用偶指数的规则计算a(n-1)，再把结果乘以a。所以，应用减治技术得到 如下计算方法：
排序问题中的减治法
堆排序
选择问题
堆排序
例
28 25 36 18 32 28 36 25 18 16 32 25 16 36 25 18 16 36 28 32
28
18 16
32
堆排序是利用堆（假设利用大根堆）的特性进 行排序的方法，其基本思想是：首先将待排序 的记录序列构造成一个堆，此时，选出了堆中 所有记录的最大者即堆顶记录，然后将它从堆 中移走（通常将堆顶记录和堆中最后一个记录 交换），并将剩余的记录再调整成堆，这样又 找出了次大的记录，以此类推，直到堆中只有 一个记录为止。
n 1 n 1
查找问题中的减治法
折半查找
二叉查找树
折半查找
在有序表{ 7, 14, 18, 21, 23, 29, 31, 35, 38, 42, 46, 49, 52 }中查找值为14的 记录的过程如图所示。
0 1
7
2
14
3
18
4
21
5
23
6
29
7
31
8
35
9
38
10
42
1146124913 a n a
n
a
2
n 1
2
a n
n 1
分治法和减治法区别
分治法是对分解的子问题分别求解，需要对子问 题的解进行合并，而减治法只对一个子问题求解， 并且不需要进行解的合并。应用减治法（例如减 半法）得到的算法通常具有如下递推式：
0 T (n) T ( n / 2) 1
均≤rs 轴值 均≥rs 均≤rs 轴值 均≥rs
(a) 若k<s，则rk在左半区
(b) 若k>s，则rk在右半区
图5.10 选择问题的减治思想
以5为轴值划分序列
4<5，只在左侧查找
5 3 8 1 4 6 2 3 4 1 5 6
9 2 7 9 8 7
以2为轴值划分序列
4>2，只在右侧查找 以4为轴值划分序列 4＝4，轴值即为第4小元素 图5.11
算法与算法复杂性
王 涛
长春工业大学
计算机科学与工程学院 wangtao690103@
第五章
减 治 法
减治是基于变换的思想。 分两个阶段工作，即“变”阶段和“治”阶段. 变治法的三种类型： 1)实例化简(instance simplification) 2)改变表现(representation change) 3)问题化简(problem reduction)
因为n=2k，所以，外层的while循环共执行k次，在每一次执 行时，内层的for循环的执行次数分别是n/2，n/4，…，1， 而函数comp可以在常数时间内完成，因此，算法5.8的执行 k 时间为： n 1 T ( n ) i n (1 k ) n 1 O ( n ) 2 i 1 2
组合问题中的减治法
5.4.1 淘汰赛冠军问题 5.4.2 假币问题
5.4.1 淘汰赛冠军问题 问题描述：假设有n=2k个选手进行竞技 淘汰赛，最后决出冠军的选手。
算法5.8——淘汰赛冠军问题 string Game(string r[ ], int n) { i=n; while (i>1) { i=i/2; for (j=0; j<i; j++) if (Comp(r[j+i], r[j])) r[j]=r[j+i]; } return r[0]; }
图 折半查找成功情况下的查找过程
折半查找 1. low=1；high=n； //设置初始查找区间 2. 测试查找区间［low，high］是否存在，若不存 在，则查找失败；否则 3. 取中间点mid=(low+high)/2; 比较k与r[mid]，有 以下三种情况： 3.1 若k<r[mid]，则high=mid-1；查找在左半区 进行，转2； 3.2 若k>r[mid]，则low=mid+1；查找在右半区 进行，转2； 3.3 若k=r[mid]，则查找成功，返回记录在表中位 置mid；
52
low=1
设置初始区间 mid=7
high=13 查找区间为[1, 13] 取中点mid=7 比较r[7]与k，将查找调整到左半区
low=1 mid=3 low=1 high=2 mid=1 low=high=2 mid=2
high=6
查找区间为[1, 6] 取中点mid=3 比较 r[3]与k，将查找调整到左半区 查找区间为[1, 2] 取中点mid=1 比较r[1]与k，将查找调整到右半区 查找区间为[2, 2] 取中点mid=2 比较r[2]与k，查找成功，返回mid的位置2
算法5.7的效率取决于轴值的选取。如果每次划分的轴值恰好 是序列的中值，则可以保证处理的区间比上一次减半，由于 在一次划分后，只需处理一个子序列，所以，比较次数的递 推式应该是： T ( n ) T ( n 2) O ( n ) 使用扩展递归技术对递推式进行推导，得到该递推式的解 是O(n)，这是最好情况；如果每次划分的轴值恰好是序列 中的最大值或最小值（例如，在找最小元素时总是在最大 元素处划分），则处理区间只能比上一次减少1个，所以， 比较次数的递推式应该是：
考虑快速排序中的划分过程，一般情况下，设待划分的 序列为ri ～ rj，选定一个轴值将序列ri ～ rj进行划分， 使得比轴值小的元素都位于轴值的左侧，比轴值大的元 素都位于轴值的右侧，假定轴值的最终位置是s，则： （1）若k=s，则rs就是第k小元素； （2）若k<s，则第k小元素一定在序列ri ～ rs-1中且为第 k小元素；
T ( n) T ( n 1) O ( n)
使用扩展递归技术对递推式进行推导，得到该递推式的解是 O(n2)，这是最坏情况；平均情况下，假设每次划分的轴值是 划分序列中的一个随机位置的元素，则处理区间按照一种随 机的方式减少，可以证明，算法5.7可以在O(n)的平均时间内 找出n个元素中的第k小元素。
a a n (a n 2 ) 2 ( n 1) 2 2 ) a ( a n 1 n 1且是偶数 n 1且是奇数
利用分治法，如果n=1，可以简单地返回a的值，如果n>1，可以把该问题分 解为两个子问题：计算前 n 2 个a的乘积和后 n 2 个 a的乘积，再把这两 个乘积相乘得到原问题的解。所以，应用分治技术得到如下计算方法：
5.4.2 假币问题
在n枚外观相同的硬币中，有一枚是假币， 并且已知假币较轻。已经有一架没有刻度的 天平，试设计一个算法使其时间复杂度为
T(n)=O(log2n)。 T(n)=O(log2n)
不知假币是轻是重？
a+b+c?d+e+f > a+e?d+b > a?h > = c?h > = < b?h g?a > g:H = h:L g?h > < h?a > = > e:H > e?h = b:L > f:H = <
（3）若k>s，则第k小元素一定在序列rs+1 ～ rj中且为第 k-s小元素； 无论哪种情况，或者已经得出结果，或者将选择问题 的查找区间减少一半（如果轴值恰好是序列的中值）。 选择问题的减治思想如图5.10所示。
[ ri … rk … rs-1 ] rs [ rs+1 … … rj ] [ ri … … rs-1 ] rs [ rs+1 …rk … rj ]
二叉查找树
在二叉查找树中查找关键字值为35，95的过程：
50 30 20 40 80 90 85 20 35 30 40 50 80 90
35
32
85
88
88
32
二叉排序树的查找 BiNode * SearchBST(BiNode *root, int k) { if (root= =NULL) return NULL； else if (root->data==k) return root; else if (k<root->data) return SearchBST(root->lchild, k); else return SearchBST(root->rchild, k); }
simpler instance
or
problem’s instance
Another representation or another problem’s instance
solution
减治法的设计思想
（1）原问题的解只 存在于其中一个较小 规模的子问题中； （2）原问题的解与 其中一个较小规模的 解之间存在某种对应 关系。
2 3 4 1 · · ·· · 1 2 4 3 · · ·· · · ·4 3 · · · · ·
· · 3 4
· · · · ·
选择问题的查找过程示例（查找第4小元素）
算法5.7——选择问题 1. i=1; j=n; //设置初始查找区间 2．以r[i]为轴值对序列r[i]~r[j]进行一次 划分，得到轴值的位置s; 3. 将轴值位置s与k比较 3.1 如果k=s，则将r[s]作为结果返回； 3.2 否则，如果k<s，则j=s-1，转步骤2； 3.3 否则，i=s+1，转步骤2；