减治法

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选择问题的查找过程示例（查找第4小元素）
ຫໍສະໝຸດ Baidu
算法5.7——选择问题 1. i=1; j=n; //设置初始查找区间 2．以r[i]为轴值对序列r[i]~r[j]进行一次 划分，得到轴值的位置s; 3. 将轴值位置s与k比较 3.1 如果k=s，则将r[s]作为结果返回； 3.2 否则，如果k<s，则j=s-1，转步骤2； 3.3 否则，i=s+1，转步骤2；
a n a
n
a
2
n 1
2
a n
n 1
分治法和减治法区别
分治法是对分解的子问题分别求解，需要对子问 题的解进行合并，而减治法只对一个子问题求解， 并且不需要进行解的合并。应用减治法（例如减 半法）得到的算法通常具有如下递推式：
0 T (n) T ( n / 2) 1
（3）若k>s，则第k小元素一定在序列rs+1 ～ rj中且为第 k-s小元素； 无论哪种情况，或者已经得出结果，或者将选择问题 的查找区间减少一半（如果轴值恰好是序列的中值）。 选择问题的减治思想如图5.10所示。
[ ri … rk … rs-1 ] rs [ rs+1 … … rj ] [ ri … … rs-1 ] rs [ rs+1 …rk … rj ]
52
low=1
设置初始区间 mid=7
high=13 查找区间为[1, 13] 取中点mid=7 比较r[7]与k，将查找调整到左半区
low=1 mid=3 low=1 high=2 mid=1 low=high=2 mid=2
high=6
查找区间为[1, 6] 取中点mid=3 比较 r[3]与k，将查找调整到左半区 查找区间为[1, 2] 取中点mid=1 比较r[1]与k，将查找调整到右半区 查找区间为[2, 2] 取中点mid=2 比较r[2]与k，查找成功，返回mid的位置2
n 1 n 1
查找问题中的减治法
折半查找
二叉查找树
折半查找
在有序表{ 7, 14, 18, 21, 23, 29, 31, 35, 38, 42, 46, 49, 52 }中查找值为14的 记录的过程如图所示。
0 1
7
2
14
3
18
4
21
5
23
6
29
7
31
8
35
9
38
10
42
11
46
12
49
13
图 折半查找成功情况下的查找过程
折半查找 1. low=1；high=n； //设置初始查找区间 2. 测试查找区间［low，high］是否存在，若不存 在，则查找失败；否则 3. 取中间点mid=(low+high)/2; 比较k与r[mid]，有 以下三种情况： 3.1 若k<r[mid]，则high=mid-1；查找在左半区 进行，转2； 3.2 若k>r[mid]，则low=mid+1；查找在右半区 进行，转2； 3.3 若k=r[mid]，则查找成功，返回记录在表中位 置mid；
原问题 的规模是n
子问题 的规模是n/2 子问题的解
原问题的解
图5.1 减治法的典型情况（减半技术）
对于给定的整数a和非负整数n，计算an的值。
利用减治法，如果n=1，可以简单地返回a的值，如果n是偶数并且n>1，可 以把该问题的规模减半，即计算an/2的值，而且规模为n的解an和规模减半 的解an/2之间具有明显的对应关系：an＝(an/2)2，如果n是奇数并且n>1，可 以先用偶指数的规则计算a(n-1)，再把结果乘以a。所以，应用减治技术得到 如下计算方法：
考虑快速排序中的划分过程，一般情况下，设待划分的 序列为ri ～ rj，选定一个轴值将序列ri ～ rj进行划分， 使得比轴值小的元素都位于轴值的左侧，比轴值大的元 素都位于轴值的右侧，假定轴值的最终位置是s，则： （1）若k=s，则rs就是第k小元素； （2）若k<s，则第k小元素一定在序列ri ～ rs-1中且为第 k小元素；
T ( n) T ( n 1) O ( n)
使用扩展递归技术对递推式进行推导，得到该递推式的解是 O(n2)，这是最坏情况；平均情况下，假设每次划分的轴值是 划分序列中的一个随机位置的元素，则处理区间按照一种随 机的方式减少，可以证明，算法5.7可以在O(n)的平均时间内 找出n个元素中的第k小元素。
simpler instance
or
problem’s instance
Another representation or another problem’s instance
solution
减治法的设计思想
（1）原问题的解只 存在于其中一个较小 规模的子问题中； （2）原问题的解与 其中一个较小规模的 解之间存在某种对应 关系。
5.4.2 假币问题
在n枚外观相同的硬币中，有一枚是假币， 并且已知假币较轻。已经有一架没有刻度的 天平，试设计一个算法使其时间复杂度为
T(n)=O(log2n)。 T(n)=O(log2n)
不知假币是轻是重？
a+b+c?d+e+f > a+e?d+b > a?h > = c?h > = < b?h g?a > g:H = h:L g?h > < h?a > = > e:H > e?h = b:L > f:H = <
算法5.7的效率取决于轴值的选取。如果每次划分的轴值恰好 是序列的中值，则可以保证处理的区间比上一次减半，由于 在一次划分后，只需处理一个子序列，所以，比较次数的递 推式应该是： T ( n ) T ( n 2) O ( n ) 使用扩展递归技术对递推式进行推导，得到该递推式的解 是O(n)，这是最好情况；如果每次划分的轴值恰好是序列 中的最大值或最小值（例如，在找最小元素时总是在最大 元素处划分），则处理区间只能比上一次减少1个，所以， 比较次数的递推式应该是：
二叉查找树
在二叉查找树中查找关键字值为35，95的过程：
50 30 20 40 80 90 85 20 35 30 40 50 80 90
35
32
85
88
88
32
二叉排序树的查找 BiNode * SearchBST(BiNode *root, int k) { if (root= =NULL) return NULL； else if (root->data==k) return root; else if (k<root->data) return SearchBST(root->lchild, k); else return SearchBST(root->rchild, k); }
组合问题中的减治法
5.4.1 淘汰赛冠军问题 5.4.2 假币问题
5.4.1 淘汰赛冠军问题 问题描述：假设有n=2k个选手进行竞技 淘汰赛，最后决出冠军的选手。
算法5.8——淘汰赛冠军问题 string Game(string r[ ], int n) { i=n; while (i>1) { i=i/2; for (j=0; j<i; j++) if (Comp(r[j+i], r[j])) r[j]=r[j+i]; } return r[0]; }
a+e?d+b
= f?h = > < d?h = a:L
=
>
=
a:H d:L
c:H f:L
b:H e:L
h:H g:L
c:L d:H
图 八枚硬币问题的判定树
因为n=2k，所以，外层的while循环共执行k次，在每一次执 行时，内层的for循环的执行次数分别是n/2，n/4，…，1， 而函数comp可以在常数时间内完成，因此，算法5.8的执行 k 时间为： n 1 T ( n ) i n (1 k ) n 1 O ( n ) 2 i 1 2
均≤rs 轴值 均≥rs 均≤rs 轴值 均≥rs
(a) 若k<s，则rk在左半区
(b) 若k>s，则rk在右半区
图5.10 选择问题的减治思想
以5为轴值划分序列
4<5，只在左侧查找
5 3 8 1 4 6 2 3 4 1 5 6
9 2 7 9 8 7
以2为轴值划分序列
4>2，只在右侧查找 以4为轴值划分序列 4＝4，轴值即为第4小元素 图5.11
选择问题
设无序序列T=(r1, r2, …, rn)，T的第k（1≤k≤n） 小元素定义为T按升序排列后在第k个位置上的 元素。给定一个序列T和一个整数k，寻找T的 第k小元素的问题称为选择问题。特别地，将 寻找第n/2小元素的问题称为中值问题。 选择问题的一个很自然的想法是将序列T排序， 然后取第k个元素就是T的第k小元素。但是这 个算法的最好时间是O(nlog2n)，应用减治技术 可以将算法的平均时间性能提高到O(n)。
a a n (a n 2 ) 2 ( n 1) 2 2 ) a ( a n 1 n 1且是偶数 n 1且是奇数
利用分治法，如果n=1，可以简单地返回a的值，如果n>1，可以把该问题分 解为两个子问题：计算前 n 2 个a的乘积和后 n 2 个 a的乘积，再把这两 个乘积相乘得到原问题的解。所以，应用分治技术得到如下计算方法：
排序问题中的减治法
堆排序
选择问题
堆排序
例
28 25 36 18 32 28 36 25 18 16 32 25 16 36 25 18 16 36 28 32
28
18 16
32
堆排序是利用堆（假设利用大根堆）的特性进 行排序的方法，其基本思想是：首先将待排序 的记录序列构造成一个堆，此时，选出了堆中 所有记录的最大者即堆顶记录，然后将它从堆 中移走（通常将堆顶记录和堆中最后一个记录 交换），并将剩余的记录再调整成堆，这样又 找出了次大的记录，以此类推，直到堆中只有 一个记录为止。
算法与算法复杂性
王 涛
长春工业大学
计算机科学与工程学院 wangtao690103@163.com
第五章
减 治 法
减治是基于变换的思想。 分两个阶段工作，即“变”阶段和“治”阶段. 变治法的三种类型： 1)实例化简(instance simplification) 2)改变表现(representation change) 3)问题化简(problem reduction)