第 五 章 减治法

算 分 析 与 设 计
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折半插入排序
直接插入排序算法简洁，易理解，容易 实现。当序列中的记录值较小时，它是 较佳的排序方法。但是，通常待排记录 的数量很大，此时直接插入排序就不适 用了。 对有序表采用折半查找，其性能优于顺 序查找，所以直接插入排序算法中的 “搜索”操作，从减少“比较”次数着 眼，可在区间[0，i-1]上进行折半查找来 实现。
下面用减治法对这个问题进行求解。当n≤2时，识别 出最重和最轻的金块，一次比较就足够了。当n＞2时， 可先把这袋金块平分成两个小袋A和B。然后分别找出 在A和B中最重和最轻的金块。设A中最重和最轻的金 块分别为HA与LA，以此类推，B中最重和最轻的金块 分别为HB和LB。通过比较HA和HB及LA和LB ，可以找 到所有金块中最重和最轻的。若n＞2，则递归地应用 减治法。 设f(n)为使用分而治之方法所需要的比较次数。假设n 是2的幂。当n>2时，f(n)=2f(n/2)+2；当n=2时，f(n)为 1 。使用迭代方法可知f(n) =3n/2-2。使用减治法比逐 个比较的方法少用了25％的比较次数。
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约瑟夫斯问题的解
对约瑟夫斯问题，当n=2a+b时，有公式表示如下： L(n)=1+2b。
其中的b值不小于0 。
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当把b=n-2a代入后，上述公式就转化为： L(n)=1+2n-21+[log2n]。
其中方括号表示取整数，n表示总人数。
约瑟夫斯问题（当n=41）的计算步骤： 因n=2a+b，此a最大取5，这时2a=32，所以b=9 。 把b=9代入L(n)，故在这里L(41)=19。因此站在19号位上 就不会死了。
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减常量减治法
减常量减治法的 典型例子就是插 入排序，它运用 的是减一技术。
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直接插入排序
通常将一个记录A[i](i=2，3，…，n)插入 直接插入排序与打扑克时整理手上的牌 到当前的有序表，使得插入后仍保证该 非常类似。摸来的第1张牌无须整理，此 区间里的记录是按关键字有序的操作称 后每次从桌上的牌(无序区)中摸最上面的 第i-1趟直接插入排序。在排序过程的某 1张并插入左手的牌(有序区)中正确的位 一中间时刻，A被划分成两个子区间 置上。为了找到这个正确的位置，须自 A[1..i-1]（有序区）和a[i..n]（无序区）。 左向右(或自右向左)将摸来的牌与左手中 直接插入排序的基本操作是将当前无序 已有的牌逐一比较。 区的第1个记录R[i]插人到有序区R[1..i-1] 中适当的位置上，使R[1..i]变为新的有序 区。
约瑟夫斯问题，是以弗拉瓦斯．约瑟夫斯的名 字命名的，他是一个著名的犹太历史学家，参 加并记录了公元６６－７０年犹太人反抗罗马 的起义，约瑟夫斯做为一个将军，设法守住了 裘达伯特的堡垒达４７天之久，但是在城市沦 陷了以后，他和４０名死硬的将士在附近的一 个洞穴中避难。在那里，这些叛乱者表决说 “要投降毋宁死”。于是，约瑟夫斯建议没个 人轮流杀死他旁边的人，而这个顺序是有抽签 决定的，约瑟夫斯有预谋地拿到了他想要的那 个签～而没死～♤ ♤
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一趟折半插入排序伪代码
binpass(R[],i) {temp=R[i]; //temp是监视哨，且是 是监视哨， 是监视哨 且是R[i]的副本 的副本 S=1; j=i-1; //s和j分别指示折半查找区间 和 分别指示折半查找区间 while s<=j 的下界和上界 {m=(s+j)/2; // 在 有 序 区 R[1..i-1] 中 if temp<r[m] j=m-1; 进行折半查找以确定 else s=m+1;} R[i]的插入位置 的插入位置 for (k=i-1;k<= j+1;k--) R[k+1]=R[k]; //记录后移 记录后移 R[j+1]=temp;}
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约瑟夫斯问题（ 约瑟夫斯问题（二）
这个著名问题在西方被称为约瑟夫斯(Josephus)问 题，在日本被称为继子立问题，在中国的民间传 说以八仙落座的形式表述。均为同一类问题不同 方面，可谓是浅入深出（浅到小学生兴趣很浓， 深到大学生有研究课题）。 与约瑟夫斯问题类似的问题很多。例如：用1 到6 摆成一个圆圈。先取1，然后每数k 枚棋子就取出 第k枚棋子。要是取出的顺序刚好是1，2，3，4， 5，6。问k＝？
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减常数因子减治法
减常数因子减治法的一个 典型算法就是折半查找 （Bin_Search）。它搜索 一个排序好的数组，将查 找目标与数组的中间位置 的元素相比，比它大则递 归查找数组的左边，反之 亦然。这个每次迭代都将 问题减小为原来的1/2。 折半查找每次都消去一个 常数因子2，因此其时间 效率为O(logn)。
算法中引进附加记录temp有两个作 算法中引进附加记录temp有两个作 temp 其一是进入查找循环之前， 用：其一是进入查找循环之前，它 保存了a[i]的值， a[i]的值 保存了a[i]的值，使得不致于因记 录的后移而丢失a[i]中的内容； a[i]中的内容 录的后移而丢失a[i]中的内容；其 二是在while循环监视”下变量j while循环监视 二是在while循环监视”下变量j是 //从第二个记录起进行插入 //从第二个记录起进行插入 否越界，一旦越界( j<1)， 否越界，一旦越界(即j<1)，a[0] 自动控制While循环的结束， While循环的结束 自动控制While循环的结束，从而 避免了在While While循环中每一次都要 避免了在While循环中每一次都要 检测j是否越界( 检测j是否越界(即省略了循环条件 //将第 个记录赋值给第j+1 将第j //将第j个记录赋值给第j+1 j>=1”)。因此我们把称为“ “j>=1”)。因此我们把称为“监 个记录， 个记录，直至关键字不大 视 这种技巧， 哨”于待插入记录的关键字 。这种技巧，使得测试循环条 件的时间大约减少一半， 件的时间大约减少一半，对于记录 //将第 将第i //将第i个记录插入 数较大的文件, 数较大的文件,节约的时间相当可 观。
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第 五 章 减治法
什么是减治法？
就是在处理问题的过程中，不断减小被处理 的问题规模的方法。
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减治法的设计思想
减治技术通过建立原问题实例的解和同样问 题较小实例的解的关系，并利用这种关系， 从顶而下（递归地）或从底而上（非递归地） 解决问题。一般情况下，每次算法迭代，都 消去一个常量和一个常数因子。
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直接插入排序的时间复杂度
整个排序过程为进行n-1趟插入，即：先 将序列中的第1个记录看成是一个有序的 子序列，然后从第2个记录起逐个进行插 入，直至整个序列变成按从小到大排列 为止。 直接插入排序的时间复杂性为0(n2)。从 空间来看，它只需要一个记录的辅助故 空间复杂度为0(1).
仅仅通过一次重量的比较，就可以判断伪币是否存在。
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金块问题
有一个老板有一袋金块。每个月将有两 名雇员会因其优异的表现分别被奖励一 个金块。按规矩，排名第一的雇员将得 到袋中最重的金块，排名最后的雇员将 得到袋中最轻的金块。如果每个月都有 新的金块周期性的加入袋中，则每个月 都必须找出最轻和最重的金块。假设有 一台比较重量的仪器，我们希望用最少 的比较次数找出最轻和最重的金块。
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实现过程
设n=8，有下列8个数，要求从小到大排序，每 次插入时数据的变化如下: 初始状态 : [7] 2 5 1 9 6 8 3 i=1监视哨(2) : [2 7] 5 1 9 6 8 3 i=2监视哨(5) : [2 5 7] 1 9 6 8 3 i=3监视哨(1) : [1 2 5 7] 9 6 8 3 i=4监视哨(9) : [1 2 5 7 9] 6 8 3 i=5监视哨(6) : [1 2 5 6 7 9] 8 3 i=6监视哨(8) : [1 2 5 6 7 8 9] 3 i=7监视哨(3) : [1 2 3 5 6 7 8 9]
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俄式乘法☺ 俄式乘法☺
算法思想：两个A和B数相乘，把数A每 次除以2，直到为0为止，另一个数B则不 断加倍，若第数A未除尽时，则数B应加 上自己。 7×8的计算步骤： 7 8 3 16＋ 8 1 32＋ 16 ＋ 8
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约瑟夫斯问题（ 约瑟夫斯问题（一）
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常见的减治法算法
最常见的减治法有：
减常量减治法，典型的就是插入排序，问题 规模每次都减1；还有计算a的n次方，可以计 算a的n-1次方，再变成计算a的n-2次方等等。 减常数因子减治法，典型的就是折半查找， 每次都把n/2个元素删去；还有约瑟夫斯问题 约瑟夫斯问题。 约瑟夫斯问题 减可变规模减治法法，典型的就是选择问题， 每次问题规模的减小量都在1到n之间；还有 二叉树的查找。
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直接插入排序的另一种写法
insertionsort(a,n) int *a,n {int i,j,temp; for (i=1;i<=n-1;i++) temp=a[i]; j=i-1; while temp<a[j] {a[j+1]=a[j]; j=j-1;} a[j+1]=temp }
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直接插入排序实现方法
减一技术下，该方法遵循的思路是：假设对较 小数组 A[0..n-2]排序问题已经解决了，得到一 个大小为n-1的有序数组。然后将要排序的第n 个元素，插入到数组的适合位置上，得到大小 为n的有序数组 A[0..n-1]。伪代码如下： void InsertionSort(a[]) {for(i=1;i<n-1;i++) //从第二个记录起进行插入 for (j=i-1; j>=0;j--) if a[j+1]-(a[j]) < 0 Swap(a[j+1], a[j]); }