积分变换 东南大学 第四版第一章1-3节

| z |= x 2 + y 2 ≥ 0 • 复数的模
• 判断复数相等
z1 = z 2 ⇔ x1 = x 2 , y1 = y2 , 其中z1 = x1 + iy1 , z 2 = x 2 + iy2 z = 0 ⇔ Re( z ) = Im( z ) = 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
2. 复球面的定义 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的 点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球 面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复 平面上的无穷远点相对应, 记作∞. 因而球面上 的北极 N 就是复数无穷大∞的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对 应, 这样的球面称为复球面.
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和K.Weierstrass(18151897)分别应用积分和级数研究复变函数， G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复变函数的映照性 质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨 大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到 了数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和 电学等方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论 物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分 支的联系也日益密切。
课程简介
课程名称 复变函数与积分变换 教 材 《复变函数》西交大(四版)
《积分变换》东南大学（四版）
总 学 时 教师姓名
48学时
卫雪梅
联系方式 邮件：wxm_gdut@
对
象
复变函数（自变量为复数的函数） 研究复变数之间的相互依赖关系， 具体地就是复数域上的微积分。
主要任务
主要内容
复数与复变函数、解析函数、 复变函数的积分、级数、留数、 积分变换等。
3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数∞来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意 义, 它的模规定为正无穷大. 复球面的优越处: 能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.
关于 ∞ 的四则运算规定如下 :
(1) 加法 : α + ∞ = ∞ + α = ∞ , (α ≠ ∞ ) ( 2) 减法 : α − ∞ = ∞ − α = ∞ , (α ≠ ∞ ) ( 3) 乘法 : α ⋅ ∞ = ∞ ⋅ α = ∞ , (α ≠ 0)
−π
( 4) − 1 − 3i
2
的模 , 辐角及辐角主值 .
例4. 求 (1) e ( 2) 3e ( 3) e
2i
−i
2
的模 , 辐角.
例5. 将z = sin
π
5
+ i cos
π
5
化为三角形式与指数形 式.
二、复球面
1. 南极、北极的定义
取一个与复平面切于原 点 z = 0 的球面 , 球面上一点 S 与原点重合 ,
y (z)
模： z |=| OP |= r = | 辐角 : θ = Argz
记作
x +y , y
2 2
P(x,y)
z =r
θ
o
x
x
z ≠ 0时， Argz ) = y / x tan(
辐角无穷多：Arg z=θ=θ0+2kπ， k∈Z， 把其中满足 − π < θ 0 ≤ π 的θ0称为辐角Argz的主值， 记作θ0=argz。 z=0时，辐角不确定。 y ⎧ x > 0, y ∈ R ⎪ arctan x ⎪ > π 计算 ⎪ x = 0, y 0 ± ⎪ arg z = ⎨ 2 < argz(z≠0) ⎪ > y 的公式 ⎪arctan ± π x < 0, y 0 x < ⎪ ⎪ x < 0, y = 0 π ⎩
一、复平面 1. 点的表示
易见， z = x + iy ↔ 一对有序实数 ( x , y ),
在平面上取定直角坐标 系，则 任意点 P ( x , y ) ↔ 一对有序实数 ( x , y ) ⇒ z = x + iy ↔ 平面上的点 P ( x , y )
∴ 复数 z = x + iy可用平面上坐标为 ( x， y )的点 P表示 . 此时， 轴 — 实轴 x
例1 : 设z1 = 5 − 5i , z 2 = −3 + 4i , z1 z1 求 , ( )及它们的实部 , 虚部 . z2 z2
z1 5 − 5i 7+i 解: = = z 2 − 3 + 4i −5
⎛ 1+ i ⎞ 例2 : 求 ⎜ ⎟ ⎝ 1− i ⎠
4
1+ i =i 1− i
例3.证明若 z是实系数方程 a n z n + a n -1 z n −1 + L + a1 z + a 0 = 0 的根 , 则 z也是其根 . (实多项式的零点成对出 现 )
几何意义 将复数z1按逆时针方向旋转一个角度 Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。 y (z)
z1z2
θ2 θ1
z2
z1
o
θ2
x
定理1可推广到n 个复数的乘积。
例1.设z1 = −1, z 2 = i , 则 z1 z 2 = − i
Argz1 =m = 0, ± 1, ± 2, L
例4.试用复数表示圆的方程 a( x 2 + y 2 ) + bx + cy + d = 0 (a ≠ 0, bc不全为0)
例5.证明 : z1 + z 2 + z1 − z 2 = 2 z1 + z 2
2 2 2
(
2
)
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
z1
z2 - z1
(三角不等式 )
o
z2
x
3. 三角表示法
⎧ x = r cosθ 由⎨ 得 ⎩ y = r sin θ
4. 指数表示法
再由Euler公式 : e iθ = cosθ + i sin θ得
z = r (cos θ + i sin θ )
z = re
iθ
引进复数的几何表示，可将平面图形用复数方程 （或不等式）表示；反之，也可由给定的复数方 程（或不等式）来确定它所表示的平面图形。 y (z) 例1 用复数方程表示: （1）过两点 zj=xj+iyj
(4) 除法 :
α
∞
= 0,
∞
α
= ∞ , (α ≠ ∞ ),
α
0
= ∞ , (α ≠ 0)
§3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘积与商 复数的乘积与商 2. 复数的乘幂 复数的乘幂 3.复数的方根 3.复数的方根
1. 乘积与商
定理1 两个复数乘积的模等于它们的模相乘， 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。 证明 设 z1=r1(cosθ1+isinθ1)=r1eiθ1 z2=r2(cosθ2+isinθ2)=r2eiθ2 则 z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)( cosθ2+isinθ2) = r1r2[cos (θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)] =r1r2e i(θ1+θ2) 因此 |z1z2|=r1r2，Arg(z1z2)=Argz1+Argz2
y轴 — 虚轴 平面 — 复平面或 z平面 点的表示：z = x + iy ↔ 复平面上的点 P ( x， y )
数z与点z同义.
2. 向量表示法
Q z = x + iy ↔ 点 P ( x ， y ) ∴ 可用向量 OP 表示 z = x + iy .
称向量的长度为复数z=x+iy的模或绝对值； 向量 OP 为终边的角的 以正实轴 为始边, 以 弧度数 称为复数z=x+iy的辐角.(z≠0时)
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为： z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2) z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z1 x1 x 2 + y1 y 2 x 2 y1 − x1 y 2 z= = +i 2 z2 | z2 | | z 2 |2 ( z 2 ≠ 0)
L z1 z z2
(j=1,2)的直线；
（2）中心在点(0, -1), 半径为2的圆。 o x 解 （1） z=z1+t (z2-z1) （-∞<t <+∞）
( 2)
z − (− i ) = 2
y
例2 方程 Re(i z) = 3 表示 什么图形？ 解 设 z = x + iy
(z)
Re(iz ) = 3
当z落于一,四象限时，不变。
π。 当z落于第三象限时，减 π 。
当z落于第二象限时，加
y π − < arctan < 2 x 2
π
由向量表示法知
z 2 − z1 — 点z1与z 2之间的距离
由此得 : z 2 + z1 ≤ z 2 + z1 z 2 − z1 ≥ z 2 − z1
y
(z)
+z 2 z1
CH1 §1复数及其代数运算
1. 复数的概念 2. 代数运算 3. 共轭复数 共轭复数
1. 复数的概念
定义 对任意两实数x、y ,称 z=x+iy为复数。 其中 i 2 = −1 , i称为虚数单位。 •复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)