工程数学_积分变换

1 T2 j n t jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
2p 当n取一切整数时, n =n n 所对应的点便 T 均匀分布在整个数轴上,
如图
2p 2p 2p T T T 2p T
T 2
2
T 2
2

T 2
T 2 T 2 T 2
sin n t cos m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, ), sin n t sin m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, cos n t cos m t d t 0 ( n, m 1, 2, 3, , n m ), , n m ),
第一类间断点
不满足Dirichlet条件的例子:
f ( t ) tg t
存在第二类间断点；
1 f ( t ) sin( ) t
在靠近 0 处存在无限多个极值点； 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化 函数, 全部满足Dirichlet条件. 实际上不连续函数都是 严格上讲不存在的, 但经常用不连续函数来近似一些 函数, 使得思维简单一些.
T 2
2
T 2

T 2
3. Fourier级数的复指数形式
为了应用上的方便, 我们常需要将Fourier级数 的三角形式转化为复指数形式.
e j j e jj 由cos j , 2 e jj e jj e jj e jj sin j j 得: 2j 2 j nt j nt j nt j nt a a0 e e e e 0 a n (an cos n b sin n t ) fT (t )f tjb T ( t ) n n 2 n2 2 2 n 1 1
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n1
2 2p 其中 , a0 T T

T 2
T 2
fT (t )d t
2 T2 an T fT (t )cos nt d t (n 1,2, ) T 2
2 T2 bn T fT (t )sin nt d t (n 1, cn T fT (t )e j nt dt 2 T 2
T 2
因此可以合写成一个式子 1 T2 cn T fT (t )e jnt dt (n 0, 1, 2, ) T 2
如令n=n (n=0,1,2,...) 则(1.1)式可以写为
当K (t , ) e jt时 当K (t , ) e st时
f (t )称为象原函数, F ( )称为f (t )的象函数, 在一定条件下,它们是一一对应且变换可逆.
象原函数 Fourier逆变换 (方程的解)
象函数
解代数方程
微分,积分 方程
Fourier变换
象函数的 代数方程
2. Fourier级数的三角形式.
说明: 1. 研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期 内的情况即可, 通常研究在闭区间[T/2,T/2]内 函数变化的情况.
2. 并非理论上的所有周期函数都可以用Fourier 级数逼近, 而是要满足狄利克雷(Dirichlet)条件.
任何满足Dirichlet条件的周期函数fT(t), 在连续点处 可表示为三角级数的形式如下:
信号分析，包括滤波、数据压缩、电力系统的监 控等；
研究偏微分方程，比如求解热力学方程的解时， 把f(t)展开为三角级数最为关键。 概率与统计，量子力学等学科。
引言: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和 随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多 少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
第一节 Fourier积分

一.Fourier级数 二.非周期函数的Fourier展开


三.Fourier积分定理
一、Fourier,Jean Baptiste Joseph (傅立叶) 简介 法国数学家及物理学家。 1768年3月21 日生于欧塞尔， 1830年5月16日卒于巴黎。
最早使用定积分符号，改进符号法则及根数判别方 法。傅立叶级数（三角级数）创始人。
T 2
am T cos mt sin nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt sin nt d t
m 1
2
T 2
T bn T sin nt d t bn 2 2 2 即 bn fT (t )sin nt d t T
T 2

1 T2 j n t jn T (n ) fT ( )e d e 是参数n的函数. T 2p 2
此时,
f (t ) lim
n 0
n
( ) ( n)
T n

n
很明显, 当n 0,即T , T (n ) (n ) 这里
j n t jn f ( ) e d e T T n n 2
{

1 f (t ) lim n 0 2p
当t固定时,
j n t jn fT ( )e d e n T 2 n
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
预备知识:

T 2 T 2

cos n t d t T sin n t d t 0 ( n 1, 2, 3, ),
2
T 2
T T2 sin n t d t T2 cos n t d t 2 ( n 1, 2, 3, ),
工程数学
积分变换
(第四版)
引言:
所谓积分变换,就是通过积分运算,把一个函数 变成另一个函数的变换.
称为积分变换的核. 其中,K (t , )是一个确定的二元函数,
F ( ) f (t ) K (t , )dt.
a
b
A中的函数f (t )
B中的函数F ( )
Fourier变换 Laplace变换
T 2 T 2

为求an, 计算[fT(t), cosnt], 即

T 2 T 2

a0 fT (t )cos nt d t T cos nt d t 2 2
T 2
am T cos mt cos nt d t
m 1 n
2

T 2
bm T sin mt cos nt d t

T 2
T 2
一. Fourier级数
1.Dirichlet条件
若函数在区间[-T/2,T/2]上满足: 1, 连续或只有有限个第一类间断点; 2, 只有有限个极值点
则称函数满足Dirichlet条件. 注: 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函数.
第一类间断点和第二类间断点的区别:
第二类间断点
a0 fT (t ) (an cos nt bn sin nt ) (1.1) 2 n 1 为求出a0 , 计算[ fT ,1], 即

T 2 T 2

a0 fT (t ) d t T d t 2 2
T 2
a0 (an T cos nt d t bn T sin nt d t ) T 2 2 2 n 1 2 T2 即 a0 T fT (t ) d t T 2
1 jn e j n t (n ) f ( ) e d 2p
j nt j nt 则 fT (t ) c0 cne c ne n 1
给定 fT(t), cn的计算如下: a0 1 T2 c0 T fT (t )d t 2 T 2 当n 1时
an jbn 1 T2 1 T2 cn T fT (t )cos nt d t j T fT (t )sin nt d t 2 T 2 T 2 1 T2 1 T2 T fT (t )[cos nt j sin nt ]d t T fT (t )e jnt d t T 2 T 2
a0 an jbn j nt an jbn j nt e e 2 n1 2 2
a0 an jbn j nt an jbn j nt fT (t ) e e 2 n1 2 2 a0 如果令c0 , 2 an jbn cn , n 1,2,3, 2 an jbn c n , n 1,2,3, 2
T
lim fT (t ) f (t )
结论: 任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某 个周期函数fT(t)当T时转化而来的.
由公式 1 T2 j n t jn fT (t ) T fT ( )e d e T n 2 可知
fT (t ) c0 cne
n 1

jnt
c ne
jnt


n
ce
n

jnt
Fourier级数的复指数形式
或者写为
非周期函数
f(t)
fT1(t)
O
t
fT2(t)
O
t
二.非周期函数的Fourier展开
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f(t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上. 则T越大, fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明 当T时, 周期函数fT(t)便可转化为f(t), 即有