积分变换论文
复变函数与积分变换论文 电子信息
(3)求方程的全解
Y(0)=A+B+1/3=1
解得A=5/2,B=-11/6
拉氏变换方法
由本例题可以看出经典方法和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出办法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦得多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物理概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用哪种方法做题还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间，如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。
由于篇幅有限，本文介绍的复变函数与积分变换中与解决本专业的问题只是冰山一角。在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅要作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中，对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用，因此，复变函数与积分变换课程的学习，有助于我们创新思维能力的训练和培养，培养我们运用基本理论和方法，解决实际问题的意识，兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变化换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定势，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。
复变函数论文
复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
复变函数与积分变换结业论文
基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内容摘要：《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。
同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。
Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。
例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。
更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。
在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。
在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。
在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。
关键字：复变函数积分变量matlab语句运算结果目录1 matlab在复常数中的应用 (4)1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (5)1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (7)2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (8)3 matlab在留数和积分中的应用 (9)3.1利用matlab计算复变函数的留数 (9)3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (10)4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (11)4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (11)4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (13)5 利用matlab绘制复变函数 (14)1 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。
积分变换在化工自控中的应用
积分变换在化工自控中的应用自动化、智能化是工业发展的方向。
在工业自动化控制中，有些采集的运行数据经过模/数信号转换后也往往是时域信号，而计算机识别与计算的是频域信号，这就涉及到时/频信号转换的问题了，加之实际化工生产中，由于人员、工艺、设备等原因，造成工艺数学模型复杂，采用普通的方法把实际工艺数据进行数字化处理与运算异常困难。
在工程技术科学中，为了把较复杂的运算转化为简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的。
举个简单的例子，我们都知道，加减法运算要比乘除法来的简单，那如何将乘除法转换为加减法呢？就是采用对数变换。
比如：利用ln ln ln MN M N =+这样就把乘法运算变为加法运算了。
这只是一个简单地例子。
而现实生产中，由设备、工艺等转化过来的数学模型往往比较复杂，一般是采用微积分来决实际问题，而计算机运算中常用求和取代积分（1()lim ()an i x i b f x dx f X ξ→∞==∆∑⎰）、差分取代微分（）的方式来运算微积分。
这样一来，一个涉及到数据采样周期与数据离散化的问题就摆在面前了，或者说是时域信号变为频域信号，也可以通俗地理解为微积分运算转化为代数运算的问题。
这就用到了积分变换。
我们都知道，给定一个周期为T 的连续函数x(t)，在满足狄利克雷条件的情况下，那么它可以表示为无穷级数：（i为虚数单位）其中，a-k可以按下式计算：这就是傅里叶级数，而积分其实就是一种极限形式的求和算子而已，若将周期函数的周期视为无限长，就能解决一些实际生产中非线性设备、无周期工艺的问题了，故有：于是可以得到下面的傅里叶变换（傅氏变换）上式是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
而连续傅里叶变换的逆变换为：即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
这就解决了信号转换的问题了。
但是，以时间t为自变量的函数f（t）需要满足在（-∞，+∞）上绝对可积，即是满足狄利克雷条件的连续函数，许多生活生产中常见的初等函数都不满足这一条件，比如：常数函数、多项式、正余弦函数。
复变函数与积分变换论文
复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。
但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。
通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。
辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。
二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。
由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。
所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。
【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的 关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。
浅谈傅里叶变换及其应用（小论文）
浅谈傅里叶变换及其应用一．由来傅里叶变换（Fourier变换）是一种线性的积分变换。
因其基本思想首先由法国学者约瑟夫·傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。
二．概要介绍1.傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。
在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
最初傅里叶分析是作为热过程的解析分析的工具被提出的。
——（1）2.傅里叶变换的逆变换容易求出，而且形式与正变换非常类似。
3.正弦基函数是微分运算的本征函数，从而使得线性微分方程的求解可以转化为常系数的代数方程的求解。
在线性时不变的物理系统内，频率是个不变的性质，从而系统对于复杂激励的响应可以通过组合其对不同频率正弦信号的响应来获取。
三．计算方法连续傅里叶变换将平方可积的函数f（t）表示成复指数函数的积分或级数形式。
这是将频率域的函数F(ω)表示为时间域的函数f（t）的积分形式。
连续傅里叶变换的逆变换 (inverse Fourier transform)为即将时间域的函数f（t）表示为频率域的函数F(ω)的积分。
一般可称函数f（t）为原函数，而称函数F(ω)为傅里叶变换的像函数，原函数和像函数构成一个傅里叶变换对（transform pair）。
四．应用领域傅里叶变换在物理学、声学、光学、结构动力学、数论、组合数学、概率论、统计学、信号处理、密码学、海洋学、通讯等领域都有着广泛的应用。
例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量。
五．简介离散傅里叶变换的应用。
DFT在诸多多领域中有着重要应用，下面仅是颉取的几个例子。
复变函数与积分变换论文
复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，复数起源于求代数方程的根。
通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。
《复变函数与积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。
复变函数与积分变换对于我们的专业——电气工程自动化，十分重要。
除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。
复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。
在复变函数与积分变换的学习中，我得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想等等。
我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。
通过对复变函数和积分变换的学习，培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，微分方程变换为初等方程，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换。
我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。
自从我接触了一些我们的专业课知识，就深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。
通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。
毕业论文：有关积分不等式证明的论文
,故命题成立.
例6设函数 在闭区间 上连续且单调递减,求证:当 时
证明:把闭区间 划分成两个区间 和 ,则有
从而有 由积分中值定理可得:存在 使得: ,由于 在闭区间 上单调递减 ,知 ,则
即 ,因此有
1.4利用拉格朗日中值定理来证明积分不等式
分析:设 在闭区间 上连续,在开区间 内可导,则存在 使得:
1.5利用分部积分法来证明不等式
分部积分法:若 与 可导,不定积分 存在,则 也存在,并且有:
利用分部积分法来证明不等式,实质上是利用分部积分法证明一个等式,然后在给出积分估计来实现证明的
例9:设 在 上具有连续导数, ,且 ,
求证:
证明: ,又因为
, ,故命题得证.
例10:设 在闭区间 上具有二阶导数并且导数连续, , 求证:
本科毕业论文（设计）
摘
积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用,且在考研试卷中会经常出现.积分不等式的证明方法灵活多样,而且技巧性和综合性也比较强.研究积分不等式的证明方法,不仅解决了一些积分不等式的证明,而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来,拓宽我们的视野,提高我们的发散思维能力和创新能力.本文综述了证明积分不等式的若干方法,通过对例题的分析,总结了求积分不等式的一般方法.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明:利用定积分的定义,利用积分的性质,利用拉格朗日中值定理、利用积分中值定理、利用泰勒公式 、利用二重积分等多种方法来证积分不等式及研究了杨格 不等式的证明,推广及应用和柯西——施瓦兹 不等式的证明,改进及应用.
(1-3)
同理 (1-4)
(1-3ห้องสมุดไป่ตู้(1-4)相加整理得
工科复变函数与积分变换教学经验论文
关于工科复变函数与积分变换的教学经验摘要：针对《复变函数与积分变换》课程的特点，结合多年教学实际，从教学内容、教学手段等方面总结了关于《复变函数与积分变换》教学的一些策略。
关键词：复变函数；积分变换；教学方法；多媒体辅助教学中图分类号：g642 文献标识码：a 文章编号：1002-7661（2012）24-007-01复变函数和积分变换是数学分析（或高等数学）的后继课。
它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是现代科学技术领域中不可缺少的运算工具。
复变函数与积分变换课程概念繁多且晦涩难懂，抽象度高，逻辑推理严密的特点，工科学生普遍感到比较困难，进而失去了学习兴趣。
本课程的实际授课时数往往较少，如何使学生对这门课产生兴趣，在有限的课时内让学生既能掌握理论和方法，为后续专业课程的学习打下一个良好的基础？笔者结合近几年的教学和实践，总结了以下几点经验.一、介绍背景知识，激发学生的学习兴趣通过指出本课程的理论和方法在工程技术领域的实际应用，如解析函数在平面场问题中的应用，共形映射在电场分布中的应用，使学生懂得课程的重要性，激发学生的学习积极性。
又如在积分变换教学中中对于单位脉冲函数δ（t）和单位阶跃函数u（t）部分的内容，应尽量避免理论上的介绍，重点说明它们的意义、性质和应用。
首先以力学中瞬间作用的冲击力、电学中的雷击电闪、数字通信中的抽样脉冲等实际问题为背景，说明在实际应用中需要一个时间极短但取值极大的函数模型，从而引入一个新的函数，即δ（t）函数；然后分析并给出δ（t）函数的数学定义，由定义自然地推导出δ（t）函数的抽样性质以及它和单位阶跃函数互为导数的关系，同时引导学生分析得到δ（t）函数的意义——使函数在其跳跃间断点处也存在导数；最后通过举例说明工程中的大部分信号都可以分解为阶跃函数或脉冲函数的和。
这样降低了从数学概念上理解它们的难度，进而提高学生对积分变换的学习兴趣。
二、、运用类比教学法，在高等数学知识框架基础上构建复变函数理论体系复变函数理论是实变函数微积分理论的推广与发展，它不仅在内容上与实变函数微积分有许多类似之处，而且在研究问题的方法与逻辑结构方面也很类似。
不定积分的积分方法论文
不定积分的积分方法论文摘要：不定积分是微积分的重要内容，它是求函数的原函数的方法。
本文将介绍不定积分的基本概念，以及常用的不定积分方法，包括换元积分法、部分分式分解法、分部积分法和特殊函数积分法。
通过对这些方法的理解和应用，能够更好地求解不定积分问题。
一、引言不定积分是微积分的重要内容之一，它与定积分密切相关，可以用于计算曲线的长度、曲线下的面积等问题。
与定积分不同的是，不定积分不需要给出积分区间，而是求函数的原函数。
二、不定积分的基本概念三、换元积分法换元积分法是不定积分中最常用的方法之一、首先，我们选取函数内部的一部分作为新的变量，使得原函数变得更加简单，然后对新的变量进行求导。
最后，将原函数用新的变量表示出来，从而完成积分计算。
四、部分分式分解法部分分式分解法适用于分母式为多项式，且次数较高的情况。
通过将分母进行分解，将分数拆成多个简单的部分，再分别求积分，最后将结果合并。
五、分部积分法分部积分法利用求导公式d(uv)/dx=u(dv/dx)+v(du/dx)，将积分转化为求导的过程。
通过选取u和dv/dx，使得积分结果更加简单化。
六、特殊函数积分法特殊函数积分法是对特殊函数的不定积分方法总结。
例如，三角函数的不定积分、指数函数的不定积分、对数函数的不定积分等等。
对于这些函数，我们可以通过列举一些常用的积分公式来求解积分问题。
七、实例分析通过实例分析，我们可以更好地应用不定积分的方法。
以具体的函数为例，对不同的方法进行比较和选择，找出最简单、最快速的解决方案。
八、总结本文介绍了不定积分的基本概念和常用的积分方法，包括换元积分法、部分分式分解法、分部积分法和特殊函数积分法。
通过对这些方法的理解和应用，我们可以更好地求解不定积分问题。
不定积分是微积分的重要内容，掌握好不定积分的方法对于提高解决问题的能力具有重要意义。
《复数函数的积分变换》论文
《复数函数的积分变换》论文
《复数函数的积分变换》
近年来，复数函数在微分方面的研究有了很大发展。
虽然复数函数在积分上仍然存在许多挑战，然而，有一种重要的积分变换，可以有效解决此问题--复数函数的积分变换。
本文从复数
函数的积分变换出发，详细介绍了它的原理和应用。
首先，本文介绍了复数函数的积分变换的原理。
对于一个复数函数f(z)，其积分变换F(z)定义为：F(z)=∫f(x)dx,其中z是变量，x是积分区间上的一个变量。
这里，积分变换不仅仅涉及复数
函数的计算，也涉及复数函数原有函数的变换。
因此，复数函数的积分变换又被称为“变换积分法”。
其次，本文介绍了复数函数的积分变换的应用。
复数函数的积分变换在现代数学应用中有着重要的地位。
例如，在解决常微分方程的问题中，使用复数函数的积分变换可以获得十分有效的解决方案。
此外，应用复数函数的积分变换，还可以更好地理解某些特殊复数函数的性质。
因此，复数函数的积分变换有着广泛的应用前景。
最后，本文总结了复数函数的积分变换，指出复数函数的积分变换不仅仅涉及复数函数的计算，还涉及复数函数原有函数的变换，具有广泛的应用前景。
虽然今天的研究已经取得了一定的成果，但复数函数的积分变换在它的应用方面仍然具有很大的可探索空间。
最后，本文对此进行了展望，指出将来进一步的研究可以使这一领域的理论更加完善。
综上所述，本文全面介绍了复数函数的积分变换的原理及其应用，扩大了人们关于复数函数积分变换的认识。
本文还对将来关于这一领域的研究方向作了展望，为增进人们对复数函数积分变换的理解提出了新的思考。
复变函数与积分变换论文-
学习《复变函数与积分变换》心得这个学期，我们学习了复变函数与积分变换这门课程，作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。
同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。
近年来高校扩招，基础类课程学时缩减成为一种大的趋势。
在这种情况下，复变函数与积分变换这门课程如何取得最佳的教学效果，是需要探索和实践的。
复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。
它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。
传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。
而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。
如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。
在老师的教学中，老师向我们详细介绍该课程在所属学科领域的地位、用途和应该掌握的内容，学好这门课程的方法以及该课程的后继课程有哪些。
让学生了解该课程与先修课程间的联系，了解到复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，在理论研究的各个方面既有区别又有联系。
老师注重启发式的教学，启发学生去发现已学知识与所学知识之间的联系，让学生学会在已学知识的基础上去推广得到新的结论并对新的结论进行论证。
这样既提高了学生发现问题分析问题的能力，也使学生在学习的过程中真正理解相关概念和定理，从而降低了学习难度。
我们学电气专业的，结合学生的相关专业，老师给我们补充一些与实际紧密结合的问题，用课堂所学内容予以解决，既能激发我们学习复变函数与积分变换这门课程的兴趣，又能使我们更好的了解本专业方向，为以后专业课的学习打下良好的数学基础。
复变函数积分论文
（二 〇 〇 八 年 六 月本科毕业论文 题 目：分离变量方法在微分方程求解中的应用分析学生姓名：王 小 飞学 院：理学院系 别：数学系专业：信息与计算科学班 级：信计04-2指导教师：任 文 秀 副教授摘要分离变量法是求解微分方程的最基本方法之一，对此法进行探索研究具有重要的理论和实践意义.为了让大家更透彻地理解分离变量法，本文首先在引言中详细地介绍了常微分方程分离变量法的起源及其进展情况；紧接着,在第一章综述了基于Sturm-Liouville 问题的传统分离变量法，内容涉及到分离变量法的力学背景、理论基础、基本思想、计算步骤、算例等几方面. 作为对偏微分方程求解方法的补充，我们还就非线性领域的分离变量法做了一个摘要; 最后, 在本文的主体部分—第二章中力图进一步完善辛-Fourier展开法（基于Hamilton体系的分离变量法）的应用体系, 主要工作包括以下三方面：第一，在Hamilton体系下尝试求解常微分方程并验证了该解法的正确性；第二，利用辛-Fourier展开法在Hamilton体系下求出了二阶椭圆型方程的通解,这比前人所做的工作都完善；第三，利用辛-Fourier展开方法初步探讨了抛物型方程，虽然没有得出满意的结果，但是也取得了一些收获.关键词：传统分离变量法；Sturm-Liouville问题；Hamilton系统；辛空间；辛-Fourier展开法AbstractThe method of Separation of variables is one of the most basic methods to solve differential equations. It provides importantly theoretical and practical significance to exploit and research this method.To make us understand about method of separation of variables, firstly, in the introduction, we study the origin and progress of this method for the ordinary differential equations; after that, we investigate the traditional method of separation of variables based on Sturm-Liouville problem in 1st chapter, which involves the mechanical background, the theoretical foundation, the basic idea, calculated steps, examples and other areas. As a supplementary of the method to solve partial differential equations, we also do a abstract about separation of variables on the non-linear field; finally, in the main part of this paper: 2nd chapter aimed to further improve symplectic-Fourier expansion method (namely, method of separation of variables based on Hamiltonian system) on application, we do the works as following: First, verify the correctness to solve ordinary differential equations in the Hamilton system; Second, take use of symplectic-Fourier expansion method to solve the second-order elliptic equation in Hamiltonian system, the results are more perfect than the work done by their predecessors; Third, try to discuss the parabolic equation by this new method. Although we do not obtain effective results, some techniques are showed in whole process.Key words: traditional method of separation of variables; Sturm-Liouville problem;Hamiltonian system; symplectic space; symplectic-Fourier expansionmethod目录绪论 (1)第一章偏微分方程中的传统分离变量法 (4)1.1力学背景 (4)1.2理论基础 (5)1.2.1线性叠加原理 (5)1.2.2 Sturm-Liouville理论 (6)1.3分离变量法的思想及实例 (7)1.3.1思想步骤 (7)1.3.2实例 (8)1.4非线性系统中的分离变量法简介 (9)1.4.1形式分离变量法 (10)1.4.2多线性分离变量法 (10)1.4.3泛函分离变量法 (11)1.4.4导数相关泛函分离变量法 (11)第二章 Hamilton体系下的分离变量法 (13)2.1辛空间的相关理论知识 (13)2.2 辛-Fourier展开法概述 (15)2.3 应用举例 (16)总结 (29)参考文献 (30)附录 (32)谢辞 (35)绪 论说到分离变量法,就不得不提到微分方程, 因为分离变量法不仅是在求解微分方程过程中被提出的, 而且是在这个过程中不断被完善发展的. 一般地，微分方程包括常微分方程(简称ODE ）和偏微分方程(简称PDE)，是指含未知函数及未知函数导数的方程. 它起源于17世纪物理学的探索.17世纪末，分离变量法在ODE 中首次被提出. 由于该法在求解微分方程时体现出一定的优越性，所以吸引了众多专家学者的注意，在他们不懈地努力下，分离变量法从ODE 被逐步引入到PDE, 从线性领域跨越到非线性领域，甚至求解体系从欧式空间渗透到辛空间.下面，我们先从ODE 入手来叙述这一重要方法.一、起源与基本概念1691年，Leibniz （德国数学家、物理学家和哲学家）在给Huggens 的一封信中首次提出了常微分方程的分离变量法[1]. 他将形如)()(y g x f dy ydx =的方程写成ydy y g x f dx )()(=， 然后两边进行积分，从而得到了原方程的解. 同一年，他利用变换zx y =将线性齐次方程)('xy f y = 变为可用分离变量法求解的方程xz z f dx dz -=)(. 1695年，James.Bernoulli 在某一学报中提出了Bernoulli 方程[1] n y x q y x p dxdy )()(+=. 一年后， Leibniz 利用变量替换n y z -=1把Bernoulli 方程化成线性方程（关于y 和'y 的一次方程）. 1698年，James 又在同一学报中本质上用分离变量法把Bernoulli 方程解出，进一步扩大了分离变量法的应用范围. 此外，Riccati 也为这一方法做出了贡献并且得到如下著名的定理：定理[2] 设Riccati 方程为 ,2m bx ay dxdy =+其中m b a ,,都是常数. 且设0≠a ，又设0≠x 和0≠y ， 则当124,124,2,0--+--=k k k k m ),2,1( =k 时，Riccati 方程可通过若干适当的变换化为可分离变量的方程.综上,一般我们把形如)()(y g x f y =' （1） 的方程称为可分离变量方程, 其中)(x f 和)(y g 分别是变量x 和y 的连续函数.不难看出，该方程具有特点：右端项为两个变量独立的一元函数之积. 往往可通过这一特征来判断方程是否为分离变量型，当然还可以通过Maple 程序包odeadvisor()来实现，详见文[3]中的介绍. 主要的处理代码如下> restart;> p:=eqs()> with(DEtools):> odeadvisor(p);> separablesol(p,y(x));且其求解方法可总结为:（1）如果0y 使得0)(0=y g ，则0y y =是（1）的解.（2）如果0)(≠y g ,可对方程（1）先分离变量，得dx x h dy y g )()(1=， 再两边积分，即得原方程通解. 上述解法被称为分离变量法.二、选题背景与本文的主要工作可分离变量ODE 虽然形式较为简单，但它在实际中有很多应用，比如雪球融化问题、化学反应问题、跳伞的速度问题等等，都可以用这一数学模型来解决，因此对它的求解方法—分离变量法的探讨具有实践意义.然而分离变量思想有着更为宽广的应用背景，它更为广泛地体现于PDE 问题的求解中，通常，我们把PDE 中的分离变量法称为传统分离变量法[4-7]. 利用传统分离变量法求解偏微分方程经常会导致自共轭算子的特征值问题，即Sturm-Liouville 问题(简称S-L 问题)，该问题的求解已经形成了一套系统的理论（详见第一章介绍），但S-L 问题自身有一定的局限性，这样导致相当一大部分方程用传统分离变量法难以求解，比如椭圆型方程（本文在第二章中将要用新的方法来确定）.怎样处理这类传统分离变量法解决不了的问题呢？1991年, 钟万勰院士在文[8]中利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维Hamilton 体系应用到弹性力学等相关领域，并把传统方法难以解决的一类二阶椭圆型方程和条形板弯曲问题导向Hamilton 体系. 从而，首次为用分离变量法求解PDE 指出新的导向, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年, 周建方、卓家寿等对于S-L 问题，在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致.从而说明了Hamilton 体系下的分离变量法（称之为辛-Fourier 方法）的正确性和潜在能力[9].我们认为基于Hamilton 体系的分离变量法的研究还仅仅是开始，但已显现出一定的优越性，相信随着研究的深入，必将给我们解决目前一些难以解决的问题提供更多的机会.本文意在介绍传统分离变量法和辛-Fourier 方法（即Hamilton 体系下的分离变量法）的思想.由于传统分离变量法已经形成了一套完善的理论，所以本文第一章对传统分离变量法只是作了一个综述，以方便所需之人阅读. 而辛-Fourier 方法还没有形成一套成熟的理论，也就成为了本文第二章研究的主要对象.我们首先在Hamilton 体系下尝试了常微分方程的分离变量法，发现所得结果与ODE 分离变量法一致. 紧接着，利用辛-Fourier 方法探讨了一个二阶椭圆型方程的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=====-++).(),1(),(),0(0)1,()0,(02y g y u y f y u x u x u eu cu bu au yy xy xx 相比文献[12]，我们的结果更具有一般性,而且积分常数是在辛正交的前提下直接确定的. 最后, 又利用辛-Fourier 方法探讨了抛物型方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=+∂∂=><<∂∂=∂∂l x x x u t t l hu x t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(00),(),(,0),0(0,0222ϕ虽没有顺利得出最后的结果，但还是把详细的解题过程给出了，希望能为日后的研究工作提供一个参考.第一章 偏微分方程中的传统分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的最基本方法之一. 通常,对偏微分方程实施分离变量之后, 将导致自伴算子的本征值问题, 对此已经有了全套的理论, 即S-L 理论.本章我们首先介绍PDE 中分离变量法的起源及最基本的S-L 理论; 其次结合算例,综述分离变量法的基本思想与步骤; 最后根据文献[10]，对分离变量法在非线性领域的发展情况做了摘要.1.1力学背景分离变量法是受驻波的启示而被提出的. 大体而言, 驻波是由两列等振幅相干波沿相反方向传播时叠加而成. 下面, 我们将利用波的叠加原理来介绍驻波的形成.设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波：)(2cos ),.(1λγπx t A t x u -=；)(2cos ),(2λγπx t A t x u += 分别沿x 轴的相反方向传播，其中A 表示振幅，γ表示频率. 按照叠加原理，可合成驻波的波函数为 )](2cos )(2[cos A ),(),(),(21λγπλγπx t x t t x u t x u t x u ++-=+=. （1-1） 利用三角函数关系，将式（1-1）简化为 ,2cos 2cos 2),(t x A t x u πγλπ⋅= （1-2） 这里我们称(1-2)为驻波.为了更加形象地看到由余弦波),(1t x u 与),(2t x u 叠加形成驻波的过程，我们分别把2,4,8πππ=t 时的驻波图形画出来，即图1.1 不同时刻的驻波图形图中虚线表示),(1t x u ，长点划线表示),(2t x u ，实线表示合成的驻波),(t x u .我们都知道，在力学中，两端固定弦(假定长为l )的自由振动问题[5-6] ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=≥==><<∂∂=∂∂==== )x (0 )( )( 0)(t 0 ) 0 0 ( 00022222l x t u x u u u t l,x x u a t u t t l x x ψϕ， （1-3）能够形成驻波，而且弦线上驻波的形成是有条件的，它要求弦线长等于半波长的整数倍. 这样, 由驻波的表达式(1-2), 使我们很自然地想到，可设其特解形如 )()(),(t T x X t x u =, （1-4） 其中)(x X 和)(t T 分别是变量x 和t 的待定函数. 将式（1-4）分别代入原方程及其定解条件中，就可确定)(x X ,)(t T . 从而, PDE 中的分离变量法(俗称驻波法)就被提出来了, 并逐步趋于完善, 最终成为求解PDE 定解问题最基本的方法之一.1.2理论基础1.2.1线性叠加原理在线性领域中研究分离变量法，线性叠加原理是重要的理论基础之一，该原理多次被应用到分离变量法的过程中，比如，我们最后得到的PDE 定解问题的解就是由所有特解线性叠加而成的，还有在处理非齐次PDE 定解问题时，我们通常把方程和边界条件视为几种类型叠加的结果等等.定理2.1(线性叠加原理)[4-7] 设i u 满足线性问题i i f Lu =; i i g Bu = ),2,1( =i其中L 和B 分别是线性偏微分算子和线性定解条件算子. 若级数i i i u c ∑∞=1收敛，且可以逐项微分，同时级数i i i f c ∑∞=1和i i i g c ∑∞=1都收敛，则i i i u c ∑∞=1是定解问题i i i f c Lu ∑∞==1; i i i g c Bu ∑∞==1的解.1.2.2 Sturm-Liouville 理论Sturm-Liouville 问题（简称S-L 问题）源起于十九世纪初叶J.Fourier 对热传导问题的数学处理中，到十九世纪三十年代时，Q.Sturm 和J.Liouville 又把Fourier 的方法进行了一般性的讨论. 后来，他们所得的结果成为了解决一大类PDE 定解问题的理论基础，也就是我们所谓的S-L 理论.继线性叠加原理，S-L 理论为分离变量法奠定了又一重要理论基础，它为分离变量法的应用提供了广阔的前景.分离变量法的本质特征是把PDE 的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题(ODE 问题)，而对于大量的特征值问题，其特征值及特征函数是不容易求出的，甚至，只能求助于数值解法求得近似解.但是有了S-L 问题的基本定理后，即使我们并不知道具体的特征值或特征函数的形式，我们仍然可以通过基本定理得到解的表达式，由此可见S-L 理论对于分离变量法的重要性.下面我们来看一下S-L 理论中的一些基本定理[11].为了简单起见，我们着重讨论二阶ODE 的特征值问题，即S-L 问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-=-- .0)()(0)0()0( 0)(])([2121l y b l y b y a y a y x s dx dy x p dx d λ 在S-L 问题中，假定系数)(x p 和)(x s 都是实函数且满足条件：（1）],0[)(],,0[)(1l C x s l C x p ∈∈;（2）在],0[l 上0)(,0)(0≥≥≥x s p x p ,参数)2,1(0,0=≥≥i b a i i 且0,022212221≠+≠+b b a a .定理1.2 S-L 问题的所有特征值λ都是实数.定理1.3 S-L 问题的所有特征值λ都是非负的.定理1.4 S-L 问题的所有特征值λ组成一个单调非减, 并以无穷远点为凝聚点的序列，即 ≤≤≤≤n λλλ21,且+∞=∞→n n λlim .定理1.5 S-L 问题不同的特征值所对应的特征函数在区间],0[l 上带权)(x s 正交，即当特征值k j λλ≠时，相应的特征函数)(x y j 和)(x y k 有关系式.0)()()(0=⎰dx x y x y x s k lj )(k j ≠定理1.6 S-L 问题的所有特征函数{}∞=1)(n n x y 能构成空间],0[2l L *的一组完全正交基，即对任意的函数∈)(x f ],0[2l L *可以按特征函数系{}∞=1)(n n x y 展成广义Fourier 级数 )()(1x y c x f n n n ∑∞==,其中 ,)()()()()(020⎰⎰=ln l n n dx x y x s dxx y x f x s c ),2,1( =n亦即0)()(lim *21=-∑=∞→L N n n n N x y c x f . 须说明的是以上摘录的定理是S-L 理论中最基本的结论,其余结论可参阅文[11].1.3 分离变量法的思想及实例1.3.1 思想步骤分离变量法作为PDE 的最基本解法之一，它的思想相对来说较为简单，解题步骤也很清晰，将其总结如下:基本思想[12]：将PDE 定解问题的解表示成单变量函数之积，即令解形如（1-3），然后将其带入原PDE ，从而，使PDE 降阶或化为带有参数的ODE ，达到简化问题的目的.基本步骤：（1）变量分离，设解的形式为（1-3）；（2）解ODE 的特征值问题，即确定特征值 n λ和特征函数)(x X n ；（3）求其余ODE 的解（一般为)(t T n ），并与特征函数相乘得到特解),(t x u n ;（4）将特解线性叠加，即得),(),(1t x u c t x u n n n ∑∞==;（5）用Fourier 级数法来确定待定系数n c .1.3.2 实例这里我们以有界弦的自由振动问题（1-3）为例，来说明用分离变量法求解PDE 定解问题的过程.为了简单起见，不妨设弦振动问题(1-3)，两端固定，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，位移速度为)(x l x -，即相当于考虑在0)(=x ϕ, )()(x l x x -=ψ的特殊情形下，来求位移函数),(t x u .首先设问题(1-3)的解形如变量分离式(1-4), 将(1-4)代入(1-3)中的波动方程,有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''λ-=, （常数） 即;0)()(2=+''t T a t T λ (1-5) ,0)()(=+''x X x X λ (1-6) 这里函数)(t T 不恒等于零，故由（1-3）中的边界条件知0)()0(==l X X . (1-7) 经验证，只有当02>=βλ时，特征值问题(1-6)才有非零解，且其通解为x B x A x X ββsin cos )(+=. (1-8) 把边界条件(1-7)代入(1-8)中, 可推得特征值为 ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ（ ,2,1=n ） 从而得特征函数是x l n B x X n n πsin )(=.（ ,2,1=n ） 将n λ代入方程(1-5)解得 .sin cos )(lat n D l at n C t T n n n ππ'+'=（ ,2,1=n ） 则波动方程(1-3)的形式解为x l n l at n D l at n C t T x X t x u n n n n n πππsin sin cos )()(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+==,（ ,2,1=n ）其中参数n n n n nn B D D B C C '='= ,. 因为定解问题中的方程和定解条件均为齐次，由线性叠加原理1.1知, 解 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sin sin cos ),(),(n n n n n x l n l at n D l at n C t x u t x u πππ (1-9) 仍满足式(1-3)中的边界条件. 故将其代入(1-3)中的初始条件,可得∑∞====10sin 0n n t x l n C u π; ∑∞===-=∂∂10sin )(n n t x ln l a n D x l x t u ππ. 上两式表明参数n C 和la n D nπ分别为函数0与)(x l x -在区间],0[l 上的Fourier 级数展开式的系数, 利用定理1.6的Fourier 系数公式, 自然可得;0sin 020⎰=⋅=l n xdx ln l C π ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数为奇数n n n l xdx l n x l x a n D l n ,0,4sin )(23330πππ再将n C 和n D 代入式(1-9), 就产生了定解问题(1-3)的解： ⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑∞=∞=为偶数为奇数n n x ln l at n n l t x u t x u n n n ,0,sin sin 4),(),(13331πππ且1=n ，3=n ，5=n 时, 某时刻解的图形如下图1.2 解在n 取不同值时的图形在所学范围内，我们认为分离变量法一般适用于齐次线性方程的齐次定解问题, 这里不再多举例.1.4 非线性系统中的分离变量法简介对于线性系统，人们已经有了比较深入的了解和应用，但是线性系统只是对于复杂事物近似的线性抽象和描述.为了更近一步探索复杂事物的本质，往往把目光放到了非线性系统，从而非线性科学得到了蓬勃的发展. 随着科学的进步, 我们一直探索的分离变量法也随之进入了非线性系统. 目前大体研究方向如下1.4.1 形式分离变量法形式分离变量法实际上就是最早由我国著名学者曹策问教授提出的非线性化方法，后来发展为李翊神教授和程艺教授的对称约束法.目前我国还有许多专家学者在致力于这方面的研究.通常这种方法只适用于Lax 可积系统. 楼森岳和陈黎丽将它推广到了不可积系统并称之为形式分离变量法，在文[7]中作者给出了求解非线性系统的形式分离变量法的一般过程，其描述如下：对于N 阶1+n 维非线性系统，0)(),,,,,,,,(121=≡⋅⋅⋅u F u u u u x x x t F N i j i i j i i x x x x x x n , (1-10)引入一组变量分离形式分离方程,i x K i =ψ ,,,,2,1,00t x n i ≡= (1-11) 其中,),,,(21T M x i ψψψψ ≡),,,,,(21n i i x x x t ψψ≡)(ψi i K K =是有M 个分量的矩阵函数. 根据相容性条件i j j i x x x x ψψ=, 要求i K 必须满足 0))()((],[0''=+-+∂∂≡-≡=εεψεψεi j i i j j i j i K K K K K K K K K K . (1-12) 假定（1-10）的解与ψ之间的关系为)(ψU u =, (1-13) 把(1-11)和(1-13)代入(1-10)后确定出函数U 和i K ，由此可得到形式分离变量解.可以看到，ψ是},,,,{21n x x x t 的函数，所以形式分离变量解中函数的变量并没有真正地实现分离，而只是1+n 个变量分别显现在1+n 个方程(1-11)中, 详见参考文献[10]的第六章. 1.4.2 多线性分离变量法上面提到的形式分离变量法本质上并没有真正的实现变量分离，因此为了实现真正意义上的变量分离，1996年搂森岳和陆继宗在关于DS 系统的论文中提出了一种分离变量法，即多线性分离变量法的雏形. 之后一直没有任何进展，直到5年后，才在已有的多线性分离变量法雏形的基础上开展了进一步的研究，建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分离变量法真正得到发展, 以致能够推广应用于大量的非线性模型.到目前为止，多线性分离变量法已经成功求解了一大类的2+1维非线性系统和一些1+1和3+1维的非线性系统.多线性分离变量法也已经成功的应用到了差分微分系统.我们称这些可以用多线性分离变量法求解的非线性PDE 为多线性分离变量可解方程，对应的解被称为多线性分离变量解.我们发现所有的非线性系统的多线性分离变量解都可以由一个形式上统一的式子表示.特别地，这个通式中包含了低维任意函数.此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广为一般多线性分离变量法，从而得到一些非线性系统的一般多线性分离变量解，这个解包含了更多低维的变量分离函数.详见文[10]的第四章.1.4.3 泛函分离变量法泛函分离变量法主要是由俄罗斯的Zhdanov 和我国的屈长征教授等发展的，在文献（Qu C Z,Zhang S L,Liu R C.Physica D,2000,144:97）中作者提出了泛函分离变量法并建立了利用一般条件对称对方程进行归类和求解的步骤和实现方法.以N 阶1+1维非线性系统0)(),,,,,,,(=≡u F u u u u u t x F t t x x t x (1-14) 为例，可以对其求乘积型分离变量解 )()(t x u ψφ=(类同于传统分离变量法的形式解)或和式分离变量解)()(t x u ψφ+=.然而，绝大多数非线性系统没有此种解，因此可以进而寻求泛函分离变量解 )()()(t x u f ψφ+= (1-15) 其中)(u f 是可逆函数，泛函分离变量解(1-15)满足约束条件0)(=+≡t x t x u u u g u η,其中)()()(u f u f u g '''≡.这一问题等价于寻求方程(1-16)的一般条件对称 .])([uu u u g u u V t x t x ∂∂+≡∂∂=η 由此可以给出系统(1-14)具有泛函分离变量解(1-15)的完全归类, 并给出归类方程的泛函分离变量解, 详见文[10]的第五章.1.4.4 导数相关泛函分离变量法导数相关泛函分离变量法是泛函分离变量法的更一般的推广，它能够给出完整的分离变量解归类.对于非线性系统(1-14)，可定义下列4种形式的分离变量解：(1))()(),(t x u u f x ψφ+=;(2))()()()(),(t x t x u u f x ηξψφ++=;(3) );()())()((),,,,,,(11t x t x u u u u u u f i Ni i M i i i t t t x x x t x ηξψφ∑∑==++=(4)),(),,,,,,(ηξF u u u u u u f t t t x x x t x = ),(t x ξξ=),(t x ηη=.在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性系统进行导数相关泛函分离变量可解的完全归类的研究中，对一些不同类型的非线性模型，先要求各种场量及其导数的某种（泛函）组合可以有加法或乘法的变量分离解；然后根据这一要求来确定相应的一般条件对称，进而利用一般条件对称、不变曲面条件和群论方法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合，定出方程的所有可能的等价类；最后再分别求出导数相关泛函分离变量解.至今已经利用此方法对一般非线性扩展型方程、一般非线性波动方程和一般KdV 型方程做出了完整的分离变量可解归类，并且给出了这类非线性系统的严格解以及解的对称群解释.详见文[10]的第五章.从以上的摘录中,我们看到了分离变量法在非线性领域中的应用也是很广泛的,那么它的求解体系是否也能拓展呢? 我们将在下一章中讨论.第二章 Hamilton 体系下的分离变量法在第一章中通过对传统分离变量法的探讨，可以看出，能够应用传统分离变量法求解的偏微分方程总会导致自共轭算子的特征值问题，即S-L 问题. 然而，在实际应用中很多问题并不能导致自共轭算子，这就超出了传统分离变量法的应用范围. 为了克服这个困难，1991年钟万勰教授将无穷维Hamilton 系统引入到弹性力学，结合无穷维Hamilton 算子建立了弹性力学求解新体系.从而，为用分离变量法求解方程开辟出一条新道路, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年周建方等对S-L 问题，如波方程和调和方程在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致，那么对常微分方程、传统方法所解决不了的二阶椭圆型方程、抛物型方程在Hamilton 体系下实施分离变量法结果会怎样？这就是本章所要解决的问题.2.1 辛空间的相关理论知识辛空间是研究面积的(或研究做功的), 不同于欧几里德空间, 它是指装备了一种具有特定性结构的空间, 是Hamilton 系统的数学基础. 下面以有限维(偶数维)辛空间为例来说明将要用到的相关基本知识[13].定义 2.1 设W 是实数域R 上的一个n 2维相空间,对W 中的任意两个向量α,β依一定法则对应着一个实数,这个数称为辛内积,记作],[βα, 并且辛内积],[βα运算满足下列4个条件:(1)反对称性：],[],[αββα-=；(2)齐次性：],[],[βαβαk k =，其中k 为任意实数；(3)可加性：],[],[],[βγβαβγα+=+，其中γ是W 中的任意向量；(4)非退化性：若向量α对W 中任一向量β均有0],[=βα, 则0=α，称定义有这样辛内积的相空间为辛空间(symplectic space).特别声明的是由辛内积的反对称性知,任一向量与其自身的辛内积一定是零,即对任意向量α, 有0],[=αα,这一点与欧氏空间是有本质区别的, 在欧氏空间中0],[2≥=a αα.定义 2.2 设在n 2维实向量空间n R 2中,对任意向量T n x x x x ),,(221 =,T n y y y y ),,(221 =, 定义一种辛内积为y J x y x y x y J x y x n T ni i i n i n i n 212)(),(],[=-==∑=++,其中矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002nn n I I J , (2-1) 这里称n J 2为单位辛矩阵,简记为J . 定义2.3 若向量α,β的辛内积0],[=βα,则称α与β辛正交; 否则, 则称α与β辛共轭.定义 2.4 对于n 个自由度的保守力学系统,设广义坐标n q q ,,1 , 广义共轭动量n p p ,,1 , 若系统描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=⋅⋅,;i i i i p H q q H p ),,1(n i = (2-2) 或改写成形式)(z H J dtdz ∇= 其中T n n p p q q z ),,,,(11 =,H ∇为能量函数H 的梯度向量,称式(2-2)为经典Hamilton 方程(有限维Hamilton 系统).定义2.5[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X X X H D H ⨯→⨯⊂)(:为微分算子,若H 满足JHJ H =*,则称如下发展方程(组)为无穷维Hamilton 正则系统Hu u =., (2-3)其中J 的表达式为(2-1).定义 2.6[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X D C B A →:,,,,若B B =*,C C =*, A D -=*,则称 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A H 为无穷维Hamilton 正则算子,简称为Hamilton 算子.定理2.7 如μ是Hamilton 算子H 的本征值，重数为m ，则μ-也一定是其本征值，重数也为m ；如Hamilton 算子H 存在零本征值，则重数一定为偶数.定理2.8 有限维Hamilton 算子H 具有归一加权)(x s 辛正交特征函数系, 即算子H 的特征函数系{k U }, ,,,2,1n k ±±±=满足⎩⎨⎧≠+=+=0,00,])(,[l k l k JU x s U l k 非零常数还有很多有关辛空间的理论,详见姚伟岸、钟万勰的专著[11].2.2 辛-Fourier 展开法二十世纪九十年代初, 钟万勰院士首次根据结构力学与最优控制理论,将由原变量及其对偶变量组成的辛空间(偶数维)引入到弹性力学,从而使分离变量思想及按辛本征函数展开的直接解析法得以实现,形成了弹性力学求解新体系,被学者们称之为辛-Fourier 展开法.这个新方法不同于偏微分方程求解的传统思路,它充分利用到了Hamilton 系统的优势：(1)一切真实耗散不计的过程都可以包容在当中；（2）使得方程组从形式上看降低了阶次为一阶，对一类问题可以在Hamilton 体系下实施Fourier 展开法;(3)从结构属性上，线性Hamilton 正则系统具有分离变量形式. 随着研究的深入，它往往不仅仅局限于弹性力学，也可以应用在偏微分方程的定解问题中. 具体的方法是将研究问题引入到无穷维Hamilton 系统， 然后利用无穷维Hamilton 算子特征函数系展开给出形式解, 再讨论其收敛性. 这里我们将求解过程大致总结如下:(1)设法寻求一个满足定义2.6的Hamilton 正则算子，将要解决的方程导入形如(2-3)的Hamilton 体系;(2)对新引入的状态变量V 实施分离变量,即令)()(x X t T V n n =，从而导致Hamilton算子的特征值问题,并解得特征值n λ与特征函数;(3)类似于前一章介绍的传统分离变量法, 写出形式解;(4)验证相应Hamilton 算子的特征函数系的辛正交性(此步是该法的关键);(5)利用Fourier 展开方法确定形式解中的待定参数.此法尚在完善之中, 有很多工作有待进一步解决[16-17].由于知识所限, 我们暂不考虑该法关于收敛性方面的严格数学证明, 只在下一节中直接分析它的应用.。
不定积分的积分方法论文
不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文不定积分的积分方法论文【1】摘要：在高职高专院校高等数学的不定积分章节的学习中，有三种积分方法，分别是第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法.部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手.针对这种现象，本文对三种积分方法加以总结，以便学生对积分方法能更好地掌握.关键词：不定积分换元积分法分部积分法一、第一类换元积分法定理1(第一类换元积分法)设f(u)具有原函数，u=φ(x)可导，则有换元积分公式f[φ(x)]φ′(x)dx=[f(u)du].第一类换元积分公式实质上就是：f[φ(x)]φ′(x)dx=f[φ(x)]d[φ(x)].第一类换元积分公式在运用过程中，应用的关键是确定新的积分变量φ(x)，那么如何确定φ(x)?方法有如下两种.1.通过对所求不定积分中被积函数的观察，发现函数中既含有φ(x)又含有φ′(x)，则我们就可以猜测出新的积分变量为φ(x).例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数为，因为(lnx)′=，所以我们可以把看做lnx，则新的积分变量φ(x)=lnx.解：dx=[lnx]dx=lnxd[lnx]=lnx+C2.通过对所求不定积分的观察，猜测出所要运用的基本积分公式，基于这个公式确定新的积分变量φ(x).例如：求sin3xdx分析：所求不定积分为sin3xdx，观察后发现我们所用的基本积分公式为sinxdx=-cosx+C，但是所求积分的被积函数不是sinx而是sin3x，我们可以把3x看做一个整体，就是新的积分变量φ(x)，即φ(x)=3x.解：sin3xdx=[sin3x]3dx=[sin3x]d[3x]=[sin3x]d[3x]=-cos3x+C二、第二类换元积分法定理2(第二类换元积分法)设函数x=φ(t)单调，可导，且φ′(t)≠0，f[φ(t)]φ′(t)的原函数存在，则有换元积分公式f(x)dx=[f[φ(t)]φ′(t)dt]，其中t=ψ(x)是x=φ(t)的反函数.第二类换元积分公式在何时运用?我认为：重点是解决被积函数中含有“根号”的积分问题.那么在学习中遇到的常见的含有根号的情形有几种呢?我总结了一下共有四种，分别是：;;;.如何消除被积表达式中的根号?做适当变量替换即可，针对以上四种情形具体替换如下：① 对，设t=;② 对，设x=asint;③ 对，设x=atant;④ 对，设x=asect.原来关于x的不定积分转化为关于t的不定积分，在求得关于t的不定积分后，必须代回原变量.在进行三角函数换元时，可由三角函数边与角的关系，作三角形，以便于回代.在使用第二类换元法的同时，应注意根据需要，随时与被积函数的恒等变形、不定积分性质、第一类换元法等结合使用.例如：求dx分析：所求不定积分的被积函数中含有根号，符合上述情形中的第三种，由此我们做替换x=2tant即可.解：dx=•2sectdt=sectdt=ln(sect+tant)+C=ln++C=ln(+x)+C三、分部积分法分部积分公式：udv=uv-vdu或uv′dx=uv-u′vdx(其中u=u(x)与v=v(x)都具有连续导数)分部积分法主要是解决被积函数是两类不同类型函数乘积的不定积分问题.这里我们所说的函数类型指的是反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数五种基本初等函数.当然在具体应用时被积函数未必是这五种类型，有可能是相似的类型，我们在应用公式前，只需要将所求的不定积分运用其他的积分方法适当变形转化为这五种函数即可.应用分部积分公式的关键是确定公式中的u和v′，如何确定它们?可按照反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数的顺序(即“反、对、幂、三、指”的顺序)，把排在前面的那类函数选作u，而把排在后面的那类函数选作v′.例如：求xsinxdx分析：不定积分中的被积函数xsinx为两类不同类型的函数乘积，所以我们就要应用分部积分法，其中u为x，v′为sinx，则u′=1，v=-cosx把上述四项代入公式即可.解：xsinxdx=-xcosx--cosxdx=-xcosx+sinx+C小结：我们学习以上三种积分方法的目的就是要把我们所计算的不定积分问题转化为我们所熟悉的基本积分公式来处理，当然，这些积分方法在运用时往往不是单独使用，大多数情形下都是混合使用，甚至要多次使用.参考文献：[1]同济大学，天津大学，浙江大学，重庆大学编.高等数学.高等教育出版社，2004.6，第2版.[2]周金玉.高等数学.北京理工大学出版社，2009.8，第1版.[3]陈传樟等.数学分析.高等教育出版社，1983.7，第2版.不定积分计算方法的思考【2】摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。
定积分计算的总结论文
定积分计算的总结闫佳丽摘 要：本文主要考虑定积分的计算，对一些常用的方法和技巧进行了归纳和总结。
在定积分的计算中,常用的计算方法有四种:（1）定义法、（2)牛顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、(4）定积分的换元积分法。
关键词：定义、牛顿—莱布尼茨公式、分部积分、换元.1前言17世纪后期,出现了一个崭新的数学分支—数学分析。
它在数学领域中占据着主导地位.这种新数学思想的特点是非常成功地运用了无限过程的运算即极限运算。
而其中的微分和积分这两个过程，则构成系统微积分的核心。
并奠定了全部分析学的基础。
而定积分是微积分学中的一个重要组成部分。
2正文那么,究竟什么是定积分呢?我们给定积分下一个定义:设函数()f x 在[],a b 有定义,任给[],a b 一个分法T 和一组{}k ξξ=，有积分和1(,)()nk k k T f x σξξ==∆∑，若当()0l T →时，积分和(,)T σξ存在有限极限，设()0()01lim (,)lim()nkk l T l T k T f x I σξξ→→==∆=∑,且数I 与分法T 无关，也与k ξ在[]1,k k x x -的取法无关，即{}0,0,:(),k T l T εδδξξ∀>∃>∀<∀=有1()nkkk f xI ξε=∆-<∑，则称函数()f x 在[],a b 可积,I 是函数()f x 在[],a b 的定积分，记为()01()lim()nbkk al T k f x dx f x I ξ→==∆=∑⎰。
其中，a 与b 分别是定积分的下限与上限；()f x 是被积函数；()f x dx 是被积表达式；x 是积分变量。
若当()0l T →时，积分和(,)T σξ不存在极限，则称函数()f x 在[],a b 不可积。
定积分的几何意义也就是表示x 轴,x a =,x b =与()y f x =围成的曲边梯形的面积。
北京林业大学复变函数与积分变换结课论文
复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。
它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。
本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。
关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。
但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。
虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。
[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。
1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分 收敛。
数学分析论文：积分的思想及其应用
积分的思想及其应用院系：数学科学学院专业：信息与计算科学年级： 2011级日期： 2012年5月摘要本论文概述了积分思想的产生和发展过程.根据积分区域的不同，积分可分为：定积分，二重积分，三重积分等.本论文正是讨论这前三种积分的定义及求解.利用积分可以解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题.关键词：积分思想；定积分；二重积分；三重积分AbstractThis paper summarizes the production and the development of the integral thought process.According to the difference of integral area,integral can be divided into:the integral,the double integral,the triple integral,etc.This paper is to discuss the first three integral definition and solving,Use of integral can solve for the motion of distance,become force work by curve and surrounded by the surface area and surrounded the volume.Keywords: the integral thought ; the integral ; the double integral ; the triple integral目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)Keywords (Ⅱ)前言 (1)1.积分思想的产生与发展 (2)2.积分思想的理解 (2)定积分的定义 (2)决定函数可积的因素 (2)多重积分 (4)积分的应用 (5)3.再述重积分 (5)3.1积分与微分 (5)3.2积分思想的理解 (6)4.积分的计算 (6)4.1二重积分的计算 (6)4.2三重积分的计算 (9)参考文献 (12)前言本论文主要借鉴数学分析教材中的理论，参考《积分思想基础》一书总结了积分的产生和发展历程，认识到积分思想是经过历代数学家的努力与积累才逐渐产生的.具体来说是为了解决求物体运动的路程，变力做功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题,才导致了积分的产生.论文中例1是采用定积分思想中无限分割的方法，来求取解侧面积，先利用替换再采用分割的方法，即在区间[]0,?,T T 中插入无穷多个分点，利用定积分定义求取极限最后采用莱布尼茨（Leibnitz ）公式求解定积分.例2则是定积分性质的一个简单证明，充分体现了积分与极限的关系.例3、例4、例5、例6直接简单的验证了多重积分的计算和应用.第1章积分思想的产生与发展积分思想的萌芽，可以追溯到古代.在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中,有不少是用无穷的过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长.例如：古希腊德谟克利特（Democritus）的“数学原子论”，阿基米德（Archimedes）的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”均有积分思想的雏形.在这些方法中都可以清楚的看到无穷小分析的原理.随着数学科学的发展，开普勒（Kepler）的“同维无穷小方法”，卡瓦列利（Cavalieri）的“不可分量法”，费马（Fermat）的“分割求方法”（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）揭示了微分与积分的内在联系——微积分基本定理，从而产生了微积分，开创了数学发展的新纪元.第2章 积分思想的理解1.定积分的定义设ƒ(x )是定义在区间[],a b 点012311i i n n x a x x x x x x x --=<<<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<b =将区间[,]a b 任意分成n 个子区间[]1,i i x x - (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅这些子区间及其长度均记作1i i i x x x -∆=- (1,2,3,4,)i n =⋅⋅⋅在每个子区间i x ∆上任取一点i ξ作n 个乘积()i i f x ξ∆的和式()1niii f x ξ=∆∑如果当最大的子区间长度{}1max 0i i nx λ≤≤=∆→时,和式()1niii f x ξ=∆∑的极限存在，并且其极限值与[],a b 的分法及i ξ的取法无关，则称()f x 在区间[],a b 上可积，此极限值称为()f x 在区间[],a b 的定积分，记作 ()baI f x dx=⎰即()baf x dx ⎰=01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑.2. 决定函数可积的因素 函数()f x 在区间[],a b 上的和式1()niii f x ξ=∆∑的值，一般依赖于四个因素：a .函数()f x ；b .区间[],a b ；c .区间[],a b 的分法；d .[]-1,i i i x x ξ∈的取法.但当()f x 在区间[],a b 上可积，即01lim ()ni i i f x λξ→=∆∑存在时，则不依赖于区间[],a b 的分法与i ξ的取法，因此只与函数()f x 和区间[],a b 两个因素有关.例1：已知一母线平行于z 轴的柱面介于曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤与xoy 面之间，其中'''(),(),()x t y t z t 在[]0,T T 上连续，且()22''()+()0,0.x t y t z t ⎡⎤⎡⎤≠≥⎣⎦⎣⎦证明该柱面的侧面积为s=.TT z ⎰ 证明: 设空间曲线0(),(),()()x x t y y t z z t T t T ===≤≤在xoy 面上的投影曲线为L ,则L 的方程可写为{0=x(t),=(t)().x y y T t T ≤≤在区间 0[,]T T 内任意插入-1n 个分点0012-1=<<<<<=,n n T t t t t t T 将区间[]0,T T 分成n个小区间[]()-1,t =1,2,,,k k t k n 并记-1=-(=1,2,,),k k k t t t k n ∆则曲线L 在每个小区间[]-1,t k k t 上对应曲线段的长度k s ∆为,=kk t k k t s t ∆⎰其中[]()-1,t =1,2,,,k k k T t k n ∈并且该小曲面的面积'k s ∆为()'(=1,2,,k k k s z T t k n ∆≈.又因为z 在[]0,T T 上连续，所以由定积分的定义可得00=1=lim (=nT k k T k s z T t z λ→∑⎰其中1=max k k nt λ≤≤∆.例2：若(),()f x g x 在[,]a b 可积，证明(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.证明：因(),()f x g x 在[,]a b 可积，即()baf x dx ⎰与()bag x dx ⎰存在，故对任意分法∆：012n a x x x x b =<<<⋅⋅⋅<=以及1[,]i i x x -中任意i ξ，有()01lim ()()nbi i ai f x f x dx λξ∆→=∑∆=⎰由分法∆及i ξ的任意性，得()g x 在此任意分法下，对上述1[,]i i x x -中的i ξ，也有()01lim ()()nbi i ai g x g x dx λξ∆→=∑∆=⎰，于是有()01()01()01()()lim ()lim ()lim (()())n n nbbi i i i i i i aai i i f x dx g x dx f x g x f g x λλλξξξξ∆→=∆→=∆→=+=∑∆+∑∆=∑+∆=⎰⎰(()())baf xg x dx +⎰从而(()())baf xg x dx +⎰也在[,]a b 上可积，并且(()())()()bb baaaf xg x dx f x dx g x dx +=+⎰⎰⎰.3.多重积分定义：设Ω为一几何形体（它或者是直线段，或者是曲线段，或者是一曲面图形、一块曲面、一块空间区域等）这个几何形体是可以度量的（也就是它是可以求长的，或者是求面积的、可以求体积的等等）.在这个几何形体Ω上定义了一个函数()f M （M ∈Ω），将此几何形体Ω分为若干可以度量的小块123,,,n ∆Ω∆Ω∆Ω⋅⋅⋅⋅∆Ω，既然每一小块都可度量，故它们皆有度量大小可言.同样的，把它们的度量大小记为i ∆Ω()1,2,3i n =⋅⋅⋅⋅并令{}1max i i nd ≤≤=∆Ω的直径在每一块∆Ω中任取一点i M ，作下列和式1()ni i i f M =∆Ω∑，如果这个和式不论对于Ω怎样划分以及i M 在i ∆Ω上如何选取，只要当0d →时恒有同一极限I ，则称此极限为()f M 在几何形体Ω上的黎曼积分，记为()I f M d Ω=Ω⎰，也就是()01lim ()ni id i I f M d f M Ω===Ω=∆Ω∑⎰4.积分的应用a.若几何形体Ω是一块可求面积的平面图形σ，那么σ上的积分就称为二重积分，在直角坐标下记为(),f x y dxdy σ⎰⎰.b.若几何形体Ω是一块可求体积的平面图形ν，那么ν上的积分就称为三重积分，在直角坐标下记为(),,Vf x y z dxdydz ⎰⎰⎰.c.若几何形体Ω是一可求长的空间曲线段l ，那么l 上的积分就称为第一类曲线积分，记为(),,lf x y z ds ⎰.d.若几何形体Ω是一可求面积的曲面s ，那么s 上的积分就称为第一类曲面积分，记为(,,)Sf x y z ds ⎰⎰.1.积分与微分积分与微分是相对的统一.微分学从微观角度研究问题，而积分从宏观角度.客观世界的认知活动，遵循自然法则，由简单到复杂，由规则到不规则，由均匀到不均匀.对简单的，规则的，均匀的，我们都是建立所有人都认可的标准，从而建立简单的认识.而对复杂的认识，我们必须基于极限这种思想去处理.可以这么说，极限是联系理想世界与客观世界的桥梁.2.积分思想的理解积分学只是极限的一个简单应用.但其可以帮助我们解决生活中的许多问题.在此，谈论的是我们对积分思想的理解.一重积分，即定积分，通过莱布尼茨（Leibniz）公式处理，关键是确定原函数，即不定积分.二重积分，基于平行截面面积已知的体积可求性问题，可以将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X型Y型区域去处理.XY型区域的特征是嵌套特征，或者是递推特征，整个计算问题的关键就是积分区域的嵌套表示.“画图投影作直线”是所有积分计算过程的缩影.只不过不同的对象可能有所区别，需要具体问题具体分析.三重积分，可以转换成三次积分，其思想还是遵循嵌套表示.将三次积分化简，可遵循先积分一次再两次积分，或者先两次积分再一次积分的思想，其本质是积分区域的不同表现形式.其实，引起二重积分概念的过程是测量曲顶柱体体积的过程的反应，三重积分概念是作为二重积分概念的推广而引出的，但事实上三重积分的概念也是某些现实过程的反应，例如可以看作是确定具有变化密度的物体的质量的过程.必须强调指出的是，确定出这些重积分的过程也反映着很多其他的现实过程.1.二重积分的计算解决二重积分时可以将复杂的区域分割为若干简单区域，即将二重积分转换成两个一次积分，分别基于X 型Y 型区域去处理.通俗来说就是首先考虑一个变量的取值范围，对其积分；然后用第一个变量或其它常数作为第二个变量的取值范围，最后运用莱布尼茨（Leibniz ）公式求解即可.例3：解二重积分{}22(),(,)1,1Dx y d x y x y σ+≤≤⎰⎰其中D= 解：积分区域如下图所示22()Dx y d σ+⎰⎰112211123111121311()13223223383dx x y dyx y y dx x dxx x ------=+⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰例4：解二重积分2,Dxy dxdy ⎰⎰其中D 是由抛物线()220y px p =>和直线()02ax a =>所围成的区域.解：由方程组22,2px y a x ==⎧⎨⎩解得两个交点分别为,,.22a a ⎛⎛ ⎝⎝故由题意可知，积分区域D 可表示为(),0,,2a D x y x y ⎧=≤≤≤≤⎨⎩于是2220aDxy dxdy dx xy dy =⎰⎰⎰3205207220327a a y x dx x dxx ⎛⎫= ⎪⎝⎭=⎫=⎪⎪⎝⎭=⎰2.三重积分的计算三重积分的先一次再两次积分是常用的方法.可以向任何一个平面投影,但我们一般向XOY 面投影.先两次再一次积分适合于某一个变量,如z 具有明确上下限,而由z 所确定的z D 平面区域可以很容易处理,例如:用于球体,半球体,锥体,椭球体等.关于平面极坐标,空间柱面坐标,极坐标.我们可以看作是重积分的换元法.换元后微元都发生了改变,其他过程则跟直角坐标系下一致.（1）平面极坐标主要适用于积分的区域有:圆域,环域,扇形域等.（2）柱面坐标本质是对某一个变量,如z ,用直角坐标系表示,对XY XY 用极坐标表示后, z 也要用半径跟角度表示.其主要适用于:圆柱,圆锥,球体,半球体等.（3）关于空间极坐标,其主要适用于圆锥,球体,半球体.例5：求()vI x y z dxdydz =++⎰⎰⎰，V 是平面1x y z ++=和三个坐标所围成的区域.解：因为这区域对三个变量是对称的，并且被积函数也是对称的，因此有等式,VVVxdxdydz ydxdydz zdxdydz ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰计算其中一个积分10xyx yvxdxdydz dxdy xdzσ--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()()110012201201230(1)(1)112121221,24xy xx x y dxdyx x y dy dxx x x x dx x x dx x x x dx σ-=--=--⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦=-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 所以 ()113.248Vx y z dxdydz ++=⨯=⎰⎰⎰一些三重积分求解问题用柱面坐标会比较简单.例6：求,VI zdxdydz =⎰⎰⎰V 是球面2224x y z ++=与抛物面223x y z +=所围部分.解： 用柱面坐标作变换，上面两个方程分别变换为224r z +=及23r z =. 它们的交线是{1,z r =因此V 在(),r θ平面的投影r θσ为r =()=在z 0平面上的一个圆，于是213r r I rdrd zdz θσθ=⎰⎰⎰221313.4r d πθπ==⎰⎰总之,所有计算方法,都基于积分区域在不同坐标系下的表示,主要注意在不同坐标系下的微元即可.参考文献：【1】欧阳光中，朱学炎，金福临，陈传璋.数学分析（下），高等教育出版社，2007年4月，第三版【2】朴志会，冯良贵，廖基定.积分思想基础，国防科技大学出版社，2004年6月【3】刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义（下），高等教育出版社，2003年6月，第四版。
大学论文浅谈数学中的各种变换
浅谈数学中的各种变换摘要本文主要针对数学中的各种变换，以积分为切口，不定积分为例，围绕积分运算里应用到的各种变换手段，总结常见解法，解法证明过程，适用范围，共计3种.“第一换元法”，“第二换元法”，“部分换元法”,还有简单叙述定积分的解法。
关键词：不定积分，定积分，换元积分法，复合函数AbstractMainly summarizes the theory of indefinite integrals that the proof of the common methods, and each method and scope of application, how to apple ,a total of three kinds, including the first conversion element method, the second conversion element,part of zheconyersion element method, there is a brief description of the definite integral solution.Keywords:indefinite integral, definite integrals,change of integration,composite function.目录长春师范大学本科毕业论文（设计）作者承诺保证书................... 错误！未定义书签。
摘要 (I)ABSTRACT (I)1 引言 (1)1.1本课题的来源及研究意义 (1)1.1.1 本课题的来源 (1)1.1.2 课题的研究意义 (1)1.2积分的概述 (1)2 不定积分的换元法积分 (2)2.1第一换元法积分 (2)2.1.1 证明方法依据-复合函数求导 (2)2.1.2 证明过程 (2)2.1.3 例 (2)2.1.4 适用范围 (3)2.2第二换元法积分 (4)2.2.1 证明方法依据－复合函数求导 (4)2.2.2 证明方法 (4)2.2.3 例 (5)2.2.4 适用范围 (6)2.3部分换元法积分 (6)2.3.1 证明方法依据－极值的充分条件定理 (6)2.3.2 证明方法 (7)2.3.3 例 (7)2.3.4 适用范围 (7)3定积分的换元积分 (7)2.5.1 定积分与不定积分的计算区别 ................................ 错误！未定义书签。
关于积分论文
比较二重积分与三重积分的算法一、 二重积分的计算方法；① 利用直角坐标计算二重积分 。
② 利用极坐标计算二重积分。
三重积分的计算方法；① 利用直角坐标计算三重积分。
② 利用柱面坐标计算三重积分。
③ 利用球面坐标计算三重积分。
二、二重积分与三重积分算法步骤分析二重积分D 分析; X 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于y 轴的直线与D 的边界相交不多于两点；X 型区域 适用公式一()21()(,)[(,)]x x b aDf x y d f x y dy dx ϕϕσ=⎰⎰⎰⎰Y 型区域D 的特点是：穿过D 内部且平行于x 轴的直线与D 的边界相交不多于两点。
Y 型区域 适用公示二()()21(,)(,)y yd c Df x y d f x y dx dy ϕϕσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎰⎰⎰⎰X 型区域： 先Y 后X Y 型区域： 先X 后Y 三重积分Ω分析：如果平行于Z 轴且穿过闭区域Ω内部的直线与闭区域Ω的边界曲线S 相交不多于两点，把闭区域Ω投影到x0y 平面上，得一平面区域xy D ，假如闭区域{}12(,)()(),xy D x y y x y y x a x b=≤≤≤≤把这个二重积分化为二次积分，于是得到三重积分的计算公式()()()()2,2,11(,,)(,,)x x yx x yby z ay z f x y z dv dx dyf x y z dz Ω=⎰⎰⎰⎰⎰⎰同理，如果平行于x 轴或y 轴的话。
则穿出穿入点的竖坐标为1(,)x y z 与2(,)x y z 和1(,)y x z 与2(,)y x z Ω分析{()()()(),122,1x x x y x y a x by z z z ϕϕ≤≤≤≤≤≤ 三、举例说明① 直角坐标求解两种积分例1 计算Dxyd σ⎰⎰，其中D 是由直线y=1,x=2及y=x 所围成的闭区域。
解： 首先画出积分区域D （如图），D 是X 型，先进行D 分析 D 分析：D {121x y x≤≤≤≤利用公式⑴得：2221112x Dy xyd xydy dx x dx σ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦==⋅⎰⎰⎰⎰⎰=3322129()228481x x x x dx ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-=-=⎰ 例 2 计算三重积分xdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域。
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河南城建学院期末考试（论文）题目：Laplace变换在定积分中的应用系别：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化班级：0912102（班）学号：091210247学生姓名：张晓东指导教师：秦志新完成日期：2011.05.23河南城建学院期末考试（论文）任务书摘要Laplace变换应用广泛，本文只给出一些最基本的性质和应用举例，以求举一反三，从而激活思绪，开阔思路，扩大视野，增强学习兴趣。
为了更好的掌握高等数学中关于定积分的内容，使一些利用高等数学的思想解决起来很难，或者无法解决的定积分问题利用laplace 变换的思想考虑会很快、很容易的得出结果。
这就使高等数学中定积分的问题转换成S域中的问题，这样就可以利用laplace变换这个方便的解题工具去解决。
本文中只是把laplace变换作为解题工具，最终要解决的是定积分问题。
所以，laplace只是手段，解决高等数学中的定积分问题才是最终目的！关键字：laplace 工具解决定积分一、 问题的提出在高等数学学习中，定积分的计算是我们不容易掌握的，因为这一部分学习中问题的形式灵活多变，多种多样。
例如：∫∞0!n t nd t ，∫∞0te at ωsin - d t 计算时需要分步积分，且要连续的运用分步积分法。
甚至，有时一个定积分的求解的问题能花费我们很长的时间，且做到最后还有可能得到无法求解的结果。
例如形如0()f t dt t+∞⎰的定积分。
而对于这种问题在高等数学中还没有一个系统的，方便快捷的解题思路。
只有听过解决一般定积分所用的经典方法去进行计算，而这样则会造成事倍功半的结果。
二、 解决的思路如果我们利用积分变换中laplace 变换的思想去考虑和解决这些问题就会得到很快、很简单的解决。
Laplace 变换是在S 域中进行积分，它可以把一些复杂的时域函数的定积分的求解转化到S 域中再进行分析求解。
例如：利用laplace 的微分性质、积分性质、位移性质、延迟性质，这样就可以绕过很多复杂的数学计算，而使求解变得简单、快捷。
下面利用利用具体定积分来分别说明laplace 变换的性质在解决定积分中的应用。
三、 方法分析1、 利用laplace 变换的微分性质（1） 原函数的微分：222(1)11(1)()[]()(0)()[]()(0)0()()(0) (0)(0)(0)0?()()n nn n k k nk n n n ndf t L sF s f dt d f t L s F s sf f dt d f t L s F s s f dt f d f t L s F s dtff--=--=-'=-- []=-====[]=∑（）特别地，当初值时，（()e R s c >）（2） 象函数的微分：1()[()]? ()()[()]? n n n d F s L tf t dtd F s L t f t dt-=-=-一般地，（Re>c ）例1：30sin 2t te tdt +∞-⎰在利用数学方法计算此例题时，需要反复利用分部积分法，计算过程繁琐、复杂。
但如果利用laplace 变换的微分性质就会带来很大的方便。
解题过程如下：30222330''233002sin 2sin 2sin 24[sin 2]sin 22()[](3)44(3)[(3)4]S 0[sin 2]sin 2(0)4(03)[(03)4]121ttt st tt t te tdt k kt s k t s L tet te te dtF s s s s L tet te te dtF +∞-+∞---+∞---=+∴=+===+++=++===+=++=⎰⎰⎰解：又由象函数微分性质及位移性质（下文说明）得当时，69这与利用高等数的方法计算出的结果是一致的。
但是要比利用数学方法的解题思路要简单的多。
2、 利用laplace 变换的积分性质（1） 原函数的积分：22()[()]()[()()]()[()()]n nnF s L f t dt sF s L f t dt sF s L f t dt s===⎰⎰⎰⎰⎰共个（2） 象函数的积分：1()[]()()[()]()[]()()s s n nn f t L F s dstf t tL F s ds f t L F s ds t+∞+∞-===⎰⎰⎰⎰共个或一般地，例2：sin tdt t+∞⎰此题利用高等数学解题方法很难计算，转化成求S=0时的laplace 变换，利用laplace 变换的的积分性质求解，则会很容易计算出结果。
下面是解题过程：22001[sinh ]1sin 1[][sinh ]1S 0sin [sinh ]arctan 2s s L t s t L L t ds ds t s t L t dt s t π+∞+∞∞+∞=-∴==-====⎰⎰⎰解：当时，这与利用高等数的方法计算出的结果是一致的。
但是要比利用数学方法的解题思路要简单的多。
3、 利用laplace 变换的积位移性质[()]()at L e f t F s a =- [Re （s-a ）>0]例3：0sin at e ktdt +∞-⎰此例的被积函数含有指数和三角函数，如果运用数学的方法求解必运用分部积分法，这样就避免不了步骤麻烦而易出错。
在这里可以引用laplace 变换的性质进行计算要简单很多。
以下是计算过程。
222222220sin [sin ],()0sin (0)at atate ktdtkL kt s k ks a k s k kektdt a k a k +∞--+∞-=+++=∴==+++⎰⎰解： 已知 由位移性质可得 L[e sinkt]=当时，4、 利用laplace 变换的延迟性质1[()]()[()]()()s at L f t e F s L e F s f t u t ττττ----==--或例45(2)0[]t t e e dt +∞---⎰此例也可以由laplace 变换延迟的和位移的性质进行计算。
计算过程如下：5(2)25(2)20(2)0[]1[]5116[1]05015t t st t t e e dt eL e e s s e e dt +∞------⋅+∞----=--+∴-=-=--+⎰⎰解：综上，以上为部分laplace 性质和针对的例题。
可以看出，定积分中有些题目利用laplace 变换的性质计算起来是相当简单的。
但这要求使用者必须要对laplace 变化的性质和运算形式非常的熟悉，这样才能把laplace 变换这个有力工具运用到定积分的计算上。
为了更方便的计算这里提供一些laplace 变换的常用公式：四、思路总结、扩展。
这种利用laplace变换计算定积分的解题方法对定积分的被积函数的形式有一定的要求。
（1）定积分的上下限必须是从0到正无穷的积分。
（2）定积分的被积函数在进行laplace反变换时要简单。
这样形式的定积分利用laplace变换计算才能达到简单的效果。
否则，可能会适得其反！下面是个人总结的解决能用laplace变换性质解决的定积分的具体计算步骤，可供参考。
1、根据定积分被积函数确定利用laplace变换的哪条性质。
2、根据性质转换成题目所需要的积分形式，或计算此定积分被积函数的laplace反变换，根据不同的题型选择所需要的形式。
3、代入上下线进行计算。
主要参考文献:【1】张元林编工程数学《积分变换》高等教育出版社，第四版【2】同济大学数学系编《高等数学》高等教育出版社，第六版后记（致谢）这次论文是让自己能熟练地运用laplace变换这个工具去解决定积分的题型，更是对自己的这学期所学的一次综合的测试。
当然，通过写论文也是对我们进行科学研究基本功的训练，培养我们综合运用所学知识独立地分析问题和解决问题的能力，为以后撰写专业学术论文和工作打下良好的基础。
本次设计能够顺利完成，首先要感谢我的复变函数和积分变换老师——秦志新老师，是他给了我这锻炼的机会，让我学到了很多东西，也因此对这门可产生了浓烈的兴趣；对以后运用这门课所学作为工具去解决本专业和其他方的问题打下了坚实的基础。
还要感谢我的同学们，他们热心的帮助，使我感到了来自兄弟姐妹的情谊；最后还要感谢相关资料的编著者和给予我们支持的社会各界人士，感谢您们为我们提供一个良好的环境，使本次论文圆满完成。