研究性学习课题报告[高中函数解题]

研究性学习报告

课题：高中函数解题技巧

摘要：本文是我们小组11位同学综合实践活动的成果，阐述了高中函数的知识点、基本题型和部分结题技巧。

关键词：数学 函数 解题技巧 知识点梳理 正文：

1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 用补集思想解决问题（排除法、间接法）

4. 映射f ：A →B ， A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性。 （一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。）

注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到

B 的映射个数有n m

个。

5. 函数的三要素（定义域、对应法则、值域）

6. 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 7．函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ●

正切函数x y tan = ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛∈+

≠∈Z π

πk k x R x ,2,且 8．求复合函数的定义域

已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

9．函数值域的求法

【1】直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=

x

1

的值域 【2】配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

【3】判别式法

对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 【4】反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

【5】函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。 【6】函数单调性法

通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 【7】换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 【8】数形结合法

其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等。

【9】不等式法

利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈

R

+

），求函数的

最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不

过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。 【10】倒数法

有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况

10. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域。

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等. 11 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）

12判断函数单调性的方法有三种：

(1)定义法： (2)参照图象：(3)利用单调函数的性质： 13函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）

若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔ 注意如下结论：

（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0= 14判断函数奇偶性的方法

一、 定义域法

一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法

在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.

这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)

1 偶函数 f(-x)f(x)

1 奇函数f(-x)

==- 三、 复合函数奇偶性

15. 周期函数的定义

()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期

T T f x T f x f x ≠+=0()()

函数，T 是一个周期。）

()如：若，则

f x a f x +=-()

（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2

16. 常用的图象变换

f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0)

将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>−→

−−−−−−−−>=+=-()()()()

()00上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b

()()()()>−→

−−−−−−−−>=++=+-00

17 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 1、 代y=x ，

2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)

3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x 1

18.几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数

f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） 2. 幂函数型的抽象函数

f （x ）＝x a

----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x ）＝)

()

(y f x f 3.

指数函数型的抽象函数

f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)

()

(y f x f 4.

对数函数型的抽象函数