不等式(组)的解法及不等式的应用
二元一次不等式组的解法与应用
二元一次不等式组的解法与应用一、引言二元一次不等式组是数学中常见的问题之一，对于解不等式组以及应用于实际问题中具有重要的意义。
本文将介绍二元一次不等式组的解法，并探讨其在实际问题中的应用。
二、二元一次不等式组的解法要解决二元一次不等式组，我们可以通过图像法、代数法和线性规划法等多种方法。
接下来将详细介绍这些方法。
1. 图像法图像法是一种直观的解决二元一次不等式组的方法。
我们可以将每个不等式都转化为一个直线，并找出其解集的交集区域。
通过观察这个交集区域，我们可以得到不等式组的解。
2. 代数法代数法是一种基于代数运算的解决方法。
首先，我们需要将二元一次不等式组进行标准化，即将所有不等式移项并合并同类项。
然后，我们可以通过消元法或代入法来求解。
3. 线性规划法线性规划法是一种用于求解有约束条件的优化问题的方法，也可以应用于解决二元一次不等式组。
我们可以将不等式组转化为线性规划模型，并利用线性规划的理论和算法求解。
三、二元一次不等式组的应用二元一次不等式组在实际生活中有着广泛的应用。
以下是几个常见的例子。
1. 经济学中的应用在经济学中，我们经常会遇到一些涉及资源分配和约束条件的问题。
通过建立二元一次不等式组模型，可以帮助我们解决这些问题。
比如，某企业要通过生产两种产品来最大化利润，但存在资源限制和市场需求的约束，我们可以将这些条件转化为不等式组，并求解最优解。
2. 几何学中的应用几何学中的一些问题也可以通过二元一次不等式组来解决。
比如，某个区域内有一定数量的点，我们想要找到一个点，使得它到这些点的总距离最小。
我们可以将该问题转化为不等式组，并利用解不等式组的方法求解最优解。
3. 生活中的实际问题除了学科领域，二元一次不等式组也经常出现在我们的日常生活中。
比如，我们需要在一定的时间和金钱限制下，找到合适的方式安排旅行行程，或者在购物时选择最优的价格和质量。
通过建立二元一次不等式组模型，我们可以帮助解决这些实际问题。
不等式组的解法与不等式优化
不等式组的解法与不等式优化不等式是数学中重要的概念，广泛应用于各个领域。
在代数学中，不等式组的解法及不等式优化是一项重要的研究内容。
本文将介绍不等式组的解法和不等式优化的方法和技巧。
一、不等式组的解法不等式组是由一组不等式组成的方程组。
解决不等式组的关键是确定不等式组的可行解集，即满足所有不等式的解的集合。
下面将介绍两种常见的不等式组解法。
1. 图像法图像法是通过图像的方法来解决不等式组的问题。
首先，将每个不等式表示为一条直线或曲线，并标记出不等式的方向。
然后，通过几何方法确定满足所有不等式的解的区域。
最后，确定可行解集。
例如，考虑以下不等式组：① 2x + 3y ≤ 12② 4x - 5y ≥ 10将不等式①表示为直线2x + 3y = 12，并在直线下方标记不等式的方向；将不等式②表示为直线4x - 5y = 10，并在直线上方标记不等式的方向。
通过观察交集区域，找到满足两个不等式的解的区域，确定可行解集。
2. 代入法代入法是通过代入变量的具体值来解决不等式组的问题。
首先，选取一个不等式，将其他不等式的变量表示为该不等式变量的函数。
然后，将该函数代入其他不等式中，得到只含有一个变量的不等式。
最后，解决这个只含有一个变量的不等式，得到解。
例如，考虑以下不等式组：① x + y ≤ 5② 2x - y ≥ 1选取不等式①，将不等式②的y表示为x的函数，得到y = 2x - 1。
将该函数代入不等式①中，得到x + (2x - 1) ≤ 5。
解决这个只含有一个变量x的不等式，得到x ≤ 2。
将x的解代入y = 2x - 1，得到y ≤ 3。
因此，可行解集为x ≤ 2，y ≤ 3。
二、不等式优化不等式优化是在一定的约束条件下，寻找不等式的最优解的过程。
在数学建模、最优化等领域中有广泛应用。
下面将介绍两种常见的不等式优化方法。
1. 拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是优化问题中常用的方法之一，基于拉格朗日函数的构造。
2021年中考数学复习第8讲 不等式(组)的解法及不等式的应用(教学课件)
重点题型
1．(2020·吉林)不等式3x＋1＞7的解集为
3x－2＜x，① 2．(2020·湖州)解不等式组13x＜－2.②
x＞2
3x－2＜x，① 解：13x＜－2.② 解①得 x＜1； 解②得 x＜－6. 所以，不等式组的解集为 x＜－6.
(1)求这两种书的单价；
(2)若购买《北上》的数量不少于所购买《牵风记》数量的一半 ，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案 ？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？
重点题型
题题组组训训练练
解：(1)购买《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元；
(2)设购买《北上》的数量 n 本，则购买《牵风记》的 数量为(50－n)本，
题题组组训训练练
．
重重点点题题型型
题 型 二 应用一元一次不等式(组)解决问题
题组训练
例3.(2020·哈尔滨)昌云中学计划为地理兴趣小组购买大、小两种 地球仪，若购买1个大地球仪和3个小地球仪需用136元；若购买 2个大地球仪和1个小地球仪需用132元． (1)求每个大地球仪和每个小地球仪各多少元？ (2)昌云中学决定购买以上两种地球仪共30个，总费用不超过960 元，那么昌云中学最多可以购买多少个大地球仪？
精讲释疑
重重点点题题型型
题组训练
题 型 一 解一元一次不等式(组)
例1.(2020·嘉兴)不等式3(1－x)＞2－4x的解在数轴上表示正确的 是( A )
重重点点题题型型
题组训练
4（x＋1）≤7x＋13，
例 2.(2020·枣庄)解不等式组x－4＜x－3 8，
等式与不等式的解法与应用知识点总结
等式与不等式的解法与应用知识点总结等式与不等式是数学中非常基础且重要的概念，它们在解数学问题、推导理论以及应用实践中都起到了至关重要的作用。
本文将对等式与不等式的解法以及其在实际问题中的应用进行知识点总结。
一、等式的解法1. 一元一次方程：一元一次方程是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的方程。
解一元一次方程可以使用基本的代数运算法则，如加减乘除等。
常用的解法有加减消元法、变量相消法、代入法等。
2. 二元一次方程组：二元一次方程组是指有两个未知数的方程组，并且每个方程中未知数的最高次数为1。
解二元一次方程组可以使用消元法、代入法、加减消元法等解法。
3. 二次方程：二次方程是指未知数的最高次数为2的方程。
解二次方程可以使用配方法、求根公式、完全平方式等。
其中，求根公式为：x=(-b±√(b^2-4ac))/2a。
4. 分式方程：分式方程是指方程中带有分式的方程。
解分式方程需要将方程中的分式进行通分，并使用合适的解方程方法进行求解。
二、不等式的解法1. 一元一次不等式：一元一次不等式是指只有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的不等式。
解一元一次不等式需要注意不等号的变换规则，可使用类似于解等式的代数运算法则进行解答。
2. 一次不等式组：一次不等式组是指含有多个一次不等式的方程组。
解一次不等式组可以使用区间法、图解法等。
区间法是将不等式右边等式化，然后通过判断不等式的符号来确定解集的范围。
3. 二次不等式：二次不等式是指未知数的最高次数为2的不等式。
解二次不等式需要根据二次不等式的形式和条件来判断解集的范围，可以通过求根、图像、区间等方法进行求解。
4. 绝对值不等式：绝对值不等式是指方程中含有绝对值的不等式。
解绝对值不等式需要考虑绝对值的定义和性质，可通过分情况讨论、画图等方法进行求解。
三、应用知识点总结1. 线性规划：线性规划是一种优化问题，它将问题转化为目标函数和约束条件下的最大值或最小值求解。
不等式组_精品文档
不等式组1. 引言不等式组是数学中一个重要的概念，它由一组不等式组成。
不等式是数学中用于描述数值之间大小关系的工具，而不等式组则可以用于描述多个数值之间的复杂关系。
本文将介绍不等式组的定义、解法以及其在应用中的一些常见场景。
2. 不等式组的定义不等式组是由多个不等式组成的集合，每个不等式可以是大于（>）、小于(<)、大于等于（≥）或小于等于（≤）等符号连接的数学表达式。
一个不等式组的一般形式可表示为：{不等式1,不等式2,...不等式n}其中，每个不等式可以包含一或多个变量，表示了变量之间的大小关系，或者变量与常数之间的关系。
3. 不等式组的解法不等式组的解是使得每个不等式都成立的变量的取值范围。
要解决一个不等式组，可以通过以下步骤进行：- 确定每个不等式中的变量个数和类型。
- 找到每个不等式中变量的取值范围。
可以通过移项、合并同类项、因式分解等方法将不等式转化为形式更简单的不等式。
- 根据不等式符号的特性进行取值范围的确定。
例如，对于大于（>）或小于（<）的不等式，变量的取值范围应排除等号右侧的值；对于大于等于（≥）或小于等于（≤）的不等式，变量的取值范围应包括等号右侧的值。
- 根据每个不等式的取值范围求解整个不等式组的解。
可以通过求交集或并集的方式得到最终的解集。
4. 不等式组的表示方法不等式组可以用不等式图形表示法、解集表示法或区间表示法来表示，具体的表示方式取决于问题的要求和解的形式。
不等式图形表示法是通过绘制每个不等式的图形并表示它们的交集或并集来表示不等式组。
解集表示法是通过写出每个不等式的解集并表示它们的交集或并集来表示不等式组。
区间表示法是用数轴上的区间表示不等式组的解集。
5. 不等式组的应用不等式组在实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：- 经济领域：不等式组可以用于描述供需关系、利润最大化问题等经济学中的问题。
- 工程领域：不等式组可以用于描述工程中的约束条件，如最大承载能力、最短路径等。
不等式(组)应用题类型及解答(包含各种题型)
一元一次不等式(组）应用题类型及解答1.分配问题1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人?。
3、把若干颗花生分给若干只猴子.如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。
问猴子有多少只,有多少颗？4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车?8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人,剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
(1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组:(2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二、比较问题1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。
甲旅行社说如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）①学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式)②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
2、李明有存款600元,王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元，试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。
解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式
§151 解不等式组,连不等式,绝对值及根式不等式 一、解不等式组
数形结合“或”字型 书写格式整体观
二、解连不等式
通法:“截”成不等式组 特法:左右是常数时，可变形成高次不等式
三、解绝对值不等式
1.单绝对值号+右端常数型：公式法为宜 2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 3.双绝对值号型：
①零点分段法 ②函数图象法 ③绝对值几何意义法
四、解根式不等式
1.数法： 2.形法：
不等式概述
概念 性质
应用
解不等式 求最值
证不等式
不等式的性质
(一) 作用：变形化简不等式 (二) 性质：多多益善十四条 文字背诵是关键
5
5
即 0x2
故解集为{x| 0 x 2 }
三、解绝对值不等式
2.单绝对值号+右端变量型：数法形法要灵活 练习4.单绝对值号+右端变量型：解不等式 |5x-6|<6–x
数法2： 6–x ≥ 0 因 -(6–x)＜5x-6＜6–x
x6
解得
0 x2 即 0x2 故解集为{x| 0 x 2 }
练习4.单绝对值号+右端变量型：解不等式 |5x-6|<6–x
法2：因 (x2-2x-2)(x2-2x-8)≤0 x2-2x-8≠0
解得 -2≤x≤1- 3. 或1 3 ≤x≤4
x≠2且x≠4
即 -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 故所求解集为{x| -2<x≤ 1- 3. 或 1 3 ≤x<4 }
第九章《不等式与不等式组》章末(教案)
1.讨论主题：学生将围绕“不等式与不等式组在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点：
-不等式的性质及其应用
-不等式与不等式组的实际应用问题
-常见不等式的证明方法
-不等式组的解法与综合应用
2.教学难点：
-理解并灵活运用不等式的性质
-将实际问题转化为不等式模型
-掌握不等式证明的逻辑推理
-处理复杂的多元不等式性质在解题中的应用，如不等式的乘法、除法法则，以及如何利用性质简化不等式的解法。
在今后的教学中，我将继续关注学生的需求，努力提高他们的学科素养，使他们在学习不等式与不等式组的过程中，既能掌握知识，又能培养解决问题的能力。同时，我也将不断学习，提升自己的教学水平，为学生们提供更优质的教育。
4.不等式组的解法与应用：巩固不等式组的解法，学会将不等式组应用于解决实际问题。
5.综合练习：通过综合性的练习题，提高学生对本章知识点的掌握程度，培养其解决问题的能力。
二、核心素养目标
第九章《不等式与不等式组》章末核心素养目标：
1.培养学生逻辑推理与分析问题的能力，通过对不等式性质的探讨与运用，提高其数学逻辑思维。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与不等式相关的实际问题，如家庭预算分配、购物优惠策略等。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如制作不等式的数轴模型，演示不等式的解集表示。
不等式与不等式组
不等式与不等式组在数学中，不等式是描述数之间关系的一种表达方式。
不等式可以用于求解线性方程组、判断函数的增减性以及解决许多实际问题。
本文将介绍不等式及不等式组的概念、性质和解法。
1. 不等式的定义和性质不等式是用符号>、<、≥或≤表示数值之间相对大小关系的数学表达式。
其中，>表示大于，<表示小于，≥表示大于等于，≤表示小于等于。
例如，对于两个实数a和b，若a>b，则称a大于b，记作a>b。
不等式满足如下的性质：（1）传递性：如果a>b，b>c，那么a>c。
（2）反对称性：如果a>b且b>a，那么a=b。
（3）加法性：如果a>b，那么a+c>b+c，其中c为任意实数。
（4）乘法性：如果a>b且c>0，那么ac>bc。
2. 不等式的解法要求解一个不等式，需要确定不等式的解集。
解集是满足不等式条件的所有的实数集合。
（1）一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
解一元一次不等式的方法与解一元一次方程相类似。
例如，对于不等式2x+3<7，我们可以按照如下步骤解题：2x+3<72x<4x<2因此，解集为x<2。
（2）一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
解一元二次不等式的方法与解一元二次方程相类似。
例如，对于不等式x^2-5x+6>0，我们可以按照如下步骤解题：(x-2)(x-3)>0根据零点的性质，我们可以得出两个解为x<2或x>3。
（3）不等式组的解法不等式组是由多个不等式组成的方程组。
解不等式组的方法与解方程组类似，需要找到所有满足所有不等式条件的解。
例如，考虑以下不等式组：x+y>32x-y<2我们可以通过图像法或代入法求解不等式组。
最终我们得到解集为x>1，y>2。
3. 不等式的应用不等式在实际问题中有着广泛的应用。
2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题
2020年中考数学必考经典题（江苏版）专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y<，则下列结论正确的是()A．1133x y->-B．22x y>C．11x y->-D．22x y<【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n>，则下列各式中一定成立的是()A．22m n->-B．55m n-<-C．22m n->-D．44m n<【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是()A．由a b>，得22a b-<-B．由a b>，得||||a b>C．由a b>，得22a b-<-D．由a b>，得22a b>【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a、b，若a b>，则下列结论正确的是() A．55a b-<-B．22a b+<+C．33a b->-D．33a b>【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123x x+-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x的不等式组521xx a--⎧⎨->⎩有3个整数解，则a的取值范围是．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x的不等式组21312xx m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m的取值范围是．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x的不等式组321x ax-⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x的不等式组10x mx-<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m的取值范围为【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名价格甲种口罩乙种口罩进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜95．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b26．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤27．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．18．（2019•盐城）解不等式组：19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？。
不等式与不等式组知识点归纳
第九章 不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。
不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。
2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。
4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。
规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。
（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。
用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。
用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。
用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为x a 或x ＜a 的形式。
第五讲 不等式(组)讲义
第五讲 不等式(组)及应用一、课标下复习指南 1．不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式． 2．不等式的解和不等式的解集(1)不等式的解：与方程类似，使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．(2)不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴表示． 3．解不等式求不等式的解集的过程，叫做解不等式． 4．不等式的基本性质性质1 不等式的两边加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 性质2 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 不等式的其他性质： (1)若a ＞b ，则b ＜a ；(2)若a ＞b ，b ＞c ，则a ＞c ； (3)若a ≥b ，b ≥a ，则a ＝b ； (4)若a 2≤0，则a ＝0． 5．一元一次不等式类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．它的一般形式为ax ＋b ＞0(a ≠0)或ax ＋b ＜0(a ≠0)． 6．一元一次不等式的解法类似于一元一次方程的解法，但要特别注意不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向改变．7．一元一次不等式组及其解集类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集． 8．一元一次不等式组的解法解 一元一次不等式组的基本步骤：(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． 9．一元一次不等式(组)的应用列一元一次不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤类似，即(1)审题，设出未知数；(2)列不等式(组)；(3)解不等式(组)；(4)结合不等式(组)的解集与未知数的限制条件确定符合题意的解或解集，并写出答案．10．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x 的取值范围． 二、例题分析例1 解不等式21687xx x +≤+-，并在数轴上表示它的解集．解 去分母，得6x －(7x ＋8)≤6＋3x ． 去括号，得6x －7x －8≤6＋3x ． 移项，得6x －7x －3x ≤6＋8． 合并同类项，得－4x ≤14系数化1，得27-≥x ．不等式的解集在数轴上表示为：图5－1说明 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，只要特别注意在系数化1这一步时，两边同乘(除)以的数是正数还是负数，若是正数，不等号的方向不改变；若是负数，不等号的方向要改变．在数轴上表示不等式的解集的时候，一要定边界点，二是定方向，注意分清空心图和实心点的区别．例2 x 取何值时，代数式645+x 的值不小于代数式3.187x--的值?并求出x 的最小值． 解 由题意，得⋅--≥+3187645x x 解 得⋅-≥41x∴当41-≥x 时，代数式645+x 的值不小于代数式3187x --的值，x 的最小值为⋅-41说明 要明确“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”、“至少”、“至多”等描述不等关系的语言所对应的不等号分别是什么．例3 解不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解．解 ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤+-②①.432,33)1(2x x x x由①得x ≥1．由②得x ＜5．不等式组的解集在数轴上表示如下：图5－2原不等式组的解集为1≤x ＜5．所以原不等式组的整数解为1，2，3，4．说明 不等式(组)的特殊解，在某个范围内是有限的，要求这些特殊解，首先要确定不等式(组)的解集，再根据要求写出相应的答案．例4 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于3)43(414-=+x a x a 的解，求a的取值范围．解 3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解为⋅-=372a x 3)43(414-=+x a x a 的解为.316a x -= 由题意得.316372a a ->-解得187>a ．即a 的取值范围是187>a ． 说明 本题是方程与不等式的结合．例5 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+0,1234a x xx 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 解 两个不等式的解集分别为x ＜2，x ＜－a ．∵不等式的解集为x ＜2，∴－a ≥2， ∴a 的取值范围是a ≤－2．说明 先分别求出两个不等式的解集，再根据解集求出a 的取值范围，此处易遗漏－a ＝2，导致结果不完整，应特别注意．例6 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提下，至少还需调用B 型车多少辆?解 设还需要B 型车x 辆．依题意得20×5＋15x ≥300．解得3113≥x ．由于x 是车的数量，应为整数，所以至少需要14台B 型车．例7 为改善办学条件，东海中学计划购买部分A 品牌电脑和B 品牌课桌．第一次，用9万元购买了A 品牌电脑10台和B 品牌课桌200张；第二次，用9万元购买了A 品牌电脑12台和B 品牌课桌120张．(1)每台A 品牌电脑与每张B 品牌课桌的价格各是多少元?(2)第三次购买时，销售商对一次购买量大的客户打折销售．规定：一次购买A 品牌电脑35台以上(含35台)，按九折销售，一次购买B 品牌课桌600张以上(含600张)，按八折销售．学校准备用27万元购买电脑和课桌，其中电脑不少于35台，课桌不少于600张，问有几种购买方案?解 (1)设每台A 品牌电脑m 元，每张B 品牌课桌n 元，则有⎩⎨⎧=+=+.9000012012,9000020010n m n m 解得⎩⎨⎧==.150,6000n m(2)有两种方案．设购电脑x 台，课桌y 张．则有 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥=+.600,35,2700001205400y x y x解得⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤.675600,323635y xx ＝35时，y ＝675；x ＝36时，y ＝630． 方案①：购电脑35台，课桌675张； 方案②：购电脑36台，课桌630张． 三、课标下新题展示例8 如图5－3，要使输出值y 大于100，则输入的最小正整数x 是______．图5－3解 设n 为正整数，由题意得⎩⎨⎧>+⨯>-.1001342,100)12(5n n解得⋅>887n 则n 可取的最小正整数为11．若x 为奇数，即x ＝21时，y ＝105；若x 为偶数，即x ＝22时，y ＝101．∴满足条件的最小正整数x 是21．例9 某工厂用如图5－4(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图5－4(b)所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．图5－4(a) 图5－4(b)(1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共100个，设做竖式纸盒x 个．①根据题意完成以下表格：竖式纸盒(个)横式纸盒(个)x 所用正方形纸板张数(张) 2(100－x )所用长方形纸板张数(张)4x②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案?(2)若有正方形纸板162张，长方形纸板n 张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜n ＜306．则n 的值是______．(写出一个即可)解 (1)①根据题意完成表格如下：竖式纸盒(个)横式纸盒(个) x 100－x 所用正方形纸板张数(张) x 2(100－x ) 所用长方形纸板张数(张)4x3(100－x )⎩⎨⎧≤-+≤-+.340)100(34,162)100(2x x x x ② 解得38≤x ≤40． 又∵x 是整数，∴x ＝38，39，40．答：有三种方案：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；或生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；或生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．(2)293或298或303．例10 用长度相等的100根火柴摆放一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．解 设三角形三边分别为x ，y ，3x ．依题意得⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤=++③②①.3,3,1003x y x x y x x y x 由①、②得207100≤≤x 由①、③得⋅<350x因为x 为正整数，故x＝15或16．所以满足条件的三角形各边所用火柴杆的根数为15，40，45或16，36，48． 四、课标考试达标题 (一)选择题1．若a ＞b ，且c 为有理数，则( )． A ．ac ＞bc B ．ac ＜bc C ．ac 2＞bc 2 D ．ac 2≥bc 22．如图5－5，a ，b ，c 分别表示苹果、梨、桃子的质量．若同类水果质量相等，则下列关系正确的是( )．图5－5A ．a ＞c ＞bB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞a ＞b 3．不等式x ＜3的解集在数轴上表示为( )．4．函数11-=x y 中，自变量x 的取值范围在数轴上可表示为( )．5．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<+x x x x 23821,148的解集在数轴上表示正确的是( )．6．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧>≤<k x x ,21有解，则k 的取值范围是( )．A ．k ＜2B ．k ≥2C ．k ＜1D ．1≤k ＜27．若(x －2)2＋|2x －3y －a |＝0，y 是正数，则a 的取值范围是( )． A ．a ＜2 B ．a ＜3 C ．a ＜4 D ．a ＜5 (二)填空题8．若不等式组⎩⎨⎧>-<-32,12b x a x 的解集是－1＜x ＜1，则(a ＋1)(b ＋1)的值是______．9．直线l 1：y ＝k 1x ＋b 与直线l 2：y ＝k 2x 在同一平面直角坐标系中的图象如图5－6所示，则关于x 的不等式k 2x ＞k 1x ＋b 的解集为______．图5－610．k 满足______时，方程组⎩⎨⎧=-=+4,2y x k y x 中的x 大于1，y 小于1．11．6月1日起，某超市开始有偿．．提供可重复使用的三种环保购物袋，每只售价分别为1元、2元和3元，这三种环保购物袋每只最多分别能装大米3千克、5千克和8千克．6月7日，小星和爸爸在该超市选购了3只环保购物袋用来装刚买的20千克散装大米，他们选购的3只环保购物袋至少应付给超市______元． (三)解答题 12．求不等式8)1(3411-≥--x x 的非负整数解．13．解不等式组⎩⎨⎧≥+->+,33)1(2,03x x x 并判断23=x 是否是该不等式组的解．14．若关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<+->+a x x x x 322,3215只有4个整数解，求a 的取值范围．15．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：类别 电视机 洗衣机 进价(元/台) 1800 1500 售价(元/台)20001600计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161800元． (1)请你帮助商店算一算有多少种进货方案? (不考虑除进价之外的其他费用)(2)哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多?并求出最多利润．(利润＝售价－进价)16．2008年北京奥运会的比赛已经圆满闭幕．当时某球迷打算用8000元预订10张下表中比赛项目的门票．(下表为当时北京奥运会官方票务网站公布的几种球类决赛的门票价格)(1)若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票，问他可以订男篮门票和乒乓球门票各多少张?(2)若在现有资金8000元允许的范围内和总票数不变的前提下，他想预订下表中三种球类门票，其中男篮门票数与足球门票数相同，且乒乓球门票的费用不超过男篮门票的费用，求他能预订三种球类门票各多少张?比赛项目票价(元/场)男篮1000足球800乒乓球500参考答案第五讲 不等式(组)及应用1．D ． 2．C ． 3．B ． 4．B ． 5．C ． 6．A ． 7．C ． 8．－2． 9．x ＜－1． 10．－1＜k ＜3． 11．8元．12．513≤x ，x ＝0，1，2． 13．－3＜x ≤1，23=x 是该不等式组的解．14．解不等式得x ＜21，x ＞2－3a ，又∵只有4个整数解，∴16≤2－3a ＜17，解得3145-≤<-a ． 15．解：(1)设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机(100－x )台，根据题意得⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≥.161800)100(15001800),100(21x x x x 解不等式组，得⋅≤≤31393133x 即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案．(2)设商店销售完毕后获利为y 元，根据题意，得y ＝(2000－1800)x ＋(1600－1500)(100－x )＝100x ＋10000．∵100＞0，∴ 当x 最大时，y 的值最大．即 当x ＝39时，商店获利最多，为13900元．16．解：(1)设预订男篮门票x 张，则乒乓球门票(10－x )张．由题意得 1000x ＋500(10－x )＝8000 解得x ＝6． ∴10－x ＝4．答：可订男篮门票6张，乒乓球门票4张．(2)设男篮门票与足球门票都订a 张，则乒乓球门票(10－2a )张．由题意得⎩⎨⎧≤-≤-++.1000)210(500,8000)210(5008001000a a a a a 解得⋅≤≤433212a 由a 为正整数，可得a ＝3．答：他能预订男篮门票3张，足球门票3张，乒乓球门票4张．。
微专题六 一元一次不等式(组)的解法及其应用
B品牌运动服/件
30
累计采购款/元
10 200
(1)A,B两种品牌运动服的进货单价各是多少元?
解:(1)设 A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 x 元和 y 元.
根据题意,得
+ = ,
= ,
解得
= ,
+ = ,
∴A,B 两种品牌运动服的进货单价分别为 240 元和 180 元.
①有哪几种购买方案?
②若每包儿童口罩8元,每包成人口罩25元,哪种方案总费用最少?
解:(2)①设购买儿童口罩 m 包,则购买成人口罩(5-m)包.
+ (-) ≥ ,
根据题意,得
解得 2≤m≤3.
+ (-) ≤ ,
∵m 为整数,∴m=2 或 m=3.∴共有两种购买方案:
-
解不等式 x-4<
,得 x<2,
则不等式组的解集为-3≤x<2,
∴不等式组的所有负整数解为-3,-2,-1.
一元一次不等式的应用
6.某商城的运动服装专柜,对A,B两种品牌的运动服分两次采购试销后,效益可观,计划继续采购进行
销售.已知这两种服装过去两次的进货情况如表所示:
进货批次
第一次
A品牌运动服/件
故此商场至少需购进6件A种商品.
一元一次不等式组的应用
8.小明网购了一本课外书,同学们想知道书的价格,小明让他们猜.甲说:“至少25元”.乙说:“至多
22元,”丙说:“至多20元,”小明说:“你们三个人都说错了”.则这本书的价格x(元)所在的范围为(
)
B
A.20<x<22
B.22<x<25
第9讲 不等式(组)及其应用
3（x＋1）>x－1
正解 解：令：－32x＋3≥4
，
解不等式①得 x>－2，
解不等式②得－23x≥1，不等式两边同乘以－32得 x≤－23.∴原不等式组的
解集为－2<x≤－32.
∴原不等式组的最小整数解是－1
请完成考点精练
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月3日星期四2022/3/32022/3/32022/3/3 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/32022/3/32022/3/33/3/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/32022/3/3March 3, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/32022/3/32022/3/32022/3/3
剖析 (1)在解不等式的过程注意不等式性质3的使用，即给不等式两边 同时乘以(或除以)一个负数，不等号要改变方向；(2)求不等式组的整数 解时，“实心”点所表示的实数如果是整数，则该点也是所求整数解， 如果不是整数，要从离该点最近的整数点开始算起；“空心”点所在的 实数如果是整数，则该点不是整数解，如果不是整数，则要从解集中离 该点最近的整数点开始算起．
[对应训练]
1．(2016·西宁)某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元/块的价格
售出60块，第二个月起降价，以500元/块的价格将这批电话手表全部售
出，销售总额超过了5.5万元．这批电话手表至少有( C )
A．103块
B．104块
备战中考数学分点透练真题不等式(组)及不等式的应用(解析版)
第七讲不等式（组）及不等式的应用命题点1 不等式的性质1．（2021•常德）若a＞b，下列不等式不一定成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5B．﹣5a＜﹣5b C．＞D．a+c＞b+c【答案】C【解答】解：A．∵a＞b，∴a﹣5＞b﹣5，故本选项不符合题意；B．∵a＞b，∴﹣5a＜﹣5b，故本选项不符合题意；C．∵a＞b，∴当c＞0时，；当c＜0时，，故本选项符合题意；D．∵a＞b，∴a+c＞b+c，故本选项不符合题意；故选：C．2．（2021•临沂）已知a＞b，下列结论：①a2＞ab；②a2＞b2；③若b＜0，则a+b＜2b；④若b＞0，则＜，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解答】解：a＞b，∴当a＞0时，a2＞ab，当a＝0时，a2＝ab，当a＜0时，a2＜ab，故①结论错误∵a＞b，∴当|a|＞|b|时，a2＞b2，当|a|＝|b|时，a2＝b2，当|a|＜|b|时，a2＜b2，故②结论错误；∵a＞b，b＜0，∴a+b＞2b，故③结论错误；∵a＞b，b＞0，∴a＞b＞0，∴，故④结论正确；∴正确的个数是1个．故选：A．3．（2021•苏州）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为．【答案】0＜x＜【解答】解：由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，根据0＜y＜1可知0＜﹣2x+1＜1，∴﹣1＜﹣2x＜0，∴0＜x＜．故答案为：0＜x＜．命题点2 一元一次不等式（组）的解法类型一不等式（组）的解法及解集表示4．（2021•吉林）不等式2x﹣1＞3的解集是（）A．x＞1B．x＞2C．x＜1D．x＜2【答案】B【解答】解：2x﹣1＞3，2x＞3+1，2x＞4，x＞2．故选：B．5．（2021•临沂）不等式＜x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：去分母，得：x﹣1＜3x+3，移项，得：x﹣3x＜3+1，合并同类项，得：﹣2x＜4，系数化为1，得：x＞﹣2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：B．6．（2021•湘潭）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：解不等式x+1≥2，得：x≥1，解不等式4x﹣8＜0，得：x＜2，则不等式组的解集为1≤x＜2，将不等式组的解集表示在数轴上如下：故选：D．7．（2021•凉山州）解不等式：﹣x＜3﹣．【答案】x＞﹣2【解答】解：去分母，得：4（1﹣x）﹣12x＜36﹣3（x+2），去括号，得：4﹣4x﹣12x＜36﹣3x﹣6，移项、合并，得：﹣13x＜26，系数化为1，得：x＞﹣2．8．（2021•宁夏）解不等式组：．【答案】x＞2【解答】解：解不等式4（x﹣1）＞3x﹣2，得：x＞2，解不等式+≥1，得：x≥1，则不等式组的解集为x＞2．9.（2021•天津）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为．【答案】x≥﹣1；x≤3,﹣1≤x≤3【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；（Ⅱ）解不等式②，得x≤3；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3．故答案为：x≥﹣1，x≤3，﹣1≤x≤3．10.（2019•凉山州）根据有理数乘法（除法）法则可知：①若ab＞0（或＞0），则或；②若ab＜0（或＜0），则或．根据上述知识，求不等式（x﹣2）（x+3）＞0的解集解：原不等式可化为：（1）或（2）．由（1）得，x＞2，由（2）得，x＜﹣3，∴原不等式的解集为：x＜﹣3或x＞2．请你运用所学知识，结合上述材料解答下列问题：（1）不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集为．（2）求不等式＜0的解集（要求写出解答过程）【答案】（1）﹣1＜x＜3．（2）x＞1或x＜﹣4【解答】解：（1）原不等式可化为：①或②．由①得，空集，由②得，﹣1＜x＜3，∴原不等式的解集为：﹣1＜x＜3，故答案为：﹣1＜x＜3．（2）由＜0知①或②，解不等式组①，得：x＞1；解不等式组②，得：x＜﹣4；所以不等式＜0的解集为x＞1或x＜﹣4．类型二不等（组）的特殊解11．（2021•南充）满足x≤3的最大整数x是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：满足x≤3的最大整数x是3，故选：C．12．（2021•邵阳）下列数值不是不等式组的整数解的是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．1【答案】A【解答】解：，解不等式①，得：x＞﹣，解不等式②，得：x≤1，∴不等式组的解集为：﹣＜x≤1，∴不等式组的整数解为﹣1，0，1，故选：A．命题点3 含参不等式（组）问题13．（2020•潍坊）若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是（）A．0≤a≤2B．0≤a＜2C．0＜a≤2D．0＜a＜2【答案】C【解答】解：解不等式3x﹣5≥1得：x≥2，解不等式2x﹣a＜8得：x＜，∴不等式组的解集为：2≤x＜，∵不等式组有三个整数解，∴三个整数解为：2，3，4，∴4＜≤5，解得：0＜a≤2，故选：C．14．（2021•日照）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【答案】C【解答】解：解不等式x+6＜4x﹣3，得：x＞3，∵x＞m且不等式组的解集为x＞3，∴m≤3，故选：C．15．（2021•黑龙江）关于x的一元一次不等式组有解，则a的取值范围是．【答案】a＜6【解答】解：解不等式2x﹣a＞0，得：x＞，解不等式3x﹣4＜5，得：x＜3，∵不等式组有解，∴＜3，解得a＜6，故答案为：a＜6．16．（2021•丹东）不等式组无解，则m的取值范围．【答案】m≥2．【解答】解：，解不等式①得：x＜2，解不等式②x＞m，∵不等式组无解∴m≥2，故答案为：m≥2．命题点4 不等式的实际应用17．（2020•朝阳）某品牌衬衫进价为120元，标价为240元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于20%，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（）A．8B．6C．7D．9【答案】B【解答】解：设可以打x折出售此商品，由题意得：240×，解得x≥6，故选：B．命题点5 方程与不等式结合的实际应用18．（2020•资阳）新冠肺炎疫情发生以来，国家紧急调拨了大量物资驰援武汉，全国各地的民间组织也积极捐赠，我市的民间组织捐赠了一批医用物资即将运往武汉，现有A、B 两种车型，A种型的载重量比B种车型的载重量多5吨，2辆A种车型与4辆B种车型的总载重量为100吨．（1）求A、B两种车型的载重量分别是多少吨？（2）现有医用物资264吨，计划用A、B两种车型共15辆将这批医用物资一次性的运往武汉，那么至少安排A种车型多少辆？【答案】（1）A种车型的载重量是20吨，B种车型的载重量是15吨（2）a的最小值为8，【解答】解：（1）设1辆A型车的载重量是x吨，1辆B型车的载重量是y吨，依题意，，解得．答：A种车型的载重量是20吨，B种车型的载重量是15吨；（2）设安排A种车型a辆，则B种种车型（15﹣a）辆，由题意得，20a+15（15﹣a）≥264，解得a，∵a为整数，∴a的最小值为8，答：至少安排A种车型8辆，才能将这批医用物资一次性的运往武汉．19．（2020•大庆）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元．（1）求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？（2）两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的90%，求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．【答案】（1）甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元（2）m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．【解答】解：（1）设购买一个甲种笔记本需要x元，购买一个乙种笔记本需要y元，依题意，得：，解得：．答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元．（2）设购买m个甲种笔记本，则购买（35﹣m）个乙种笔记本，依题意，得：（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）≤250×90%，解得：m≤21，又∵m为正整数，∴m可取的最大值为21．设购买两种笔记本总费用为w元，则w＝（10﹣2）m+5×0.8（35﹣m）＝4m+140，∵k＝4＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝21时，w取得最大值，最大值＝4×21+140＝224．答：至多需要购买21个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为224元．20．（2021•长沙）为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某学校举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识竞赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛同学只有一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛同学一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“学党史小达人”？【答案】（1）22 （2）23【解答】解：（1）设该参赛同学一共答对了x道题，则答错了（25﹣1﹣x）道题，依题意得：4x﹣（25﹣1﹣x）＝86，解得：x＝22．答：该参赛同学一共答对了22道题．（2）设参赛者需答对y道题才能被评为“学党史小达人”，则答错了（25﹣y）道题，依题意得：4y﹣（25﹣y）≥90，解得：y≥23．答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“学党史小达人”．21．（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？（3）在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？【答案】（1）1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元（2）m可以取5，6，7 （3）最少资金是10万元【解答】解：（1）设购进1件甲种农机具需要x万元，1件乙种农机具需要y万元，依题意得：，解得：．答：购进1件甲种农机具需要1.5万元，1件乙种农机具需要0.5万元．（2）设购进甲种农机具m件，则购进乙种农机具（10﹣m）件，依题意得：，解得：4.8≤m≤7，又∵m为整数，∴m可以取5，6，7，∴共有3种购买方案，方案1：购进甲种农机具5件，乙种农机具5件；方案2：购进甲种农机具6件，乙种农机具4件；方案3：购进甲种农机具7件，乙种农机具3件．（3）方案1所需资金为1.5×5+0.5×5＝10（万元）；方案2所需资金为1.5×6+0.5×4＝11（万元）；方案3所需资金为1.5×7+0.5×3＝12（万元）．∵10＜11＜12，∴购买方案1所需资金最少，最少资金是10万元．。
第09讲 不等式(组)及其应用(跟踪训练解析)
第09讲不等式（组）及其应用二、考点分析【考点1 不等式的概念及性质】【解题技巧】不等式的基本性质是不等式变形的重要依据，性质3——不等号的方向会发生改变这是不等式独有的性质．（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．【例1】（2019 上海中考）如果m＞n，那么下列结论错误的是（）A．m+2＞n+2B．m﹣2＞n﹣2C．2m＞2n D．﹣2m＞﹣2n【答案】D．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】解：∵m＞n，∴﹣2m＜﹣2n，故选：D．【一领三通1-1】（2019 山东淄博中考模拟）若x＞y，则下列式子中错误的是(D)A．x－3＞y－3 B．3x＞3y C．x＋3＞y＋3 D．－3x＞－3y【答案】D．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】A 是在不等式x ＞y 的两边都减去3，是正确的B 是在不等式x ＞y 的两边都乘以3，是正确的C 是在不等式x ＞y 的两边都加上3，是正确的D 是在不等式x ＞y 的两边都乘以-3，是错误的故选：D ．【一领三通1-2】（2019辽宁葫芦岛中考模拟）四个小朋友玩 跷跷板，他们的体重分别为P 、Q 、R 、S ，如图3所示，则他们的体重大小关系是（ ）A P R S Q >>>B Q S P R >>>C S P Q R >>>D S P R Q >>>【答案】D ．【分析】根据不等式的性质即可求出答案． 【解答】跷跷板不平衡时是不等量关系，要注意较低的那边重些，解决此类问题常通过不等式(组)来转换，由图知 S>P ，P>R ，P+R>Q+S ，所以S>P>R>S选D【一领三通1-3】（2019•广东佛山中考模拟）现有不等式的性质：①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变；②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变．请解决以下两个问题：（1）利用性质①比较2a 与a 的大小（a ≠0）；（2）利用性质②比较2a 与a 的大小（a ≠0）．【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【解答】（1）a ＞0时，a+a ＞a+0，即2a ＞a ，a ＜0时，a+a ＜a+0，即2a ＜a ；（2）a ＞0时，2＞1，得2•a ＞1•a ，即2a ＞a ；a ＜0时，2＞1，得2•a ＜1•a ，即2a ＜a ．【考点2 一元一次不等式及其解法】【解题技巧】(1)已知一元一次不等式(组)的解集，确定其中字母的取值范围的方法是：①逆用不等式(组)的解集确定；②分类讨论确定；③从反面求解确定；④借助于数轴确定．(2)根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．【例2】（2019 辽宁大连中考）不等式5x+1≥3x﹣1的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】B．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：5x+1≥3x﹣1，移项得5x﹣3x≥﹣1﹣1，合并同类项得2x≥﹣2，系数化为1得，x≥﹣1，在数轴上表示为：故选：B．【一领三通2-1】（2019•呼和浩特）若不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，则m的取值范围是（）A．m＞﹣B．m＜﹣C．m＜﹣D．m＞﹣【答案】C．【分析】求出不等式﹣1≤2﹣x的解，求出不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）的解集，得出关于m 的不等式，求出m即可．【解答】解：解不等式﹣1≤2﹣x得：x≤，∵不等式﹣1≤2﹣x的解集中x的每一个值，都能使关于x的不等式3（x﹣1）+5＞5x+2（m+x）成立，∴x＜，∴＞，解得：m＜﹣，故选：C．【一领三通2-2】（2019•长春）不等式﹣x+2≥0的解集为（）A．x≥﹣2B．x≤﹣2C．x≥2D．x≤2【答案】D．【分析】直接进行移项，系数化为1，即可得出x的取值．【解答】解：移项得：﹣x≥﹣2系数化为1得：x≤2．故选：D．【一领三通2-3】（2019吉林中考）不等式3x﹣2＞1的解集是．【答案】x＞1．【分析】利用不等式的基本性质，将两边不等式同时加上2再除以3，不等号的方向不变．【解答】解：∵3x﹣2＞1，∴3x＞3，∴x＞1，∴原不等式的解集为：x＞1．故答案为x＞1．【一领三通2-4】（2019 河北保定中考模拟）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b＝a(a－b)＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－6＋1＝－5.若3⊕x 的值小于13，求x的取值范围，并在如图所示的数轴上表示出来．【分析】利用不等式的基本性质，按照解不等式的步骤给以变形．【解答】由3⊕x小于13，得3(3－x)＋1<13，去括号，得9－3x＋1＜13，移项合并，得－3x＜3，解得x>－1.在数轴上表示如图．【一领三通2-5】（2019 江苏南京中考）已知一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）和y2＝x﹣3．（1）当k＝﹣2时，若y1＞y2，求x的取值范围．（2）当x＜1时，y1＞y2．结合图象，直接写出k的取值范围．【分析】（1）解不等式﹣2x+2＞x﹣3即可；（2）先计算出x＝1对应的y2的函数值，然后根据x＜1时，一次函数y1＝kx+2（k为常数，k≠0）的图象在直线y2＝x﹣3的上方确定k的范围．【解答】解：（1）k＝﹣2时，y1＝﹣2x+2，根据题意得﹣2x+2＞x﹣3，解得x＜；（2）当x＝1时，y＝x﹣3＝﹣2，把（1，﹣2）代入y1＝kx+2得k+2＝﹣2，解得k＝﹣4，当﹣4≤k＜0时，y1＞y2；当0＜k≤1时，y1＞y2．【考点3 一元一次不等式组及其解法】【解题技巧】解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．【例3】（2019 山西中考）不等式组的解集是（）A．x＞4B．x＞﹣1C．﹣1＜x＜4D．x＜﹣1【答案】A．【分析】首先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出其公共解集．【解答】解：，由①得：x＞4，由②得：x＞﹣1，不等式组的解集为：x＞4，故选：A．【一领三通3-1】（2019 甘肃中考）不等式组的最小整数解是．【答案】0．【分析】求出不等式组的解集，确定出最小整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，则最小的整数解为0，故答案为：0【一领三通3-2】（2019 河南中考）不等式组的解集是．【答案】x≤﹣2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式≤﹣1，得：x≤﹣2，解不等式﹣x+7＞4，得：x＜3，则不等式组的解集为x≤﹣2，故答案为：x≤﹣2．【一领三通3-3】（2019 湖北黄石中考）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P所在的象限．【分析】先求出不等式组的解集，进而求得P点的坐标，即可求得点P所在的象限．【解答】解：，解①得：x≥4，解②得：x≤4，则不等式组的解是：x＝4，∵＝1，2x﹣9＝﹣1，∴点P的坐标为（1，﹣1），∴点P在的第四象限．【一领三通3-4】（2019天津中考）解不等式组请结合题意填空，完成本题的解答．（Ⅰ）解不等式①，得；（Ⅱ）解不等式②，得；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣2；（Ⅱ）解不等式②，得x≤1；（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣2≤x≤1．故答案为：x≥﹣2，x≤1，﹣2≤x≤1．【一领三通3-5】（2019浙江温州中考）不等式组的解为．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞1，由②得，x≤9，故此不等式组的解集为：1＜x≤9．故答案为：1＜x≤9．【考点4 一元一次不等式（组）的应用】【解题技巧】（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．②根据题中的不等关系列出不等式．③解不等式，求出解集．④写出符合题意的解．【例4】（2019•哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，求解即可；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，即可求解；【解答】解：（1）设每副围棋x元，每副中国象棋y元，根据题意得：，∴，∴每副围棋16元，每副中国象棋10元；（2）设购买围棋z副，则购买象棋（40﹣z）副，根据题意得：16z+10（40﹣z）≤550，∴z≤25，∴最多可以购买25副围棋；【一领三通4-1】（2019•台湾）阿慧在店内购买两种蛋糕当伴手礼，如图为蛋糕的价目表．已知阿慧购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元．若他将蛋糕分给75位同事，每人至少能拿到一个蛋糕，则阿慧花多少元购买蛋糕？（）A．2150B．2250C．2300D．2450【答案】D．【分析】可设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，根据不等关系：①购买10盒蛋糕，花费的金额不超过2500元；②蛋糕的个数大于等于75个，列出不等式组求解即可．【解答】解：设阿慧购买x盒桂圆蛋糕，则购买（10﹣x）盒金爽蛋糕，依题意有，解得2≤x≤3，∵x是整数，∴x＝3，350×3+200×（10﹣3）＝1050+1400＝2450（元）．答：阿慧花2450元购买蛋糕．故选：D．【一领三通4-2】（2015 .河北中考）水平放置的容器内原有210 mm高的水，如图，将若干个球逐一放入该容器中，每放入一个大球水面就上升4 mm，每放入一个小球水面就上升3 mm，假定放入容器中的所有球完全浸没水中且水不溢出．设水面高为y mm.(1)只放入大球，且个数为x大，求y与x大的函数关系式；(不必写出x大的范围)(2)仅放入6个大球后，开始放入小球，且小球个数为x小．①求y与x小的函数关系式；(不必写出x小的范围)②限定水面高不超过260 mm，最多能放入几个小球？【分析】水面高度与球的个数是一次函数关系【解答】(1)y ＝4x 大＋210；(2)①当x 大＝6时，y ＝4×6＋210＝234，∴y ＝3x 小＋234；②依题意，得3x 小＋234≤260，解得x 小≤823， ∵x 小为自然数，∴x 小最大为8，即最多能放入8个小球．【一领三通4-3】（2019 湖北孝感中考）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A 、B 两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机．（1）求今年每套A 型、B 型一体机的价格各是多少万元？（2）该市明年计划采购A 型、B 型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A 型一体机的价格比今年上涨25%，每套B 型一体机的价格不变，若购买B 型一体机的总费用不低于购买A 型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？【分析】（1）直接利用今年每套B 型一体机的价格比每套A 型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A 型一体机和200套B 型一体机，分别得出方程求出答案；（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．【解答】解：（1）设今年每套A 型一体机价格为x 万元，每套B 型一体机的价格为y 万元，由题意可得：，解得：， 答：今年每套A 型的价格各是1.2万元、B 型一体机的价格是1.8万元；（2）设该市明年购买A 型一体机m 套，则购买B 型一体机（1100﹣m ）套，由题意可得：1.8（1100﹣m ）≥1.2（1+25%）m ，解得：m ≤600，设明年需投入W 万元，W ＝1.2×（1+25%）m +1.8（1100﹣m ）＝﹣0.3m +1980，∵﹣0.3＜0，∴W随m的增大而减小，∵m≤600，∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．【一领三通4-4】（2019 福建中考）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为m吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量m；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与350比较后可得出m＜35，根据废水处理费用＝该车间处理m吨废水的费用+第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水x吨，分0＜x≤20及x＞20两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵35×8+30＝310（元），310＜350，∴m＜35．依题意，得：30+8m+12（35﹣m）＝370，解得：m＝20．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水x吨，当0＜x≤20时，8x+30≤10x，解得：15≤x≤20；当x＞20时，12（x﹣20）+8×20+30≤10x，解得：20＜x≤25．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为15≤x≤20．11。
专题05 不等式与不等式组专题详解(解析版)
专题05 不等式与不等式组专题详解专题05 不等式与不等式组专题详解 (1)9.1 不等式 (3)知识框架 (3)一、基础知识点 (3)知识点1 不等式及其解集 (3)知识点2 不等式的基本性质 (4)二、典型题型 (5)题型1 不等式的概念 (5)题型2 根据数量关系列不等式 (5)题型3不等式的解（集） (6)题型4 不等式性质的运用 (6)题型5 实际问题与不等式 (7)三、难点题型 (8)题型1 不等式性质的综合应用 (8)题型2 用作差法比较大小 (9)9.2 一元一次不等式 (10)知识框架 (10)一、基础知识点 (10)知识点1 一元一次不等式的解法 (10)知识点2 列不等式解应用题 (11)二、典型题型 (13)题型1 一元一次不等式的判定 (13)题型2 解一元一次不等式 (13)题型3 列不等式，求取值范围 (14)题型4 一元一次不等式的应用 (14)三、难点题型 (16)题型1 含参数的不等式 (16)题型2 不等式的整数解 (16)题型3 方程与不等式 (17)题型4 含绝对值的不等式 (18)9.3 一元一次不等式组 (19)知识框架 (19)一、基础知识点 (19)知识点1 一元一次不等式组及解集的定义 (19)知识点2 一元一次不等式组解集的确定及解法 (19)知识点3 双向不等式及解法 (21)二、典型题型 (23)题型1 一元一次不等式组的判定 (23)题型2 一元一次不等式组的解集 (23)题型3 解一元一次不等式组 (24)题型4 一元一次不等式组的应用 (25)一、用不等式组解决实际问题 (25)二、方案设计 (26)三、最值问题 (27)三、难点题型 (29)题型1 由不等式组确定字母的取值 (29)题型2 不等式组中的数学思想 (30)一、整体思想 (30)二、数形结合 (31)三、分类讨论 (31)题型3 不等式的应用 (32)题型4 不等式的综合 (33)9.1 不等式知识框架{基础知识点{不等式及其解集不等式的基本性质典型题型{ 不等式的概念根据数量关系列不等式不等式的解（集）不等式性质的运用实际问题与不等式难点题型{不等式性质的综合应用作差法比较大小 一、基础知识点知识点1 不等式及其解集1）不等式：用不等符号表示不等关系的式子。
专题10一元一次不等式(组)及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题10 一元一次不等式(组)及其应用（知识点总结+例题讲解）一、不等式及其性质：1.不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式；2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值；3.不等式的解集：（1）对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解；（2）对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集；4.解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式；5.不等式基本性质：（1）不等式两边加(或减)同一个数(或同一个整式)，不等号的方向不变；若a＞b，则a±c＞b±c；（2）不等式两边乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；若a＞b，c＞0，则ac＞bc(或a b＞)；c c（3）不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；若a＞b，c＜0，则ac＜bc(或a b＜)；c c【例题1】下列式子：（1）4＞0；（2）2x+3y＜0；（3）x＝3；（4）x≠y；（5）x+y；（6）x+3≤7中，不等式的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【解析】主要依据不等式的定义，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以（1），（2），（4），（6）为不等式，共有4个．故选：C．【变式练习1】据气象台预报，2019年某日武侯区最高气温33℃，最低气温24℃，则当天气温（℃：）的变化范围是（）A．t＞33 B．t≤24 C．24＜t＜33 D．24≤t≤33【答案】D【解析】已知某日武侯区的最高气温和最低气温，可知某日武侯区的气温的变化范围应该在最高气温和最低气温之间，且包括最高气温和最低气温．解：由题意知：武侯区的最高气温是33℃，最低气温24℃，所以当天武侯区的气温（t℃）的变化范围为：24≤t≤33．故选：D．【例题2】（2020•贵港）如果a＜b，c＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＞bc C．ac+1＞bc+1 D．ac2＞bc2【答案】D【解析】根据不等式的性质解答即可．解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+c，原变形正确，故此选项不符合题意；B、由a＜b，c＜0得到：ac＞bc，原变形正确，故此选项不符合题意；C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由a＜b，c＜0得到：ac2＜bc2，原变形错误，故此选项符合题意．故选：D．【变式练习2】（2019•济南）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）A．a﹣5＞b﹣5 B．6a＞6b C．﹣a＞﹣b D．a﹣b＞0【答案】C【解析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．解：由图可知，b＜0＜a，且|b|＜|a|，∴a﹣5＞b﹣5，6a＞6b，﹣a＜﹣b，a﹣b＞0，∴关系式不成立的是选项C．故选：C．【例题3】已知x≥5的最小值为a，x≤﹣7的最大值为b，则ab＝．【答案】-35【解析】解答此题首先根据已知得出理解“≥”“≤”的意义，判断出a和b的最值即可解答．解：因为x≥5的最小值是a，a＝5；x≤﹣7的最大值是b，则b＝﹣7；则ab＝5×（﹣7）＝﹣35．故答案为：﹣35．【变式练习3】关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4，则m的值为（）A．14 B．7 C．﹣2 D．2【答案】D【解析】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得不等式的解集，再根据x≥4，求得m的值．解：m−2x3≤−2；所以：m﹣2x≤﹣6；则：﹣2x≤﹣m﹣6；即：x≥12m+3；∵关于x的一元一次不等式m−2x3≤−2的解集为x≥4；∴12m+3＝4，解得m＝2．故选：D．二、一元一次不等式及其解法：1.一元一次不等式的定义：不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的2.一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将未知项的系数化为1。
专题05 不等式(组)及不等式的应用(5大考点)-2023年中考数学总复习真题探究与变式训练解析版)
第二部分方程（组）与不等式（组）专题05 不等式（组）及不等式的应用核心考点一不等式的基本性质核心考点二一元一次不等式（组）的解法核心考点核心考点三含参不等式（组）问题核心考点四不等式的实际应用核心考点五方程与不等式结合的实际应用新题速递核心考点一不等式的基本性质例1（2022·内蒙古包头·中考真题）若，则下列不等式中正确的是（）A．B．C．D．∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项不合题意；∴，故本选项符合题意；数轴上的点分别表示实数、，则______．（填“>”、“=”或“<”）【答案】【分析】由图可得：，再根据不等式的性质即可判断．【详解】解：由图可得：，由不等式的性质得：，故答案为：．【点睛】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．江苏淮安·中考真题）解不等式．解：去分母，得．……（1）请完成上述解不等式的余下步骤：（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是（填“A”或“B”）A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【答案】（1）余下步骤见解析；（2）A．【分析】（1）按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可；（2）根据不等式的性质即可得．【详解】（1）去分母，得去括号，得移项，得合并同类项，得；（2）不等式的性质：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变两边同乘以正数2，不等号的方向不变，即可得到故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．知识点：不等式及其基本性质1、定义：用不等号（>,≥,<,≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
2、基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变，即如果，那么性质2不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果，，那么，性质3不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果，，那么，性质4如果，那么性质5如果，，那么【变式1】．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）已知实数a，b，c满足，．则下列结论正确的是（）A．若，则B．若，则C．a，b，c不可能同时相等D．若，则【答案】B【分析】A.根据，则，根据，得出；B.根据，得出，把代入得：，即可得出答案；C.当时，可以使，，即可判断出答案；D.根据解析B可知，，即可判断．【详解】A.∵，∴，∵，∴，∴，故A错误；B.∵，即，∴，把代入得：，，解得：，故B正确；C.当时，可以使，，∴a，b，c可能同时相等，故C错误；D.根据解析B可知，，把代入得：，故D错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了分式的化简，等式基本性质和不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质和等式的性质，是解题的关键．【变式2】（2022·江苏南通·一模）若关于x的不等式mx﹣n＞0的解集为x＜2，则关于x 的不等式（m+n）x＞m﹣n的解集是（ ）A．x<13B．x>13C．x<-13D．x>-13【答案】C【分析】根据不等式的性质，利用不等式的解集是得到，，然后把代入不等式中求解即可．【详解】解：∵不等式的解集是，∴（），，∴，不等式变形为，即，∵，∴．故选C．【点睛】本题考查了解一元一次不等式．解题的关键在于熟练掌握不等式的性质．【变式3】（2022·江苏宿迁·三模）若不等式，两边同除以m，得，则m的取值范围为__________．【答案】【分析】由不等式的基本性质知，据此可得答案．【详解】解：若不等式，两边同除以，得，则．故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是掌握不等式的基本性质．【变式4】（2022·安徽·模拟预测）已知关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为x＜，化简：|1﹣a|﹣a＝_____．【答案】【分析】根据不等式的基本性质得出1﹣a＜0，再由绝对值的性质去绝对值符号、合并同类项即可．【详解】解：∵关于x的不等式（1﹣a）x＞2的解集为，∴1﹣a＜0，解得a＞1，即，∴原式＝a﹣1﹣a＝﹣1，故答案为：﹣1．【点睛】本题主要考查了不等式的性质及绝对值的化简求值，解题的关键是掌握不等式的基本性质和绝对值的化简．【变式5】（2022·浙江杭州·一模）已知，，请比较M和N的大小．以下是小明的解答：∵，，∴．小明的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答．【答案】有错；时，；时，；时，；【分析】先求出M与N的差，根据不等式的性质对M与N的差进行分类讨论即可求解．【详解】解：有错，正确解答如下．∵，，∴．∴当x>0时，2x>0，即，此时M>N；当x=0时，2x=0，即，此时M=N；当x<0时，2x<0，即，此时M<N．∴时，；时，；时，．【点睛】本题考查作差法比较大小，不等式的性质，正确应用分类讨论思想是解题关键．核心考点二一元一次不等式（组）的解法例1（2022·辽宁大连·中考真题）不等式的解集是（）A．B．C．D．【详解】解：，移项，合并同类项得：本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握中考真题）若在实数范围内有意义，则实数___________．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．中考真题）解不等式组并将其解集在数轴上表示出来．【答案】x≤1，图见解析【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式解集，再求出其公共解集即可求解，然后把解集用数轴表示出来即可．【详解】解：解①得：x≤1，解②得：x<6，∴x≤1，解集在数轴上表示为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．也考查了用数轴表示不等式的解集．知识点：一元一次不等式及其解法定义含有一个未知数，未知数的次数是1、且不等号两边都是整式的不等式叫做一元一次不等式。
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第4节 不等式(组)的解法及不等式的应用(建议答题时间：60分钟)基础过关1. (2017株洲)己知实数a 、b 满足a ＋1＞b ＋1，则下列选项可能错误的是( ) A. a ＞b B. a ＋2＞b ＋2 C. －a ＜－b D. 2a ＞3b2. (2017眉山)不等式－2x ＞12的解集是( ) A. x ＜－14 B. x ＜－1 C. x ＞－14 D. x ＞－13. (2017安徽)不等式4－2x ＞0的解集在数轴上表示为( )4. (2017益阳)如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是( )第4题图A. ⎩⎨⎧x ≥2x >－3B. ⎩⎨⎧x ≤2x <－3C. ⎩⎨⎧x ≥2x <－3D. ⎩⎨⎧x ≤2x >－35. (2017湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＞x －112x ≤1的解是( )A. x ＞－1B. x ≤2C. －1＜x ≤2D. x ＞－1或x ≤26. (2017山西)将不等式组⎩⎨⎧2x －6≤0x ＋4＞0的解集表示在数轴上，下面表示正确的是( )7. (2017遵义)不等式6－4x ≥3x －8的非负整数解有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个8. (2017金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧2x －1>3（x －2）x <m 的解是x <5，则m的取值范围是( )A. m ≥5B. m >5C. m ≤5D. m <59. (2017百色)关于x 的不等式组⎩⎨⎧x －a ≤02x ＋3a ＞0的解集中至少有5个整数解，则正数a 的最小值是( )A. 3B. 2C. 1D. 23 10. (2017上海)不等式组⎩⎨⎧2x ＞6x －2＞0的解集是________．11. (2017龙东)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧x －a ＞01－x ＞x －1无解，则a 的取值范围是________．12. (2017通辽)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞－12x －13≥x －1的整数解是________．13. (2017牡丹江)某种商品的进价为每件100元，商场按进价提高50%后标价，为增加销量，准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，则至多可以打________折．14. (2017烟台)运行程序如图所示，从“输入实数x ”到“结果是否＜18”为一次程序操作，第14题图若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x 的取值范围是________． 15. (2017宜宾)若关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎨⎧x －y ＝2m ＋1x ＋3y ＝3的解满足x ＋y ＞0，则m 的取值范围是________．16. (2017绍兴)解不等式：4x ＋5≤2(x ＋1)．17. (2017黄冈)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x －5<－2x 3x ＋22≥1.18. (2017北京)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧2（x ＋1）＞5x －7x ＋103＞2x .19. (2017宁夏)解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2）x －52－4x －33＜1.20. (2017甘肃)解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧12（x －1）≤11－x <2，并写出该不等式组的最大整数解．21. (2017长沙)解不等式组⎩⎨⎧2x ≥－9－x ，5x －1>3（x ＋1），并把它的解集在数轴上表示出来．第21题图22. (2017呼和浩特)已知关于x 的不等式2m －mx 2＞12x －1.(1)当m ＝1时，求该不等式的解集；(2)m 取何值时，该不等式有解，并求出解集．23. 关注国家政策(2017广西四市联考)为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅图书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本)，该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．(1)求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；(2)已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是多少？24. (2017绥化)甲、乙两个工程队计划修建一条长15千米的乡村公路，已知甲工程队每天比乙工程队每天多修路0.5千米，乙工程队单独完成修路任务所需天数是甲工程队单独完成修路任务所需天数的1.5倍．(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米？(2)若甲工程队每天的修路费用为0.5万元，乙工程队每天的修路费用为0.4万元，要使两个工程队修路总费用不超过5.2万元，甲工程队至少修路多少天？25. (2017泰安)某水果商从批发市场用8000元购进了大樱桃和小樱桃各200千克，大樱桃的进价比小樱桃的进价每千克多20元，大樱桃售价为每千克40元，小樱桃售价为每千克16元．(1)大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克多少元？销售完后，该水果商共赚了多少元钱？(2)该水果商第二次仍用8000元钱从批发市场购进了大樱桃和小樱桃各200千克，进价不变，但在运输过程中小樱桃损耗了20%.若小樱桃的售价不变，要想让第二次赚的钱不少于第一次所赚钱的90%，大樱桃的售价最少应为多少？满分冲关1. 如果关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，且关于x 的不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0无解，那么符合条件的所有整数m 的个数为( )． A. 2 B. 3 C. 4 D. 52. (2017重庆九龙坡区适应考试)已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0只有2个非负整数解，且关于x 的分式方程a －6x －1＋a ＝2有整数解，则所有满足条件的整数a 的值的个数为( )A. 5B. 4C. 3D. 23. (2017重庆一中一模)从1，2，3，4，5，6这6个数中，随机抽取一个数，记为a ，若数a 使关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x 无解，且使关于x 的分式方程2x －ax －2＝12的解为非负数，那么这6个数中所有满足条件的a 的值之积是( )A. 6B. 24C. 30D. 1204. (2017重庆育才三模)2018年俄罗斯世界杯亚洲区12强赛A组第8轮比赛于2017年6月13日进行，中国国家队将客场挑战叙利亚队，“爱我中华”球迷协会准备到现场为中国队加油助威，并计划购买A、B两种球票共600张．(1)若A种票的数量不少于B种票的4倍，求至少购买多少张A种票；(2)“爱我中华”球迷协会从销售处得知，由于团体购票有一定优惠，本场比赛的球票以统一价格(m＋80)元出售给该协会，由于路途遥远，部分球迷放弃现场看球的计划，协会最后购买的票数在原计划的基础上减少(m＋5)%，购票总共用去45600元，求m的值(m＞0)．5. (2017重庆南开阶段测试一)1月份，A型汽油均价为5.7元/升，B型汽油均价为6元/升，某汽车租赁公司购买这两种型号的汽油共支付40800元；2月份，这两种型号的汽油均价都上调了0.6元/升，该公司要购买与1月份A型汽油和B 型汽油数量都相同的汽油就需多支付费用．(1)若多支付的费用不超过4200元，那么该公司1月或2月最多可购买A型汽油多少升？(2)3月份，该公司A型汽油的购买量在(1)小题中2月份最多购买量的基础上减少了m%，但A型汽油的均价在2月份的基础上上调了m10元，因此3月份支付A种型号汽油的费用与(1)小题中2月份支付最多数量A型汽油的费用相同，求m 的值．6. (2017重庆大渡口区二模)某文具店分别以每本5元和6元的价格一次性购进了A、B两种笔记本各若干本，共用去了1960元，A种笔记本按每本获利60%的价格销售，B种笔记本每本售价是A种笔记本每本售价的54倍，经过一段时间后，这两种笔记本都销售完毕，经统计，销售这两种笔记本共获利1240元．(1)该文具店此次购进的A、B两种笔记本各多少本？(2)调查市场需求后，该文具店又以上次相同的价格购进了相同数量的A、B两种笔记本．由于市场原因，该文具店调整了这两种笔记本的销售单价，A种笔记本每本售价下调了a%，B种笔记本售价上调了34a%，若要求销售完这些笔记本后的利润不低于1200元，求a的最大值．7. (2017重庆西大附中月考)手机下载一个APP、缴纳一定数额的押金，就能以每小时0.5到1元的价格解锁一辆自行车任意骑行…，最近的网红非“共享单车”莫属，共享单车为解决市民出行的“最后一公里”难题帮了大忙，人们在享受科技进步，共享经济带来的便利的同时，随意停放、加装私锁、推车下河、大卸八块等毁坏共享单车的行为也层出不穷，某共享单车公司一月投入部分自行车进入市场，一月底发现损坏率不低于10%，二月初又投入1200辆进入市场，使可使用的自行车达到7500辆．(1)一月份该公司投入市场的自行车至少有多少辆？(2)二月份的损坏率为20%，进入三月份，该公司新投入市场的自行车比二月份增长4a%，由于媒体的关注，毁坏共享单车的行为点燃了国民素质的大讨论，三月份的损坏率下降为14a%，三月底可使用的自行车达到7752辆，求a的值．答案基础过关1. D2. A3. D4. D5. C 【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1 ①12x ≤1 ②，解不等式①得x >－1，解不等式②得x ≤2，所以不等式组的解集为－1<x ≤2.6. A 【解析】解不等式2x －6≤0，得x ≤3，解不等式x ＋4＞0，得x ＞－4，∴不等式组的解集为－4＜x ≤3，解集在数轴上表示为选项A .7. B 【解析】解不等式得x ≤2，则非负整数解有0，1，2，共3个． 8. A 【解析】解不等式2x －1>3(x －2)，得x <5，根据不等式组的解集为x <5，利用同小取小可知m ≥5.9. B 【解析】∵不等式组的解集为－3a2＜x ≤a ，该解集中至少有5个整数解，所以a 比－3a 2至少大5，即 a ≥－3a2＋5，解得a ≥2，所以a 的最小值是2. 10. x ＞311. a ≥1 【解析】由x －a ＞0得x ＞a ，由1－x ＞x －1得x ＜1，∴要使不等式组无解，则a ≥1.12. 0，1，2 【解析】⎩⎨⎧2x ＋1＞－1 ①2x －13≥x －1②解不等式①得，x ＞－1，解不等式②得，x ≤2，∴不等式组的解集为－1＜x ≤2，∴不等式组的整数解为0，1，2. 13. 8 【解析】设至多可以打x 折，由题意得，100(1＋50%)x －100≥100×20%，化简得，150x ≥120，x ≥80%.则至多可以打8折．14. x <8 【解析】根据程序，可得不等式3x －6＜18，解得x <8.15. m >－2 【解析】将两方程等号两边分别相加，得2x ＋2y ＝2m ＋4，∴x ＋y ＝m ＋2，∵x ＋y >0，∴m ＋2>0，∴m >－2.16. 解：去括号得4x ＋5≤2x ＋2，移项，合并同类项，得2x ≤－3， 解得x ≤－32.17. 解：解不等式3x －5<－2x ，移项得3x ＋2x <5， 合并同类项得5x <5， 解得x <1， 解不等式3x ＋22≥1，不等式两边同乘以2得3x ＋2≥2， 合并同类项得3x ≥0， 解得x ≥0，∴原不等式组的解集为0≤x ＜1. 18. 解：解不等式2(x ＋1)＞5x －7， 去括号得2x ＋2＞5x －7， 移项、合并同类项得－3x ＞－9， 解得x ＜3.解不等式x ＋103＞2x ， 去分母得x ＋10＞6x .移项、合并同类项得10＞5x ， 解得x ＜2.∴不等式组的解集为x ＜2.19. 解：令⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋6≥5（x －2） ①x －52－4x －33<1 ②，由①得x ≤8， 由②得x >－3，∴不等式组的解集为－3<x ≤8. 20. 解：解不等式12(x －1)≤1.得x ≤3， 解不等式1－x ＜2，得x ＞－1， 则不等式组的解集是－1＜x ≤3， ∴该不等式组的最大整数解为x ＝3. 21. 解：解不等式2x ≥－9－x ，得x ≥－3， 解不等式5x －1＞3(x ＋1)，得x ＞2，∴不等式组的解集为x＞2.其解集在数轴上表示如解图：第21题解图22. 解：(1)当m＝1时，原不等式可变形为2－x2＞x2－1，去分母得2－x＞x－2，移项、合并同类项得2x＜4，∴x＜2.(2)解不等式2m－mx2＞12x－1，移项、合并同类项2m－mx＞x－2，(m＋1)x＜2(m＋1)当m≠－1时，原不等式有解；当m＞－1时，原不等式的解集为x＜2；当m＜－1时，原不等式的解集为x＞2.23. 解：(1)设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x. 根据题意得，7500(1＋x)2＝10800，解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)．答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%.(2)2016年的人均借阅量为：10800÷1350＝8(本)．根据题意得，8（1＋a%）×1440－1080010800≥20%，解得a≥12.5.答：a的值至少是12.5.24. 解：(1)设乙工程队每天修路x千米，则甲工程队每天修路(x＋0.5)千米，根据题意列方程15x＝1.5×15x＋0.5，解得x＝1，答：甲工程队每天修路1.5 千米，乙工程队每天修路1千米．(2)设甲工程队修m天，余下的工程由乙工程队修，由两个工程队修路总费用不超过5.2万元，可列不等式为0．5m ＋15－1.5m 1×0.4≤5.2，化简得0.5m ＋6－0.6m ≤5.2，解得m ≥8， 答：甲工程队至少修8天，这样总费用不超过5.2万元．25. 解：(1)设小樱桃的进价为每千克x 元，大樱桃的进价为每千克y 元， 则⎩⎨⎧200x ＋200y ＝8000y －x ＝20，解得⎩⎨⎧x ＝10y ＝30. ∴大樱桃进价为30元/千克，小樱桃进价为10元/千克，200×[(40－30)＋(16－10)]＝3200(元)，答：大樱桃和小樱桃的进价分别是每千克30元和每千克10元，销售完后，该水果商共赚了3200元．(2)设大樱桃的售价为a 元/千克，由题意可得，(1－20%)×200×16＋200a －8000≥3200×90%，解得a ≥41.6，答：大樱桃的售价最少应为41.6元/千克．满分冲关1. C 【解析】∵关于x 的方程x 2－(2m －1)x ＋m 2－3m ＝0有实数根，∴[－(2m－1)]2－4(m 2－3m )＝8m ＋1≥0，∴m ≥－18；解不等式组⎩⎨⎧2x ＋3＞9x －m ＜0得x ＜m 且x ＞3，又∵关于x 的不等式组无解，∴m ≤3.则m 的取值范围是－18≤m ≤3，满足条件的整数有0，1，2，3共4个．2. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧5x －a ＜7－2－x ＜0得－2＜x ＜a ＋75，∵该不等式组只有2个非负整数解，∴1＜a ＋75≤2，即－2＜a ≤3，解分式方程a －6x －1＋a ＝2，得x ＝4a －2，∵分式方程的解为整数，∴a 可取0，1，3，共3个数．3. C 【解析】解不等式组⎩⎨⎧x ＋1＜a 3x ＋4≤4x得，4≤x ＜a －1，要使其无解，则a －1≤4，即a ≤5；解分式方程2x －a x －2＝12，得x ＝2a －23，∵x 为非负数，∴2a －2≥0，解得a ≥1，又∵x ≠2，解得a ≠4，综上1≤a ≤5且a ≠4，∴这6个数中，满足条件的a 值有1，2，3，5，它们之积为1×2×3×5＝30.4. 解：(1)设购买x 张A 种票，则购买B 种票(600－x )张，由题意得，x ≥4(600－x )，解得x ≥480，∴至少购买480张A 种票．(2)由题意得(m ＋80)×[1－(m ＋5)%]×600＝45600，解得m 1＝15，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为15.答：m 的值为15.5. 解：(1)设1月份可购买A 型汽油x 升，则1月份购买B 型汽油的升数为：40800－5.7x 6＝(6800－0.95x )升， 由题意得，0.6x ＋0.6(6800－0.95x )≤4200，解得，x ≤4000，答：该公司1月或2月最多可购买A 型汽油4000升．(2)由题意可列方程，4000(1－m %)×(5.7＋0.6＋m 10)＝4000×(5.7＋0.6)，即4000(1－m %)×(6.3＋m 10)＝4000×6.3，解得m 1＝37，m 2＝0(舍去)，∴m 的值为37.答：m 的值为37.6. 解：(1)设购买A 种笔记本x 本，B 种笔记本y 本，由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ＝1960，5×60%x ＋[5×（1＋60%）× 54－6]y ＝1240. 解得⎩⎨⎧x ＝200y ＝160. 答：购买A 种笔记本200本，B 种笔记本160本．(2)A 原售价为5(1＋60%)＝8(元)，B 原售价为8×54＝10(元)，由题意得，200×8(1－a %)＋160×10(1＋34a %)－1960≥1200.解得a ≤10.答：a 的最大值为10.7. 解：(1)设一月份该公司投入市场的自行车有x 辆， 则7500－1200x≤1－10%， 解得x ≥7000，答：一月份该公司投入市场的自行车至少有7000辆．(2)由题意得[7500(1－20%)＋1200×(1＋4a %)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a%＝7752， 设a %＝x ，原方程可化为50x 2－125x ＋23＝0， 解得x 1＝2.3(舍去)，x 2＝0.2，由a %＝0.2，得a ＝20.答：a 的值为20.。