不等式应用题解法
高中数学如何解不等式型应用题学法指导
如何解不等式型应用题秦永应用题中有一类是以不等式为数学模型的，当不等式模型建立后即可转化为解不等式来解决问题，这是高考中常见题型，希望同学们多加关注。
一、建立一次函数解一次不等式例1 某城市有两种出租车的计费方案可供乘客选择：第一种方案，起步价a 元，每千米价为b 元；第二种方案，起步价为)a c (c <元，但每千米价增加0.1元，按出租车管理条例，在起步价内不同的型号行驶的里程是相等的，则乘客应如何根据不同情况选用两种方案中的一种？设起步价内行驶里程为n 千米，从A 地到B 地的行驶距离为m 千米，分类进行讨论。
解：设起步价内行驶里程为n 千米，乘客租车行驶距离为m 千米。
当n m ≤时，选起步价为)a c (c <元的出租车比较合适。
当n m >时，设)0(n m >χχ+=，乘客按方案一的租车费用为)(P 1χ元，乘客按方案二的租车费用为)(P 2χ元，则χ++=χχ+=χ)1.0b (c )(P ,b a )(P 21。
令)(P )(P 21χ=χ，即)c a (10,)1.0b (c b a -=χχ++=χ+，此时两种方案可任选。
当)c a (10->χ时，)(P )(P 21χ<χ，此时选择第一种方案合适；当)c a (10-<χ时，)(P )(P 21χ>χ，此时选择第二种方案合适。
二、建立二次函数解二次不等式例2 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速)h /km (χ之间分别有如下关系：22005.005.0s ,01.01.0s χ+χ=χ+χ=乙甲，问超速行驶的是哪辆汽车。
基本不等式实际应用题
得最小值为（ ） B
（2009年天津理6）
A. 8
B. 4 C. 1
D.
11 ab
1 4
2.（2010四川文）设ab0， 则a2 1 1 的最小值是( D )
ab a(ab) A1 B 2 C3 D 4
3.（2009山东理12T)设 x满,足y约束条件
3x y 6 0,
x
y若 目2 标 函0 ,数
2(x+y)=20
即 x+y=10
∴ xy ( x y )2 =25
当且仅当x=y=5时取等号
2
∴ 当这个矩形的长、宽都是5m的时候面积最大，
为25
m2
y x
（5）一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的 矩形菜园，墙长18m，问这个矩形的长、宽各 为多少时，菜园的面积最大，最大面积时多少？
解： 设菜园的长和宽分别为xm，ym
5000 + 16× 2
x·3025 = 6760 x
只 有 x = 3025 即 x = 55取 " = "
x
4 8 4 0 = 8 8 ,a = 5 5 < 1
x
88
例2：某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为：第一 年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依每年2千元的增量递增。问这种生产设备最多使用多少年报废最合 算(即使用多少年的平均费用最少？)
a2
16 b(a
b)
a2
64 a2
2
a
2
64 a2
16,
a 2 2,b 2
1. 两个不等式 （1）
a,bR,那么 a2b2 2ab （2） (当且 当且仅仅 当aa=b当 时，b等时 号成立取 ""号)
10道一元一次不等式应用题和答案过程
10道一元一次不等式应用题和答案过程1.某水产品市场管理部门计划建造2400平方米的大棚，内设有A种和B种店面各80间。
A种店面的平均面积为28平方米，月租费为400元；B种店面的平均面积为20平方米，月租费为360元。
全部店面的建造面积不低于大棚总面积的85%。
现在要确定A种店面的数量。
解：设A种店面为a间，B种店面为80-a间。
根据题意，28a+20(80-a)≥2400×85%，化简得8a≥440，即a≥55.因此，A种店面至少应有55间。
为使店面的月租费最高，设月租费为y元，根据题意可得y=75%a×400+90%(80-a)×360=300a+-24a=-24a。
因为a≥55，所以当a=55时，y取最大值，即月租费最高为元。
2.水产养殖户XXX计划进行大闸蟹与河虾的混合养殖。
每亩地水面租金为500元，每亩水面可在年初混合投放4公斤蟹苗和20公斤虾苗。
每公斤蟹苗的价格为75元，饲养费用为525元，当年可获得1400元收益；每公斤虾苗的价格为15元，饲养费用为85元，当年可获得160元收益。
现在要求出每亩水面虾蟹混合养殖的年利润，并确定XXX应租多少亩水面，向银行贷款多少元，才能使年利润达到元。
解：每亩水面的成本包括水面年租金、苗种费用和饲养费用，即成本=500+75×4+15×20+525×4+85×20=4900元。
每亩水面的收益为1400×4+160×20=8800元。
因此，每亩水面的年利润为8800-4900=3900元。
设租a亩水面，贷款为4900a-元。
根据题意，收益为8800a，成本不超过元，即4900a≤，解得a≤10.2亩。
为使年利润达到元，可列出方程3900a+0.1(4900a-)=，解得a≈13.08亩，即XXX应租13亩水面，向银行贷款约为元。
某手机生产厂家决定对一款原售价为2000元的彩屏手机进行调价，按新单价的八折优惠出售。
不等式(组)应用题类型及解答(包含各种题型)
一元一次不等式(组）应用题类型及解答1.分配问题1、一堆玩具分给若干个小朋友,若每人分3件，则剩余4件，若前面每人分4件，则最后一人得到的玩具最多3件，问小朋友的人数至少有多少人?。
3、把若干颗花生分给若干只猴子.如果每只猴子分3颗,就剩下8颗；如果每只猴子分5颗,那么最后一只猴子虽分到了花生,但不足5颗。
问猴子有多少只,有多少颗？4、把一些书分给几个学生，如果每人分3本,那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？5、某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数.6、将不足40只鸡放入若干个笼中，若每个笼里放4只，则有一只鸡无笼可放;若每个笼里放5只,则有一笼无鸡可放,且最后一笼不足3只。
问有笼多少个？有鸡多少只？7、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物;若每辆汽车装满8吨,则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车?8、一群女生住若干家间宿舍，每间住4人,剩下19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。
(1）如果有x间宿舍，那么可以列出关于x的不等式组:(2）可能有多少间宿舍、多少名学生？你得到几个解？它符合题意吗？二、比较问题1、某校王校长暑假将带领该校市级三好学生去北京旅游。
甲旅行社说如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠，乙旅行社说包括校长在内全部按全票价的6折优惠（按全票价的60％收费，且全票价为1200元）①学生数为x，甲旅行社收费为y甲，乙旅行社收费为y乙，分别计算两家旅行社的收费（写出表达式)②当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样？ ③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
③就学生数x讨论哪家旅行社更优惠。
2、李明有存款600元,王刚有存款2000元，从本月开始李明每月存款500元,王刚每月存款200元，试问到第几个月,李明的存款能超过王刚的存款。
不等式应用题解法
不等式应用题解法不等式是数学中的重要概念之一，它与等式一样，是一种数学关系。
不等式中的符号包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）。
不等式应用题是基于不等式概念的实际问题的解题过程，通过使用适当的不等式解法，可以得到问题的解答。
本文将介绍一些常见的不等式应用题解法。
I. 一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式类型，解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似。
例题1：解不等式2x + 3 > 7解法：1. 首先，将不等式转化为等价的形式：2x + 3 = 72. 接着，解得x = 23. 最后，根据解得的x值，可得原不等式的解为x > 2例题2：解不等式3x - 5 ≤ 4x + 2解法：1. 首先，将不等式转化为等价的形式：3x - 5 = 4x + 22. 将未知数x的项移到一边，整数项移到另一边得到：-5 - 2 ≤ 4x -3x3. 化简后得到-7 ≤ x4. 根据等价关系，可得原不等式的解为x ≥ -7II. 一元二次不等式一元二次不等式的解法与一元二次方程类似，通常需要进行因式分解或利用二次函数的性质进行求解。
例题3：解不等式x^2 - 4x > 3解法：1. 首先，将不等式转化为等价的形式：x^2 - 4x = 32. 将式子移项并整理：x^2 - 4x - 3 > 03. 根据二次函数开口方向的正负关系，可以得到解为：x < 1 或 x > 3III. 绝对值不等式绝对值不等式是以绝对值表达的不等式，解绝对值不等式通常需要分情况讨论。
例题4：解不等式|2x - 1| > 3解法：1. 首先，列出两种可能情况：2x - 1 > 3 或 2x - 1 < -32. 分别解出两个不等式：2x > 4 或 2x < -23. 根据解得的x值，可得原不等式的解为x > 2 或 x < -1IV. 系统不等式系统不等式是多个不等式组成的方程组，解系统不等式需要找到满足所有不等式的解。
2020年中考数学必考经典题(江苏版)专题05不等式(组)的解法与应用问题
2020年中考数学必考经典题（江苏版）专题05 不等式（组）的解法与应用问题【方法指导】1.不等式性质：不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．2. 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3.解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．4. 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．5.不等式（组）的整数解（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．（2）已知解集（整数解）求字母的取值．一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．6.一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：（1）分析题意，找出不等关系；（2）设未知数，列出不等式组；（3）解不等式组；（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案；（5）作答．【题型剖析】【类型1】不等式的性质【例1】（2019•昆山市二模）若x y<，则下列结论正确的是()A．1133x y->-B．22x y>C．11x y->-D．22x y<【变式1-1】（2019•滨湖区一模）若m n>，则下列各式中一定成立的是()A．22m n->-B．55m n-<-C．22m n->-D．44m n<【变式1-2】（2019•无锡模拟）下列不等式变形正确的是()A．由a b>，得22a b-<-B．由a b>，得||||a b>C．由a b>，得22a b-<-D．由a b>，得22a b>【变式1-3】（2018•无锡模拟）已知实数a、b，若a b>，则下列结论正确的是() A．55a b-<-B．22a b+<+C．33a b->-D．33a b>【类型2】解一元一次不等式（组）【例2】（2019•建湖县二模）解不等式221123x x+-+，并把它的解集在数轴上表示出来：【变式2-1】（2019•扬州一模）解不等式：122123x x-+-．【变式2-2】（2019•姑苏区校级二模）解不等式组3811223x xx x-<⎧⎪++⎨⎪⎩【变式2-3】（2019•玄武区二模）如图，在数轴上点A、B、C分别表示1-、23x-+、1x+，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧．（1）求x的取值范围；（2）当2AB BC=时，x的值为．【类型3】：不等式（组）的整数解【例3】（2019•天宁区校级二模）已知关于x的不等式组521xx a--⎧⎨->⎩有3个整数解，则a的取值范围是．【变式3-1】（2019•建邺区校级二模）若关于x的不等式组21312xx m+⎧+>-⎪⎨⎪<⎩的所有整数解的和是7-，则m的取值范围是．【变式3-2】（2019•南召县二模）已知关于x的不等式组321x ax-⎧⎨--⎩的整数解共有5个，则a的取值范围是．【变式3-3】（2018•海门市模拟）关于x的不等式组10x mx-<⎧⎨+>⎩恰有3个整数解，则实数m的取值范围为【类型4】：不等式的应用【例4】（2019•姑苏区校级二模）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进甲商品2件和乙商品1件共需50元，购进甲商品1件和乙商品2件共需70元．（1）求甲、乙两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定甲商品以每件20元出售，乙商品以每件50元出售，为满足市场需求，需购进甲、乙两种商品共60件，若要保证获利不低于1000元，则甲商品最多能购进多少件？【变式4-1】（2019•高邮市二模）某校举办园博会知识竞赛，打算购买A、B两种奖品．如果购买A奖品10件、B奖品5件，共需120元；如果购买A奖品5件、B奖品10件，共需90元．（1）A，B两种奖品每件各多少元？（2）若购买A、B奖品共100件，总费用不超过600元，则A奖品最多购买多少件？【变式4-2】（2019•镇江一模）某旗舰网店用8000元购进甲、乙两种口罩，全部销售完后一共获利2800元，进价和售价如下表：品名价格甲种口罩乙种口罩进价（元/袋）2025售价（元/袋）2635（1）该店购进甲、乙两种口罩各多少袋？（2）该店再次以原价购进甲、乙两种口罩，购进乙种口罩袋数不变，而购进甲种口罩袋数是第一次的2倍，甲种口罩按原售价出售，而乙种口罩让利销售．若这次购进的两种口罩均销售完毕，且本次销售一共获利不少于3680元，那么乙种口罩每袋最多让利多少元？【类型5】：不等式组的应用【例5】（2019•昆山市二模）某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元．（1）求每个篮球和每个足球的售价；（2）如果学校计划购买这两种球共50个，用于此次购球的总资金不低于5400元，且不超过5500元，求本次购球方案．【变式5-1】（2019•常熟市二模）为了丰富校园文化生活，促进学生积极参加体育运动，某校准备成立校排球队，现计划购进一批甲、乙两种型号的排球，已知一个甲种型号排球的价格与一个乙种型号排球的价格之和为140元；如果购买6个甲种型号排球和5个乙种型号排球，一共需花费780元．（1）求每个甲种型号排球和每个乙种型号排球的价格分别是多少元？（2）学校计划购买甲、乙两种型号的排球共26个，其中甲种型号排球的个数多于乙种型号排球，并且学校购买甲、乙两种型号排球的预算资金不超过1900元，求该学校共有几种购买方案？【变式5-2】（2019•太仓市模拟）某小区准备新建50个停车位，用以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.6万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.3万元．（1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位需多少万元？（2）该小区的物业部门预计投资金额超过12万元而不超过13万元，那么共有几种建造停车位的方案？【变式5-3】（2018•海州区一模）某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：原进价（元/张）零售价（元/张）成套售价（元/套）餐桌a270500元a 70餐椅110已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．（1）求表中a的值．（2）若该商场购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？【达标检测】一．选择题（共8小题）1．（2019•镇江）下列各数轴上表示的x的取值范围可以是不等式组的解集的是（）2．（2019•宿迁）不等式x﹣1≤2的非负整数解有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．（2019•无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a 个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．74．（2018•无锡）若关于x的不等式3x+m≥0有且仅有两个负整数解，则m的取值范围是（）A．6≤m≤9 B．6＜m＜9 C．6＜m≤9 D．6≤m＜95．（2018•宿迁）若a＜b，则下列结论不一定成立的是（）A．a﹣1＜b﹣1 B．2a＜2b C．D．a2＜b26．（2019•恩施州）已知关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围为（）A．1＜a≤2 B．1＜a＜2 C．1≤a＜2 D．1≤a≤27．（2019•西藏）把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余6本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有______本，共有______人．（）A．27本，7人B．24本，6人C．21本，5人D．18本，4人8．（2019•永州）若关于x的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共6小题）9．（2019•淮安）不等式组的解集是．10．（2019•泰州）不等式组的解集为．11．（2018•扬州）不等式组的解集为．12．（2019•丹东）关于x的不等式组的解集是2＜x＜4，则a的值为．13．（2019•莱芜区）定义：[x]表示不大于x的最大整数，例如：[2.3]＝2，[1]＝1．有以下结论：①[﹣1.2]＝﹣2；②[a﹣1]＝[a]﹣1；③[2a]＜[2a]+1；④存在唯一非零实数a，使得a2＝2[a]．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）14．（2019•玉林）设01，则m，则m的取值范围是．三．解答题（共8小题）15．（2019•南通）解不等式x＞1，并在数轴上表示解集．16．（2019•常州）解不等式组并把解集在数轴上表示出来．17．（2019•扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．18．（2019•盐城）解不等式组：19．（2018•无锡）A商场从某厂以75元/件的价格采购一种商品，售价是100元/件．厂家与商场约定：若商场一次性采购达到或超过400件，厂家按每件5元返利给A商场．商场没有售完的，可以以65元/件退还给厂家．设A商场售出该商品x件，问：A商场对这种商品的销量至少要多少时，他们的获利能达到9600元？20．（2018•南通）小明购买A，B两种商品，每次购买同一种商品的单价相同，具体信息如下表：次数购买数量（件）购买总费用（元）A B第一次 2 1 55第二次 1 3 65 根据以上信息解答下列问题：（1）求A，B两种商品的单价；（2）若第三次购买这两种商品共12件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21．（2019•抚顺）为响应“绿色生活，美丽家园”号召，某社区计划种植甲、乙两种花卉来美化小区环境．若种植甲种花卉2m2，乙种花卉3m2，共需430元；种植甲种花卉1m2，乙种花卉2m2，共需260元．（1）求：该社区种植甲种花卉1m2和种植乙种花卉1m2各需多少元？（2）该社区准备种植两种花卉共75m2且费用不超过6300元，那么社区最多能种植乙种花卉多少平方米？22．（2019•莱芜区）某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量，计划对甲、乙两种型号蔬菜大棚进行改造，根据预算，改造2个甲种型号大棚比1个乙种型号大棚多需资金6万元，改造1个甲种型号大棚和2个乙种型号大棚共需资金48万元．（1）改造1个甲种型号和1个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？（2）已知改造1个甲种型号大棚的时间是5天，改造1个乙种型号大概的时间是3天，该基地计划改造甲、乙两种蔬菜大棚共8个，改造资金最多能投入128万元，要求改造时间不超过35天，请问有几种改造方案？哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？。
基本不等式实际应用题
• 基本不等式的概念和性质 • 基本不等式的应用场景 • 基本不等式的解题技巧 • 基本不等式的实际应用案例 • 基本不等式的扩展和深化
01
基本不等式的概念和性质
基本不等式的定义
定义
基本不等式是数学中常用的一个不等 式，它表示两个正数的平均数总是大 于或等于它们的几何平均数。
总结词：代数变换技巧是基本不等式 解题中的重要技巧之一，通过代数运 算对项进行变换，可以简化计算过程， 提高解题效率。
放缩法技巧
放缩法技巧是指通过放缩不等式的两边，使不等式更易于解 决。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过放缩法技 巧将问题转化为更容易求解的形式。
总结词：放缩法技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一， 通过放缩不等式的两边，可以将问题转化为更容易求解的形 式，提高解题效率。
构造函数技巧
构造函数技巧是指根据题目的特点，构造一个函数来解决问题。例如，在利用基本不等式求最值时，可以通过构造函数技巧 将问题转化为求函数的最值问题。
总结词：构造函数技巧是基本不等式解题中的重要技巧之一，通过构造函数可以将问题转化为求函数的最值问题，简化计算 过程，提高解题效率。
04
基本不等式的实际应用案例
VS
详细描述
在资源有限的条件下，如何合理分配资源 以达到最优效果是资源分配问题的核心。 基本不等式可以用来解决这类问题，例如 在农业生产、资金分配等方面，通过优化 资源配置，可以提高整体效益。
最短路径问题
总结词
在交通、通信和工程领域，最短路径问题至关重要，基本不等式为寻找最短路径提供了 理论支持。
极值问题
在极值问题中，基本不等式可以用来确定函数的极值点，以及极值的大小。
优化问题的求解
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
/pengxiang/
不等式组的应用3：出பைடு நூலகம்车的收费问题
精品资料，祝您成功
精品资料，祝您成功
解:设小强家离学校x千米，依题意得： 10+1.2(X-5）﹥17.2-1.2
{
10+1.2(X-5）≦17.2
解得10﹤x≦11 即小强家离学校的距离大于10千米不大于11千米。 点评：本题考查了一元一次不等式组的在实际生 活中的应用，关键点是要正确理解不到一千米按 一千米计费的含义。
练习
• 某种出租车的收费标准是：起步价7元（即 行驶距离不超过3km都需付7元车费）；超 过3km以后，每增加1km，加收2.4元（不 足1km按1km计），某人乘出租车从甲地到 乙地共支付车费19元，则从甲地到乙地的 最大距离是（ ） • A、11㎞ B、8㎞ C、7㎞ D、5㎞
本题中支付车费172元已超过了起步价10元说明出租车行驶的路程超了5千米若设小强家离学校x千米则此时x应满足1012x5172又根据不超过1千米按1千米收费所以当收费为172时也可能是资费超过了17212即16元所以x又要满足1012x517212解
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤：
（1）审：审题，分析题目中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系 （2）设：设适当的未知数 （3）找：找出题目中的所有不等关系 （4）列：列不等式组
（5）解：求出不等式组的解集
（6）答：写出符合题意的答案
例：滨海市一种出租车起步价为10元 （即行驶路程在5千 米以内都需10元）,达到或超过5千米后,每增加1千米，加 价1.2元 (不足一千米, 按1千米计算 ）。现在小强乘这种 出租车从家到学校，支付了车费17.2元，请你计算小强家 离学校有多远？ 分析：本题中支付车费17,2元，已超过了起步价10元， 说明出租车行驶的路程超了5千米，若设小强家离学校 x千米，则此时X应满足10+1.2(X-5）≦17.2，又根据 不超过1千米按1千米收费，所以当收费为17.2时也可 能是资费超过了（17.2-1.2)即16元，所以x又要满足 10+1.2(X-5）﹥17.2-1.2
基本不等式应用题解题技巧
基本不等式应用题解题技巧
1. 嘿，你知道不，遇到基本不等式应用题，咱得先看清题目呀！就像走路得先知道往哪儿走。
好比说，给你个例子，要建个篱笆围个矩形场地，一边靠墙，其他三边用篱笆，篱笆长度一定，问怎么围面积最大。
这时候是不是就得用基本不等式解题技巧啦？
2. 哎呀，一定要抓住关键信息呀！就像抓小偷得知道从哪儿下手。
比如说一个制作盒子的问题，给定材料面积，问怎么制作盒子容积最大。
这里面可藏着好多解题技巧要用起来呢！
3. 嘿呀，注意等量关系呀！这可太重要啦，就像开锁找对钥匙一样。
比如一道买东西算最值的题，总价不能超，问怎么买最合适。
不注意这些咋解题呢！
4. 哇塞，要合理设未知数啊！这可不能马虎，好比给自己选一件合适的衣服。
像那种两个数和一定求积最大的题目，设好未知数不就好解决多啦！
5. 哈哈，分类讨论也很关键呐！这就像走不同的路去目的地。
例如不同条件下用基本不等式求最值，那可得认真探讨呀！
6. 嘿，别忘了检查结果合不合理呀！可不能像没头苍蝇乱撞。
比如说算出来的边长不可能是负数之类的，一定得留意呀！
7. 哎哟喂，多做几道题练练手呀！不然技巧怎么能熟练运用呢。
像是那种生产产品数量和利润的问题，多做几遍不就熟了嘛！
8. 哇哦，和同学讨论讨论也很棒呀！三个臭皮匠还顶个诸葛亮呢！比如那道关于资源分配求最优的题，大家一起讨论肯定思路更广呀！
9. 总之，学会这些基本不等式应用题解题技巧，那解题就像囊中取物一样简单！咱可得好好掌握呀！。
一元一次不等式的应用题解法
一元一次不等式的应用题解法《一元一次不等式的应用题解法：像破解神秘宝藏的密码》嘿，小伙伴们！今天咱们来聊聊一元一次不等式的应用题解法。
这就像是一场超级有趣的冒险呢！我先给你们讲个事儿啊。
我和我的好朋友小明去商店买糖果。
商店里有一种超级好吃的糖果，每颗糖要2元钱。
我带了10元钱，我就想啊，我能买多少颗糖呢？这个很简单，用10除以2就知道能买5颗啦。
这就是一个简单的等式应用题。
可是呢，要是情况变得复杂一点呢？比如说，商店老板有个特别的规定，他说如果买的糖果数量超过3颗，他就会给打8折。
那我就想知道，如果我想花不超过8元钱，我最多能买几颗糖呢？这时候，一元一次不等式就登场啦。
咱们先设我能买x颗糖。
如果不打折的话，总价就是2x元。
但是因为买超过3颗会打折，所以当x > 3的时候，总价就变成了2x乘以0.8元。
我想花不超过8元钱，那这个不等式就可以写成：当x > 3时，2x×0.8≤8。
那怎么解这个不等式呢？就像走迷宫一样，我们一步一步来。
先算2x×0.8，那就是1.6x≤8。
然后呢，就像把宝藏从箱子里拿出来一样，我们要把x单独弄出来。
两边同时除以1.6，就得到x≤5。
可是别忘了，这个不等式是在x > 3的条件下成立的。
所以我最多能买5颗糖，而且还能享受到折扣呢。
再来说说我和我邻居小红的事儿吧。
小红想要攒钱买一个漂亮的笔记本，这个笔记本要15元。
她每天能得到1元的零花钱，但是她有时候会忍不住花5角钱去买小零食。
她想知道，要过多少天她才能攒够钱买笔记本呢？我们设需要x天。
她每天得到1元，但是会花掉0.5元，所以实际上每天能攒下(1 - 0.5)元。
她要攒够15元，那不等式就是(1 - 0.5)x≥15。
0.5x≥15，两边同时除以0.5，就得到x≥30。
这就告诉小红，她至少要30天才能攒够钱买笔记本。
那小伙伴们可能会问了，这和等式的应用题有啥不一样呢？等式就像是在天平上放东西，两边要完全平衡。
不等式应用题
不等式应用题用一元一次不等式组解决实际问题的步骤⑴审题，找出不等关系；⑵设未知数；⑶列出不等式；⑷求出不等式的解集；⑸找出符合题意的值；⑹作答。
1、解不等式组应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）【例1】一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?【例2】某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。
问该宾馆底层有客房多少间?【例3】用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？【例4】用每分钟抽1.1吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水？2、解不等式组应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）【例1】把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本？学生有多少人？【例2】某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
【例3】某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，哪家旅行社比较好？3、解两种“方案比较”应用题的方法⑴找出两种方案的，设未知数⑵分别列出两种方案的费用⑶分情况讨论（结合人数）【例1】某单位计划10月份组织员工到H地旅游人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠；问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？【例2】．小王家里装修，他去商店买灯，商店柜台里现有功率为100瓦的白炽灯和40瓦的节能灯，它们的单价分别为2元和32元，经了解，这两种灯的照明效果和使用寿命都一样，已知小王所在地的电价为每千瓦时0.5元，请问当这两种灯的使用寿命超过多长时间时，小王选择节能灯才合算。
初二不等式经典例题
初二不等式经典例题摘要：一、初二不等式基本概念1.不等式的定义2.不等式的基本性质3.不等式的解集表示方法二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解2.例题二：一元一次不等式的应用题3.例题三：一元一次不等式组求解4.例题四：一元二次不等式的解法三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用2.技巧二：图像法求解不等式3.技巧三：代数法求解不等式正文：一、初二不等式基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示大小关系。
不等式可以表示为“大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”等符号。
例如，3>2、x≤5等。
不等式的基本性质包括：1）若a>b，则a+c>b+c；2）若a>b，则-a<-b；3）若a>b且c>0，则ac>bc；4）若a>b且c<0，则ac<bc。
不等式的解集表示方法有：1）区间表示法；2）集合表示法。
二、初二不等式经典例题解析1.例题一：简单一元一次不等式求解题目：解不等式x+2>5。
解：移项得x>3，所以解集为x∈(3, +∞)。
2.例题二：一元一次不等式的应用题题目：一辆汽车从甲地到乙地，行驶100公里，已知汽车行驶的时间为2小时，求汽车的速度是否大于50公里/小时。
解：设汽车速度为v，根据距离=速度×时间，得v×2=100，所以v>50。
答案为汽车速度大于50公里/小时。
3.例题三：一元一次不等式组求解题目：解不等式组x+3>6和x-2<4。
解：分别解得x>3和x<6，所以解集为3<x<6。
4.例题四：一元二次不等式的解法题目：解不等式x^2-5x+6>0。
解：首先求出方程x^2-5x+6=0的根，得x=2,3。
因为二次函数开口向上，所以解集为x∈(2,3)。
三、解决初二不等式问题的技巧与方法1.技巧一：不等式性质的应用在解不等式时，可以充分利用不等式的基本性质，如加减、乘除、翻转不等号等，简化不等式的求解过程。
一元一次不等式组应用题解析版
接待一世博旅行团有290名游客，共有100件行李。计划租用
甲，乙两种型号的汽车共8辆。甲种汽车每辆最多能载40人和
10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车 x辆，请你帮助设计可能的租车方案；
（2）如果甲，乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，
1800元，你会选择哪种租车方案。
70米 A 0.6米 B 1.1米
52米 0.9米 0.4米
讨论：
1、完成任务是什么意思？ 2、70米与52米是否一定要用完 3、应该设什么为x？ 4、用那些关系来列不等式组？
70米 A 0.6米 B 1.1米
52米 0.9米 0.4米
分析：若设生产A型号时装为x套，则生产B 型号时装为（80－x)套
检测2答案
解：（1）设购买甲种机器x台，则购买乙种机器（6－x）台。 7x＋5（6－x）≤34 x≤2，
∵x为非负整数 ∴x取0、1、2 ∴该公司按要求可以有以下三种购买方案：
方案一：不购买甲种机器，购买乙种机器6台； 方案二：购买甲种机器1台，购买乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，购买乙种机器4台； （2）按方案一购买机器，所耗资金为30万元，新购买机器日生产 量为360个； 按方案二购买机器，所耗资金为1×7＋5×5＝32万元；，新 购买机器日生产量为1×100＋5×60＝400个； 按方案三购买机器，所耗资金为2×7＋4×5＝34万元；新购 买机器日生产量为2×100＋4×60＝440个。 ∵选择方案二既能达到生产能力不低于380个的要求，又比方 案三节约2万元资金，故应选择方案二。
x=12或13
答：张力平均每天读12或13页
某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活 塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和 每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次 购买机器所耗资金不能超过34万元。
不等式应用题的三种常见类型
不等式应用题的三种常见类型
1. 生活中的应用题：
例题：小明的月收入为4000元，他每月的房租花费不得超过他的月收入的三分之一。
假设小明每月还要花费1000元用于生活开销，他每月至少要赚多少钱才能够维持生活？
解题思路：设小明每月的房租花费为x元，则x ≤ 4000 / 3。
因此，小明每月的生活开销就是1000元，其余的收入全部用于支付房租，即 x + 1000 = 4000 - x。
解得 x = 1500，即小明每月至少要赚1500元才能够维持生活。
2. 比例中的应用题：
例题：某车间一天生产甲零件500个，乙零件600个，工人们生产的甲零件比例与乙零件比例相同。
已知当天工人们共生产了2160个零件，其中甲零件占比例的三分之一。
问甲零件与乙零件各生产了多少个？
解题思路：设甲零件生产的数量为x，则乙零件生产的数量为y，由题意可得：
x/y = 500/600 （1）
x + y = 2160 * 1/3 （2）
将（1）式改写为x = 5/6y，代入（2）式中，得到：
5/6y + y = 720
解得 y = 360，代入（1）式中，得到 x = 300。
因此，甲零件
生产了300个，乙零件生产了360个。
3. 几何中的应用题：
例题：一个圆的面积是一个正方形面积的三倍，这个圆的半径是正方形的边长的多少倍？
解题思路：设圆的半径为r，正方形的边长为x，则圆的面积
为πr²，正方形的面积为x²。
根据题意，得到：
πr² = 3x²
解得r = x√(3/π)。
因此，圆的半径是正方形的边长的√(3/π)倍。
各类不等式求解集的方法
版权所有 翻版必究1中公学员内部专用各类不等式求解集的方法在管理类联考中，方程与不等式在历年考试中都是非常重要的一个考点，不等式考试中可能会单独考查，或者会在应用题中考查，考查方式很灵活。
比较重要的是一元二次不等式，绝对值不等式，无理不等式，均值不等式，以及分式不等式。
接下来我给大家讲解一下各类不等式的解法。
一、一元二次不等式解题步骤：①一看：看二次项系数是否为正，若为负化为正②二算：算∆及对应方程的根③三写：写解集，大于号取两端，小于号取中间1. 不等式21(1)37x x x -<-<+的整数解的个数为（）.（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4（E ）5二、分式不等式解题步骤：①移项、通分将不等号右侧化为0②化除为乘，最后求解（注意舍去使分母为零的情况） 2. 设01x <<，则不等式223211x x ->-的解集是（）. （A ）02x <（B 12x <<（C ）203x <<（D 213x <（E ）以上选项均不正确三、无理不等式解题步骤：()g x①将等号两边平方得到2()()f x g x <并求解得到x 的范围②限定()f x 与()g x 的范围，即令()0()0f x g x ≥⎧⎨>⎩并求解得到x 的范围 ③将得到的x 的范围（I ）和（II ）联立，求交集，即为无理不等式的解集版权所有 翻版必究2中公学员内部专用 3. 1x +.（1）[1,0]x ∈-（2）10,2x ⎤⎛∈ ⎥⎝⎦四、绝对值不等式解题步骤分段讨论法：根据()()0()()()0f x f x f x f x f x ≥⎧=⎨-<⎩，，去绝对值符号，然后再求解。
4. 25|21|x x x -->-.（1）4x >（2）1x <-五、均值不等式集体步骤：①一正：判断是为正值②二定：判断积是否为定值，和是否为定值③三相等：取等求最值5. 若m x =，4n x =-且0m >，0n >，则当x =（）时，mn 可以取到最大值为（）. （A ）2，2（B ）2，3（C ）1，3（D ）2，2-（E ）2，4。
方程与不等式
老师姓名张解星学生姓名陈萱霖教材版本北师大版学科名称数学年级九年级上课时间3月22日20:00--21:30课题名称方程与不等式教学重点方程与不等式的解法及其应用题教学过程【知识点】一、一元一次方程（1）定义：只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的方程。
（形如ax=b，a ≠0）（2）解法：去分母、去括号→移项→合并同类项→系数化1例1．若x=2是关于x的方程2x+3k-1=0的解，则k的值是________.2．已知关于x的方程4x-m=2(x-2m)与2(3x+4m)=3m+2(x-1)的解相同，求m的值及相同的解.3.当k取什么整数时，关于x的方程313164=---kxx的解是正整数？4.（2010广东茂名9）．用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第n个“口”字需用棋子（）A．4n枚 B．(4n－4)枚 C．(4n＋4)枚 D．n2枚二、二元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法；②加减法1.（2010 珠海）方程组⎩⎨⎧=-=+7211yxyx的解是__________.2.（2010 广州）解方程组⎩⎨⎧=-=+112312yxyx3.（2010 肇庆）我市某企业向玉树地震灾区捐助价值26万元的甲、乙两种帐篷共300顶．已知甲种帐篷每顶800元，乙种帐篷每顶1000元，问甲、乙两种帐篷各多少顶？三、分式方程⑴定义：分母中含未知数的方程，叫分式方程。
如：121232x x+=+⑵基本思想：如何将分式方程化为整式方程？答：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.⑶基本解法：①去分母法；②换元法（如，7222163=-+++-xxxx）⑷验根：将求出的未知数的值代入公分母，若分母不为0则是原方程的根，否则，是原方程的增根。
去分母分式方程整式方程（5）解分式方程的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列→求出未知数的值→检验1．（2010 咸宁）分式方程131x x x x +=--的解为（ ） A ．1x = B ．1x =- C ．3x = D ．3x =-2. （2010 广东）分式方程112=+x x 的解＝ . 3.（2009 广州）解方程：123-=x x ． 4．（2010 益阳） 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同,已知小车每小时比货车多行驶20千米,求两车的速度各为多少?设货车的速度为x 千米/小时,依题意列方程正确的是（ ）Ａ．203525-=x x Ｂ．x x 352025=- Ｃ．203525+=x x Ｄ．xx 352025=+ 四、一元二次方程 1．定义及一般形式：)0(02≠=++a c bx ax如何将一个方程化为一元二次方程的一般形式? 答:去分母→去括号→移项→合并同类项→降幂排列.2．解法：⑴配方法（注意步骤和推导求根公式）(2)公式法：)04(24222,1≥--±-=ac b aac b b x (3)因式分解法（特征：左边=0）说明：用配方法和公式法，都要先将方程化为标准形式才行。
不等式应用题
一、专题精讲专题1解已知总量不等式（组）应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）例1（一元一次不等式组）一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页?触类旁通某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。
问该宾馆底层有客房多少间?专题2解总量未知不等式(组）应用题的方法⑴找关键词——不等量⑵找对比（两种情况），设未知数⑶找总量⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）例1用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车？触类旁通把若干颗花生分给若干个猴子，如果每只猴子分3颗，就剩下8颗，如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子得不到5颗，但分得到花生．那么猴子有多少只？花生有多少颗？专题3解两种“方案比较”应用题的方法⑴找出两种方案的，设未知数⑵分别列出两种方案的费用⑶分情况讨论（结合人数）【例4】2012年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．种造型的成本是960元，试说明（2）若搭配一个种造型的成本是800元，搭配一个（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？三、学法提炼1、专题特点：主要是了解不等式的运用特点，能够根据题意列出合适的表达式，并能进行讨论分析，得出合理结果2、解题方法:主要是根据题意列出不等式关系，最终结合实际情况进行取值3、注意事项：在解题实际问题中，主要是考虑到取值的合理性，例如小数不能取，一般在正整数范围内进行取值。
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第一部分：不等式应用题解法
【引例】一个长方形足球场的宽是65m，如果它的周长大于330m，面积不大于7150㎡。
求这个足球场的长的范围，并判断这个足球场是否可以用于国际足球比赛。
（国际比赛的足球场长度为100～110m,宽度为64～75m)
【问题1】如何设未知数如何找到表达实际问题的两个不等关系
【问题2】用一元一次不等式组解决实际问题的步骤是什么
⑴审题，找出不等关系；
⑵设未知数；
⑶列出不等式；
⑷求出不等式的解集；
⑸找出符合题意的值；
⑹作答。
【例1】一本英语书98页,张力读了7天(一周)还没读完,而李永不到一周就读完了.李永平均每天比张力多读3页,张力每天读多少页
解不等式组应用题的方法1
⑴找关键词——不等量
⑵找对比（两种情况），设未知数
⑶找总量
⑷总量已知：两种情况各自与总量比较（两个不等式）
【习题1】某旅游团有48人到某宾馆住宿，若全安排住宾馆的底层，每间住4人，房间不够；每间住5人，有一个房间没有住满5人。
问该宾馆底层有客房多少间
【例2】把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人就分不到3本。
问这些书有多少本学生有多少人
解不等式组应用题的方法2
⑴找关键词——不等量
⑵找对比（两种情况），设未知数
⑶找总量
⑷总量未知：两种情况相互比较（其中一种情况可计算总量，另一种情况有上下限）
【习题2】某中学为八年级寄宿学生安排宿舍，如果每间4人，那么有20人无法安排，如果每间8人，那么有一间不空也不满，求宿舍间数和寄宿学生人数。
【例3】某校校长暑假将带领该校“市级三好学生”去三峡旅游，甲旅行社说：如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠；乙旅行社说：包括校长在内全部按全票的6折优惠。
已知两家旅行社的全票价都是240元，哪家旅行社比较好
解两种“方案比较”应用题的方法
⑴找出两种方案的，设未知数
⑵分别列出两种方案的费用
⑶分情况讨论（结合人数）
【习题3】某单位计划10月份组织员工到H地旅游人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元．该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用，其余游客八折优惠；问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少
【练习】
1、用若干辆载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空。
请问：有多少辆汽车
2、用每分钟抽吨水的A型抽水机来抽池水，半小时可以抽完；如果改用B型抽水机，估计20分钟到22分可以抽完。
B型抽水机比A型抽水机每分钟约多抽多少吨水
3、A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往C、D两农村，如果从A城
运往C、D两地运费分别是20元/吨与25元/吨，从B城运往C、D两地运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知C地需要220吨，D地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请帮他算一算，怎样调运花钱最小。