不等式及其解法练习题
(十)一元二次不等式及其解法(答案)
§7.2 一元二次不等式及其解法题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ ) 题组二 教材改编2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪4－x x ＋1≤0，那么集合A ∩(∁U B )等于( )A ．[－2,4)B ．(－1,3]C ．[－2，－1]D ．[－1,3] 答案 D解析 因为A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x ≥4}， 故∁U B ＝{x |－1≤x <4}，所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D. 3．y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73，∴3x 2－2x －2>0的解集为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示) 答案 (－4,1)解析 由－x 2－3x ＋4>0可知，(x ＋4)(x －1)<0， 得－4<x <1.5．若关于x 的不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是⎝⎛⎭⎫－12，13，则a ＋b ＝________. 答案 －14解析 ∵x 1＝－12，x 2＝13是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，∴⎩⎨⎧a 4－b2＋2＝0，a 9＋b3＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.6．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集为空集，则实数a 的取值范围为____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－2，65 解析 当a 2－4＝0时，a ＝±2.若a ＝－2，不等式可化为－1≥0，显然无解，满足题意；若a ＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；当a ≠±2时，要使不等式的解集为空集，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，(a ＋2)2＋4(a 2－4)<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－2，65.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式典例 求不等式－2x 2＋x ＋3<0的解集． 解 化－2x 2＋x ＋3<0为2x 2－x －3>0， 解方程2x 2－x －3＝0，得x 1＝－1，x 2＝32，∴不等式2x 2－x －3>0的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞， 即原不等式的解集为(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫32，＋∞. 命题点2 含参不等式典例 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1. ②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≥0， 解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －2a (x ＋1)≤0. 当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a <－1，即－2<a <0时，解得2a≤x ≤－1. 综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥2a 或x ≤－1； 当－2<a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1≤x ≤2a . 思维升华 含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．(1)若二次项系数为常数，首先确定二次项系数是否为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是二次不等式，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式； (3)对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． 跟踪训练 解下列不等式： (1)0<x 2－x －2≤4； (2)12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )． 解 (1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4，则⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x ＋1)>0，(x －3)(x ＋2)≤0， 可得⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，∴原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (2)∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜a 3或x ＞－a 4.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R 上的恒成立问题典例 (1)若一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0]B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0) 答案 D解析 ∵2kx 2＋kx －38<0为一元二次不等式，∴k ≠0，又2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则必有⎩⎪⎨⎪⎧2k <0，Δ＝k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. (2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,4) B ．[0,4) C ．(0，＋∞) D ．(－∞，4) 答案 B解析 对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，∴0≤a <4. 命题点2 在给定区间上的恒成立问题典例 设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围． 解 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0， 所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可． 所以m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪m <67. 命题点3 给定参数范围的恒成立问题典例 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围． 解 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意，知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0. 解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零． 思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数． 跟踪训练 函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，求实数x 的取值范围． 解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立， 需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0， ∴实数a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图①，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图②，g (x )的图象与x 轴有交点， 但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x ＝－a2≤－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4(3－a )≥0，－a2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅.③如图③，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x＝－a2≥2，g(2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a2－4(3－a)≥0，－a2≥2，7＋a≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a≥2或a≤－6，a≤－4，a≥－7.∴－7≤a≤－6，综上，实数a的取值范围是[－7,2]．(3)令h(a)＝xa＋x2＋3.当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧h(4)≥0，h(6)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4x＋3≥0，x2＋6x＋3≥0，解得x≤－3－6或x≥－3＋ 6.∴实数x的取值范围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．题型三一元二次不等式的应用典例甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是100·⎝⎛⎭⎫5x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润． 解 (1)根据题意，得200⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ≥3 000， 整理得5x －14－3x ≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]． (2)设利润为y 元，则y ＝900x ·100⎝⎛⎭⎫5x ＋1－3x ＝9×104⎝⎛⎭⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎡⎦⎤－3⎝⎛⎭⎫1x －162＋6112， 故当x ＝6时，y max ＝457 500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元． 思维升华 求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型． (3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．跟踪训练 某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 解 (1)由题意，得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )，定义域为x ∈[0,2]． (2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0，解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.转化与化归思想在不等式中的应用典例 (1)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．思想方法指导 函数的值域和不等式的解集转化为a ，b 满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题． 解析 (1)由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c ，∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6. ②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.(2)∵当x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋a x >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x≥1时，a>－(x2＋2x)恒成立．令g(x)＝－(x2＋2x)，则g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a>－3.∴实数a的取值范围是{a|a>－3}．答案(1)9(2){a|a>－3}1．不等式(x－1)(2－x)≥0的解集为()A．{x|1≤x≤2} B．{x|x≤1或x≥2} C．{x|1<x<2} D．{x|x<1或x>2}答案A解析由(x－1)(2－x)≥0可知，(x－2)(x－1)≤0，所以不等式的解集为{x|1≤x≤2}．2．(2018·河北省三市联考)若集合A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合B＝{x|2x<2}，则A∩B等于()A ．(1,3)B ．(－∞，－1)C ．(－1,1)D ．(－3,1)答案 C解析 依题意，可求得A ＝(－1,3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1,1)．3．(2018·商丘调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥x 2的解集为( ) A ．[－1,1] B ．[－2,2] C ．[－2,1] D ．[－1,2]答案 A解析 方法一 当x ≤0时，x ＋2≥x 2，∴－1≤x ≤0；①当x >0时，－x ＋2≥x 2，∴0<x ≤1.②由①②得原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．方法二 作出函数y ＝f (x )和函数y ＝x 2的图象，如图所示，由图知f (x )≥x 2的解集为[－1,1]．4．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}答案 D解析 由题意知，当a ＝0时，满足条件．当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0， 得0<a ≤4，所以0≤a ≤4.5．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析 设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]答案 B解析 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3，综上可得－4≤a ≤3.7．若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则a 的值为________．答案 1±52解析 若不等式－2≤x 2－2ax ＋a ≤－1有唯一解，则x 2－2ax ＋a ＝－1有两个相等的实根，所以Δ＝4a 2－4(a ＋1)＝0，解得a ＝1±52. 8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是____________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a 解析 原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 由0<a <1，得a <1a ，∴a <x <1a. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ a <x <1a . 9．(2018·济南模拟)若不等式mx 2＋2mx －4<2x 2＋4x 对任意x 都成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－2,2]解析 原不等式等价于，(m －2)x 2＋2(m －2)x －4<0，①当m －2＝0，即m ＝2时，对任意x ，不等式都成立；②当m －2<0，即m <2时，Δ＝4(m －2)2＋16(m －2)<0，解得－2<m <2.综合①②，得m ∈(－2,2]．10．(2018·湛江调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是__________． 答案 {x |－ln 2<x <ln 3}解析 依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)， 由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0，可得12<e x <3， 解得－ln 2<x <ln 3.11．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )．(1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集；(2)若a >0，且0<x <m <n <1a，比较f (x )与m 的大小． 解 (1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0，即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}；当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)，∵a >0，且0<x <m <n <1a， ∴x －m <0,1－an ＋ax >0.∴f (x )－m <0，即f (x )<m .12．已知不等式(a ＋b )x ＋2a －3b <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34，求不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0的解集．解 因为(a ＋b )x ＋2a －3b <0，所以(a ＋b )x <3b －2a ，因为不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－34， 所以a ＋b <0，且3b －2a a ＋b＝－34， 解得a ＝3b <0，则不等式(a －2b )x 2＋2(a －b －1)x ＋a －2>0，等价于bx 2＋(4b －2)x ＋3b －2>0，即x 2＋⎝⎛⎭⎫4－2b x ＋3－2b<0， 即(x ＋1)⎝⎛⎭⎫x ＋3－2b <0.因为－3＋2b<－1， 所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－3＋2b <x <－1.13．若关于x 的不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 解析 方法一 ∵x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，令f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (0)＝－2<0，f (x )的图象开口向上，∴只需f (5)>0，即25＋5a －2>0，解得a >－235. 方法二 由x 2＋ax －2>0在x ∈[1,5]上有解，可得a >2－x 2x ＝2x－x 在x ∈[1,5]上有解． 又f (x )＝2x－x 在x ∈[1,5]上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫2x －x min ＝－235，只需a >－235. 14．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为__________． 答案 [－8,4]解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由一元二次不等式的性质可知，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4.15．(2018·郑州质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0， 若关于x 的不等式[f (x )]2＋af (x )－b 2<0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( )A ．2B ．3C ．5D ．8答案 D解析 作出函数f (x )的图象如图实线部分所示，由[f (x )]2＋af (x )－b 2<0， 得－a －a 2＋4b 22<f (x )<－a ＋a 2＋4b 22， 若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a <f (x )<0，且整数解x 只能是3，当2<x <4时，－8<f (x )<0，所以－8≤－a <－3，即a 的最大值为8，故选D.16．(2017·宿州模拟)若关于x 的不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，则实数a 的取值范围为__________．答案 (－∞，0]解析 因为不等式4x －2x ＋1－a ≥0在[1,2]上恒成立，所以4x －2x ＋1≥a 在[1,2]上恒成立．令y ＝4x －2x ＋1＝(2x )2－2×2x ＋1－1＝(2x －1)2－1.因为1≤x ≤2，所以2≤2x ≤4.由二次函数的性质可知，当2x ＝2，即x ＝1时，y 取得最小值0，所以实数a 的取值范围为(－∞，0]．。
一元二次不等式及其解法练习题
一元二次不等式及其解法练习题一元二次不等式及其解法练1.比较大小：1) $(3+2)^2<2^6+2^6$；2) $(3-2)^2<(6-1)^2$；3) $\frac{5-2}{2}-6<\frac{5}{2}-2^6$；4) 当$a>b>1$时，$\log_a 1 - \log_b 1$。
2.用不等号“>”或“<”填空：1) $a>b,c<d\Rightarrow a-c< b-d$；2) $a>b>0,c<d<XXX<bd$；3) $a>b>0\Rightarrow 3a>3b$；4) $a>b>1\Rightarrow \frac{2}{a}<\frac{2}{b}$。
3.已知$x<a<b$，则一定成立的不等式是（）.A．$x^2<a^2<b^2$；B．$x^2>ax>a^2$；C．$x^2<ax<b^2$；D．$x^2>a^2>ax$。
4.如果$a>b$，有下列不等式：①$a^2>b^2$，②$\frac{1}{a}3b$，④$\log_a x>\log_b x$，其中成立的是（）。
5.设$a<1$，$-1<b<0$，则$a,ab,ab^2$三者的大小关系为（）。
6.比较$(a+3)(a-5)$与$(a+2)(a-4)$的大小。
7.若$f(x)=3x^2-x+1$，$g(x)=2x^2+x-1$，则$f(x)$与$g(x)$的大小关系为（）。
A．$f(x)>g(x)$；B．$f(x)=g(x)$；C．$f(x)<g(x)$；D．随$x$值变化而变化。
8.（1）已知$12<a<60$，$15<b<36$，求$a-b$及$\frac{a}{b}$的取值范围。
不等式解法(全部)
1.（x－1）x－2）＞0 ； （
（ x－3）＜ 0； 4. x2－2x－3 ＜ 0 . 3.（x＋1）
x2-3x+2 ＜0. 解不等式 2 x -2x-3
解: 原不等式可化为 （x－1）x－2） （ ＜0. （ （x＋1） x－3）
即 （x－1） （x－2） （x＋1） （x－3）＜0. 根据数轴标根法，
所以，当a>1时，原不等式的解集为{x|a≤x<a2};
当0<a<1时，原不等式的解集为{x|a2<x ≤a}.
logx 2 (x 2) 1
A {x | logx (5x 8x 3) 2}
2
底 数 不 型 logx0.8<1
确
定
B {x | x 2x 1 k 0}
M loga N = logaM-logaN
logaMn= nlogaM
1 log a M loga n M = n log b N (b 0且b 1) 3、换底公式：logaN= log b a 4、定义域： （0，+∞） 值域：R
5、单调性：（1）a>1时，为 增
（2）0<a<1时，为 减
例题分析：
例题1. 解不等式
例题2.
| x – 500 | ≤5 解不等式 | 2x+5 | > 7 | 5x-6 | < 5 - x
例题3. 解不等式4 〈 | 1-3 x | ≤ 7 例题4. 解不等式 例题5. 例题
| 2x+1 |> | x+2 |
| 5x-6| > 5-x
课堂练习：
(2)0<a<1时，有 4+3x-x2>0 4+3x-x2<2 (2x-1) 2<x<4
常见不等式的解法
常见不等式的解法(教师版)一、一元一次不等式 解下列关于x 的不等式1、2x+3>52、-2x+5<63、ax>14、不等式3(x +1)≥5x -9的正整数解是_________5、已知关于x 的不等式(3a -2)x +2<3的解集是41->x ,则a =______.二、一元二次不等式1、22x ≥ 2、2(1)2x -< 3、x 2+x -2≤4 4、若0＜a ＜1，则不等式(x -a )(x -a 1)＜0的解是______.a ＜x ＜a 15、已知不等式022>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x ，则b a +的值为______.-146、不等式2x 2-3|x |-35>0的解为______..x <-5或x >57、方程实数根，有两个不相等的 0122=+++m x m mx )(则实数m 的取值范围是______.041≠->m m 且8、不等式02≤++n mx x 的解集是{}32≤≤-x x |，则m = __，n = __.-1;-69、函数的定义域为22--=x x x f )(______________{2≥x x 或}1-≤x10、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，则实数m 的取值范围是______. m ＞511、函数()f x =R ，则a 的取值范围是_________ 【0,8】1）标准化：移项通分化为()()f xg x>(或()()f xg x<)；()()f xg x≥(或()()f xg x≤)的形式，2）转化为整式不等式（组）()()0 ()()0()()00()0 ()()f xg xf x f xf xg xg xg x g x≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩；1. 不等式22231372x xx x++>-+的解集是 2. 不等式3113xx+>--的解集是3. 不等式2223712x xx x+-≥--的解集是 4. 不等式1111x xx x-+<+-的解集是5. 不等式229152x xx--<+的解集是 6. 不等式2232712x xx x-+>-+的解集是7. 不等式2121x xx+≤+的解集是 8. 不等式2112xx->-+的解集是9. 不等式23234xx-≤-的解集是 10. 不等式2212(1)(1)xx x-<+-的解集是答案1. 2. (-2，3)3. 4.5. 6. 7. 8. (1，2)9. 10.无理不等式一般是指在根号下含有未知数的不等式，今天我们主要研究在二次根号下含有未知数的简单的无理不等式的解法。
不等式及其解法练习题
不等式及其解法练习题一．选择题1. 设,m n R ∈，给出下列结论：（1）220m n m n <<⇒< ；（2）22ma na m n <⇒<；（3）m a m na n<⇒<；（4）01n m n m<<⇒<.其中正确的结论有（ ） A.（1）（4） B.（2）（4） C.（2）（3） D.（3）（4） 2.若0,0a b a c d >>>-<<，则下列命题：（1）ad bc >；（2）0ab dc +<；（3）a c b d ->-；（4）()()a d c b d c ->-中能成立的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 43.若22520x x -+->2|2|x -等于（ ）A.45x -B. -3C.3D. 54x -4.若221124x x -+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ） A.1,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.[)2,+∞ 5.下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）A.22320x x -+>B.2440x x ++≤C.2440x x --<D.22320x x -+->6.已知集合2{|4120},{|2}A x x x B x R x =--<=∈<，则()R A C B =（ ）A.{|6}x x <B. {|22}x x -<<C.{|2}x x >-D. {|26}x x ≤<7.若不等式220ax bx +-<的解集为1{|2}4x x -<<，则ab =（ ） A. -28 B.- 26 C. 28 D. 268.不等式23440x x -<-≤的解集是（ ） A.13{|01}22x x x -≤≤≤<或 B. {}|01x x x ≤≥或C.11{|}22x x -<<D. 13{|}22x x x ≤-≥或 9.下列四种方法: ①如果12,x x 是方程20ax bx c ++=的两个实根，且12x x <，那么不等式20ax bx c ++<的解集为{}12|x x x x <<；②当240b ac ∆=-<时，关于x 的二次不等式20ax bx c ++>的解集为φ； ③不等式0x a x b-≤-与不等式()()0x a x b --≤的解集相同； ④不等式()()0x a x b --<的解集为{}|x a x b <<，其中可以判断为正确的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0二．填空题10.若13,42αβ<<-<<，则12αβ-的取值范围是________________.11.若524,62x y x y <-<<+<，则2x y +的取值范围是_________________. 12.若0,10a b <-<<，则下列不等式成立的是____________.（1）20.50.5log ()log ()a ab -<-；（2）222()()a ab -<-；（3）121()()a ab ---<-； （4）20.50.5.a ab -->13.不等式222221x x x x --<++的解集是__________________. 14.已知函数21,0,()1,0,x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是__________________.三．解答题15.解下列关于x 的不等式：（1）()()720x x -+≥； （2）219304x x -+-≥；（3）212502x x -+->； （4）124x x ≤+.16.若方程22210x mx m +++=的两根均在区间()0,1内，求实数m 的取值范围.17.函数()f x =的定义域为R ，求实数m 的取值范围.18.已知一元二次不等式2364ax x -+>的解集为{}|1x x x b <>或，（1）求,a b ；（2）解一元二次不等式()20ax ac b x bc -++<.。
高中数学不等式解法15种典型例题 试题
不等式解法15种典型例题创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日例1 解不等式：〔1〕015223>--x x x ；〔2〕0)2()5)(4(32<-++x x x ．分析：假如多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，那么一元高次不等式0)(>x f 〔或者0)(<x f 〕可用“穿根法〞求解，但要注意处理好有重根的情况．解：〔1〕原不等式可化为0)3)(52(>-+x x x把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3,25,0321=-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开场画线顺次经过三个根，其解集如以下图的阴影局部．∴原不等式解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧><<-3025x x x 或 〔2〕原不等式等价于⎩⎨⎧>-<-≠⇔⎩⎨⎧>-+≠+⇔>-++2450)2)(4(050)2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{}2455>-<<--<x x x x 或或说明：用“穿根法〞解不等式时应注意：①各一次项中x 的系数必为正；②对于偶次或者奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法〞，但注意“奇穿偶不穿〞，其法如以下图．典型例题二例2 解以下分式不等式：〔1〕22123+-≤-x x ； 〔2〕12731422<+-+-x x x x 分析：当分式不等式化为)0(0)()(≤<或x g x f 时，要注意它的等价变形 ①0)()(0)()(<⋅⇔<x g x f x g x f ②0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(<⋅=⇔≤⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或或〔1〕解：原不等式等价于⎩⎨⎧≠-+≥+-+-⇔≥+-+-⇔≤+-++-⇔≤+---+⇔≤+--⇔+≤-0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2)(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x用“穿根法〞∴原不等式解集为[)[)+∞⋃-⋃--∞,62,1)2,(。
(完整版)一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)
13.2 一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y （2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃（二）、检测题一、选择题1、不等式11023x x ⎛⎫⎛⎫--> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的解集为 （ ） A 、11|32x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ B 、1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ C 、1|3x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭ D 、11|32x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 2、在下列不等式中，解集为φ的是 （ ）A 、22320x x -+>B 、2440x x ++>C 、2440x x --<D 、22320x x -+->3、函数()2log 3y x =+的定义域为 （ ）A 、()(),13,-∞-⋃+∞B 、()3,1--C 、(][),13,-∞-⋃+∞D 、(][)3,13,--⋃+∞4、若2230x x -≤，则函数()21f x x x =++ （ ） A 、有最小值34，无最大值 B 、有最小值34，最大值1 C 、有最小值1，最大值194 D 、无最小值，也无最大值2 5、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞D ．[]2,2-6、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a7、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14-B ．14C ．10-D ．10 二、填空题8、设()21f x x bx =++，且()()13f f =，则()0f x >的解集为 。
高考数学 不等式及其解法 习题
专题二不等式2.1 不等式及其解法基础篇考点一不等式的概念与性质考向一利用不等式性质比较大小1.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,9)若1a <1b<0,则下列结论中正确的是( )A.a2<b2B.ab<b2C.|a|+|b|>|a+b|D.a3>b3答案ABD2.(2022山东日照二模,4)若a,b,c为实数,且a<b,c>0,则下列不等关系一定成立的是( )A.a+c<b+cB.1a <1bC.ac>bcD.b-a>c答案A3.(2014四川,4,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有( )A.ac >bdB.ac<bdC.ad >bcD.ad<bc答案D4.(多选)(2022广东汕头二模,9)已知a,b,c满足c<a<b,且ac<0,那么下列各式中一定成立的是( ) A.ac(a-c)>0 B.c(b-a)<0C.cb2<ab2D.ab>ac答案BCD5.(多选)(2022河北承德模拟,9)若实数a,b满足a4<a3b,则下列选项中一定成立的有( ) A.a2<b2 B.a3<b3C.e a-b<1D.ln ab<0答案 AD考向二 作差(商)法比较大小问题1.(2023届安徽十校联考,5)已知实数a >b >c ,abc ≠0,则下列结论一定正确的是 ( )A.ab >ac B.ab >bc C.1a <1c D.ab +bc >ac +b 2 答案 D2.(2022重庆育才中学开学练,9)若M =x 2+y 2+1,N =2(x +y -1),则M 与N 的大小关系为( )A.M <NB.M >NC.M =ND.不能确定 答案 B3.(2021江苏滨海中学月考,6)下列命题为真命题的是 ( )A.若a <b <0,则1a<1bB.若a >b >0,则ac 2>bc 2C.若c >a >b >0,则ac−a <bc−b D.若a >b >c >0,则ab >a+c b+c 答案 D4.(多选)(2022福建宁德一中期中,10)下列四个命题中,真命题是 ( )A.若1x >1y ,则x <y B.若xy >0,则x y+y x≥2 C.若x >y >0,c >0,则yx <y+cx+c D.若xy +1>x +y ,则x >1,y >1 答案 BC5.(2022全国甲理,12,5分)已知a =3132,b =cos 14,c =4sin 14,则 ( )A.c >b >aB.b >a >cC.a >b >cD.a >c >b 答案 A考点二不等式的解法考向一解一元二次不等式1.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,6)若关于x的不等式(a2-4)x2+(a+2)x-1≥0的解集不为空集,则实数a的取值范围为( ) ]A.(−2,65]B.[−2,65,+∞)C.(-∞,-2)∪[65,+∞)D.(-∞,-2]∪[65答案C2.(多选)(2023届山西长治质量检测,10)已知函数y=x2+ax+b(a>0)有且只有一个零点,则( ) A.a2-b2≤4≥4B.a2+1bC.若不等式x2+ax-b<0的解集为(x1,x2),则x1x2>0D.若不等式x2+ax+b<c的解集为(x1,x2),且|x1-x2|=4,则c=4答案ABD3.(多选)(2021南京一中阶段练,10)对于给定实数a,关于x的一元二次不等式(ax-1)·(x+1)<0的解集可能是( )} B.{x|x≠-1}A.{x|−1<x<1a<x<−1} D.RC.{x|1a答案AB4.(2019天津文,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.)答案(−1,23考向二三个“二次”之间的关系应用1.(2021山东师范大学附中一模,4)若不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式a(x2+1)+b(x-1)+c<2ax的解集为( ) A.{x|-2<x<1} B.{x|x<-2或x>1}C.{x|x<0或x>3}D.{x|0<x<3}答案C2.(2022山东新泰一中月考)若不等式ax2-x-c>0的解集为{x|−1<x<12},则函数y=cx2-x-a的图象可以为( )A BC D答案C3.(多选)(2021广东东莞中学检测,10)已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x|x≤-3或x≥4},则下列说法正确的是( )A.a>0B.不等式bx+c>0的解集为{x|x<-4}C.不等式cx2-bx+a<0的解集为{x|x<−14或x>13}D.a+b+c>0答案AC4.(多选)(2021江苏盐城11月练习,10)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},其中m>0,则以下选项正确的有( )A.a<0B.c>0C.cx2+bx+a>0的解集为{x|1n <x<1m}D.cx2+bx+a>0的解集为{x|x<1n 或x>1m}答案AC5.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,13)若关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|-1<x<3},则关于x的不等式cx2+bx+a>0的解集为.答案{x|x<−1或x>13}6.(2023届山东潍坊五县联考,14)关于x的方程2x2-4(m-1)x+m2+7=0的两根之差的绝对值不大于2,则实数m的最大值与最小值的和为.答案47.(2022山东潍坊安丘等三县测试,17)已知函数f(x)=ax2+bx+2,关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|-2<x<1}.(1)求实数a,b的值;(2)若关于x的不等式ax2+2x-3b>0的解集为A,关于x的不等式3ax+bm<0的解集为B,且A⊆B,求实数m的取值范围.解析(1)由题意知,-2,1是关于x的方程ax2+bx+2=0的两个根,且a<0,所以{−2+1=−ba,(−2)×1=2a,所以a=-1,b=-1.(2)不等式-x2+2x+3>0的解集为A={x|-1<x<3},不等式-3x-m<0的解集为B={x|x>−m3},因为A⊆B,所以-m3≤-1,解得m≥3.故m的取值范围为{m|m≥3}.综合篇考法一元二次不等式恒成立问题考向一直接转化为函数求最值1.(2022湖北恩施高中、荆州中学等四校联考,6)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于任意的x ∈{x|1≤x≤3},f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.{m|m≤0}B.{m|0≤m<57}C.{m|m<0或0<m<57}D.{m|m<57}答案D2.(2022福建龙岩模拟,4)∀x∈(1,3],一元二次不等式x2-(m+2)x+m+2≥0恒成立,则m 的取值范围是( )A.(-2,2)B.(−∞,52]C.[-2,2]D.(-∞,2]答案D3.(2022重庆涪陵高级中学冲刺卷二,5)当x∈(1,2)时,x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是( )A.m≤-4B.m<-4C.m<-5D.m≤-5答案D考向二分离出参数后求最值1.(2022湖南岳阳模考,3)若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是( ) A.[4,+∞) B.[2,+∞)C.(-∞,4]D.(-∞,2]答案A2.(2021河北唐山模拟,6)若∀x∈{x|1≤x≤5},不等式x2+ax-2≤0恒成立,则a的取值范围是( )A.{a|a>−235} B.{a|−235≤a≤1}C.{a|a>1}D.{a|a≤−235}答案D3.(2022北京师大附中模拟,4)关于x的不等式x2+|x|≥a|x|-1对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,3]B.(-∞,3]C.(-∞,1]D.(-∞,1]∪[3,+∞)答案B4.(2022天津滨海新区塘沽一中阶段练,5)已知“∃x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立,则a的取值范围为( ) A.(-∞,-5] B.(-∞,-2]C.(-5,+∞)D.[-5,+∞)答案A5.(2022重庆南开中学模拟,13)当x∈[0,3]时,不等式x2+(a-4)x+4>0恒成立,则a的取值范围为.答案(0,+∞)。
不等式的解法高中数学题目
不等式的解法高中数学题目摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.常见不等号及其含义二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子）2.不等式两边乘（除）同一个正数3.不等式两边乘（除）同一个负数三、一元一次不等式的解法1.移项法2.系数化一法四、一元二次不等式的解法1.因式分解法2.直接开平方法3.参数分离法五、分式不等式的解法1.通分法2.分子分母同乘（除）法六、不等式的应用1.实际问题中的不等式求解2.几何中的不等式问题正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本关系式，用于表示两个数的大小关系。
常见的不等号有“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）和“≤”（小于等于），它们分别表示大于、小于、大于等于和小于等于的意思。
二、不等式的基本性质1.不等式两边加（减）同一个数（或式子），不等号方向不变。
例如：3 > 2，则3 + 1 > 2 + 1，即4 > 3。
2.不等式两边乘（除）同一个正数，不等号方向不变。
例如：3 > 2，则3 × 2 > 2 × 2，即6 > 4。
3.不等式两边乘（除）同一个负数，不等号方向改变。
例如：3 > 2，则3 × (-2) < 2 × (-2)，即-6 < -4。
三、一元一次不等式的解法1.移项法：将不等式中的常数项移到不等式的另一边，使未知数的系数变为1。
例如：2x + 1 > 5，移项得2x > 4，再除以2 得x > 2。
2.系数化一法：将不等式两边同时除以同一个正数，使未知数的系数变为1。
例如：3x - 2 > 5，系数化一得x > 1。
四、一元二次不等式的解法1.因式分解法：将一元二次不等式化为两个一元一次不等式的和的形式。
例如：x^2 - 3x + 2 > 0，因式分解得(x - 1)(x - 2) > 0，解得x < 1 或x > 2。
一元二次不等式及其解法专题训练
一元二次不等式及其解法专题训练A组基础题组1.设p:2x<1,q:x(x+1)<0,则p是q成立的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)3.不等式>1的解集为( )-A. B.(-∞,1) C.-∞∪(1,+∞) D.4.若不等式x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是( )A.[-1,4]B.(-∞,-2]∪[5,+∞)C.(-∞,-1]∪[4,+∞)D.[-2,5]5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是( )A.[-4,1]B.[-4,3]C.[1,3]D.[-1,3]的定义域为.6.函数y=-7.若0<a<1,则不等式(a-x)->0的解集是.8.若不等式lo x+alog a x2+4>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,则实数a的取值范围是.9.若不等式ax2+5x-2>0的解集是.(1)求实数a的值;(2)求不等式ax2-5x+a2-1>0的解集.10.已知函数f(x)=--(a≠0).(1)求函数f(x)的定义域;(2)当x∈[0,1]时,不等式f(x)≥1恒成立,求实数a的取值范围.B组提升题组1.已知a∈Z,关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则所有符合条件的a的值之和是( )A.12B.18C.21D.272.不等式a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,则实数λ的取值范围是.3.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品的数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y元,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;(2)若要求该商品一天的营业额至少为10 260元,求x的取值范围.4.已知函数f(x)=x2-2ax-1+a,a∈R.(1)若a=2,试求函数y=(x>0)的最小值;(2)∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立,试求a的取值范围.答案精解精析A组基础题组1.B 由2x<1解得x<0;由x(x+1)<0解得-1<x<0,则p是q成立的必要不充分条件.故选B.2.C 关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),即不等式ax<b的解集是(1,+∞),∴a=b<0,∴不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3,∴所求解集是(-1,3).故选C.3.A 原不等式等价于--1>0,即--->0,整理得--<0,即(2x-1)(x-1)<0,解得<x<1.4.A x2-2x+5=(x-1)2+4的最小值为4,要使x2-2x+5≥a2-3a对任意实数x恒成立,只需a2-3a≤4即可,解得-1≤a≤4.5.B 原不等式可化为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解集为{1},此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1<a≤3.综上可得-4≤a≤3.6.答案(-2,1)解析由题意,得--即---解得-2<x<1,即原函数的定义域为{x|-2<x<1}.7.答案解析原不等式可化为(x-a)-<0,由0<a<1得a<,∴a<x<.8.答案(0,1)∪(1,2)解析令log a x=t,则t∈R,问题转化为t2+2at+4>0对任意实数恒成立,所以Δ=4a2-16<0,即a2<4,解得-2<a<2.又a>0且a≠1,所以a∈(0,1)∪(1,2).9.解析(1)由题意知a<0,且方程ax2+5x-2=0的两个根为,2,由韦达定理得a=-2.(2)由(1)知不等式ax2-5x+a2-1>0即为-2x2-5x+3>0,即2x2+5x-3<0,解得-3<x<,即不等式ax2-5x+a2-1>0的解集为-.10.解析(1)由题意可得4-|ax-2|≥0⇔|ax-2|≤4⇔-4≤ax-2≤4⇔-2≤ax≤6, 当a>0时,函数f(x)的定义域为-;当a<0时,函数f(x)的定义域为-.(2)f(x)≥1⇔|ax-2|≤3,记g(x)=|ax-2|,因为x∈[0,1],所以⇔-⇔--⇔-1≤a≤5,又a≠0,所以a的取值范围是[-1,0)∪(0,5].B组提升题组1.C 设f(x)=x2-6x+a,其图象如图所示.关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0的解集中有且仅有3个整数,则即--解得5<a≤8,又a∈Z,所以a=6,7,8,故所有符合条件的a的值之和是6+7+8=21.2.答案[-8,4]解析因为a2+8b2≥λb(a+b)对于任意的a,b∈R恒成立,所以a2+8b2-λb(a+b)≥0对于任意的a,b∈R 恒成立,即a2-λba+(8-λ)b2≥0对于任意的a,b∈R恒成立,所以Δ=λ2b2+4(λ-8)b2=b2(λ2+4λ-32)≤0,所以(λ+8)(λ-4)≤0,解得-8≤λ≤4.3.解析(1)由题意得,y=100-·100.因为售价不能低于成本价,所以100--80≥0,所以x≤2,所以y=f(x)=40(10-x)(25+4x),定义域为[0,2].(2)由题意得40(10-x)(25+4x)≥10 260,化简得8x2-30x+13≤0,解得≤x≤,又0≤x≤2,所以≤x≤2.所以x的取值范围是.4.解析(1)依题意得y==-=x+-4.因为x>0,所以x+≥2,当且仅当x=,即x=1时,等号成立.所以y≥-2.所以当x=1时,y=取最小值,为-2.(2)因为f(x)-a=x2-2ax-1,所以要使得“∀x∈[0,2],不等式f(x)≤a成立”, 只要“x2-2ax-1≤0在[0,2]上恒成立”.不妨设g(x)=x2-2ax-1,则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可,所以即----解得a≥.则a的取值范围是∞.。
高考数学 不等式的解法训练 试题
智才艺州攀枝花市创界学校陕飞二中2021高考数学不等式的解法训练 考察内容：1、几种不等式的解法；2、“三个二次〞的关系。
题型一、解一元二次不等式例1、 求以下一元二次不等式的解集。
1〕、x 2-5x>62〕、4x 2-4x+1≤0 3〕、-x 2+7x>64〕、-x 2+6x-9>0 题型二、含参数的一元二次不等式的解法例2、 1)、解关于x 的不等式：x 2-(2m+1)x+m 2+m<02)、解关于x 的不等式：x 2+(1-a)x-a<0 题型四、恒成立问题例3、 当a 为何值时，不等式(a 2-1)x 2-(a-1)x-1<0的解集是R ？题型五、分式不等式的解法例4、 解以下不等式：1〕、x x -+112<02〕、321-+x x ≤1 2〕、11-x >a 题型六、简单高次不等式的解法例5、 解以下不等式：1〕、x(x-1)2(x+1)3(x+2)≥02〕、32532-+-x x x ≥2 题型七、一元二次不等式的简单应用例6、 国家原方案以2400元/t 的价格收买某种农产品m t ．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收买，根据场规律，税率降低x 个百分点，收买量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原方案的78%.练习题：1．不等式x2＜3x的解集是()．A．{x|x＞3}B．{x|x＜0或者x＞3}C．R D．{x|0＜x＜3}2．不等式x(x－a＋1)＞a的解集是{x|x＜－1或者x＞a}，那么()．A．a≥1B．a＜－1C．a＞－1D．a∈R3．全集U＝R集合A＝{x|x2－2x＞0}，那么∁U A等于()．A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x＜2}C．{x|x＜0或者x＞2}D．{x|x≤0或者x≤2}4．不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为，那么a，c的值是()．A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－65、集合M＝，N＝，那么集合{x|x≥1}等于()．A．M∩N B．M∪NC．∁R(M∩N)D．∁R(M∪N)6．假设产品的总本钱y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20xx2(0＜x＜240)，假设每台产品的售价为25万元，那么消费者不赔本(销售收入不小于总本钱)时的最低产量是()．A．100台B．120台C．150台D．180台7．假设集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，那么实数a的值的集合是()．A．{a|0＜a＜4}B．{a|0≤a＜4}C．{a|0＜a≤4}D．{a|0≤a≤4}8．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．假设不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，那么()．A．－1＜a＜1B．0＜a＜2C．－＜a＜D．－＜a＜9．函数y＝log3(9－x2)的定义域为A，值域为B，那么A∩B＝________.10．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)的局部对应值如下表：11．不等式ax 2－bx ＋c ＞0的解集是，对于系数a ，b ，c ，那么有以下结论： ①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0；④a ＋b ＋c ＞0；⑤a －b ＋c ＞0.其中正确结论的序号是________(把你认为正确的结论的序号都填上)．12、不等式2322++-x x x >0的解集是。
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不等式的练习题 一、填空题
1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x ＜18的整数解为 .
3、如果不等式21<x 和3
1
>x 同时成立,则x 的取值范围是
4.不等式x x ->+512的解集是
5.不等式x
x
x x ->-11的解是
6.函数x
x x y -+=
)21
(的定义域是 7.不等式331≤-<x 的解集是
8.使函数y= + 有意义的x 的取值范围是 .
9.不等式ax 2
+bx+2＞0的解集是｛x ｜-
＜x ＜ ,则a+b= .
10.不等式243<-x 的整数解的个数为 . 11、不等式13-<-x x 的解是 .
12.不等式652>-x x 的解集为 . 13、函数22--=x x y 的定义域
是 .
14.不等式:(1)x
x 1
<的解为 . 15、321>++-x x 的解为 .
16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 .
17.已知关于x 的方程ax 2
+bx+c ＜0的解集为｛x ｜x ＜-1或x ＞2｝.则不等式ax 2
-bx+c ＞0的解集为 .
二、解不等式：
1、302x x -≥-
2、21
13
x x ->+ 3、22
32023x x x x -+≤--
4、221
02x x x --<- 5、()()()
3
22
1603x x x x -++≤+
6、()2
309x x x -≤- 7、 1
01x x
<-< 8、 . 0)25)(-4-( 22<++x x x x
9 、 (2
1x -)(2
68x x -+)≤0 10 、 22
41
1372
x x x x -+≥-+ 11 、
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