不等式的解法
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。
在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。
一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。
1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。
1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。
1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。
二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。
2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。
三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。
解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。
3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。
3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。
四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。
不等式的解法
复习重点：不等式的解法，主要有一元一次、一元二次、一元高次不等式，分式不等式，无理不等式，指数、对数不等式及含绝对值的不等式的解法；在复习中强调基本方法及易错点。
复习难点：含字母系数的二次型不等式，无理不等式解法，数形结合的方法解不等式，及不等式变形的等价性问题。
（一）各种类型不等式基本解法中的易错点：1．二次型不等式：ax2+bx+c>0(<0)易错点：<1>是否为二次不等式；<2>含字母表示的二根的大小。
2．一元高次不等式：a(x-x1)(x-x2)……(x-x n)>0。
易错点：<1>a>0时，从右上方开始穿线；<2>奇穿偶切，如(x-2)2(x+1)3>0.各因式的幂指数为奇数时穿过ox轴，若幂指数为偶数时，与ox轴相切不穿过；<3>孤立点容易遗漏。
如：(x-3)(x+2)2(x-1)≥0(x-3)(x-1)≥0或x=-2。
3．分式不等式：，易错点：<1>方法的规范，化为(1)的形式；<2>等价性；如(2)。
4．无理不等式<1>易错点：①遗漏情况(2)；②不等式组(1)，省略f(x)≥0，可简化运算。
<2>注：g(x)=0为孤立点，易遗漏。
5．含绝对值不等式：注意：<1>方法的选择：分段去绝对值号；用等价不等式解或数形结合方法解决。
<2>形如的基本解法：<i>分段讨论；<ii>数形结合。
6．指数不等式及对数不等式基本类型：<1>同底型；<2>a f(x)<b、log a f(x)<b型用定义；<3>换元法解。
易错点：<1>定义域：对数式中底数、真数的限制条件；<2>利用函数单调性，要分成底数大于1还是在0与1之间考虑。
解不等式问题重点注意：i.等价变形；ii.数形结合的方法。
不等式的解法
不等式的解法不等式，即数学中用来表示大小关系的符号，它与等式不同的地方在于，不等式可以有无数个解，而不像等式只有一个解。
解不等式的方法有很多种，接下来将介绍几种常见的解不等式的方法。
一、一元一次不等式一元一次不等式是最基本的不等式，它的形式通常为ax+b>0或ax+b<0，其中a和b为已知数，x为未知数。
解一元一次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在数轴上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式中的x系数作为直线的斜率，常数项作为直线的截距，画出不等式对应的直线。
然后，根据不等式符号的方向，涂色标记出不等式的解集。
例如，对于不等式3x+2>0，我们可以画出直线y=3x+2，并根据大于号的方向，将直线上大于0的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行加法、减法、乘法和除法运算，将未知数x的系数和常数项移到不等式的一侧，使得不等式变为0的形式。
最后，通过考察几个关键点的取值情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式一元二次不等式是一元二次方程的不等式形式，它的形式通常为ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
解一元二次不等式的方法有两种：图解法和代数法。
1. 图解法图解法是通过在坐标平面上画出所给不等式的解集来解不等式。
首先，我们将不等式转化为对应的一元二次方程，找到方程的判别式，判断方程的根的情况。
根据根的位置，将坐标平面分为几个区域，并确定每个区域对应的不等式的正负。
然后，将不等式对应的曲线画在坐标平面上，并根据不等式符号的方向，将曲线上符合条件的部分涂色。
2. 代数法代数法是通过代数运算解一元二次不等式。
首先，根据不等式符号的方向，确定不等式的类型是大于、小于还是等于。
然后，根据不等式中的系数和常数项，进行移项、配方、因式分解等运算，将不等式变为一元二次方程的零点形式。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的问题，解不等式可以帮助我们找到满足特定条件的数值范围。
本文将介绍几种常用的不等式的解法。
一、一元一次一元一次不等式是形如ax+b>c或ax+b<c的不等式，其中a、b、c都是已知的实数，x是未知数。
1. 等价变形法通过对不等式进行等价变形，使得未知数x单独在一边，从而得到不等式的解。
例如，对于不等式3x+4>10，我们可以通过减4，并除以3来消去4和3，得到x>2。
所以x的取值范围为大于2的所有实数。
2. 符号法考虑不等式中的符号，根据不等式关系的性质确定解的范围。
例如，对于不等式5x-7≥8，我们观察到不等式中的符号是≥，根据≥的意义，我们知道等号成立时也是一个解。
所以我们可以解得5x-7=8，得到x=3。
因此，x的取值范围为大于等于3的所有实数。
二、一元二次一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>d或ax^2+bx+c<d的不等式，其中a、b、c、d都是已知的实数，x是未知数。
1. 图像法将一元二次不等式转化为二次函数的图像，通过观察函数图像来确定不等式的解。
例如，对于不等式x^2-4x<3，我们可以将不等式转化为方程x^2-4x=3，并求得其根为x=1和x=3。
然后绘制出函数图像y=x^2-4x的图像，在图像上观察x轴上落在1和3之间的部分，即得到不等式的解为1<x<3。
2. 化简法将一元二次不等式进行化简，将不等式转化为一个或多个一元一次不等式，然后求解这些一元一次不等式的解。
例如，对于不等式x^2+2x-3>0，我们可以将不等式因式分解为(x-1)(x+3)>0。
然后我们考虑两个因式的正负情况，得到两个一元一次不等式x-1>0和x+3>0。
解这两个一元一次不等式，得到x>1和x>-3。
因此，x的取值范围为大于1和大于-3的所有实数。
三、多元多元不等式是包含两个或多个未知数的不等式，解多元不等式可以使用代入法、图像法或数学方法。
不等式的解法
不等式的解法 一．不等式解法总结： 1.一元二次不等式的解法求一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数. 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象.五解集：根据图象写出不等式的解集.规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边. 2.高次不等式的解法：穿根法. 分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.3.分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()()()0()0()0()f x f x g x g x f x g x f x g x g x >⇔⋅>⋅≥⎧≥⇔⎨≠⎩ （<≤“或”时同理）规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解. 4.无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 ⑴2()0()(0)()f x f x a a f x a ≥⎧>>⇔⎨>⎩ ⑵2()0()(0)()f x f x a a f x a≥⎧<>⇔⎨<⎩ ⑶2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x >⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或 ⑷2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩ ⑸()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解. 5.指数不等式的解法：⑴当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>；⑵当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<规律：根据指数函数的性质转化. 6.对数不等式的解法⑴当1a >时, ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩⑵当01a <<时, ()0log ()log ()()0.()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩规律：根据对数函数的性质转化. 7.含绝对值不等式的解法：⑴定义法：(0).(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩⑵平方法：22()()()().f x g x f x g x ≤⇔≤ ⑶同解变形法，其同解定理有： ①(0);x a a x a a ≤⇔-≤≤≥ ②(0);x a x a x a a ≥⇔≥≤-≥或③()()()()()(()0)f x g x g x f x g x g x ≤⇔-≤≤≥ ④()()()()()()(()0)f x g x f x g x f x g x g x ≥⇔≥≤-≥或规律：关键是去掉绝对值的符号.8.含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集. 9.含参数的不等式的解法解形如20ax bx c ++>且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：⑴讨论a 与0的大小； ⑵讨论∆与0的大小； ⑶讨论两根的大小. 10.恒成立问题⑴不等式20ax bx c ++>的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时 0,0;b c ⇒=> ②当0a ≠时00.a >⎧⇒⎨∆<⎩⑵不等式20ax bx c ++<的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：①当0a =时0,0;b c ⇒=< ②当0a ≠时00.a <⎧⇒⎨∆<⎩⑶()f x a <恒成立max ();f x a ⇔< ()f x a ≤恒成立max ();f x a ⇔≤ ⑷()f x a >恒成立min ();f x a ⇔> ()f x a ≥恒成立min ().f x a ⇔≥ 二．练习： 1.解不等式：（1）23440x x -++> （2）213022x x ++> （3）()()21322x x x x +->-- （4）2232142-<---<-x x2. 函数)1(log 221-=x y 的定义域为 ______.3..二次函数y=ax 2+bx+c (x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是______.4.若不等式02>++c bx x 的解集是}13{-<>x x x 或，则b =______ c =______. 5.解关于ｘ的不等式)1(12)1(≠>--a x x a6.若关于x 的不等式210,ax ax a ++-<的解集为R ，则a 的取值范围是______. 7.不等式220ax bx ++>解集为1123x -<<，则ab 值分别为______. x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y6-4-6-6-46。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种表示数值关系的方法。
解不等式就是找出使不等式成立的数值范围。
在解不等式时，可以通过几种常见的方法来确定解集。
一、图像法图像法适用于简单的一元一次不等式。
通过将不等式转化为直线的形式，并在数轴上画出对应的线段，可以直观地找到满足不等式的数值范围。
例如，对于不等式x + 3 > 2，我们可以将其转化为x > -1的形式。
在数轴上，我们可以画出一个开口向右的箭头，箭头的起点为-1，表示解集为大于-1的所有实数。
二、代入法代入法是一种常见的解不等式的方法，特别适用于含有绝对值的不等式。
通过将可能的解代入到不等式中，验证是否满足不等式的关系，可以逐步缩小解集。
例如，对于不等式|2x - 3| < 5，我们可以先将其拆分成两个不等式：2x - 3 < 5和2x - 3 > -5。
然后分别解这两个不等式，可以得到解集为-1 < x < 4。
三、性质法性质法是解不等式的一种常用方法，通过利用不等式的性质和常用不等式的性质，可以快速求解不等式。
例如，对于不等式x^2 - 4x > 3，我们可以将其转化为x^2 - 4x - 3 > 0的形式。
通过因式分解或配方法，可以求得该不等式的根为x > 3或x < 1。
然后，结合二次函数的凹凸性质，可以得到解集为x < 1或x > 3。
四、区间法区间法是一种用于求解一元二次不等式的常用方法。
通过将一元二次不等式转化为标准形式，然后结合图像法和区间划分的方法，可以求解出不等式的解集。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 > 0，可以将其转化为(x - 2)(x - 3) > 0的形式。
通过将x^2 - 5x + 6 = 0的根-1, 2, 3绘制在数轴上，并观察函数的正负性，可以得到解集为-1 < x < 2或x > 3。
综上所述，解不等式的方法有很多种，包括图像法、代入法、性质法和区间法等。
解不等式常用公式
解不等式常用公式解不等式是数学中的一个重要内容，它在实际问题中具有广泛的应用。
在解不等式的过程中，我们可以运用一些常用的公式和方法来简化计算，提高求解的效率。
本文将介绍一些常用的不等式解法公式，并通过实际例子来说明它们的应用。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax+b>0的解集为x>-b/a；2. 当a<0时，不等式ax+b>0的解集为x<-b/a；3. 当a>0时，不等式ax+b<0的解集为x<-b/a；4. 当a<0时，不等式ax+b<0的解集为x>-b/a。
例如，对于不等式2x-3>0，我们可以将其转化为2x>3，再除以2，得到x>3/2。
因此，不等式2x-3>0的解集为x>3/2。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x<x1或x>x2，其中x1和x2分别为方程ax^2+bx+c=0的两个根；2. 当a<0时，不等式ax^2+bx+c>0的解集为x1<x<x2。
例如，对于不等式x^2-3x+2>0，我们可以先求出方程x^2-3x+2=0的根，即x1=1和x2=2。
由于a=1>0，因此不等式x^2-3x+2>0的解集为x<1或x>2。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
对于绝对值不等式|ax+b|>c来说，我们可以通过以下公式来求解：1. 当a>0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a-c/a或x>-b/a+c/a；2. 当a<0时，不等式|ax+b|>c的解集为x<-b/a+c/a或x>-b/a-c/a。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，描述了数值之间的大小关系。
它是由不等号（例如>, <, ≥, ≤, ≠）连接的两个数或表达式组成的。
解不等式就是找出满足该不等式的所有数值。
在解不等式的过程中，需要考虑不等式中的未知数、常数以及可能存在的绝对值、平方根等特殊情况。
以下是几种常见的不等式解法方法：一、加减法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到加减法运算，则可以通过移项的方式解不等式。
具体步骤如下：1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，确保未知数的系数为正数；2. 合并同类项；3. 如果未知数系数为负数，将不等号反转；4. 如果不等式两侧都含有未知数，则根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式2x + 5 < 7 - x。
1. 将所有含有未知数的项放在一边，将常数放在另一边，得到2x + x < 7 - 5；2. 合并同类项，得到3x < 2；3. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；4. 进行筛选，得到x < 2/3；5. 最后化简，得到解集{x | x < 2/3}。
二、乘除法解不等式若不等式中的未知数带有符号，并且仅涉及到乘除法运算，则可以通过乘除法的逆运算解不等式。
具体步骤如下：1. 将不等式中的未知数项移动一侧，将常数项移动到另一侧；2. 如果是乘法，则将未知数系数为正数；3. 如果是除法，则需考虑被除数符号与除数符号的关系；4. 根据大小关系进行筛选；5. 最后化简，得到不等式的解。
举例说明：解不等式3x - 4 > 2x + 1。
1. 将未知数项移动到一侧，将常数项移动到另一侧，得到3x - 2x > 1 + 4；2. 未知数系数为正数，不需要改变不等号；3. 进行筛选，得到x > 5；4. 最后化简，得到解集{x | x > 5}。
三、绝对值不等式的解法对于含有绝对值的不等式，需要分情况进行讨论。
不等式的解法
二 不等式 11. 方程 函数 与 不等式方程 函数 （图像） 不等式①－2x ＋4=0 → x =2 y =－2x ＋4 → y =0 → x =2 －2x ＋4 ＞0→x ＜2－2x ＋4 ＜0→x ＞2②2x －3x ＋4=0 → y =2x －3x ＋4 2x －3x ＋4＞0 →x ∈R2x －3x ＋4＜0 →∅③2x －3x ＋2=0 → x =1 or x = 2 y =2x －3x ＋2 2x －3x ＋2＞0 (x －1)( x －2) ＞0 y =0 → x =1 or x =2 → x ＜1 or x ＞2 (x －1)( x －2) ＜ 0 2x －3x ＋2＜0 → 1＜x ＜2 方程0)(=x f 有无实根等价于函数)(x f y =对应的曲线是否与x 轴产生交点，方程0)(=x f 的实根即函数)(x f y =对应的曲线与x 轴产生交点（的横坐标），也即y =0时x 的取值；解不等关系)(x f ＞0，（或 )(x f ＜0）.即寻求x 取何值时，函数值y ＞0，（或y ＜0）.亦即寻求x 取何值时，函数)(x f y =对应的曲线在x 轴上方（或x 轴下方）. 曲线在x 轴上方（或x 轴下方）是由曲线与x 轴产生的交点即对应方程的根来分割的. 所以不等式的解集与方程的根密切相关. 也可以说不等式的解集由对应方程根的取值情况来确定的.2.三个基本不等式的解法① 一元一次不等式：b ax +>0 (或<0) a ± ？②※ 一元二次不等式：c bx ax ++2>0 (或<0).10 考察判别式∆（确定的方程根的取值情况）.20△≤0 →借助函数的图像（直接）下结论.30∆＞0 → 确定方程的根 → 由根确定不等式的解集③高次不等式（对应方程的根可知）形如 ))()()(()(d x c x b x a x x f ----=)(k x ->0 (或<0)曲线与x 轴产生的交点 即 方程的根 显然分别为d c b a ,,, …k （标根法）1. 不等式ax ＋1>0的解集为｛x ∣x < 2｝,则a =2. 不等式012>++bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x ,则不等式ax bx +2＋1>0的解集为3. 不等式2x ＋2x ＋3>0的解集为4. 不等式2x ＋2x －3>0的解集为5. 不等式2x ＋2x ＋1≤0的解集为6. 不等式212-+x x ≤0的解集为7. 不等式212-+x x ≤1的解集为8. 不等式42122+++x x x >1的解集为 9. 不等式232+-x x x ≤2的解集为10. 不等式︱x 2－3︱≥2的解集为11. 不等式︱x x 32-︱≥2的解集为12. 不等式︱ax ＋1︱>3的解集为｛x ∣ x <-1 或 x >2｝,则a ？13. 不等式)3)(4)(12)(2(--++x x x x ≤0的解集为14.不等式bx ax +2＋1>0的解集为R,试探讨a ，b 的取值情况或相关关系.二 不等式 21. 分式不等式基本形 ：)()(x g x f ＞0 （or <0 ，o r ≥0 ）形如 )()(x g x f >m2. 含绝对值不等式基本形 ：①∣x ∣>a → x a >或 a x -<②∣x ∣<a → a x a <<- (几何意义)绝对值基本性质 ： 若 0≥x → ∣x ∣= x若 0<x → ∣x ∣= -x(去掉绝对值号)3. 无理不等式基本形 ：① )(x f > g(x)② )(x f < g(x)4. 指数不等式基本形 ：① )()(x g x f a a >② )(x f a > m ()m a a log = 同底5. 对数不等式基本形 ：① )(log )(log x g x f a a > 同底② )log ()(log m a a a m x f =>1． 不等式 321<-<x 的解集是2. 不等式 3)2(-+x x x < 0 的解集是3. 不等式 x x 1- ≥ 2 的解集是 4. 不等式 121<-x 的解集是5. 不等式 22-x < 12)21(+x 的解集是6. 不等式x2> 0.99 的解集是7. 不等式 01391<-++x x 的解集是8. 不等式 )1ln()3ln(2->-x x x 的解集是三 不等式 3 例1. 不等式bx ax +2＋1>0的解集为｛x ∣-1<<x 3｝,→ －1 与3 为方程bx ax +2＋1=0 的两根，且 a < 0. → －1＋3=－a b ，－1×3=a1 一般地，含参不等式的解集确定，其中参数应为定值，（特殊情况除外）.否则，其解集会随参数的改变而改变.例2. 不等式1-x > ax 的解集为｛x ∣<<x b 5｝.→ 5与 b 为方程1-x = ax 的根.例3. 不等式x -1 < ax 的解集为｛x ∣21＜x ≤ 1｝. →21是方程x -1 = ax 的根. 而1并不是该方程的根. (可借助图像观察) x ≤ 1是x -1有意义的前提条件！另外，原不等式是严格不等式，而其解集中x 可取1，非严格，矛盾.故1 不应是该方程的根！例4. 求不等式)12ln()12ln(++<++x x x x 的解集→ x ㏑（2x -1）<0 ( ∣a ＋b ∣≤ ∣a ∣＋∣b ∣恒成立当ab ≥0时，∣a ＋b ∣ = ∣a ∣＋∣b ∣当ab <0时, ∣a ＋b ∣ < ∣a ∣＋∣b ∣ )→ 2x －1>0 → x >21>0 → ㏑（2x -1）<0 = ㏑1 → 2x -1 <1 →21< x < 1例5. 求不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣>7 的解集求不等式 ∣x －2∣－∣x ＋3∣>7 的解集不等式 ∣x －2∣＋∣x ＋3∣> m 恒成立 …等问题，基本的处理办法是利用分段讨论的方法设法脱去绝对值号，转化为基本不等式求解.或借助于绝对值的几何意义处理.(数轴上实数x 到－3与2的距离之和or 距离之差)练习：1. 已知a log 52 < 1, 则a 的取值范围是 A ．（0，52） B. (1, +∞) C. （0，52）⋃(1, +∞) D. ( ,25+∞) 2. 角βα,满足22πβαπ<<<-，则βα-的范围是A. 0<-<-βαπB. πβαπ<-<-C. 02<-<-βαπD. 22πβαπ<-<-3. 设b a ,∈+R ，且1=+b a ，那么)1)(1(bb a a ++的最小值为 A ．4 B.425 C. 2 D. 24 4. 设b a ,∈+R ，则下列命题 ① 221≥++ab b a ② 4)11)((≥++b a b a ③ 22222b a b a ab b a ab +≤+≤≤+ ④ b a b a 22222+≥++ 中，真命题有—— 5. 已知点()y x ,在直线032=-+y x 上，那么yx u 42+=的最小值为 6. 已知)2,0(∈x ，那么函数)38(x x y -=的最大值为———— 7. 已知,12,0,022=+>>b a b a 那么21b a z +=的最大值为———— 8. 点（3，1）和（-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，则a 的取值范围是———9．△ABC 内部及边界围成可行域，其中A （1，1）B （4，2）C （3，4），函数y ax z +=的最大值的最优解有无穷多个点（),y x ，则=a ———10. 实数y x ,满足不等式组 02200≥--≥-≥y x y x y ，则11+-=x y ω的取值范围是——— 11. 设函数()12--=mx mx x f ， ① 若,R x ∈∀0)(<x f 恒成立，则m 的取值范围是———②若对于[]5)(,3,1+-<∈m x f x 恒成立，则m 的取值范围是———。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中最基本的一个概念，它包括两个数的比较，表达方法是“大于”，“小于”，“等于”类型的箭头符号，如“3>2”，表明3大于2；“2≤7”，表明2小于等于7。
不等式是学习运算及分析问题时，很常见的知识点，学过基本运算、数学概念的学生，都需要掌握这方面的知识。
不等式的解法，是一种数学技能，通过这种技能，能够对不等式问题做出正确的判断和结论。
二、不等式的解法1、一元不等式的解法一元不等式的解法指的是，一个变量的不等式的解法，常见的一元不等式比如“x>2”，“2x-1<7”等。
解一元不等式的思路通常如下：（1）将不等式两边同乘以变量上的系数，使不等式两边都变成常数；（2）重新组合不等式两边，取一个公约数；（3）正负号的变换，有助于理解；（4）最后求得不等式的解。
2、二元不等式的解法二元不等式的解法指的是，两个变量的不等式的解决，如解决“x+y<3”等。
解二元不等式的步骤通常如下：（1）首先将不等式的一边化为一个数，再解两个变量的方程；（2）解出方程的解，再结合方程的不等式；（3）求出不等式的解。
三、不等式在实际应用中的作用1、不等式在经济学上的应用不等式也可以用于把经济问题表达为数学模型，比如把一种商品的价格变化率表示为不等式，“P-M<0”，其中P代表市场价格，M代表成本价格。
这样，就可以利用不等式，比较客观的研究经济问题，获取有效的经济数据。
2、不等式在工程学上的应用不等式也可以用于工程中，比如在水力学或梯形法中，用于研究水的流速、水的流量及水的流压。
在这些模型中，都会使用不等式来表达某个条件，从而获取工程中有用的结论。
3、不等式在物理学上的应用在物理学中，也可以使用不等式来表达某个物理现象，比如动量定理：“p=mv”，其中p代表动量，m代表质量，v代表速度。
另外，物理学中的许多原理，如能量守恒原理，都可以用不等式的形式来描述，可以更方便地描述物理现象，从而让科学家更好地掌握科学知识。
不等式的解法
不等式的解法●知识梳理1.一元一次不等式的解法.任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b （a ≠0）的形式. 当a ＞0时，解集为{x |x ＞ab }；当a ＜0时，解集为{x |x ＜ab }.2.一元二次不等式的解法.任何一个一元二次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax 2+bx +c ＞0（或＜0）（其中a ＞0）的形式，再根据“大于取两边，小于夹中间”求解集.3.简单的高次不等式、分式不等式的求解问题可采用“数轴标根法”.思考讨论用“数轴标根法”解高次、分式不等式时，对于偶次重根应怎样处理? ●点击双基1.（2004年全国Ⅳ，5）不等式32-+x x x ）（＜0的解集为A.{x |x ＜－2或0＜x ＜3}B.{x |－2＜x ＜0或x ＞3}C.{x |x ＜－2或x ＞0}D.{x |x ＜0或x ＞3} 解析：在数轴上标出各根.-2 0 3答案：A2.（2003年北京）若不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），则实数a 等于 A.8 B.2 C.－4 D.－8 解析：由|ax +2|＜6得－6＜ax +2＜6，即－8＜ax ＜4.∵不等式|ax +2|＜6的解集为（－1，2），易检验a =－4. 答案：C3.（2003年重庆市诊断性考试题）已知函数f （x ）是R 上的增函数，A （0，－1）、B （3，1）是其图象上的两点，那么| f （x +1）|＜1的解集是A.（1，4）B.（－1，2）C.（－∞，1］∪［4，+∞）D.（－∞，－1］∪［2，+∞）解析：由题意知f （0）=－1，f （3）=1.又| f （x +1）|＜1⇔－1＜f （x +1）＜1， 即f （0）＜f （x +1）＜f （3）.又f （x ）为R 上的增函数， ∴0＜x +1＜3.∴－1＜x ＜2.答案：B 4.（理）（2003年山东潍坊市第二次模拟考试题）不等式x 2－|x －1|－1≤0的解集为____________.解析：当x －1≥0时，原不等式化为x 2－x ≤0，解得0≤x ≤1.∴x =1；当x －1＜0时，原不等式化为x 2+x －2≤0，解得－2≤x ≤1.∴－2≤x ＜1. （文）不等式ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a +b =_______. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==+-<.2310aba ab a ，，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=121b a ，或⎩⎨⎧-=-=.21b a ，∴a +b =－23或－3. 5.不等式ax 2+bx +c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，则不等式ax 2－bx +c ＞0的解集为_______. 解析：令f （x ）=ax 2+bx +c ，其图象如下图所示，xyy y O = = f x ( )f x ()-3 -2 2 3-再画出f （－x ）的图象即可.答案：{x |－3＜x ＜－2} ●典例剖析 【例1】 解不等式3252---x x x＜－1.剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x 的多项式的商，而右边是非零常数，故需移项通分，右边变为零，再利用商的符号法则，等价转化成整式不等式组.解：原不等式变为3252---x xx＋1＜0，即322322--+-x xx x ＜0⇔⎪⎩⎪⎨⎧<-->+-⎪⎩⎪⎨⎧>--<+-⇔0320230320232222x x x x x x x x 或，－1＜x ＜1或2＜x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜－1＜x ＜1或2＜x ＜3｝.【例2】 求实数m 的范围，使y =lg ［mx 2+2（m +1）x +9m +4］对任意x ∈R 恒有意义. 剖析：mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0恒成立的含义是该不等式的解集为R . 故应⎩⎨⎧>.00＜，Δm解：由题意知mx 2+2（m +1）x +9m +4＞0的解集为R ，则⎩⎨⎧<+-+=>.04941402）（）（，m m m Δm 解得m ＞41. 评述：二次不等式ax 2+bx +c ＞0恒成立的条件：⎩⎨⎧<>.00Δa ，若未说明是二次不等式还应讨论a =0的情况.思考讨论本题若要使值域为全体实数，m 的范围是什么? 提示：对m 分类讨论，m =0适合. 当m ≠0时，⎩⎨⎧≥>.00Δm ，解m 即可.【例3】 若不等式2x －1＞m （x 2－1）对满足|m |≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围. 剖析：对于m ∈［－2，2］，不等式2x －1＞m （x 2－1）恒成立，把m 视为主元，利用函数的观点来解决.解：原不等式化为（x 2－1）m －（2x －1）＜0. 令f （m ）=（x 2－1）m －（2x －1）（－2≤m ≤2）.则⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-.01212201212222）（）（）（，）（）（）（x x f x x f 解得271+-＜x ＜231+.深化拓展1.本题若变式：不等式2x －1＞m （x 2－1）对一切－2≤x ≤2都成立，求m 的取值范围.2.本题若把m 分离出来再求m 的范围能行吗? ●闯关训练 夯实基础1.（2004年重庆，4）不等式x +12+x ＞2的解集是 A.（－1，0）∪（1，+∞） B.（－∞，－1）∪（0，1） C.（－1，0）∪（0，1）D.（－∞，－1）∪（1，+∞）解法一：x +12+x ＞2⇔x －2+12+x ＞0⇔11+-x x x ）（＞0⇔x （x －1）（x +1）＞0⇔－1＜x ＜0或x ＞1.解法二：验证，x =－2、21不满足不等式，排除B 、C 、D.2.设f （x ）和g （x ）都是定义域为R 的奇函数，不等式f （x ）＞0的解集为（m ，n ），不等式g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ），其中0＜m ＜2n ，则不等式f （x ）·g （x ）＞0的解集是A.（m ，2n ）B.（m ，2n ）∪（－2n ，－m ）C.（2m ，2n ）∪（－n ，－m ）D.（2m ，2n ）∪（－2n ，－2m ）解析：f （x ）、g （x ）都是定义域为R 的奇函数，f （x ）＞0的解集为（m ，n ），g （x ）＞0的解集为（2m ，2n ）.∴f （－x ）＞0的解集为（－n ，－m ），g （－x ）＞0的解集为（－2n，－2m ），即f （x ）＜0的解集为（－n ，－m ），g （x ）＜0的解集为（－2n ，－2m ）.由f （x ）·g （x ）＞0得⎩⎨⎧>>00）（，）（x g x f 或⎩⎨⎧<<.00）（，）（x g x f .又0＜m ＜2n，∴m ＜x ＜2n 或－2n ＜x ＜－m .3.若关于x 的不等式－21x 2+2x ＞mx 的解集为{x |0＜x ＜2}，则实数m 的值为_______.解析：由题意，知0、2是方程－21x 2+（2－m ）x =0的两个根，∴－212--m =0+2.∴m =1.4.（2004年浙江，13）已知f （x ）=⎩⎨⎧<-≥.0101x x ，则不等式x +（x +2）·f （x +2）≤5的解集是____________.解析：当x +2≥0，即x ≥－2时.x +（x +2）f （x +2）≤5⇔2x +2≤5⇔x ≤23.∴－2≤x ≤23.当x +2＜0即x ＜－2时，x +（x +2）f （x +2）≤5 ⇔x +（x +2）·（－1）≤5⇔－2≤5，∴x ＜－2.综上x ≤23.5.（2004年宣武二模题）定义符号函数sgn x =⎪⎩⎪⎨⎧<-=>.010001）（），（），（x x x 当x ∈R 时，解不等式（x +2）＞（2x －1）sgn x .解：当x ＞0时，原不等式为x +2＞2x －1.∴0＜x ＜3.当x =0时，成立.当x ＜0时，x +2＞121-x .x －121-x +2＞0.1224122--+--x x x x＞0.123322--+x x x＞0.∴－4333+＜x ＜0.综上，原不等式的解集为{x |－4333+＜x ＜3}.6.（2003年北京西城区一模题）解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax （a ∈R ）. 解：原不等式变形为ax 2+（a －2）x －2≥0. ①a =0时，x ≤－1；②a ≠0时，不等式即为（ax －2）（x +1）≥0， 当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；由于a2－（－1）=aa 2+，于是当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.综上，当a =0时，x ≤－1；当a ＞0时，x ≥a2或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，a2≤x ≤－1；当a =－2时，x =－1；当a ＜－2时，－1≤x ≤a2.培养能力7.（2004年春季安徽）解关于x 的不等式log a 3x ＜3log a x （a ＞0，且a ≠1）. 解：令y =log a x ，则原不等式化为y 3－3y ＜0，解得y ＜－3或0＜y ＜3，即log a x ＜－3或0＜log a x ＜3. 当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |x ＞a 3-}∪{x |a3＜x ＜1}；当a ＞1时，不等式的解集为{x |0＜x ＜a 3-}∪{x |1＜x ＜a3}.8.有点难度哟！（2003年天津质量检测题）已知适合不等式|x 2－4x +a |+|x －3|≤5的x 的最大值为3，求实数a 的值，并解该不等式.解：∵x ≤3，∴|x －3|=3－x .若x 2－4x +a ＜0，则原不等式化为x 2－3x +a +2≥0.此不等式的解集不可能是集合{x |x ≤3}的子集，∴x 2－4x +a ＜0不成立.于是，x 2－4x +a ≥0，则原不等式化为x 2－5x +a －2≤0.∵x ≤3，令x 2－5x +a －2=（x －3）（x －m ）=x 2－（m +3）x +3m ，比较系数，得m =2，∴a =8. 此时，原不等式的解集为{x |2≤x ≤3}. 探究创新9.关于x 的不等式⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围.解：由x 2－x －2＞0可得x ＜－1或x ＞2.∵⎪⎩⎪⎨⎧<+++>--055220222k x k x x x ）（，的整数解为x =－2，又∵方程2x 2+（2k +5）x +5k =0的两根为－k 和－25.①若－k ＜－25，则不等式组的整数解集合就不可能为{－2}；②若－25＜－k ，则应有－2＜－k ≤3.∴－3≤k ＜2.综上，所求k 的取值范围为－3≤k ＜2.●思悟小结1.一元二次不等式的解集与二次项系数及判别式的符号有关.2.解分式不等式要使一边为零，转化为不等式组.如果能分解，可用数轴标根法或列表法.3.解高次不等式的思路是降低次数，利用数轴标根法求解较为容易.4.解含参数的不等式的基本途径是分类讨论，能避免讨论的应设法避免讨论. ●教师下载中心 教学点睛1.解不等式的过程，实质上是不等式等价转化过程.因此在教学中向学生强调保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则.2.各类不等式最后一般都要化为一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解， 这体现了转化与化归的数学思想.3.解不等式几乎是每年高考的必考题，重点仍是含参数的有关不等式，对字母参数的逻辑划分要具体问题具体分析，必须注意分类不重、不漏、完全、准确. 拓展题例【例1】 （2003年南京市第二次质量检测题）解关于x 的不等式12-ax ax＞x （a ∈R ）.解法一：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x ＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解.若a ＜0，则a1＜x ＜0； 若a =0，则x ＜0；若a ＞0，则x ＜0或x ＞a1.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）； a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a 1，+∞）. 解法二：由12-ax ax＞x ，得12-ax ax－x ＞0，即1-ax x＞0.此不等式与x （ax －1）＞0同解. 显然，x ≠0.（1）当x ＞0时，得ax －1＞0.若a ＜0，则x ＜a1，与x ＞0矛盾，∴此时不等式无解；若a =0，则－1＞0，此时不等式无解； 若a ＞0，则x ＞a1.（2）当x ＜0时，得ax －1＜0.若a ＜0，则x ＞a1，得a1＜x ＜0；若a =0，则－1＜0，得x ＜0；若a ＞0，则x ＜a1，得x ＜0.综上，a ＜0时，原不等式的解集是（a1，0）；a =0时，原不等式的解集是（－∞，0）；a ＞0时，原不等式的解集是（－∞，0）∪（a1，+∞）.【例2】 f （x ）是定义在（－∞，3］上的减函数，不等式f （a 2－sin x ）≤f （a +1+cos 2x ）对一切x ∈R 均成立，求实数a 的取值范围.解：由题意可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++≥-≤++≤-x a x a x a x a 2222cos 1sin 3cos 13sin ，，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥---≤+≤222221sin 49cos 2sin 3）（，，x a a x a x a 对x ∈R 恒成立.故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--≥--≤≤max22221sin 4912）（，，x a a a a ∴－2≤a ≤2101-.●知识梳理1.|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）； |x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）.2.形如|x －a |+|x －b |≥c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3.含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4.绝对值不等式的性质： ||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |+|b |. 思考讨论1.在|x |＞a ⇔x ＞a 或x ＜－a （a ＞0）、|x |＜a ⇔－a ＜x ＜a （a ＞0）中的a ＞0改为a ∈R 还成立吗?2.绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?●点击双基1.（2003年成都第三次诊断题）设a 、b 是满足ab ＜0的实数，那么 A.|a +b |＞|a －b | B.|a +b |＜|a －b | C.|a －b |＜||a |－|b || D.|a －b |＜|a |+|b | 解析：用赋值法.令a =1，b =－1，代入检验.2.（2004年春季安徽）不等式|2x 2－1|≤1的解集为 A.{x |－1≤x ≤1}B.{x |－2≤x ≤2}C.{x |0≤x ≤2}D.{x |－2≤x ≤0}解析：由|2x 2－1|≤1得－1≤2x 2－1≤1. ∴0≤x 2≤1，即－1≤x ≤1.3.不等式|x +log 3x |＜|x |+|log 3x |的解集为 A.（0，1） B.（1，+∞） C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）解析：∵x ＞0，x 与log 3x 异号， ∴log 3x ＜0.∴0＜x ＜1. 4.已知不等式a ≤||22x x+对x 取一切负数恒成立，则a 的取值范围是____________.解析：要使a ≤||22x x +对x 取一切负数恒成立，令t =|x |＞0，则a ≤tt22+.而tt22+≥tt 22=22，∴a ≤22.答案：a ≤225.已知不等式|2x －t |+t －1＜0的解集为（－21，21），则t =____________.解析：|2x －t |＜1－t ，t －1＜2x －t ＜1－t ，2t －1＜2x ＜1，t －21＜x ＜21.∴t =0.●典例剖析【例1】 解不等式|2x +1|+|x －2|＞4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解.令2x +1=0，x －2=0，得两个零点x 1=－21，x 2=2.解：当x ≤－21时，原不等式可化为－2x －1+2－x ＞4，∴x ＜－1.当－21＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x ＞4，∴x ＞1.又－21＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2＞4，∴x ＞35.又x ＞2，∴x ＞2.综上，得原不等式的解集为{x |x ＜－1或1＜x }. 深化拓展若此题再多一个含绝对值式子.如：|2x +1|+|x －2|+|x －1|＞4，你又如何去解？ 分析：令2x +1=0，x －2=0，x －1=0，得x 1=－21，x 2=1，x 3=2.解：当x ≤－21时，原不等式化为－2x －1+2－x +1－x ＞4，∴x ＜－21.当－21＜x ≤1时，原不等式可化为2x +1+2－x +1－x ＞4，4＞4（矛盾）.当1＜x ≤2时，原不等式可化为2x +1+2－x +x －1＞4，∴x ＞1. 又1＜x ≤2，∴1＜x ≤2.当x ＞2时，原不等式可化为2x +1+x －2+x －1＞4，∴x ＞23.又x ＞2，∴x ＞2.综上所述，原不等式的解集为{x |x ＜－21或x ＞1}.【例2】 解不等式｜x 2－9｜≤x ＋3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用|x |≤a ⇔－a ≤x ≤a 去绝对值.解法一：原不等式⇔（1）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-≥-390922x x x ，或（2）⎪⎩⎪⎨⎧+≤-<-.390922x x x ，不等式（1）⇔⎩⎨⎧≤≤-≥≤4333x x x 或⇔x ＝－3或3≤x ≤4；不等式（2）⇔⎩⎨⎧≥-≤<<-2333x x x 或⇔2≤x ＜3.∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝.解法二：原不等式等价于⎩⎨⎧+≤-≤+-≥+393032x x x x ）（⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≤-≥4333x x x ，或x ≥2⇔x=－3或2≤x ≤4. ∴原不等式的解集是｛x ｜2≤x ≤4或x ＝－3｝. 【例3】 （理）已知函数f （x ）=x |x －a |（a ∈R ）. （1）判断f （x ）的奇偶性；（2）解关于x 的不等式：f （x ）≥2a 2. 解：（1）当a =0时， f （－x ）=－x |－x |=－x |x |=－f （x ）， ∴f （x ）是奇函数.当a ≠0时，f （a ）=0且f （－a ）=－2a |a |.故f （－a ）≠f （a ）且f （－a ）≠－f （a ）. ∴f （x ）是非奇非偶函数. （2）由题设知x |x －a |≥2a 2， ∴原不等式等价于⎩⎨⎧≥+-<222aax xa x ， ①或⎩⎨⎧≥-≥.222a ax xa x ， ②由①得⎩⎨⎧≤+-<.0222a ax x a x ，x ∈∅.由②得⎩⎨⎧≥+-≥.02））（（，a x a x a x 当a =0时，x ≥0.当a ＞0时，⎩⎨⎧-≥≤≥，或，a x a x a x 2∴x ≥2a .当a ＜0时，⎩⎨⎧-≤≥≥，或，a x a x a x 2x≥－a . 综上a ≥0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥2a }；a ＜0时，f （x ）≥2a 2的解集为{x |x ≥－a }.（文）设函数f （x ）=ax +2，不等式| f （x ）|＜6的解集为（－1，2），试求不等式）（x f x ≤1的解集.解：|ax +2|＜6，∴（ax +2）2＜36，即a 2x 2+4ax －32＜0.由题设可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=-.2321422aa a ，解得a =－4.∴f （x ）=－4x +2.由）（x f x≤1，即24+-x x ≤1可得2425--x x ≥0.解得x ＞21或x ≤52.∴原不等式的解集为{x |x ＞21或x ≤52}.●闯关训练夯实基础1.（2003年北京海淀区一模题）已知集合A ={x |a －1≤x ≤a +2}，B ={x |3＜x ＜5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是A.{a |3＜a ≤4}B.{a |3≤a ≤4}C.{a |3＜a ＜4}D.∅解析：由题意知⎩⎨⎧≥+≤-，，5231a a 得3≤a ≤4.2.不等式|x 2+2x |＜3的解集为____________. 解析：－3＜x2+2x ＜3，即⎪⎩⎪⎨⎧>++<-+.03203222x x x x ，∴－3＜x ＜1.3.（2004年全国Ⅰ，13）不等式|x +2|≥|x |的解集是____________.解法一：|x +2|≥|x |⇔（x +2）2≥x 2⇔4x +4≥0⇔x ≥－1.解法二： 在同一直角坐标系下作出f （x ）=|x +2|与g （x ）=|x |的图象，根据图象可得x ≥－1.|解法三：根据绝对值的几何意义，不等式|x +2|≥|x |表示数轴上x 到－2的距离不小于到0的距离，∴x ≥－1.答案：{x |x ≥－1}评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握. 4.（2004年春季北京）当0＜a ＜1时，解关于x 的不等式a 12-x ＜a x －2.解：由0＜a ＜1，原不等式可化为12-x ＞x －2.这个不等式的解集是下面不等式组①及②的解集的并集.⎩⎨⎧<-≥-02012x x ， ⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-.212020122）（，，x x x x解不等式组①得解集为{x |21≤x ＜2}，解不等式组②得解集为{x |2≤x ＜5}， 所以原不等式的解集为{x |21≤x ＜5}.5.关于x 的方程3x 2－6（m －1）x +m 2+1=0的两实根为x 1、x 2，若|x 1|+|x 2|=2，求m 的值.解：x 1、x 2为方程两实根，∴Δ=36（m －1）2－12（m 2+1）≥0.∴m ≥253+或m ≤253-.又∵x 1·x 2=212+m＞0，∴x 1、x 2同号.∴|x 1|+|x 2|=|x 1+x 2|=2|m －1|.于是有2|m －1|=2，∴m =0或2.∴m =0. 培养能力 6.解不等式212-x≤||1x .解：（1）当x 2－2＜0且x ≠0，即当－2＜x ＜2且x ≠0时，原不等式显然成立． （2）当x 2－2＞0时，原不等式与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥->||22||2x xx ，等价．x 2－2≥｜x ｜，即｜x ｜2－｜x ｜－2≥0.∴｜x ｜≥2.∴不等式组的解为｜x ｜≥2，即x ≤－2或x ≥2．∴原不等式的解集为（－∞，－2］∪（－2，0）∪（0，2）∪［2，＋∞）． 7.（2003年湖北黄冈模拟题）已知函数f （x ）=xx ax122-+的定义域恰为不等式log 2（x +3）+log 21x ≤3的解集，且f （x ）在定义域内单调递减，求实数a 的取值范围.解：由log 2（x +3）+log 21x ≤3得⎪⎩⎪⎨⎧>≤+033log 2x x x ⇔⎪⎩⎪⎨⎧>≤+⇔083x x x x ≥73，即f （x ）的定义域为［73，+∞）.∵f （x ）在定义域［73，+∞）内单调递减，∴当x 2＞x 1≥73时，f （x 1）－f （x 2）＞0恒成立，即有（ax 1－11x +2）－（ax 2－21x +2＞0⇔a （x 1－x 2）－（11x －21x ）＞0⇔（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0恒成立.∵x 1＜x 2，∴（x 1－x 2）（a +211x x ）＞0⇔a +211x x ＜0. ∵x 1x 2＞499⇒－211x x ＞－949，要使a ＜－211x x 恒成立，则a 的取值范围是a ≤－949.8.有点难度哟！已知f （x ）=x 2－x +c 定义在区间［0，1］上，x 1、x 2∈［0，1］，且x 1≠x 2，求证： （1）f （0）=f （1）；（2）| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 1－x 2|； （3）| f （x 1）－f （x 2）|＜21；（4）| f （x 1）－f （x 2）|≤41.证明：（1）f （0）=c ，f （1）=c ，∴f （0）=f （1）. （2）| f （x 2）－f （x 1）|=|x 2－x 1||x 2+x 1－1|.∵0≤x 1≤1，∴0≤x 2≤1，0＜x 1+x 2＜2（x 1≠x 2）.∴－1＜x 1+x 2－1＜1. ∴| f （x 2）－f （x 1）|＜|x 2－x 1|. （3）不妨设x 2＞x 1，由（2）知| f （x 2）－f （x 1）|＜x 2－x 1而由f （0）=f （1），从而| f （x 2）－f （x 1）|=| f （x 2）－f （1）+f （0）－f （x 1）|≤| f （x 2）－f （1）|+| f （0）－ f （x 1）|＜|1－x 2|+|x 1|＜1－x 2+x 1. ②①+②得2| f （x 2）－f （x 1）|＜1，即| f （x 2）－f （x 1）|＜21.（4）|f （x 2）－f （x 1）|≤f max －f min =f （0）－f （21）=41.探究创新9.（1）已知|a |＜1，|b |＜1，求证：|ba ab --1|＞1；（2）求实数λ的取值范围，使不等式|ba ab --λλ1|＞1对满足|a |＜1，|b |＜1的一切实数a 、b 恒成立；（3）已知|a |＜1，若|abb a ++1|＜1，求b 的取值范围.（1）证明：|1－ab |2－|a －b |2=1+a 2b 2－a 2－b 2=（a 2－1）（b 2－1）.∵|a |＜1，|b |＜1，∴a 2－1＜0，b 2－1＜0.∴|1－ab |2－|a －b |2＞0.∴|1－ab |＞|a －b |，|||1|b a ab --=|||1|b a b a -⋅-＞1.（2）解：∵|ba ab --λλ1|＞1⇔|1－ab λ|2－|a λ－b |2=（a 2λ2－1）（b 2－1）＞0.∵b 2＜1，∴a 2λ2－1＜0对于任意满足|a |＜1的a 恒成立.。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种数值关系表达式，描述了数值之间的大小关系。
解不等式就是确定使不等式成立的数值范围，也就是找到不等式的解集。
一、线性不等式的解法线性不等式是指变量之间的关系是一次函数的不等式，可以分为一元线性不等式和多元线性不等式。
解线性不等式的方法如下：1. 利用乘法和除法性质：当不等式两侧同乘或同除一个正数时，不等号的方向不变；当不等式两侧同乘或同除一个负数时，不等号的方向反转。
2. 利用加法和减法性质：当不等式两侧同加或同减一个数时，不等号的方向不变。
3. 将不等式转化为方程：将不等式两边相等的地方标记，再在标记的点处进行讨论，确定不等式成立的范围。
4. 图解法：将不等式对应的线性函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示，例如[a, b]表示解集的范围在a 到b之间。
二、二次不等式的解法二次不等式是指变量之间的关系是二次函数的不等式，解二次不等式的方法如下：1. 将二次不等式转化为标准形式：将不等式的所有项移项，使得一边为零。
2. 利用乘法性质：当不等式两侧同乘一个正数时，不等式的方向不变；当不等式两侧同乘一个负数时，不等式的方向反转。
3. 利用根的位置和形状：通过求解二次函数的根来确定二次不等式的解集。
4. 图解法：将二次不等式对应的二次函数图像进行绘制，通过观察图像的部分确定不等式的解集。
5. 区间表示法：将解集用区间表示。
三、绝对值不等式的解法绝对值不等式是指变量的绝对值与一个数之间的大小关系的不等式，解绝对值不等式的方法如下：1. 利用绝对值的定义：讨论变量的取值范围，将绝对值不等式转化为对应的条件不等式。
2. 利用绝对值的性质：当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式大于等于0时，可以去掉绝对值符号；当绝对值不等式中的绝对值对应的表达式小于0时，不等式无解。
3. 将绝对值不等式转化为分段函数形式：将绝对值不等式分成多个条件不等式，讨论每个条件不等式的解集。
数学不等式的解法
数学不等式的解法
一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“<”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号(大于或等于号)“≥”、不大于号(小于或等于号)“≤”连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
总的来说，用不等号(<,>,≥,≤,≠)连接的式子叫做不等式.
不等式的解法：
(1)一元二次不等式：一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系数大于零;注：要对进行讨论：
(2)绝对值不等式：若，则 ; ;
注意：
(1)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值，去绝对值的方法有：
⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值;
(2).通过两边平方去绝对值;需要注意的是不等号两边为非负值。
(3).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。
(4)分式不等式的解法：通解变形为整式不等式;
(5)不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集，然后求其交集，即是这个不等式组的解集，在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上，取它们的公共部分。
(6)解含有参数的不等式：
解含参数的不等式时，首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：
①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.
②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.
③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况(有时要分析△)，比较两个根的大小,设根为 (或更多)但含参数，要讨论。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题时，经常会遇到需要求解不等式的情况，本文将介绍常见的不等式解法方法，帮助读者更好地理解和掌握不等式的求解过程。
一、一元一次一元一次不等式是指只含有一个未知数并且次数为1的不等式。
常见的一元一次不等式形式为ax + b < c或者ax + b > c。
求解一元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + b = c的形式。
2. 根据a的正负情况，分别讨论两种情况：- 当a > 0时，解为x > (c - b) / a。
- 当a < 0时，解为x < (c - b) / a。
3. 以解集的形式表示不等式的解。
例如，对于不等式3x + 4 > 10，可以按照上述步骤求解：1. 将不等式转化为等式，得到3x + 4 = 10。
2. 根据3的正负，讨论两种情况：- 当3 > 0时，解为x > (10 - 4) / 3，即x > 2。
- 当3 < 0时，解为x < (10 - 4) / 3，即x < 2。
3. 不等式的解为解集{x | x > 2}。
二、二元一次二元一次不等式是指含有两个未知数并且次数为1的不等式。
常见的二元一次不等式形式为ax + by > c或者ax + by < c。
求解二元一次不等式的方法如下：1. 将不等式转化为等式，得到ax + by = c的形式。
2. 根据a、b的正负情况，分别讨论四个象限的情况：- 当a > 0，b > 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a > 0，b < 0时，解为x > (c - by) / a。
- 当a < 0，b > 0时，解为x < (c - by) / a。
- 当a < 0，b < 0时，解为x < (c - by) / a。
解不等式的常用方法与技巧
解不等式的常用方法与技巧不等式是数学中常见的一种关系式，表示两个数或者两个式子之间的大小关系，总结解不等式的方法与技巧对于数学学习来说是非常重要的。
本文将介绍解不等式的常用方法和技巧，供大家参考。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式指的是只有一个变量的一次方程，例如：ax + b > 0。
解一元一次不等式的方法如下：第一步：将不等式中的一元一次方程转化为等式，例如将ax + b > 0转化为ax + b = 0。
第二步：解一元一次方程，求出方程的解x0。
第三步：根据x0的值，判断不等式的解集：- 如果x0 > 0，则不等式的解集为x > x0；- 如果x0 < 0，则不等式的解集为x < x0；- 如果x0 = 0，则不等式的解集为x ≠ 0。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式指的是只有一个变量的二次方程，例如：ax^2 + bx + c > 0。
解一元二次不等式的方法如下：第一步：将不等式中的一元二次方程转化为等式，例如将ax^2 + bx + c > 0转化为ax^2 + bx + c = 0。
第二步：求出一元二次方程的根x1和x2。
如果方程的判别式Δ =b^2 - 4ac > 0，即有两个不相等的实根x1和x2；如果Δ = b^2 - 4ac = 0，即有两个相等的实根x1 = x2；如果Δ < 0，即方程没有实根。
第三步：根据x1和x2的值，判断不等式的解集：- 如果x1和x2都大于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1和x2都小于0，则不等式的解集为x > x1或者x < x2；- 如果x1大于0，x2小于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1小于0，x2大于0，则不等式的解集为x < x2或者x > x1；- 如果x1等于0，x2大于0，则不等式的解集为x < x1或者x > x2；- 如果x1等于0，x2小于0，则不等式的解集为x < x2或者x > x1。
不等式的解法
不等式的解法不等式是数学中常见的一种符号表示方式，用来比较数的大小关系。
求解不等式的解集是解决数学问题、推导关系式的重要步骤之一。
本文将介绍不等式的解法，并通过具体的例子来说明。
一、一元一次不等式的解法一元一次不等式是形如ax + b > 0 或 ax + b < 0的不等式，其中a和b是已知常数，x是未知数。
通过以下步骤可以求解一元一次不等式的解集：1. 将不等式转化为相等式：a) 若不等式中有“>”或“<”符号，则去掉不等号改为等号；b) 若不等式中有“≥”或“≤”符号，则保留不等号不变。
2. 化简相等式，将未知数移到一边，常数移到另一边。
3. 根据未知数系数的正负情况判断解集：a) 当未知数系数大于0（正系数）时，比较常数的正负情况确定解集；- 若常数大于0，则解集为实数集；- 若常数等于0，则解集为{x | x ≥ 0}或{x | x > 0}；- 若常数小于0，则解集为空集。
b) 当未知数系数小于0（负系数）时，比较常数的正负情况确定解集；- 若常数大于0，则解集为空集；- 若常数等于0，则解集为{x | x ≤ 0}或{x | x < 0}；- 若常数小于0，则解集为实数集。
例如：求解不等式3x - 2 < 4：1. 将不等式转化为相等式得到3x - 2 = 4。
2. 化简得到3x = 6，将未知数移到一边，常数移到另一边。
3. 未知数系数为正，常数为正，解集为实数集。
二、一元二次不等式的解法一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c是已知常数，x是未知数。
求解一元二次不等式的解集可以通过以下步骤实现：1. 将不等式转化为相等式：a) 若不等式中有“>”或“<”符号，则去掉不等号改为等号；b) 若不等式中有“≥”或“≤”符号，则保留不等号不变。
解不等式方法
解不等式方法解不等式是数学中的重要内容，也是解决实际问题中常常会遇到的一种数学方法。
在学习解不等式方法时，我们需要掌握一些基本的解题技巧和方法，下面将介绍一些常见的解不等式方法。
一、一元一次不等式的解法。
1. 直接法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0）, a≠0，我们可以通过移项、合并同类项等基本的代数运算，将不等式化为一个简单的形式，然后根据a的正负情况，确定不等式的解集。
2. 图解法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以将其对应的一元一次方程ax+b=0的解x=-b/a在数轴上标出，并根据a的正负情况，确定不等式的解集。
3. 区间法。
对于一元一次不等式ax+b>0（或<0），我们可以根据a的正负情况，将解空间分成若干个区间，然后根据b的正负情况，确定不等式的解集。
二、一元二次不等式的解法。
1. 直接法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0）, a≠0，我们可以通过配方法、求解二元一次方程组、利用一元二次函数的性质等方法，将不等式化为一个简单的形式，然后根据a的正负情况，确定不等式的解集。
2. 图解法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以将其对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的解在坐标系中标出，并根据a的正负情况，确定不等式的解集。
3. 区间法。
对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0），我们可以根据a的正负情况，将解空间分成若干个区间，然后根据b^2-4ac的正负情况，确定不等式的解集。
三、绝对值不等式的解法。
1. 直接法。
对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以根据绝对值的性质，将不等式化为一个简单的形式，然后根据a的正负情况，确定不等式的解集。
2. 区间法。
对于绝对值不等式|ax+b|>c（或< c），我们可以根据a的正负情况，将解空间分成若干个区间，然后根据b的正负情况，确定不等式的解集。
基本不等式的解法
基本不等式的解法如下：
方法一：代数方法。
通过变形和化简等操作，将不等式转化为更简单的形式，从而得到不等式的解集。
例如，对于不等式2x + 5 > 3x - 1，可以移项得到2x - 3x > -1 - 5，然后化简为-x > -6，最后根据-x的系数为负数，将不等式两边的符号取相反，得到x < 6。
方法二：图像法。
将不等式转化为图像的形式，通过观察图像来确定不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x > -2。
然后在数轴上标出-2和1、2、3等点，根据不等号的符号确定解集。
方法三：比较法。
通过比较两个不等式的解集来确定它们是否相同。
例如，对于不等式x + 2 > 0和x + 1 > 0，可以通过比较它们的解集来确定它们是否相同。
方法四：同解变形法。
将不等式进行同解变形，使其转化为另一个不等式，然后求解新的不等式。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将其转化为x + 1 > -1的形式，然后根据同解变形法则得到x + 1 > 0，从而得到原不等式的解集。
需要注意的是，基本不等式的解法有很多种，不同的方法适用于不同的不等式类型和问题背景。
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。
不等式的解法及其应用
不等式的解法及其应用不等式是数学中常见的一种关系表示方法，它描述了数值之间的相对大小关系。
在实际问题中，我们经常需要求解不等式的解集，并将其应用于解决各种问题。
本文将介绍不等式的解法及其应用。
一、不等式的解法1. 图像法图像法是一种直观的解不等式的方法，它通过将不等式表示为数轴上的区间，来确定不等式的解集。
具体步骤如下：（1）将不等式中的变量系数化为正数。
（2）根据不等式的类型（大于、小于、大于等于、小于等于），在数轴上标出相应的开闭区间。
（3）确定解集，将标出的区间合并。
例如，对于不等式3x - 2 > 7，我们可以将其转化为3x > 9，然后在数轴上标出大于等于3的区间，最终确定解集为x > 3。
2. 线性不等式的解法线性不等式是指不等式中只含有一次线性项的不等式。
常用的线性不等式解法有两种方法：代入法和区间判断法。
（1）代入法：将待求解的不等式代入到一个确定的数值中，判断该数值是否满足不等式，从而得到解集。
（2）区间判断法：将不等式转化为一个关于未知数的方程，通过求解该方程，得到解集。
然后根据不等式的类型，对解集进行调整，最终确定合适的解集。
二、应用：不等式在实际中的应用不等式在各个领域中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 经济学应用在经济学中，不等式常用于描述供需关系、收入分配、资源利用等问题。
通过求解不等式，可以确定经济模型中各个变量的取值范围，帮助分析和解决相关经济问题。
2. 几何学应用在几何学中，不等式可以用于描述图形的属性和关系。
例如，在证明三角形的性质时，通过不等式可以判断三边的关系，从而推导出不等式。
3. 工程学应用在工程学中，不等式被广泛应用于优化问题、约束条件的建立等方面。
通过建立和求解不等式，可以帮助解决各类工程问题，并得出最佳解决方案。
4. 自然科学应用在自然科学中，不等式常被用于描述物理规律、化学反应等现象。
通过求解不等式，可以得到相应的物理量范围，帮助科学家更好地理解和预测自然界的现象。
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3.9线性分式不等式的解法------图像法安志英河北省平山县职教中心3.9线性分式不等式的解法———图像法河北省平山县职教中心安志英教学用书：《数学》高等教育出版社（基础版）第一册（修订版）主编：丘维声教学内容：线性分式不等式的解法———图像法教学目标：1、理解线性分式不等式与一元二次不等式的关系2、能利用一元二次不等式的图象法求线性分式不等式的解集3、培养学生探索问题的意识和方法，以及与人合作的能力教学重点：线性分式不等式与一元二次不等式的关系教学难点：把线性分式不等式转化成一元二次不等式并求解教学类型：探究型教具准备：多媒体教学方法：合作教学法、探究教学法课时：1个教学课时教材分析：本教材在第二章2.4节已经讲过求线性分式不等式的解集，其依据是：“同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且分母不能为0”。
在第三章3.9 节学习了用图像法解一元二次不等式后，又给出了另外的依据：“同号两数相乘或相除时都得正数，异号两数相乘或相除时得负数”，这实际上又给出了另一种线性分式不等式的思路和方法，但也容易给学生的思路学习造成混乱，所以有必要做一节系统性的分析和探讨。
我们可以把第2.4节线性分式不等式转化成一元二次不等式来分析，这既是对一元二次不等式解法的总结，又是对这两部分知识内容的一个综合。
学生分析：职教类的学生基础较差，学习兴趣不高，在教学中要创设一定的学习情境和问题情境，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，发挥学生的学习潜能激发学生的探究意识，并展开讨论，培养学生的合作能力。
教学过程：一、创设情境提出问题在第二章2.4节我们已讲了解一元二次不等式的分解因式法其依据是：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并且分母不能为0。
上节课我们学习了用图像法解一元二次不等式，（1）其依据是什么？（2）解性分式不等式与一元二次不等式的依据有何区别与联系？（3）能不能把线性分式不等式转化成一元二次不等式求解呢？（留出5分钟时间由学生解决前两个问题，教师引入第三个问题）二、复习回顾上节课我们共同学习了解一元二次不等式ax2+bx+c > 0（a> 0），当a < 0时，可以在不等式两边同乘以-1，得到的新的不等式的二次项系数-a > 0，并且新不等式与原不等式的解集相等。
从而我们只讨论a > 0的情况，以后不再生明。
1、简要叙述用图像法解一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的步骤：（提问形式学生口述）*判断方程ax2+bx+c=0的根的情况*画函数y= ax2+bx+c的草图* 通过图像观察不等式ax2+bx+c>0的解集2、一元二次不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集可能出现几种况？其依据是什么？（师生共同回忆）可分三种情况讨论用Δ表示一元二次方程ax + bx + c = 0的判别式。
情形1：Δ>0。
此时ax2+ bx + c = 0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1< x2），由于a > 0，因此ax2+ bx + c > 0的解集是( -∞，x1)∪(x2, +∞)；ax2+ bx + c < 0的解集是(x1，x2)。
情形2：Δ= 0。
此时ax2+ bx + c = 0有两个相等实根x1= x1。
由于a >0 ,因此ax2+ bx + c> 0的解集是( -∞，x1)∪(x1, +∞)；ax2+ bx + c < 0的解集是空集。
情形3：Δ< 0。
此时ax2+ bx + c = 0没有实根。
由于a > 0，因此ax2+ bx + c >0的解集是R ；ax2 + bx + c < 0的解集是空集。
(情形1) （情形2）（情形3）（强调情形1 △> 0的情况，为以下学习做铺垫）（动画展示三个不同形式的抛物线，以上内容安排 5分钟时间）3、你一定还记得不等式x+2x-1< 0 的解法吧（1）动手求解解: x+2x-1< 0x+2 > 0x+2< 0⇔或x -1 < 0 x -1 > 0x > - 2 x+2 < 0⇔或x < 1 x -1 > 0⇔- 2 < x <1因此原不等式的解集是（- 2 ，1）（2）问题：还记得这种解法的依据是什么？（学生回答：两数相除同号得正，异号得负，并且分母不能为0）（以上内容安排3分钟时间）三、合作探究，引入新课 1、学生抢答，深入思考问题（一） 下面给出的两个等价关系成立吗？（判断并说明理由） （1） x+2x-1< 0 ⇔ （x +2）（x -1）< 0 （2）x+2x-1≤ 0 ⇔ （x +2）（x -1）≤0 学生讨论后师生共同得出答案（1）小题正确。
理由：同号两数相乘或相除得正数，异号两数相乘或相除得负数。
（2）小题错误，引导学生得出在（1）小题结论的基础上还要求分母不能为0。
问题（二）（口述）既然问题（一）中（1）x+2x-1< 0⇔ （x +2）（x -1）< 0 是真命题，那不就是说这样的线性分式不等式可以转化成后面的一元二次不等式来解吗？ 但是要注意后面的一元二次不等式应该是最容易求解的那种形式。
教师总结：由于同号两数相乘或相除时都得正数，异号两数相乘或相除时都得负数，因此我们可以把第二章2.4节讲的线性分式不等式转化成一元二次不等式，但是要注意分式的分母不能为0，然后用一元二次不等式的图像法简捷求解。
2、师生互动，检验理论的可行性 例1 解不等式x+2x-1< 0 分析x+2x-1< 0 ⇔ (x + 2) (x -1)< 0很容易求出 (x + 2) (x -1)=0 的两个根是x 1= -2，x 2=1并由前面的情形1可得， 原不等式的解集是 （-2 ， 1） 3、探究学生求解后提出问题： 当“< ” 改为“ ≤” 或 “≥” 该怎样处理？ 如 x+2x-1≥ 0 回答出x+2x-1≥ 0 ⇔ (x + 2) (x -1) ≥0 且x -1 ≠ 0教师总结：当线性分式不等式中出现“≤” 或 “≥” 时，特别要加上“分母不等于零” 这个条件。
4、巩固提高例2 有了例1的分析，相信你一定能求出不等式x+2x-1 ≥ 0 的解集（学生合作探究，写出解题过程） 解：x+2x-1≥ 0 ⇔ x + 2) (x -1) ≥0 且x-1 ≠ 0(由于(x + 2) (x -1)=0 的两个根是x 1= -2，x 2=1) ⇔ x ≤-2或 x >1因此原不等式的解集是 (-∞ -2 ] ∪(1，+ ∞） 5、分组讨论例3 （现在让我们一起分析如下不等式的求解过程）-x+2x-1< 0 （1）出示解题过程 （动画演示） 解-x+2x-1< 0 ⇔ (-x+2) (x -1 ) <0⇔ 1< x < 2( 解法的给出实际上是给学生创设一个误区：任何线性分式不等式都可以不加思考的如此来解。
通过分析探索，加深学生对一元二次不等式条件a>0的理解和认识) （2）提出问题,分组讨论：你能发现以上解题过程中有问题吗？（学生回答的结果有三种可能：正确、错误、弄不清，教师针对问题作出解释) 师总结：不等式左边的分式中分子分母上，当含x 的项系数是异号时，利用等价关系转换成一元二次不等式为： (-x+2) (x -1 ) < 0即 –x 2+3x -2 < 0 这与a>0的条件不符,所以上述解法有问题，所以上述解法有问题。
（3）正确解法：（动画演示） 解 -x+2x-1 < 0⇔ x+2x-1 > 0（省略-(x-2)x-1< 0 这一步） ⇔ (x-2) (x -1 ) > 0⇔ x < 1 或 x > 2因此原不等式的解集是 (-∞ , 1 ) ∪( 2 , +∞) 通过例3让学生明白：解线性分式不等式时也要求分子分母上x 的系数为同号，如果出现x 的系数是异号时，要变异号为同号，即提出负号，并且在不等式 两边同乘以-1，同时不等号的方向改变。
（以上内容按排20分钟时间） 四、练习巩固，掌握解法 例4 解不等式-x+2-x-1≤ 0问题1：与例3有什么区别？(很容易看出分母中x 的系数也变成负数了) 问题2：怎样将分式中分子、分母的系数变成正数？当分子分母同为负数时，提出负号后不等号的方向不改变。
学生口述，教师板书 解 ： -x+2-x-1 ≤ 0⇔ x-2x+1 ≤ 0 （省略-（x-2）-（x+1） ≤ 0 这一步）⇔ （x-2）（x+1） ≤0 且x+1 ≠ 0 ⇔ - 1 < x ≤ 2因此原不等式的解是（ -1 ，2] （以上内容按排3分钟时间） 五、反复探究，轻松求解 解下列不等式：（1）x-2x+3≤0（2）x+5-2x+7≤0（两学生板演，个别指导）（以上内容安排10分钟时间）六、知识梳理，师生总结通过这节课的学习你掌握了什么？有何收获？1、线性分式不等式的解法方法1：根据两数相除，同号得正，异号得负，且分母不能为0方法2：把线性分式不等式转化成一元二次不等式并用图象法求解通过做题比较方法2可以简捷求解，所以屏弃方法12、解线性分式不等式时要区别“< ”（>）与“≤”（≥）3、当线性分式不等式分子分母中 x 的系数异号时要提出负号，在不等式的两边同乘以-1，同时不等号的方向改（以上内容安排3分钟时间七、作业布置（1）一般练习P124 B组2（1）（2）（2）探索提高P124 B组2（3）（4）八、板书设计九、教学反思本课时的教学内容是一节综合性较高的学习内容，通过对线性分式不等式的等价关系变形，利用一元二次不等式的图像法求解，提高了线性分式不等式的解题效率，锻炼了学生分析问题和综合问题的能力。
在教学过程中首先，创设问题情境从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习的积极性，发挥学生的学习潜能，激发学生的探究意识，并展开讨论，培养学生与人的合作能力；另外，运用了现代化教学设备，这无疑提高了教学进度，加大了课时容量，提高了单位课时的教学效果。